데카르트 정리

3. 공식화

3. 1. 특별한 경우

• '''원 중 하나가 직선인 경우:''' 직선은 곡률이 0이고 반지름이 무한대인 퇴화 원으로 간주할 수 있다. 이 경우에도 데카르트 정리는 적용된다. 예를 들어, 세 번째 원이 직선이어서 곡률 $k\_3=0$이라면, 네 원의 곡률 사이의 관계식

• '''원 중 두 개가 직선인 경우:''' 두 개의 원이 직선으로 대체되는 경우를 생각해보자. 이 두 직선은 평행선이 된다. 이 경우 $k\_2=k\_3=0$ 이므로, 식 (2)는 다음과 같이 자명한 결과로 축소된다.

• '''세 원이 합동인 경우:''' 만약 세 원이 서로 합동이라면, 그 중심들은 정삼각형을 이루고 접점들 또한 정삼각형을 이룬다. 이 세 합동원에 모두 접하는 네 번째 원에 대한 두 가지 가능성에 대해, 식 (2)는 다음과 같이 간단해진다.

• '''곡률이 제곱수인 경우:''' 곡률 $k\_i$가 모두 정수의 제곱인 특별한 경우, 즉 $k\_1=v^2,\; k\_2=x^2,\; k\_3=y^2,\; k\_4=z^2$ (여기서 $v,x,y,z$는 정수)라고 가정하면, 식 (1)은 다음과 같이 표현된다.

• '''적용 불가 경우:''' 데카르트 정리는 둘 이상의 원이 한 점에서 동시에 접하는 경우에는 적용되지 않는다. 모든 접점은 서로 달라야 한다. 만약 여러 원이 한 점에서 만난다면, 그 점을 지나는 무한히 많은 원(즉, 원의 다발)이 존재할 수 있다.

4. 복소 데카르트 정리

원을 완전히 결정하려면 반지름(또는 곡률)뿐만 아니라 중심의 위치도 알아야 한다. 관련된 방정식은 데카르트 좌표 $(x,y)$를 복소수 $z=x+iy$로 해석할 때 가장 명확하게 표현된다. 이 방정식을 '복소 데카르트 정리'라고 부르는데, 이는 기존 데카르트 정리와 유사한 형태를 가지기 때문이다.

곡률이 $k\_i$이고 중심이 $z\_i$인 네 개의 원($i\backslash in\backslash \{1,2,3,4\backslash \}$)이 서로 접할 때, 각 원의 곡률 사이의 관계식 외에도 중심 좌표 사이에는 다음과 같은 관계식 (3)이 성립한다.

$(k\_1z\_1+k\_2z\_2+k\_3z\_3+k\_4z\_4)^2=2\backslash ,(k\_1^2z\_1^2+k\_2^2z\_2^2+k\_3^2z\_3^2+k\_4^2z\_4^2)$ (3)

데카르트 정리를 사용하여 네 번째 원의 곡률 $k\_4$를 구한 후, 식 (3)을 $z\_4$에 대한 이차 방정식으로 풀어 네 번째 원의 중심 $z\_4$를 계산할 수 있다. 그 해는 다음과 같다.

$z\_4\; =\; \backslash frac\{z\_1\; k\_1\; +\; z\_2\; k\_2\; +\; z\_3\; k\_3\; \backslash pm\; 2\; \backslash sqrt\{k\_1\; k\_2\; z\_1\; z\_2\; +\; k\_2\; k\_3\; z\_2\; z\_3\; +\; k\_1\; k\_3\; z\_1\; z\_3\}\}\{k\_4\}$

이 식에서 $z\_4$에 대한 해는 일반적으로 두 개가 존재하며, 이는 곡률 $k\_4$에 대한 두 개의 해에 해당한다. 그러나 $z\_4$를 구하는 식의 ± 부호가 반드시 $k\_4$를 구하는 식의 ± 부호와 일치하는 것은 아니다.

복소 데카르트 정리는 원의 중심을 복소 평면 상의 점 $z\_i$로 보고, $w\_i\; =\; k\_i\; z\_i$로 치환하여 다음과 같은 식 (4)로 표현할 수도 있다. 이는 데카르트 정리의 곡률 관계식과 형태가 유사하다.

$(w\_1\; +\; w\_2\; +\; w\_3\; +\; w\_4)^2\; =\; 2\; (w\_1^2\; +\; w\_2^2\; +\; w\_3^2\; +\; w\_4^2)$ (4)

이때 네 번째 원의 중심 $z\_4$는 다음 식 (5)와 같이 나타낼 수 있다.

$z\_4\; =\; \backslash frac\; \{\; (w\_1\; +\; w\_2\; +\; w\_3\; \backslash pm\; 2\; \backslash sqrt\{w\_1\; w\_2\; +\; w\_2\; w\_3\; +\; w\_3\; w\_1\})\; \}\; \{\; k\_4\; \}$ (5)

복소수의 제곱근 계산 시 두 개의 값이 나오므로, 주어진 $k\_4$ 값 하나에 대해 $z\_4$ 해가 두 개 얻어지며, 이 중 하나가 실제 원의 중심 좌표가 된다.

5. 일반화

데카르트 정리는 행렬 방정식으로 표현될 수 있으며, 이를 통해 네 개의 방향을 가진 원의 다른 구성으로 일반화할 수 있다. 네 원의 곡률을 열 벡터 $\backslash mathbf\{k\}$로 하고, $i$번째와 $j$번째 방향을 가진 원의 교차점에서 상대적인 방향을 나타내는 계수 $q\_\{i,j\}$를 가진 대칭 행렬 $\backslash mathbf\{Q\}$를 다음과 같이 정의하자.

$$$$

\mathbf{Q} = \begin{bmatrix}

\phantom{-}1 & -1 & -1 & -1 \\

• 1 & \phantom{-}1 & -1 & -1 \\
• 1 & -1 & \phantom{-}1 & -1 \\
• 1 & -1 & -1 & \phantom{-}1 \\

• 1 & \phantom{-}1 & -1 & -1 \\
• 1 & -1 & \phantom{-}1 & -1 \\
• 1 & -1 & -1 & \phantom{-}1 \\

5. 1. 소디-고셋 정리

5. 2. 구면 및 쌍곡 기하학

6. 응용 및 관련 분야

데카르트 정리는 단순히 네 개의 접하는 원의 곡률 사이의 관계를 설명하는 것을 넘어, 다양한 기하학적 구조와 문제에 응용된다. 특히 정수론적 성질과 결합하여 흥미로운 결과를 보여준다.

• 아폴로니안 개스킷: 데카르트 정리를 반복적으로 적용하여 프랙탈 구조인 아폴로니안 개스킷을 생성할 수 있다. 만약 초기 네 원의 곡률이 정수라면, 개스킷을 구성하는 모든 원의 곡률도 정수가 된다.
• 포드 원: x축에 접하는 유리수와 관련된 원들의 집합인 포드 원은 데카르트 정리의 특수한 경우로 이해될 수 있으며, 특정 아폴로니안 개스킷의 일부를 이룬다.
• 콕세터의 접하는 원들의 loxodromic 수열: 원들의 반지름(또는 곡률)이 특정 황금비와 관련된 등비 수열을 이룰 때, 데카르트 정리가 만족되며 이는 콕세터의 loxodromic 수열이라는 나선형 패턴으로 나타난다.
• 삼각형의 소디 원: 삼각형의 세 변에 접하는 세 원과 동시에 접하는 두 원, 즉 소디 원의 곡률을 계산하는 데 데카르트 정리가 사용된다. 이는 삼각형 기하학과 헤론의 공식을 통해 증명될 수 있다.
• 정수 곡률: 데카르트 정리는 정수 곡률을 갖는 원들의 집합, 특히 아폴로니안 개스킷의 정수론적 성질을 연구하는 데 중요한 도구가 된다. 곡률이 제곱수인 경우 등 특별한 해의 구조에 대한 연구도 이루어졌다.

6. 1. 아폴로니안 개스킷

6. 2. 포드 원

6. 3. 콕세터의 접하는 원들의 loxodromic 수열

6. 4. 삼각형의 소디 원

6. 5. 정수 곡률

참조

_[1] 간행물 Gems of Geometry Springer
_[2] 간행물 Properties of circles in mutual contact https://babel.hathit[...]
_[3] 서적 History of Analytic Geometry Dover Publications
_[4] 간행물 An even more straightforward proof of Descartes's circle theorem
_[5] 간행물 Heron triangles and touching circles 2003-03
_[6] 간행물 Linear Fractional Transformations Springer International Publishing
_[7] 서적 A Treatise on the Circle and the Sphere Clarendon
_[8] 간행물 The problem of Apollonius 1961-10
_[9] 간행물 The problem of Apollonius 1968-01
_[10] 간행물 Loxodromic sequences of tangent spheres
_[11] 간행물 The Soddy circles https://forumgeom.fa[...]
_[12] 간행물 Princess Elizabeth of Bohemia and Descartes' letters (1650–1665)
_[13] 간행물 Apollonian Circle Packings: Number Theory II. Spherical and Hyperbolic Packings
_[14] 간행물 Mathematical Games: Circles and spheres, and how they kiss and pack 1968-05
_[15] 간행물 Apollonian circle packings: number theory
_[16] 간행물 The Kiss Precise 1937-01
_[17] 간행물 Triads of conics associated with a triangle https://hrcak.srce.h[...] Croatian Society for Geometry and Graphics
_[18] 간행물 The Universe of Conics Springer
_[19] 간행물 93.33 on a Morsel of Ross Honsberger
_[20] 간행물 The hexlet 1936-12
_[21] 간행물 Bridges Seoul Conference Proceedings Tessellations Publishing
_[22] 간행물 Arabic traces of lost works of Apollonius
_[23] 간행물 Soddyian Triangles https://forumgeom.fa[...]
_[24] 간행물 Proof of Descartes circle formula and its generalization clarified
_[25] 간행물 On Systems of Circles and Spheres
_[26] 간행물 Compte rendu de la 19me session de l'association française pour l'avancement des sciences, pt. 2 Secrétariat de l'association
_[27] 간행물 A straightforward proof of Descartes's circle theorem
_[28] 간행물 Beyond the Descartes circle theorem
_[29] 간행물 A tisket, a tasket, an Apollonian gasket 2010-01
_[30] 간행물 The princess and the philosopher https://www.american[...] 2023-03
_[31] 간행물 Sets of equally inclined spheres
_[32] 간행물 A new parameterization of Ford circles
_[33] 간행물 Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures Springer Netherlands
_[34] 간행물 Complex Descartes circle theorem
_[35] 간행물 On a theorem in geometry
_[36] 서적 Theory of Functions of a Complex Variable Chelsea
_[37] 서적 The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift Springer
_[38] 간행물 Japanese temple geometry 1998-05
_[39] 서적 The Correspondence between Princess Elisabeth of Bohemia and René Descartes University of Chicago Press
_[40] 간행물 The Kiss Precise 1936-06
_[41] 간행물 Fortsetzung der geometrischen Betrachtungen (Heft 2, S. 161) https://archive.org/[...] 1826-01
_[42] 서적 Geometric Computing with Clifford Algebras Springer
_[43] 간행물 On the Descartes circle theorem https://koreascience[...] Korean Society for History of Mathematics
_[44] 간행물 On the complex Descartes circle theorem
_[45] 간행물 The Isoperimetric Point and the Point(s) of Equal Detour in a Triangle
_[46] 서적 The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift Springer
_[47] 간행물 Four proofs of a generalization of the Descartes circle theorem
_[48] 간행물 On some geometrical propositions in Wasan, the Japanese native mathematics
_[49] 논문 The Kiss Precise 1936-06
_[50] 논문 Beyond the Descartes Circle Theorem 2002-04
_[51] Arxiv