준몬테카를로 방법

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1. 개요
2. 다차원 적분과 몬테카를로 방법
3. 준 몬테카를로 방법
4. 준 몬테카를로 방법의 장점과 단점
- 4.1. 장점
- 4.2. 단점
5. 확률적 준 몬테카를로 방법
- 5.1. 무작위화(Randomization)
참조

1. 개요

준 몬테카를로 방법은 다차원 적분을 계산하기 위한 방법으로, 표준 몬테카를로 방법의 대안으로 사용된다. 구적법이 차원의 저주로 인해 고차원 적분에 적합하지 않은 경우, 몬테카를로 및 준 몬테카를로 방법이 활용된다. 준 몬테카를로 방법은 낮은 불일치도 수열을 사용하여 몬테카를로 방법보다 더 정확한 결과를 얻을 수 있지만, Koksma–Hlawka 부등식에 의해 오차가 제한된다. 준 몬테카를로 방법은 차원이 작고 피적분 함수가 매끄러울수록 효율적이며, 무작위화를 통해 오차 추정의 어려움을 해결할 수 있다.

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준몬테카를로 방법
개요
준 몬테카를로 적분을 사용하여 원의 면적을 추정하는 예시
분야	수치해석
유형	수치 적분
관련 항목	몬테카를로 방법 저 불일치열
상세 정보
설명	몬테카를로 방법의 결정론적 변형
핵심 아이디어	무작위 표본 대신 저 불일치열 사용
장점	더 빠른 수렴 가능성
단점	차원이 높을수록 성능 저하 가능성
활용 분야	금융 공학 컴퓨터 그래픽스 물리학

2. 다차원 적분과 몬테카를로 방법

단일 차원 적분의 경우, 함수가 매끄럽다면 사다리꼴 공식, 심슨 공식, 또는 뉴턴-코츠 공식과 같은 구적법이 효율적인 것으로 알려져 있다. 이러한 방법은 여러 차원에 걸쳐 1차원 적분을 반복함으로써 다차원 적분에도 사용할 수 있다. 그러나 함수 평가 횟수는 차원의 수인 s가 증가함에 따라 지수적으로 증가한다. 따라서 이러한 차원의 저주를 극복할 수 있는 방법이 다차원 적분에 사용되어야 한다. 구적법을 구현하기 어렵거나 비용이 많이 드는 경우 표준 몬테카를로 방법이 자주 사용된다.^[2] 몬테카를로 및 준 몬테카를로 방법은 차원이 최대 300 이상으로 높을 때 정확하고 비교적 빠르다.^[3]

Morokoff와 Caflisch ^[2]는 몬테카를로 및 준 몬테카를로 방법의 적분 성능을 연구했다. 이 연구에서는 준 몬테카를로 방법에 사용되는 Halton, Sobol 및 Faure 수열을 의사 난수 수열을 사용한 표준 몬테카를로 방법과 비교했다. 그 결과, Halton 수열은 약 6차원까지 가장 좋은 성능을 보였고, Sobol 수열은 더 높은 차원에서 가장 좋은 성능을 보였다. Faure 수열은 다른 두 수열보다 성능이 떨어졌지만, 여전히 의사 난수 수열을 사용한 표준 몬테카를로 방법보다는 더 나은 성능을 보였다.

그러나 Morokoff와 Caflisch ^[2]는 준 몬테카를로 방법의 이점이 이론적으로 예상했던 것보다 적은 사례도 제시했다. 그럼에도 불구하고, 이들이 연구한 예시에서 준 몬테카를로 방법은 동일한 수의 점을 사용한 몬테카를로 방법보다 더 정확한 결과를 산출했다. Morokoff와 Caflisch는 피적분 함수가 매끄럽고 적분의 차원 s가 작을수록 준 몬테카를로 방법의 이점이 더 크다고 언급했다.

3. 준 몬테카를로 방법

준 몬테카를로 방법은 몬테카를로 방법의 대안으로, 적분값을 근사하기 위해 무작위 표본 대신 결정론적인 낮은 불일치도 수열을 사용하는 방법이다. 이 방법은 사용하는 점 집합 ''x''₁, ..., ''x''_''N''의 불일치도(discrepancy)를 낮추어 적분 오차를 줄이는 것을 목표로 한다.

Koksma–Hlawka 부등식에 따르면, 준 몬테카를로 방법의 근사 오차 $\varepsilon$ 는 다음과 같이 정의되며,

: $\varepsilon = \left| \int_{[0,1]^s} f(u)\,{\rm d}u - \frac{1}{N}\,\sum_{i=1}^N f(x_i) \right|$

이 오차는 점 집합의 불일치도 ''D''_''N''과 함수 ''f''의 변동 ''V''(''f'')에 비례하는 값 $V(f) D_N$ 보다 작거나 같다.^[2]

이 부등식을 통해 준 몬테카를로 방법의 오차가 점의 개수 ''N''이 증가함에 따라 대략 $O\left(\frac{(\log N)^s}{N}\right)$ 의 비율로 감소함을 알 수 있다. 이는 확률적 오차가 $O\left(\frac 1 {\sqrt N}\right)$ 인 몬테카를로 방법보다 일반적으로 더 빠른 수렴 속도를 의미한다. 따라서 점의 개수 ''N''이 충분히 크면 준 몬테카를로 방법이 몬테카를로 방법보다 더 정확한 결과를 제공할 수 있다.^[1]^[2]

그러나 오차항에 포함된 $(\log N)^s$ 인자로 인해, 적분 차원 ''s''가 높아질수록 수렴 속도가 느려질 수 있다. 이 때문에 고차원 문제에서는 낮은 불일치도 수열의 선택이 중요하며, 잘못된 수열을 사용하면 오히려 몬테카를로 방법보다 성능이 나빠질 수도 있다. 실제 적용에서는 문제의 특성에 맞는 적절한 낮은 불일치도 수열을 선택하거나 피적분 함수에 변환을 적용하여 성능을 개선하는 것이 일반적이다.^[1]

단일 차원 적분에서는 사다리꼴 공식이나 심슨 공식 같은 전통적인 구적법이 효율적이지만, 다차원 적분에서는 계산량이 차원에 따라 지수적으로 증가하는 차원의 저주 문제에 직면한다. 준 몬테카를로 방법은 이러한 차원의 저주 문제를 완화할 수 있어, 최대 300차원 이상의 고차원 적분 문제에서도 비교적 빠르고 정확한 근사값을 얻는 데 유용하게 사용된다.^[2]^[3]

3. 1. 낮은 불일치도 수열

준몬테카를로 방법의 근사 오차는 사용하는 점 집합 ''x''₁, ..., ''x''_''N''의 불일치도(discrepancy)와 밀접한 관련이 있다. 구체적으로, Koksma–Hlawka 부등식은 적분 오차

\varepsilon

를 다음과 같이 정의하고,

:

\varepsilon = \left| \int_{[0,1]^s} f(u)\,{\rm d}u - \frac{1}{N}\,\sum_{i=1}^N f(x_i) \right|

이 오차가 특정 값 이하로 제한됨을 보여준다.

:

|\varepsilon| \leq V(f) D_N

여기서 ''V''(''f'')는 함수 ''f''의 하디-크라우제 변동(Hardy–Krause variation)이고,^[2] ''D''_''N''은 점 집합 (''x''₁,...,''x''_''N'')의 스타 불일치도(star discrepancy)이다. 스타 불일치도는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

D_N = \sup_{Q \subset [0,1]^s} \left| \frac{\text{Q 안에 있는 점의 개수}}{N} - \operatorname{부피}(Q) \right|

여기서 ''Q''는 각 변이 좌표축에 평행한 [0,1]^''s'' 공간 내의 직육면체(hyperrectangle)를 의미한다. 스타 불일치도는 점들이 얼마나 균일하게 분포되어 있는지를 나타내는 척도이며, 이 값이 작을수록 점들이 더 균일하게 분포되어 있음을 의미한다. 따라서 불일치도가 낮은 수열, 즉 낮은 불일치도 수열(low-discrepancy sequence)을 사용하면 적분 오차

|\varepsilon|

를 줄일 수 있다.

Koksma–Hlawka 부등식을 이용하면, 준몬테카를로 방법의 오차는 점의 개수 ''N''이 증가함에 따라 대략

O\left(\frac{(\log N)^s}{N}\right)

의 비율로 감소함을 보일 수 있다. 반면, 일반적인 몬테카를로 방법의 확률적 오차는

O\left(\frac 1 {\sqrt N}\right)

비율로 감소한다. 따라서 점의 개수 ''N''이 충분히 크다면, 낮은 불일치도 수열을 사용하는 준몬테카를로 방법이 무작위 표본 추출에 기반한 몬테카를로 방법보다 더 빠르게 수렴하여 더 정확한 결과를 제공한다.^[1]

그러나 준몬테카를로 방법의 오차 항에는

(\log N)^s

부분이 포함되어 있어, 적분 차원 ''s''가 커질수록 오차가 빠르게 증가할 수 있다. 이 때문에 차원이 매우 높은 문제에서는 잘못 선택된 낮은 불일치도 수열이 오히려 몬테카를로 방법보다 성능이 나쁠 수도 있다. 실제 응용에서는 적절한 낮은 불일치도 수열을 선택하거나 피적분 함수에 적절한 변환을 적용하여, 준몬테카를로 방법이 몬테카를로 방법만큼, 혹은 더 나은 성능을 보이도록 하는 것이 일반적이다.^[1]

다차원 적분 문제에서, 사다리꼴 공식, 심슨 공식, 뉴턴-코츠 공식과 같은 전통적인 수치 적분 방법들은 차원 ''s''가 증가함에 따라 계산량이 지수적으로 늘어나는 차원의 저주 문제에 직면한다. 이 때문에 고차원 적분에서는 이러한 방법들을 적용하기 어렵다.^[2] 몬테카를로 방법과 준몬테카를로 방법은 이러한 차원의 저주 문제를 효과적으로 완화할 수 있어, 최대 300차원 이상의 고차원 문제에서도 비교적 빠르고 정확한 근사값을 얻는 데 사용된다.^[3]

Morokoff와 Caflisch는 여러 낮은 불일치도 수열(Halton, Sobol, Faure)을 사용한 준몬테카를로 방법과 의사 난수(pseudorandom number)를 사용한 표준 몬테카를로 방법의 성능을 비교 연구했다.^[2] 연구 결과, Halton 수열은 약 6차원까지의 저차원 문제에서 가장 좋은 성능을 보였고, Sobol 수열은 그보다 높은 차원에서 가장 우수한 성능을 나타냈다. Faure 수열은 Halton이나 Sobol 수열보다는 성능이 떨어졌지만, 여전히 의사 난수를 사용한 몬테카를로 방법보다는 더 나은 결과를 보였다.

다만, Morokoff와 Caflisch는 일부 사례에서 준몬테카를로 방법의 성능 향상이 이론적인 기대치보다는 작을 수 있음을 지적했다.^[2] 그럼에도 불구하고, 그들이 연구한 예제들에서 준몬테카를로 방법은 동일한 개수의 점을 사용했을 때 표준 몬테카를로 방법보다 항상 더 정확한 결과를 산출했다. 연구자들은 피적분 함수가 매끄럽고(smooth) 적분 차원 ''s''가 작을수록 준몬테카를로 방법의 이점이 더 크게 나타난다고 결론지었다.^[2]

3. 2. Koksma–Hlawka 부등식

준 몬테카를로 방법을 이용한 근사의 오차는 사용하는 점 집합 ''x''₁, ..., ''x''_''N''의 불일치도(discrepancy)와 관련된 값에 의해 상한이 정해진다. 구체적으로, Koksma–Hlawka 부등식은 오차

:

\varepsilon = \left| \int_{[0,1]^s} f(u)\,{\rm d}u - \frac{1}{N}\,\sum_{i=1}^N f(x_i) \right|

가 다음 부등식을 만족한다고 설명한다.

:

|\varepsilon| \leq V(f) D_N

여기서 ''V''(''f'')는 함수 ''f''의 하디-크라우제 변동(Hardy–Krause variation)을 의미하며 (자세한 정의는 Morokoff와 Caflisch (1995) ^[2] 참조), ''D''_''N''은 점 집합 (''x''₁,...,''x''_''N'')의 스타 불일치도(star discrepancy)로, 다음과 같이 정의된다.

:

D_N = \sup_{Q \subset [0,1]^s} \left| \frac{\text{Q 내부에 있는 점의 개수}}{N} - \operatorname{부피}(Q) \right|

이때 ''Q''는 각 변이 좌표축에 평행한 [0,1]^''s'' 공간 내의 ''s''차원 직육면체이다.^[2]

Koksma–Hlawka 부등식

|\varepsilon| \leq V(f) D_N

을 이용하면, 준 몬테카를로 방법의 오차는

O\left(\frac{(\log N)^s}{N}\right)

의 비율로 줄어드는 반면, 일반적인 몬테카를로 방법의 확률적 오차는

O\left(\frac 1 {\sqrt N}\right)

비율로 줄어든다는 것을 알 수 있다. 따라서 점의 개수 ''N''이 충분히 크다면 준 몬테카를로 방법이 몬테카를로 방법보다 더 정확한 결과를 제공한다.

하지만

(\log N)^s

항 때문에, 적분하려는 공간의 차원 ''s''가 커지면 오차 상한이 매우 빠르게 증가할 수 있다. 이 경우, 잘못 선택된 점 집합을 사용하면 오히려 몬테카를로 방법보다 성능이 나빠질 수도 있다. 실제 적용 시에는 적절한 낮은 불일치도 수열을 선택하거나, 적분하려는 함수에 적절한 변환을 적용하여 준 몬테카를로 방법이 몬테카를로 방법만큼, 혹은 더 나은 성능을 보이도록 만드는 것이 일반적이다.^[1]

3. 3. 준 몬테카를로 방법의 오차

준 몬테카를로 방법의 근사 오차는 점 집합 ''x''₁, ..., ''x''_''N''의 불일치도(discrepancy)에 비례하는 값보다 작거나 같다. 구체적으로, Koksma–Hlawka 부등식에 따르면 오차

:

\varepsilon = \left| \int_{[0,1]^s} f(u)\,{\rm d}u - \frac{1}{N}\,\sum_{i=1}^N f(x_i) \right|

는 다음 부등식을 만족한다.

:

|\varepsilon| \leq V(f) D_N

여기서 ''V''(''f'')는 함수 ''f''의 하디-크라우제 변동(Hardy–Krause variation)이며, ''D''_''N''은 점 집합 (''x''₁,...,''x''_''N'')의 스타 불일치도(star discrepancy)로, 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

D_N = \sup_{Q \subset [0,1]^s} \left| \frac{\text{Q에 있는 점의 수}} N - \operatorname{부피}(Q) \right|

이때 ''Q''는 각 변이 좌표축에 평행하고 [0,1]^''s''에 포함되는 직육면체이다.^[2]

부등식

|\varepsilon| \leq V(f) D_N

을 이용하면 준 몬테카를로 방법의 근사 오차가

O\left(\frac{(\log N)^s}{N}\right)

임을 보일 수 있다. 반면, 몬테카를로 방법의 확률적 오차는

O\left(\frac 1 {\sqrt N}\right)

이다. 따라서, 점의 개수

N

이 충분히 크면 준 몬테카를로 방법의 오차가 몬테카를로 방법의 오차보다 항상 작아지게 된다.

그러나

(\log N)^s

항은 차원 ''s''가 커짐에 따라 매우 빠르게 증가하므로, 낮은 불일치도 수열을 잘못 선택하면 높은 차원에서는 오히려 몬테카를로 방법보다 성능이 훨씬 나빠질 수 있다. 실제 적용에서는 적절한 낮은 불일치도 수열을 선택하거나 적분하려는 함수에 적절한 변환을 적용하여, 준 몬테카를로 방법이 최소한 몬테카를로 방법만큼의 성능을 내도록 (그리고 종종 훨씬 더 좋은 성능을 내도록) 하는 것이 거의 항상 가능하다.^[1]

4. 준 몬테카를로 방법의 장점과 단점

준몬테카를로 방법은 특정 조건, 특히 적분 대상 함수의 변동이 유한하고 문제의 차원이 낮을 때 몬테카를로 방법보다 빠른 수렴 속도를 보여주는 장점이 있다.^[1]^[2] 그러나 문제의 차원이 매우 높거나 함수의 변동이 무한한 경우에는 오히려 몬테카를로 방법보다 효율성이 떨어질 수 있으며, 오차를 추정하기 어렵다는 단점도 지닌다.^[4]

4. 1. 장점

준몬테카를로 방법의 주요 장점은 특정 조건 하에서 몬테카를로 방법보다 빠른 수렴 속도를 제공한다는 점이다. 근사 오차는 Koksma–Hlawka 부등식에 의해 제한되는데, 이 부등식에 따르면 오차

\varepsilon = \left| \int_{[0,1]^s} f(u)\,{\rm d}u - \frac{1}{N}\,\sum_{i=1}^N f(x_i) \right|

는

|\varepsilon| \leq V(f) D_N

로 제한된다. 여기서

V(f)

는 함수

f

의 하디-크라우제 변동이고,

D_N

은 사용된 점 집합

(x_1, \dots, x_N)

의 스타 불일치도이다.^[2]

Koksma–Hlawka 부등식을 이용하면 준몬테카를로 방법의 오차가

O\left(\frac{(\log N)^s}{N}\right)

임을 보일 수 있다. 이는

O\left(\frac 1 {\sqrt N}\right)

의 확률적 오차를 갖는 몬테카를로 방법보다 점의 개수

N

이 충분히 클 때 더 빠르게 0으로 수렴함을 의미한다.^[1] 따라서 충분히 큰

N

에 대해 준몬테카를로 방법의 근사 결과가 몬테카를로 방법보다 더 정확할 가능성이 높다.

또한, 준몬테카를로 방법은 고차원 적분 문제에서 차원의 저주를 극복하는 데 유용하다. 단일 차원 적분에서는 사다리꼴 공식, 심슨 공식과 같은 구적법이 효율적이지만, 차원

s

가 증가하면 함수 평가 횟수가 지수적으로 늘어나 비효율적이 된다. 반면, 몬테카를로 및 준몬테카를로 방법은 차원이 300 이상으로 매우 높은 경우에도 비교적 정확하고 빠른 계산 속도를 제공할 수 있다.^[2]^[3]

Morokoff와 Caflisch의 연구^[2]에 따르면, 준몬테카를로 방법은 동일한 수의 점을 사용했을 때 몬테카를로 방법보다 더 정확한 결과를 산출하는 경향이 있다. 이들은 피적분 함수가 매끄럽고 적분의 차원

s

가 작을수록 준몬테카를로 방법의 이점이 더 크게 나타난다고 언급했다.^[2]

다양한 낮은 불일치도 수열을 사용하여 준몬테카를로 적분을 수행할 수 있으며, 수열의 선택이 성능에 영향을 미친다. Morokoff와 Caflisch는 Halton, Sobol, Faure 수열을 비교한 결과, Halton 수열은 약 6차원까지, Sobol 수열은 더 높은 차원에서 좋은 성능을 보였으며, Faure 수열은 다른 두 수열보다 성능이 떨어졌지만 일반적인 의사 난수 수열보다는 우수한 성능을 보였다고 밝혔다.^[2]

다만, 차원

s

가 매우 크거나 부적절한 낮은 불일치도 수열을 선택할 경우,

(\log N)^s

항으로 인해 몬테카를로 방법보다 성능이 나빠질 수도 있다. 그러나 실제 적용에서는 적절한 수열을 선택하거나 피적분 함수에 변환을 적용하여 이러한 문제를 완화하고 몬테카를로 방법과 비슷하거나 더 나은 성능을 얻는 것이 가능하다.^[1]

4. 2. 단점

크리스티안 르뮤(Christiane Lemieux)는 준몬테카를로 방법의 몇 가지 단점을 지적했다.^[4]

오차항 $O\left(\frac{(\log N)^s}{N}\right)$ 가 몬테카를로 방법의 오차항 $O\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right)$ 보다 작아지려면, 문제의 차원 $s$ 가 작고 표본 크기 $N$ 이 충분히 커야 한다(예: $N>2^s$ ). 만약 차원 $s$ 가 크다면, 사용하는 $N$ 값에 따라 저분산 수열을 사용한 점 집합의 불일치(discrepancy)가 무작위 점 집합보다 반드시 작다고 할 수 없다. 즉, 차원이 매우 높을 경우 몬테카를로 방법보다 성능이 떨어질 수 있다.
실제로 마주치는 많은 함수, 예를 들어 가우시안 변수를 사용하는 경우처럼 함수의 변동(variation) $V(f)$ 가 무한대( $V(f) = \infty$ )가 되는 경우가 있다. 이 경우 오차 분석이 어려워진다.
오차에 대한 상한값( $\epsilon \leq V(f) D_N$ )만 알 수 있는데, 이 상한값을 구하는 데 필요한 불일치 $D_N^*$ 와 함수의 변동 $V(f)$ 를 계산하기 어렵다는 실질적인 문제가 있다.

이러한 어려움 중 일부를 극복하기 위해, 확률적 준몬테카를로 방법(randomized quasi-Monte Carlo method)을 사용하기도 한다.

5. 확률적 준 몬테카를로 방법

르뮤는 준 몬테카를로 방법의 몇 가지 단점을 지적했다.^[4]

오차항 $O\left(\frac{(\log N)^s}{N}\right)$ 가 표준 몬테카를로 방법의 오차항 $O\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right)$ 보다 작아지려면 차원 $s$ 가 작고 표본 크기 $N$ 이 매우 커야 한다(예: $N>2^s$ ). 차원 $s$ 가 크면 주어진 $N$ 값에 대해 저분산 수열의 불일치가 무작위 표본 집합보다 작지 않을 수 있다.
실제 문제에서 자주 나타나는 많은 함수(예: 가우시안 변수를 사용하는 경우)에 대해 분산 $V(f) = \infty$ 가 되어 오차 경계를 사용할 수 없다.
오차에 대한 상한(즉, ''ε'' ≤ ''V''(''f'') ''D''_''N'')만 알 수 있으며, 불일치 $D_N^*$ 와 함수의 분산 $V(f)$ 를 계산하기 어렵다.

이러한 어려움 중 일부를 극복하기 위해, 확률적 준 몬테카를로 방법(randomized quasi-Monte Carlo method)을 사용할 수 있다.

5. 1. 무작위화(Randomization)

저분산 수열은 무작위가 아닌 결정론적이므로 준 몬테카를로 방법은 결정론적 알고리즘 또는 비무작위 알고리즘으로 볼 수 있다. 이 경우 오차에 대한 경계(예: ''ε'' ≤ ''V''(''f'') ''D''_''N'')만 존재하며 오차를 추정하기 어렵다. 분산을 분석하고 추정하는 능력을 회복하기 위해, 이 방법을 무작위화할 수 있다. 결과적인 방법은 무작위 준 몬테카를로 방법(randomized quasi-Monte Carlo method)이라고 불리며, 표준 몬테카를로 방법의 분산 감소 기법으로도 볼 수 있다.^[5]

여러 무작위화 방법 중 가장 간단한 변환 절차는 무작위 이동(random shift)을 사용하는 것이다. {''x''₁,...,''x''_''N''}을 저분산 수열에서 나온 점 집합이라고 하자. ''s''차원 무작위 벡터 ''U''를 샘플링하고 이를 {''x''₁, ..., ''x''_''N''}과 혼합한다. 자세히 설명하면, 각 ''x''_''j''에 대해 다음과 같이 새로운 점 ''y''_''j''를 생성한다.

:

y_j = x_j + U \pmod 1

그리고 원래 수열

(x_j)

대신 새로운 수열

(y_j)

를 사용한다. 몬테카를로 방법에 대해 ''R''개의 복제가 있는 경우, 각 복제마다 새로운 ''s''차원 무작위 벡터 ''U''를 샘플링한다.

무작위화는 준 몬테카를로 방법의 장점인 낮은 불일치도를 유지하면서도 분산 추정을 가능하게 한다. 하지만 순수한 준 몬테카를로 방법과 비교할 때, 동일한 계산 비용으로 표본 수가 ''R''로 나누어지므로 이론적인 수렴 속도가 감소할 수 있다. 표준 몬테카를로 방법과 비교하면, Tuffin (2008)의 실험 결과에 따르면 무작위 준 몬테카를로 방법이 분산과 계산 속도 면에서 약간 더 우수하다.^[6]

참조

_[1] 서적 Stochastic Simulation: Algorithms and Analysis Springer 2007
_[2] 논문 Quasi-Monte Carlo integration http://citeseer.ist.[...] 1995
_[3] 논문 A comparison between (quasi-)Monte Carlo and cubature rule based methods for solving high-dimensional integration problems 2003-03-03
_[4] 서적 Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Sampling Springer 2009
_[5] 간행물 Modeling Uncertainty: An Examination of Stochastic Theory, Methods, and Applications Springer 2002
_[6] 논문 Randomization of Quasi-Monte Carlo Methods for Error Estimation: Survey and Normal Approximation 2008-05

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