임계점 (집합론)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
참조

1. 개요

임계점 (집합론)은 집합론에서 기본 매장의 고정점인 최소 순서수를 의미한다. 추이적 집합 X와 Y 사이의 기본 매장 j: X → Y가 주어질 때, j의 임계점은 j(α) = α를 만족하는 최소 순서수 α로 정의된다. 기본 매장의 임계점 개념은 가측 기수, 초강기수, 거대 기수, 초콤팩트 기수, 강기수, 우딘 기수 등 여러 큰 기수를 정의하는 데 사용된다.

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큰 기수 - 가측 기수
가측 기수는 크기가 κ인 집합 위에 주 필터가 아닌 κ-완비 극대 필터가 존재하거나, 멱집합 Pow(κ) 위에 특정 조건을 만족시키는 함수 μ가 존재하거나, κ가 폰 노이만 전체 V로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 M으로 가는 기본 매장의 임계점이 되는 조건들을 동치로 만족하는 기수이다.
큰 기수 - 강콤팩트 기수
강콤팩트 기수는 위상 공간의 콤팩트성과 무한 논리 공식의 모형 존재성 조건을 만족하며 가산 기수가 될 수 없고 비가산일 경우 가측 기수인 특정 기수 $\kappa$ 를 뜻하며, 1960년대 카이슬러와 타르스키에 의해 모델 이론 연구에서 도입되었다.

임계점 (집합론)
정의
한국어 명칭	임계점 (집합론)
영어 명칭	Critical point (set theory)
설명
정의	함수 또는 사상의 특정한 점으로, 그 점에서 함수의 미분 또는 도함수가 특정 조건을 만족시키는 점을 의미한다. 예를 들어, 미분 가능한 함수의 임계점은 그 점에서 도함수가 0이 되는 점이다.
중요성	함수의 극대값, 극소값, 안장점 등을 찾는 데 중요한 역할을 한다.
활용 분야	최적화 문제, 미분 방정식, 동역학계 등 다양한 분야에서 활용된다.
수학적 정의 (미분 가능한 함수)
정의	실수 값 함수 f: R → R의 임계점은 f'(x) = 0을 만족하는 정의역 내의 모든 값 x이다. 여기서 f'는 f의 도함수를 나타낸다.
일반화	다변수 함수 f: Rⁿ → R의 경우, 임계점은 f의 모든 편도함수가 동시에 0이 되는 점이다. 즉, ∇f(x) = 0이다. 여기서 ∇f는 f의 기울기를 나타낸다.
특성
극값	함수의 극대값 또는 극소값은 항상 임계점에서 발생한다.
안장점	일부 임계점은 극값이 아닌 안장점이 될 수 있다. 예를 들어, f(x, y) = x² - y²의 경우 (0, 0)은 안장점이다.
예시
예시 1	f(x) = x³ - 3x의 임계점을 찾으려면 f'(x) = 3x² - 3 = 0을 풀어야 한다. 따라서 x = ±1이 임계점이다.
예시 2	f(x, y) = x² + y²의 임계점을 찾으려면 ∂f/∂x = 2x = 0 및 ∂f/∂y = 2y = 0을 풀어야 한다. 따라서 (0, 0)이 임계점이다.
참고 문헌

2. 정의

집합론의 언어 $\mathcal L_{\in}$ 에서, 추이적 집합 $X$ , $Y$ 사이의 기본 매장 $j\colon X\to Y$ 를 생각하자. $j$ 가 $N$ 에 속한 집합만을 사용한 $\mathcal L_\in$ 공식으로 정의된다고 가정한다.

이 경우, $j$ 는 순서수를 순서수로 대응시키며, 순증가 함수이고, $\omega$ 는 그 고정점이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $j(X\cap\operatorname{Ord})\subseteq Y\cap\operatorname{Ord}$

: $\forall\alpha,\beta\in X\colon\alpha<\beta\implies j(\alpha)$

: $j(\omega)=\omega$

$j$ 의 '''임계점'''은 $j$ 의 고정점인 최소의 순서수이다.

: $\operatorname{crit}(j)=\min\{\alpha\in X\cap\operatorname{Ord}\colon j(\alpha)=\alpha\}$

$X$ 가 폰 노이만 전체 $V$ 라면, 기본 매장 $j\colon V\to Y$ 의 임계점은 항상 가측 기수이다. 가측 기수에 정의하는 극대 필터는 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\{A\colon A\subseteq\operatorname{crit}(j)\in j(A)\}$

3. 성질

기본 매장의 임계점 개념을 사용하여, 여러 큰 기수들을 정의할 수 있다. 0-거대 기수는 가측 기수와 동치이다.

다음 표는 기본 매장 $j\colon V\to M$ 의 성질을 이용하여 정의되는 큰 기수들의 예이다. 여기서 $\alpha$ 는 임의의 순서수, $n$ 은 임의의 유한 순서수를 뜻하며, $j^n=\overbrace{j\circ j\circ\cdots\circ j}^n$ 이다.

큰 기수 개념	기본 매장 $j\colon V\to M$ 의 성질
가측 기수	(임의)
$n$ -초강기수(superstrong cardinal^영어)	$V_{j^n(\kappa)}\subseteq M$
$n$ -거대 기수( $n$ -huge cardinal^영어)	$^{j^n(\operatorname{crit}(j))}M\subseteq M$

이보다 약간 복잡한 형태로, 다음과 같은 꼴의 큰 기수들을 정의할 수도 있다.

: $\kappa$ 가 ~기수라는 것은, 임의의 $x\in X_\kappa$ 에 대하여, 성질 $P_x$ 를 만족시키는 추이적 모형 $M$ 및 기본 매장 $j\colon V\to M$ 이 존재함을 뜻한다.

큰 기수 개념	$X_\kappa$	기본 매장 $j\colon V\to M$ 의 성질
초콤팩트 기수	순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$	$j(\kappa)>\alpha$ , $^\alpha M\subseteq M$
강기수(strong cardinal^영어)	순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$	$V_\alpha\subseteq M$
우딘 기수(Woodin cardinal^영어)	함수 $f\colon\kappa\to\kappa$	$\operatorname{crit}j<\kappa$ , $V_{j(f)(\kappa)}\subseteq M$ , $\{f(\alpha)\colon \alpha<\kappa\}\subseteq\kappa$

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