입자법

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 초기 발전
- 2.2. 다양한 입자법의 등장
3. 주요 특징 및 장점
4. 한계점 및 과제
5. 종류
6. 응용 분야 및 소프트웨어
- 6.1. 상용 소프트웨어
- 6.2. 입자법을 포함하는 패키지
7. 수학적 정의
참조

1. 개요

입자법은 연속체 역학의 라그랑주법에 속하는 수치 기법으로, 입자를 이용하여 유체, 고체, 구조 등을 시뮬레이션한다. 1977년 평활 입자 수력학(SPH)이 처음 개발된 이후, 재생 핵 입자법(RKPM), 물질 점 방법(MPM) 등 다양한 종류가 등장했다. 입자법은 질량 보존, 수면 취급 용이성, 계산 격자 불필요 등의 장점을 가지며, 유체, 분체, 구조 해석 등 다양한 분야에 응용된다. 하지만 공간 분해능 조정의 어려움, 난류 모델 부족, 경계 조건 처리의 까다로움, 비물리적 거동 등의 한계점도 존재한다. 입자법의 수학적 정의는 입자법 알고리즘, 입자법 인스턴스, 상태 전이 함수로 구성된다.

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입자법
개요
유형	수치해석 방법
분야	과학 컴퓨팅
특징	연속체를 이산적인 입자로 표현하여 계산
활용 분야	유체 역학 고체 역학 열전달 전자기학
상세 정보
기본 아이디어	연속체를 이산적인 입자 집합으로 근사
장점	복잡한 형상 및 경계 조건 처리 용이 대변형 문제에 효과적 병렬 계산에 적합
단점	정확도 및 수렴성 보장 어려움 계산 비용이 많이 들 수 있음 입자 간 상호 작용 모델링의 어려움
주요 기법
SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics)	유체 역학 문제에 널리 사용
DEM (Discrete Element Method)	입자 흐름 및 고체 역학 문제에 적용
MPM (Material Point Method)	대변형 및 파괴 문제에 적합
PS (Particle-in-Cell)	플라즈마 시뮬레이션 등에 사용
VOF (Volume of Fluid)	표면 추적에 사용
응용 분야
유체 역학	자유 표면 흐름 다상 유동 폭발 현상
고체 역학	파괴 역학 충돌 해석 성형 공정
열전달	열확산 상변화
전자기학	플라즈마 시뮬레이션 전자기파 해석
관련 기술
이산 요소법 (DEM)	입자 시스템의 역학적 거동 모델링
유한 요소법 (FEM)	연속체 역학 문제 해결에 사용
격자 볼츠만 방법 (LBM)	유체 흐름 시뮬레이션에 사용

2. 역사

입자법은 1977년 평활 입자 유체역학(SPH)의 소개와 함께 시작되었다.^[1] Libersky 외^[2]는 고체 역학에 SPH를 처음 적용했다. SPH의 주요 단점은 경계 근처의 부정확한 결과와 Swegle에 의해 처음 연구된 인장 불안정성이었다.^[3]

1990년대에는 SPH의 커널 추정을 수정하기 위한 근사로서 재생 핵 입자법(RKPM)^[4]이 등장했다. 이는 경계 근처, 불균일 이산화, 그리고 일반적으로 고차 정확도를 제공하기 위한 목적이었다.

2. 1. 초기 발전

평활 입자 수력학(SPH)은 1977년에 소개된 입자법의 초기 형태 중 하나이다.^[1] 1990년대에는 SPH의 단점을 보완하기 위한 재생 핵 입자법(RKPM)이 등장했다.^[4] RKPM은 경계 근처의 부정확한 결과, 불균일 이산화 등의 문제를 해결하고, 일반적으로 더 높은 정확도를 제공한다. 비슷한 시기에 물질 점 방법(MPM)도 개발되었다.^[5]

2. 2. 다양한 입자법의 등장

1990년대 이후, 여러 종류의 입자법들이 개발되었다.

소산 입자 역학(DPD) (1992)
재생 커널 입자법(RKPM) (1995)
이동 입자 반음함수(MPS)
입자-셀(PIC)
이동 입자 유한 요소법(MPFEM)
크래킹 입자법(CPM) (2004)
침강 입자법(IPM) (2006)

3. 주요 특징 및 장점

입자법은 라그랑주법을 따르기 때문에, 입자의 위치 변화가 대류에 해당하여 대류항을 계산할 필요가 없다. 이는 유한 체적법, 유한 요소법과 같은 오일러법에서 대류항 처리가 가장 복잡하고 어려운 부분이라는 점을 고려하면 큰 장점이다.^[1]

그 밖의 주요 장점은 다음과 같다.^[1]

질량이 보존된다.
수면 등의 자유 표면을 다루기 쉽다.
계산 격자를 만들 필요가 없다. 입자 집단으로 구성된 계산 공간은 접속 정보가 없으므로 격자보다 작성과 취급이 쉽다. 또한 격자 해법처럼 미세한 물방울이 사라지는 현상도 없다. 따라서 잔물결이나 물보라 등 유체 표면의 세부적인 움직임을 해석하기 쉽다.
구조 해석에서 변형되는 물체를 쉽게 다룰 수 있다.

컴퓨터 그래픽스(CG) 분야에서는 SPH법을 변형한 입자법이나 입자/격자 하이브리드 기법(예: FLIP, Hybrido)을 사용하기도 한다.^[1]

4. 한계점 및 과제

입자법은 유한 요소법이나 유한 체적법에 비해 역사가 짧아, 전용 해석 소프트웨어의 수가 매우 적다.^[1]

현실 세계에 매우 가까운 계산 모델^[2]로 해석을 수행하기 때문에 만능으로 보일 수 있지만, 기존의 방법과 비교했을 때 몇 가지 명확한 단점이 존재한다.^[3]

공간 분해능을 조정하는 기술이 일반적이지 않다. 격자 기법처럼 특정 영역에 계산점을 집중시킬 수 없다.^[4]

난류 모델을 비롯한 여러 물리 모델의 정비가 불충분하다. 공학적으로 적용할 수 있는 대상은 제한적이다.^[5]

유입/유출이나 대기 개방과 같은 경계 조건의 처리가 까다롭다.^[6]

입자계의 특성에 의존하는 비물리적 거동이 두드러진다.

입자법은 격자법에 비해 연구 분야로서 아직 발전 단계에 있다. 입자군의 안정성과 같은 근본적인 과제가 미해결 상태로 남아 있다(장력 불안정성 등).

5. 종류

입자법에는 다음과 같은 다양한 수치 기법들이 포함된다.

입자법 종류
기법	약어	연도
평활 입자 수력학	SPH	1977년
소산 입자 역학	DPD	1992년
재생 커널 입자법	RKPM	1995년
이동 입자 반음함수	MPS
입자-셀	PIC
이동 입자 유한 요소법	MPFEM
크래킹 입자법	CPM	2004년
침강 입자법	IPM	2006년
개별 요소법	DEM법
부드러운 입자 유체역학	SPH법
움직이는 입자 반음함법	MPS법

평활 입자 수력학(SPH)은 1977년에 소개된 입자법의 초기 형태 중 하나이다.^[1] Libersky 외^[2]는 고체 역학에 SPH를 처음 적용했다. SPH의 주요 단점은 경계 근처의 부정확한 결과와 Swegle에 의해 처음 연구된 인장 불안정성이다.^[3]

1990년대에는 SPH의 커널 추정을 수정하기 위한 근사로서, 경계 근처, 불균일 이산화, 그리고 일반적으로 고차 정확도를 제공하기 위해 재생 커널 입자법(RKPM)이 등장했다.^[4] 비슷한 시기에, 병렬적인 개발 과정에서 물질 점 방법이 개발되었다.^[5]

5. 1. 유체 해석

평활 입자 수력학(SPH)은 1977년에 소개된 입자법의 초기 형태 중 하나이다.^[1] 1990년대에는 소산 입자 역학(DPD) (1992년), 이동 입자 반음함수(MPS) 등 여러 종류의 입자법이 개발되었다.

입자법 종류
기법	연도
평활 입자 수력학 (SPH)	1977년
소산 입자 역학 (DPD)	1992년
이동 입자 반음함수 (MPS)	(연도 정보 없음)

5. 2. 고체/구조 해석

재생 커널 입자법(RKPM) (1995)^[4]
물질 점 방법(MPM)^[5]
이동 입자 유한 요소법(MPFEM)
크래킹 입자법(CPM) (2004)
침강 입자법(IPM) (2006)
개별 요소법(DEM)

5. 3. 기타

다음은 일반적으로 "입자법" 범주에 속하는 수치 기법들이다.

평활 입자 수력학(SPH) (1977)
소산 입자 역학(DPD) (1992)
재생 커널 입자법(RKPM) (1995)
이동 입자 반음함수(MPS)
입자-셀(PIC)
이동 입자 유한 요소법(MPFEM)
크래킹 입자법(CPM) (2004)
침강 입자법(IPM) (2006)
개별 요소법 (DEM법)
부드러운 입자 유체역학 (SPH법)
움직이는 입자 반음함법 (MPS법)

6. 응용 분야 및 소프트웨어

입자법은 유체, 분체, 구조 해석 등 다양한 분야에서 활용되고 있다. 상용 소프트웨어로는 프로메텍 소프트웨어의 Particleworks/Granuleworks, 주식회사 후지 테크니컬 리서치의 MPS-RYUJIN 등이 있으며, 앤시스/LS-DYNA, 리얼플로우 등의 패키지에도 입자법이 포함되어 있다.

6. 1. 상용 소프트웨어

프로메텍 소프트웨어의 Particleworks/Granuleworks (MPS/DEM 기반)와 주식회사 후지 테크니컬 리서치의 MPS-RYUJIN (MPS 기반)^[1], SPlisHSplasH, DualSPHysics, GPUSPH, CFDEM/LIGGGHTS (이상 SPH) 등이 있다.

6. 2. 입자법을 포함하는 패키지

앤시스/LS-DYNA (SPH)^[1]
리얼플로우 (Cinema4D) (SPH/Hybrido)^[2]

7. 수학적 정의

입자법은 수학적으로 엄밀하게 정의될 수 있으며, 이는 다양한 응용 분야에서의 형식적 추론을 가능하게 한다.^[6]

입자법의 수학적 정의는 다음 세 부분으로 구성된다.^[6]

입자법 알고리즘 구조: 데이터 구조와 함수를 포함하는 구조적 구성 요소를 포함한다.
입자법 인스턴스 정의: 입자법 알고리즘을 사용하여 해결하거나 시뮬레이션할 수 있는 특정 문제 또는 설정을 설명한다.
입자 상태 전이 함수 정의: 입자법 알고리즘의 데이터 구조와 함수를 사용하여 입자법이 인스턴스에서 최종 상태로 진행되는 방식을 설명한다.

7. 1. 입자법 알고리즘

입자법 알고리즘은 7개의 요소로 구성된 튜플

(P, G, u, f, i, e, \overset{\circ}{e})

로 표현된다. 이 튜플은 두 개의 데이터 구조를 포함한다.

$P$ : 입자 공간으로, $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$ 와 같이 표현된다.
$G$ : 전역 변수 공간으로, $B_1 \times B_2 \times ... \times B_m$ 와 같이 표현된다.

[G\times P^*]

는 입자법의 상태 공간을 나타내며, 다음과 같은 다섯 개의 함수를 포함한다.

$u: [G \times P^*] \times \mathbb N \rightarrow \mathbb N^*$ : 이웃 함수
$f: G \rightarrow \{ \top,\bot \}$ : 정지 조건
$i: G \times P \times P \rightarrow P\times P$ : 상호 작용 함수
$e: G \times P\rightarrow G \times P^*$ : 진화 함수
$\overset{\circ}{e} : G \rightarrow G$ : 전역 변수의 진화 함수

초기 상태는 주어진 입자법 알고리즘

(P, G, u, f, i, e, \overset{\circ}{e})

에 대한 입자법 인스턴스를 정의하며,

[g^1,\mathbf{p}^1] \in [G\times P^*]

와 같이 표현된다. 이 인스턴스는 전역 변수

g^1 \in G

의 초기 값과 입자 튜플

\mathbf p^1 \in P^*

로 구성된다.

특정 입자법에서 튜플

(P, G, u, f, i, e, \overset{\circ}{e})

의 요소는 지정되어야 한다. 인스턴스

[g^{1},\mathbf{p}^{1}]

에 의해 정의된 특정 시작점이 주어지면, 알고리즘은 반복적으로 진행된다. 각 반복은 입자법

[g^{t},\mathbf{p}^{t}]

의 현재 상태를 다음 상태

[g^{t+1},\mathbf{p}^{t+1}]

로 발전시키는 하나의 상태 전이 단계

s

에 해당한다. 상태 전이는 함수

u, i, e, \overset{\circ}{e}

를 사용하여 다음 상태를 결정한다.

상태 전이 함수

S

는 정지 함수

f

가

true

가 될 때까지 일련의 상태 전이 단계를 생성한다. 이렇게 계산된 최종 상태는 상태 전이 함수의 결과이다. 상태 전이 함수는 모든 입자법에 대해 동일하며, 다음과 같이 정의된다.

S :  [G\times P^*] \rightarrow [G\times P^*]

[g^T, \mathbf p^T]:=S([g^1, \mathbf p^1])

.

아래는 입자법 상태 전이 함수의 의사 코드이다.

1.

[g, \mathbf p] = [g^1, \mathbf p^1]

2. '''while'''

f(g)=false

3. '''for'''

j = 1

'''to'''

|\mathbf p|

4.

\mathbf k=u([g,\mathbf p],j)

5. '''for'''

l = 1

'''to'''

|\mathbf k|

6.

(p_j,p_{k_j})=i(g,p_j,p_{k_j})

7.

\mathbf q = ()

8. '''for'''

j = 1

'''to'''

|\mathbf p|

9.

(g,\overline{\mathbf q})=e(g,p_j)

10.

\mathbf q=\mathbf q\circ\overline{\mathbf q}

11.

\mathbf p=\mathbf q

12.

g=\overset{\circ}{e}(g)

13.

[g^T, \mathbf p^T] = [g, \mathbf p]

굵은 기호는 튜플이며,

\mathbf p, \mathbf q

는 입자 튜플이고

\mathbf k

는 인덱스 튜플이다.

()

는 빈 튜플이다. 연산자

\circ

는 입자 튜플의 결합이다. 예:

(p_1,p_2)\circ(p_3,p_4,p_5)=(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5)

. 그리고

|\mathbf p|

는 튜플

\mathbf p

의 요소 수이며, 예를 들어

|(p_1,p_2)|=2

이다.^[6]

7. 2. 입자법 인스턴스

입자법 인스턴스는 특정 문제 설정을 정의하며, 초기 상태 [g¹, p¹]로 표현된다.^[6]

이 인스턴스는 전역 변수 g¹ ∈ G의 초기값과 입자 튜플 p¹ ∈ P^*로 구성된다.

7. 3. 상태 전이 함수

상태 전이 함수

S

는 입자법 알고리즘의 각 단계에서 입자들의 상태를 업데이트하는 과정을 정의한다.^[6] 이 함수는 정지 함수

f

가

true

가 될 때까지 일련의 상태 전이 단계를 생성하며, 계산된 최종 상태가 상태 전이 함수의 결과가 된다. 모든 입자법에서 상태 전이 함수는 동일하게 정의된다.^[6]

상태 전이 함수

S

는 다음과 같이 정의된다.

:

S : [G\times P^*] \rightarrow [G\times P^*]

:

[g^T, \mathbf p^T]:=S([g^1, \mathbf p^1])

.

다음은 입자법 상태 전이 함수의 의사 코드이다.

1.

[g, \mathbf p] = [g^1, \mathbf p^1]

2. '''while'''

f(g)=false

3. '''for'''

j = 1

'''to'''

|\mathbf p|

4.

\mathbf k=u([g,\mathbf p],j)

5. '''for'''

l = 1

'''to'''

|\mathbf k|

6.

(p_j,p_{k_j})=i(g,p_j,p_{k_j})

7.

\mathbf q = ()

8. '''for'''

j = 1

'''to'''

|\mathbf p|

9.

(g,\overline{\mathbf q})=e(g,p_j)

10.

\mathbf q=\mathbf q\circ\overline{\mathbf q}

11.

\mathbf p=\mathbf q

12.

g=\overset{\circ}{e}(g)

13.

[g^T, \mathbf p^T] = [g, \mathbf p]

여기서 굵은 기호는 튜플을 나타내며,

\mathbf p, \mathbf q

는 입자 튜플,

\mathbf k

는 인덱스 튜플이다.

()

는 빈 튜플을 의미한다. 연산자

\circ

는 입자 튜플의 결합을 나타낸다. (예:

(p_1,p_2)\circ(p_3,p_4,p_5)=(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5)

).

|\mathbf p|

는 튜플

\mathbf p

의 요소 개수를 나타낸다. (예:

|(p_1,p_2)|=2

).

참조

_[1] 논문 Smoothed particle hydrodynamics – theory and application to non-spherical stars 1977
_[2] 논문 High Strain Lagrangian Hydrodynamics 1993
_[3] 논문 Smoothed Particle Hydrodynamics Stability Analysis 1995
_[4] 논문 Reproducing kernel particle methods 1995
_[5] 논문 a Particle Method for History-Dependent Materials 1994
_[6] 간행물 A Unifying Mathematical Definition of Particle Methods 2023-03

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