순서수

3. 순서수의 크기 관계

두 순서수 $\backslash alpha$와 $\backslash beta$가 주어졌을 때, 이 둘 사이의 크기를 비교하는 기본적인 방법은 집합론에서의 포함 관계($\backslash in$)를 이용하는 것이다. 임의의 두 순서수 $\backslash alpha,\; \backslash beta$에 대해서는 다음 세 가지 관계 중 정확히 하나만 성립한다.^[7]

• $\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash beta$
• $\backslash beta\; \backslash in\; \backslash alpha$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash beta$

3. 1. 크기 관계 정의

• $\backslash alpha$가 $\backslash beta$의 원소이다 ($\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash beta$).
• $\backslash beta$가 $\backslash alpha$의 원소이다 ($\backslash beta\; \backslash in\; \backslash alpha$).
• $\backslash alpha$와 $\backslash beta$는 같다 ($\backslash alpha\; =\; \backslash beta$).

• 정렬성: 순서수로 이루어진 공집합이 아닌 모든 집합에는 반드시 가장 작은 원소(최소 원소)가 존재한다. 이는 자연수 집합이 정렬 원리를 만족한다는 사실을 초한 귀납법적으로 확장한 것이다.

• '''유한 집합 순서수''': 자연수 0, 1, 2, ... 와 같이 집합론적으로 정의된 자연수들이다. 이들은 가장 작은 초한 순서수인 $\backslash omega$보다 작은 순서수들이다. 유한 순서수 사이의 크기 관계 <는 우리가 아는 자연수의 크기 관계와 동일하다.
• '''초한 순서수''': $\backslash omega$ 이상의 순서수들이다. $\backslash omega$는 모든 자연수의 집합 {0, 1, 2, ...}으로 정의되며, 가장 작은 초한 순서수이다. $\backslash omega$ 다음에는 $\backslash omega+1$, $\backslash omega+2$, ..., $\backslash omega+\backslash omega\; =\; \backslash omega\; \backslash cdot\; 2$, ..., $\backslash omega^2$, ... 와 같은 더 큰 초한 순서수들이 계속 이어진다.

3. 2. 순서수의 특징

• 집합 포함 관계 $\backslash subseteq$에 대해 전순서 집합을 이룬다. 즉, 임의의 원소 $a,\; b$에 대해 $a\; \backslash in\; b$이거나 $b\; \backslash in\; a$이거나 $a\; =\; b$이다.
• 집합 포함 관계 $\backslash subseteq$에 대해 정렬 전순서 집합을 이룬다.^[23]
• 모든 원소가 추이적 집합이다.

• $\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash beta$
• $\backslash alpha\; \backslash subsetneq\; \backslash beta$

• 원소의 성질: 순서수의 모든 원소는 그 자체로 순서수이다.
• 추이성: $\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash beta$이고 $\backslash beta\; \backslash in\; \backslash gamma$이면 $\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash gamma$이다. (즉, 이고 이면 이다.)
• 삼분법: 임의의 두 순서수 $\backslash alpha,\; \backslash beta$에 대해, , $\backslash alpha\; =\; \backslash beta$, 중 정확히 하나만 성립한다.
• 정렬성: 순서수로 이루어진 공집합이 아닌 모든 집합은 가장 작은 원소(최소 원소)를 갖는다. 이는 초한 귀납법을 순서수에 적용할 수 있는 근거가 된다.
• 상한: 순서수들로 이루어진 집합 $O$가 주어졌을 때, 그 원소들의 합집합 $\backslash bigcup\_\{\backslash alpha\; \backslash in\; O\}\; \backslash alpha$ 역시 순서수이며, 이는 집합 $O$의 최소 상계(supremum)가 된다. 이를 $\backslash sup(O)$로 표기하기도 한다.

4. 후속 순서수와 극한 순서수

모든 순서수는 '''따름 순서수'''(successor ordinal^영어) 또는 '''극한 순서수'''(limit ordinal^영어) 두 종류로 나눌 수 있다. (문헌에 따라 0을 극한 순서수에 포함시키지 않는 경우도 있다.) 이러한 구분은 초한 귀납법과 같은 증명이나 정의에서 중요한 역할을 한다.

어떤 순서수 $\backslash alpha$가 다른 순서수 $\backslash beta$에 대해 $\backslash alpha\; =\; \backslash beta\; +\; 1$의 형태로 표현될 수 있을 때, $\backslash alpha$를 '''따름 순서수'''라고 부른다. 즉, 바로 이전 순서수가 존재하는 경우이다. 예를 들어, $1\; (=0+1)$, $2\; (=1+1)$, $\backslash omega+1$, $\backslash omega+2$ 등이 따름 순서수에 해당한다.

반면, $0$이거나 $\backslash beta+1$ 형태로 표현될 수 없는 0이 아닌 순서수를 '''극한 순서수'''라고 한다. 극한 순서수는 자신보다 작은 순서수들의 극한 또는 상한으로 생각할 수 있으며, 폰 노이만 정의에 따르면 최대 원소를 갖지 않는다. 가장 작은 극한 순서수는 $0$이며, 그 다음으로는 모든 자연수의 집합에 해당하는 $\backslash omega$가 있다.

각 순서수에 대한 더 자세한 정의와 성질은 아래 하위 섹션에서 설명한다.

4. 1. 후속 순서수

4. 2. 극한 순서수

• $\backslash alpha=\backslash beta+1$를 만족하는 순서수 $\backslash beta$가 존재하지 않는다. (즉, 바로 이전 순서수가 없다.)
• $\backslash alpha\; >\; 0$ 이고, $\backslash alpha$보다 작은 모든 순서수들의 상한(supremum)이 $\backslash alpha$ 자신과 같다. 즉, 이다. (여기서 $\backslash sup\backslash varnothing=0$으로 정의한다.)
• 폰 노이만 정의에서, 집합 $\backslash alpha$는 최대 원소를 갖지 않는다.
• $\backslash alpha\; =\; \backslash omega\backslash beta$인 순서수 $\backslash beta\; >\; 0$가 존재한다. (단, $\backslash alpha=0$인 경우도 극한 순서수로 본다.)
• 순서 위상에서, $\backslash alpha\; \backslash ne\; 0$이면 $\backslash alpha$는 자신보다 작은 순서수들의 극한점이다. 즉, $\backslash alpha$의 임의의 근방에는 $\backslash alpha$보다 작은 순서수가 무한히 많이 포함된다.

5. 연산

순서수들에 대해 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 연산을 정의하는 것이 가능하다. 이러한 연산은 연산 결과에 해당하는 정렬 전순서 집합을 직접 구성하는 방법 또는 초한 귀납법을 이용하여 정의할 수 있다.

유한 순서수의 경우, 순서수로서의 연산은 자연수나 기수로서의 연산과 동일하다. 예를 들어 유한 순서수 2와 3을 더하면 순서수 5가 되는데, 이는 자연수 2 더하기 3이 5인 것과 같다.

하지만 무한 순서수의 연산은 기수의 연산과는 상당히 다른 특징을 보인다. 예를 들어, 순서수의 덧셈과 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않는 경우가 많다. 자세한 내용은 각 연산에 대한 하위 섹션에서 다룬다.

칸토어 정규형은 순서수를 표현하는 표준적인 방법 중 하나로, 각 순서수를 ω의 순서수 거듭제곱들의 유한한 합으로 고유하게 나타낸다.

순서수는 초현실수의 일부로 볼 수도 있으며, 초현실수에서 정의되는 "자연스러운" 산술 연산을 적용할 수도 있다. 이 연산은 교환 법칙을 만족하지만, 순서수의 일반적인 연산과는 다르다. 또한, 님버로서의 게임 이론적 관점에서 순서수를 다룰 때는 님버 산술 연산을 사용하기도 한다.

5. 1. 덧셈

• 기본 단계: $\backslash alpha\; +\; 0\; =\; \backslash alpha$
• 귀납 단계 (후속 순서수): $\backslash alpha\; +\; (\backslash beta\; +1\; )\; =\; (\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; )\; +\; 1$ (여기서 $\backslash beta+1$은 $\backslash beta$의 바로 다음 순서수이다.)
• 귀납 단계 (극한 순서수): 만약 $\backslash beta$가 0이 아닌 극한 순서수라면, 로 정의한다. 즉, $\backslash beta$보다 작은 모든 순서수 $\backslash gamma$에 대해 $\backslash alpha+\backslash gamma$들의 합집합(상한)으로 정의한다.

• 결합 법칙 성립: 임의의 순서수 $\backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma$에 대해 $(\backslash alpha+\backslash beta)+\backslash gamma=\backslash alpha+(\backslash beta+\backslash gamma)$가 성립한다.
• 항등원 존재: 순서수 0은 덧셈의 항등원이다. 즉, 임의의 순서수 $\backslash alpha$에 대해 $\backslash alpha+0=0+\backslash alpha=\backslash alpha$이다.
• 모노이드 구조: 순서수 전체와 덧셈 연산은 결합 법칙이 성립하고 항등원이 존재하므로 모노이드와 유사한 구조를 이룬다. (단, 순서수 전체는 집합이 아니므로 엄밀한 의미의 모노이드는 아니다.)
• 교환 법칙 불성립: 일반적인 수의 덧셈과 달리, 순서수의 덧셈은 교환 법칙을 만족하지 않는다. 즉, $\backslash alpha+\backslash beta$와 $\backslash beta+\backslash alpha$가 일반적으로 같지 않다. 예를 들어, 가장 작은 무한 순서수인 $\backslash omega$에 대해 $1+\backslash omega=\backslash omega$이지만, $\backslash omega+1$은 $\backslash omega$보다 큰 순서수이므로 $1+\backslash omega\; \backslash ne\; \backslash omega+1$이다.

• 유한 순서수(즉, 자연수)끼리의 덧셈은 일반적인 자연수의 덧셈과 결과가 같다.
• $\backslash alpha\; +\; S(\backslash beta)\; =\; S(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)$ (여기서 $S(\backslash beta)$는 $\backslash beta$의 후속 순서수, 즉 $\backslash beta+1$을 의미한다.)
• $\backslash gamma$가 극한 순서수일 때, 이다.
• 좌측 단조성: . 즉, 왼쪽에 같은 수를 더하는 것은 순서 관계를 보존한다.
• 우측 약한 단조성: $\backslash beta\; \backslash le\; \backslash gamma\; \backslash implies\; \backslash beta\; +\; \backslash alpha\; \backslash le\; \backslash gamma\; +\; \backslash alpha$. 등호가 성립할 수도 있으므로 강한 단조성은 아니다. (예: 이지만 $1\; +\; \backslash omega\; =\; \backslash omega$ 이고 $2\; +\; \backslash omega\; =\; \backslash omega$ 이므로 $1+\backslash omega\; \backslash le\; 2+\backslash omega$ 이다.)
• 좌측 소거 법칙: $\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; =\; \backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; \backslash implies\; \backslash beta\; =\; \backslash gamma$.
• 뺄셈의 존재: $\backslash alpha\; \backslash le\; \backslash beta$ 이면, $\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta$를 만족하는 순서수 $\backslash gamma$가 유일하게 존재한다.

5. 2. 곱셈

• $\backslash alpha\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$
• $\backslash alpha\; \backslash cdot\; (\backslash beta\; +\; 1)\; =\; (\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash beta)\; +\; \backslash alpha$ (여기서 $\backslash beta+1$은 $\backslash beta$의 바로 다음 순서수이다.)
• $\backslash beta$가 극한 순서수일 때, (즉, 인 모든 $\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash gamma$들의 상한)

• 유한 순서수의 곱셈은 자연수의 곱셈과 일치한다.
• 결합 법칙: $(\backslash alpha\; \backslash beta)\; \backslash gamma\; =\; \backslash alpha\; (\backslash beta\; \backslash gamma)$
• 항등원 $1$의 존재: $1\; \backslash alpha\; =\; \backslash alpha\; 1\; =\; \backslash alpha$
• $0$과의 곱: $\backslash alpha\; 0\; =\; 0\; \backslash alpha\; =\; 0$
• 좌측 분배 법칙: $\backslash alpha\; (\backslash beta\; +\; \backslash gamma)\; =\; \backslash alpha\; \backslash beta\; +\; \backslash alpha\; \backslash gamma$
• 영인자의 부재: $\backslash alpha\; \backslash beta\; =\; 0$ 이면 $\backslash alpha\; =\; 0$ 또는 $\backslash beta\; =\; 0$ 이다.

5. 3. 거듭제곱

• ''α''⁰ = 1
• ''α''^''β''+1 = ''α''^''β'' ⋅ ''α'' (여기서 곱셈은 순서수의 곱셈이다.)
• ''β''가 0이 아닌 극한 순서수일 경우, ''α''^''β'' = ⋃_{''γ''<''β''}''α''^''γ'' (즉, ''β''보다 작은 모든 순서수 ''γ''에 대한 ''α''^''γ''들의 상한이다.)

• 0^''α''는 ''α'' > 0일 때 0이고, ''α'' = 0일 때 1이다. (즉, 0⁰ = 1)
• ''α''⁰ = 1
• ''α''^{''β''+''γ''} = ''α''^''β'' ⋅ ''α''^''γ'' (지수법칙과 유사)
• ''α''^{''β''⋅''γ''} = (''α''^''β'')^''γ'' (지수법칙과 유사)
• 1 < ''α''일 때, ''β'' < ''γ'' 라는 조건과 ''α''^''β'' < ''α''^''γ'' 라는 조건은 서로 동치이다. (밑이 1보다 크면 거듭제곱은 증가 함수처럼 행동한다.)
• ''β'' ≤ ''γ'' 이면 ''β''^''α'' ≤ ''γ''^''α'' 이다.

5. 4. 순서 보존

• 왼쪽 덧셈에 대한 단조성 및 소거 법칙:
• * 인 것과 인 것은 동치이다.
• * $\backslash beta=\backslash gamma$인 것과 $\backslash alpha+\backslash beta=\backslash alpha+\backslash gamma$인 것은 동치이다. 즉, 왼쪽 덧셈 소거 법칙이 성립한다.
• 오른쪽 덧셈에 대한 약한 단조성:
• * 이면 $\backslash alpha+\backslash gamma\backslash le\backslash beta+\backslash gamma$이다. (단, $\backslash alpha+\backslash gamma=\backslash beta+\backslash gamma$일 수도 있다. 예를 들어 이지만 $1+\backslash omega\; =\; 2+\backslash omega\; =\; \backslash omega$이다.)
• * 이면 이다.

• 왼쪽 곱셈에 대한 단조성 및 소거 법칙 ($\backslash alpha>0$일 때):
• * $\backslash alpha>0$일 때, 인 것과 인 것은 동치이다.
• * $\backslash alpha>0$일 때, $\backslash beta=\backslash gamma$인 것과 $\backslash alpha\backslash beta=\backslash alpha\backslash gamma$인 것은 동치이다. 즉, 0이 아닌 순서수에 대해서는 왼쪽 곱셈 소거 법칙이 성립한다.
• 오른쪽 곱셈에 대한 약한 단조성:
• * 이면 $\backslash alpha\backslash gamma\backslash le\backslash beta\backslash gamma$이다. (단, $\backslash alpha\backslash gamma=\backslash beta\backslash gamma$일 수도 있다. 예를 들어 이지만 $1\backslash omega\; =\; 2\backslash omega\; =\; \backslash omega$이다.)
• * 이면 이다.

6. 성질

자연수는 보통 집합의 원소 개수, 즉 '크기'를 나타내거나 순서대로 나열된 것들 중 특정 원소의 '위치'를 나타내는 데 사용된다. 유한한 개수의 원소를 가진 집합에서는 이 두 가지 의미가 사실상 같지만, 무한한 원소를 가진 집합을 다룰 때는 '크기'를 나타내는 기수와 '위치' 또는 '순서'를 나타내는 순서수를 구분해야 한다. 하나의 무한 집합은 단 하나의 크기(기수)를 갖지만, 그 원소들을 배열하는 방식, 즉 정렬 순서는 여러 가지가 있을 수 있기 때문이다.

순서수는 특별한 종류의 순서인 정렬 순서와 밀접하게 연관되어 있다. 정렬 순서 집합은 임의의 두 원소를 비교할 수 있고(<), 비어있지 않은 어떤 부분집합이라도 반드시 가장 작은 원소를 갖는다는 특징이 있다. 이는 무한히 계속 작아지는 원소들의 나열이 존재하지 않음을 의미한다. 순서수는 이러한 정렬 순서 집합의 원소들에 순서를 매기는 데 사용될 수 있으며(가장 작은 원소는 0, 다음은 1, 2, ...), 집합 전체의 '길이' 또는 순서 유형을 나타내기도 한다.

일반적으로 순서수는 자신보다 작은 모든 순서수들의 집합으로 정의된다. 예를 들어, 순서수 42는 0부터 41까지의 모든 순서수(즉, 자연수)를 원소로 갖는 집합 {0, 1, 2, ..., 41}과 같다. 이러한 정의는 무한 순서수의 존재를 자연스럽게 이끌어낸다. 가장 작은 무한 순서수는 $\backslash omega$(오메가)라고 불리며, 이는 모든 자연수의 집합 {0, 1, 2, ...}과 같다.

순서수는 자연수 0, 1, 2, 3, ... 에서 시작하여 무한히 계속된다. 모든 자연수 다음에는 첫 번째 무한 순서수인 $\backslash omega$가 오고, 그 다음에는 $\backslash omega+1$, $\backslash omega+2$, ... 와 같이 계속된다. 이들을 모두 모은 다음에는 $\backslash omega\backslash cdot\; 2$(즉, $\backslash omega+\backslash omega$)가 오고, 다시 $\backslash omega\backslash cdot\; 2+1$, $\backslash omega\backslash cdot\; 2+2$, ... 가 이어진다. 이런 식으로 $\backslash omega\backslash cdot\; 3$, $\backslash omega\backslash cdot\; 4$, ... 를 지나 $\backslash omega\backslash cdot\; m+n$ 형태의 모든 순서수를 모으면, 그 다음 순서수인 $\backslash omega^2$에 도달한다. 이 과정은 계속되어 $\backslash omega^3$, $\backslash omega^\backslash omega$, $\backslash omega^\{\backslash omega^\backslash omega\}$, 그리고 $\backslash varepsilon\_0$ (엡실론 영) 와 같은 더 큰 순서수들을 만들어낸다. 셀 수 있는(가산) 모든 순서수 다음에는 가장 작은 셀 수 없는(비가산) 순서수인 $\backslash omega\_1$이 온다.^[5]

모든 정렬된 집합은 정확히 하나의 순서수와 순서 동형 관계에 있다. 즉, 집합의 원소들을 해당 순서수보다 작은 순서수들을 이용하여 순서대로 번호를 매길 수 있다는 의미이다. 이는 순서수들의 집합이나 모임(class)에도 적용된다. 예를 들어, 극한 순서수(0이 아니고 바로 앞 순서수가 없는 순서수, 예: $\backslash omega$, $\backslash omega\backslash cdot\; 2$)들의 모임에서 $\backslash gamma$번째 극한 순서수는 $\backslash omega\backslash cdot\backslash gamma$로 표현할 수 있다. 비슷하게, 덧셈에 대해 분해 불가능한 순서수(두 개의 더 작은 순서수의 합으로 표현될 수 없는 0이 아닌 순서수)들의 모임에서 $\backslash gamma$번째 순서수는 $\backslash omega^\backslash gamma$로 표현된다.

모든 순서수는 그 크기에 해당하는 기수를 가진다. 예를 들어, 유한 순서수(자연수) $n$의 기수는 $n$이다. 무한 순서수의 경우, 여러 다른 순서수가 같은 기수를 가질 수 있다. 예를 들어 $\backslash omega$, $\backslash omega+1$, $\backslash omega^2$, $\backslash varepsilon\_0$ 등은 모두 셀 수 있는 무한 집합이므로 같은 기수 $\backslash aleph\_0$(알레프 영)을 가진다. 각 기수에 대해, 그 기수를 가지는 가장 작은 순서수를 초기 순서수라고 부른다. $\backslash aleph\_0$에 해당하는 초기 순서수는 $\backslash omega$(또는 $\backslash omega\_0$)이고, 셀 수 없는 가장 작은 기수 $\backslash aleph\_1$에 해당하는 초기 순서수는 $\backslash omega\_1$이다. 일반적으로 $\backslash alpha$번째 무한 초기 순서수는 $\backslash omega\_\backslash alpha$로 표기하고, 그 기수는 $\backslash aleph\_\backslash alpha$로 표기한다. 선택 공리를 가정하면 모든 집합은 정렬 가능하며, 따라서 모든 기수는 초기 순서수를 가진다.

순서수 $\backslash alpha$의 공종성이란, $\backslash alpha$보다 작은 순서수들의 집합 중에서 $\backslash alpha$에 점점 가까워지는(즉, $\backslash alpha$를 극한으로 갖는) 가장 작은 길이의 순서열을 만들 수 있는 순서수를 의미한다. 예를 들어, $\backslash omega$의 공종성은 $\backslash omega$이고 (0, 1, 2, ...), $\backslash omega^2$의 공종성도 $\backslash omega$이다 ($\backslash omega\backslash cdot\; 0,\; \backslash omega\backslash cdot\; 1,\; \backslash omega\backslash cdot\; 2,\; ...$). 자신의 공종성과 같은 순서수를 정규 순서수라고 하며, 모든 정규 순서수는 초기 순서수이다. 예를 들어 0, 1, $\backslash omega$, $\backslash omega\_1$, $\backslash omega\_2$는 정규 순서수이지만, 2, 3, $\backslash omega\_\backslash omega$는 정규 순서수가 아니다.

6. 1. 기본적인 성질

• $\backslash alpha\backslash in\backslash beta$
• $\backslash alpha\backslash subsetneq\backslash beta$

• 합집합: 순서수들의 집합 $S\backslash subset\backslash operatorname\{Ord\}$에 대하여, 그 합집합 $\backslash textstyle\backslash bigcup\; S=\backslash sup\; S$ 역시 순서수이며, 이는 집합 $S$의 상한이 된다.
• 교집합: 공집합이 아닌 순서수들의 모임 $\backslash varnothing\backslash ne\; C\backslash subset\backslash operatorname\{Ord\}$에 대하여, 그 교집합 $\backslash textstyle\backslash bigcap\; C=\backslash min\; C$ 역시 순서수이며, 이는 모임 $C$의 최소 원소이다.

7. 종류

순서수는 크게 유한 순서수와 무한 순서수로 나눌 수 있다. 자연수 (0 포함)는 유한 순서수에 해당하며, 유한 집합에서는 집합의 크기와 순서를 나타내는 개념이 일치한다.

그러나 무한 집합을 다룰 때는 크기를 나타내는 기수와 위치(순서)를 나타내는 순서수를 구별해야 한다. 가장 작은 무한 순서수는 $\backslash omega$(오메가)로 표기하며, 이는 모든 자연수보다 큰 첫 번째 순서수이다. $\backslash omega$는 자연수 전체의 집합 $\backslash \{0,\; 1,\; 2,\; \backslash dots\backslash \}$의 순서형으로 생각할 수 있다.

$\backslash omega$ 다음에는 $\backslash omega+1$, $\backslash omega+2$, $\backslash omega+3$, ... 와 같은 순서수들이 차례로 이어지고, 이 과정을 계속하면 $\backslash omega\backslash cdot2$ ($\backslash omega+\backslash omega$), $\backslash omega\backslash cdot2+1$, ..., $\backslash omega\backslash cdot3$, ..., $\backslash omega^2$, $\backslash omega^3$, ..., $\backslash omega^\backslash omega$, ..., ε₀ 와 같이 점점 더 큰 무한 순서수들을 구성할 수 있다. 이렇게 만들어진 $\backslash omega$ 이상의 순서수들 중 자연수 집합과 일대일 대응이 가능한, 즉 셀 수 있는 순서수들을 '''가산 무한 순서수'''라고 한다.

모든 가산 순서수들의 집합 다음에는 첫 번째 비가산 순서수인 ω₁ (또는 $\backslash Omega$)이 온다.^[5] 이는 셀 수 없는 무한 집합의 순서형을 나타내는 순서수의 시작점이며, '''비가산 무한 순서수'''의 예시이다. 순서수는 이처럼 유한, 가산 무한, 비가산 무한 등으로 분류될 수 있다.

7. 1. 유한 순서수

• 이다. ($\backslash omega$는 가장 작은 무한 순서수를 의미한다.)
• $\backslash alpha$는 (폰 노이만 정의에 따라) 집합으로서 유한 집합이다. 즉, 이다.
• $(\backslash alpha,\backslash le)$의 역순서 $(\backslash alpha,\backslash ge)$는 정렬 전순서이다. 즉, $\backslash alpha$에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 최대 원소를 갖는다.
• $\backslash alpha$는 순서 위상을 부여하였을 때, 집적점을 갖지 않는다.

7. 2. 가산 무한 순서수

7. 3. 비가산 무한 순서수

7. 4. 칸토어 표준형

7. 5. 짝순서수와 홀순서수

• $\backslash alpha$가 극한 순서수이거나, 만약 $\backslash alpha=\backslash beta+1$이라면 $\backslash beta$는 짝순서수가 아니다. (이는 재귀적인 정의이다.)
• 만약 $\backslash alpha=\backslash lambda+n$이며, $\backslash lambda$가 극한 순서수, $n$이 유한 순서수라면, $n$은 짝수이다.^[24]
• $\backslash alpha=2\backslash beta$인 순서수 $\backslash beta$가 존재한다.
• $\backslash alpha=2\backslash beta+1$인 순서수 $\backslash beta$가 존재하지 않는다.

8. 응용

순서수의 개념은 초한 귀납법을 사용할 때 필요하다. 이를 사용하여 무한한 구조를 귀납적으로 손쉽게 정의할 수 있다. 예를 들어, 측도론에서는 보렐 집합들을 어떤 기저로부터 생성되는 '생일'에 대응하는 순서수로 분류한다.

증명 이론에서는 주어진 수학 이론의 강력한 정도를 순서수로 측정하며, 이를 '''순서수 분석'''이라고 한다. 순서수가 더 큰 이론은 순서수가 더 작은 이론의 무모순성을 증명할 수 있다. 예를 들어, ε₀는 페아노 공리계의 강도를 측정하는 데 사용된다.

또한 순서수는 수열 개념을 일반화하는 데 사용된다. 만약 α가 임의의 서수이고 ''X''가 집합이라면, ''X''의 원소들의 α-인덱스 순서는 α에서 ''X''로의 함수이다. 이 개념, 즉 '''초한 수열''' (α가 무한대인 경우) 또는 ''서수-인덱스 수열''은 수열 개념의 일반화이다. 일반적인 수열은 α = ω인 경우에 해당하며, 유한한 α는 튜플, 즉 문자열에 해당한다.

초한 귀납법은 모든 잘 정렬 집합에서 성립하지만, 서수와 관련하여 매우 중요하다. 주어진 서수 α보다 작은 서수들의 집합에서 α로 속성을 전달하는 모든 속성은 모든 서수에 대해 참이라는 원리이다. 즉, 모든 β < α에 대해 ''P''(β)가 참일 때마다 ''P''(α)가 참이면, ''모든'' α에 대해 ''P''(α)가 참이다. 이를 이용해 모든 서수 α에 대한 속성 ''P''를 증명할 때, 모든 더 작은 β < α에 대해 이미 알려져 있다고 가정하고 증명을 진행할 수 있다.

초한 귀납법은 증명뿐만 아니라 정의에도 사용될 수 있다. 이러한 정의는 일반적으로 초한 재귀에 의해 이루어진다고 하며, 결과가 잘 정의되었음을 증명하는 데 초한 귀납법을 사용한다. 순서수에서 정의될 함수 ''F''를 정의할 때, 특정되지 않은 순서수 α에 대해 ''F''(α)를 정의하면서 모든 β < α에 대해 ''F''(β)가 이미 정의되었다고 가정하고, 이 ''F''(β)들을 사용하여 ''F''(α)를 정의하는 방식이다.

큰 가산 서수 개념 또한 중요한 응용 분야이다. 예를 들어 처치-클린 서수, ω₁^CK는 어떤 방법으로도 계산 가능 함수로 표현될 수 없는 가장 작은 서수이다. ω₁^CK보다 훨씬 큰 서수들이 정의될 수 있는데, 이는 특정 형식 체계의 "증명 이론적 강도"를 측정하는 데 사용된다(앞서 언급한 ε₀와 페아노 공리계의 관계처럼). 가산 허용 서수와 같은 큰 가산 서수들은 처치-클린 서수보다 위에 정의될 수도 있으며, 이는 논리의 다양한 부분에서 연구 대상이 된다.

9. 역사

게오르크 칸토어는 1872년부터 실수의 집합 ''P''에 대해 극한점의 집합인 유도 집합 ''P''′를 반복적으로 취하는 연구를 진행했다. 그는 유도 집합 연산을 유한 횟수 ''n''번 적용하여 ''P''^(''n'')을 얻고, 나아가 이 과정이 무한히 계속될 수 있음을 인지하여 1880년에는 모든 유한한 ''n''에 대한 교집합으로 ''P''^(∞)를 정의했다. 칸토어는 이 과정을 초월적으로 확장하여 ''P''^(∞+1), ''P''^(∞+2), ..., ''P''^(2∞), ..., ''P''^(∞2) 등과 같은 집합들을 고려했다.^[9]

이러한 무한한 과정을 체계적으로 다루기 위해 칸토어는 1883년에 순서수 개념을 도입했다.^[25] 그는 무한 인덱스를 나타내는 기호 ∞를 첫 번째 초월 서수인 ''ω''로 대체하고, 유한 서수(자연수)의 집합을 '제1 수 클래스', 가산 무한 서수의 집합을 '제2 수 클래스' 등으로 분류하며 서수 체계를 구축했다. 칸토어의 초기 아이디어는 순서수를 정렬 전순서 집합들의 순서 동형 관계에 대한 동치류로 정의하는 것이었다. 즉, 동일한 '순서 유형'(order type)을 갖는 모든 정렬 전순서 집합들의 모임으로 순서수를 이해했다.

그러나 이러한 정의는 러셀 등 후대의 수학자들에 의해 문제점이 지적되었다. 특정 순서수에 해당하는 정렬 전순서 집합들의 모임은 너무 커서 현대 집합론, 특히 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서는 집합으로 간주될 수 없는 고유 모임(proper class)이 되기 때문이다. 이는 부랄리-포르티 역설과 같은 논리적 모순을 야기할 수 있다.

이러한 집합론적 문제를 해결하기 위해 존 폰 노이만은 1923년에 순서수에 대한 새로운 정의를 제시했다.^[22] 폰 노이만은 각 순서수를 그보다 작은 모든 순서수들의 집합으로 정의했다. 예를 들어, 순서수 0은 공집합 { } 즉, ∅이고, 1은 {0} = {∅}, 2는 {0, 1} = {∅, {∅}}, 3은 {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 와 같이 정의된다. 가장 작은 무한 순서수 ''ω''는 모든 자연수의 집합 {0, 1, 2, ...}으로 정의된다. 이 정의에 따르면, 순서수 ''α''는 정확히 ''α''보다 작은 모든 순서수 ''β''들의 잘 정렬된 집합이다.

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또한, 순서수 ''α''와 ''β''에 대해, ''α''가 ''β''의 원소인 것(''α'' ∈ ''β'')과 ''α''가 ''β''의 진부분 집합인 것(''α'' ⊂ ''β'')이 동치가 된다. 이 폰 노이만 정의는 집합론적인 모순을 피하면서 순서수를 다룰 수 있게 해주었으며, 오늘날 표준적인 정의로 사용되고 있다.^[23]

참조

_[1] 웹사이트 Ordinal Number - Examples and Definition of Ordinal Number https://literarydevi[...] 2017-05-21
_[2] 서적 Ordinal Numbers https://books.google[...] LernerClassroom 2007-09-01
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_[4] 간행물 Towards a theory of mathematical research programmes. I
_[5] 웹사이트 Ordinal Number https://mathworld.wo[...] 2020-08-12
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_[22] 논문 Zur Einführung der trasfiniten Zahlen http://acta.fyx.hu/a[...] 2014-11-17
_[23] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer 2003
_[24] 서적 Ordered Sets Springer-Verlag
_[25] 서적 1883