뉴턴-코츠 공식

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1. 개요
2. 공식
3. 공식 목록
- 3.1. 닫힌 공식
- 3.2. 열린 공식
4. 고차 공식의 불안정성
5. 합성 공식
참조

1. 개요

뉴턴-코츠 공식은 수치 적분 방법의 일종으로, 적분 구간을 균등하게 분할하여 함수 값을 계산하고, 이를 가중 평균하여 적분 값을 구하는 방법이다. 이 공식은 닫힌 뉴턴-코츠 공식과 열린 뉴턴-코츠 공식으로 나뉘며, 사다리꼴 공식, 심슨 공식, 불의 공식 등이 닫힌 공식에, 구형 공식(중점 공식), 밀른 공식 등이 열린 공식에 해당한다. 뉴턴-코츠 공식은 라그랑주 보간 다항식을 이용하여 가중치를 계산하며, 가중치는 함수에 의존하지 않고 점의 위치에만 의존한다. 그러나 고차 공식에서는 룬게 현상으로 인해 오차가 커질 수 있으며, 이를 해결하기 위해 합성 공식을 사용한다.

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뉴턴-코츠 공식
개요
종류	수치 적분 공식
이름	뉴턴-코츠 공식
특징	등간격 점 사용
관련 항목	수치 적분
설명
정의	뉴턴-코츠 공식은 함수값을 알고 있는 일련의 등간격 점에서 함수의 적분을 근사하는 데 사용되는 수치 적분 공식의 모음이다.
공식	적분 구간 [a, b]를 n개의 동일한 간격으로 나눈다 (h = (b-a)/n). 각 분할점 xi = a + ih (i = 0, 1, ..., n)에서 함수 f(x)의 값을 계산한다. 이 값들을 가중치 wi와 곱하여 합산한다. 적분 근사값 ≈ h * Σ(wi * f(xi)) (i = 0부터 n까지)
코테스 수	코테스 수는 구간 [0, n]에서 차수가 n인 라그랑주 보간법의 기초 함수를 적분하여 얻는 가중치이다.
종류별 공식
n = 0	중점 법칙 (Midpoint Rule)
n = 1	사다리꼴 법칙 (Trapezoidal Rule)
n = 2	심프슨 법칙 (Simpson's Rule)
n = 3	심프슨 3/8 법칙 (Simpson's 3/8 Rule)
n = 4	부울 법칙 (Boole's Rule)
특징 및 고려 사항
장점	구현이 간단하고, 함수 평가 비용이 저렴하다.
단점	차수가 높아질수록 오차가 커질 수 있다 (룽게 현상). 폐구간 공식의 경우, 구간 끝점에서 함수값을 알아야 한다.
대안	가우스 구적법 (Gauss Quadrature): 더 적은 점으로 더 높은 정확도를 얻을 수 있다. 클렌쇼-커티스 구적법 (Clenshaw–Curtis quadrature): 안정적인 수렴을 제공한다.
활용
응용 분야	과학 및 공학 계산 수치 해석 컴퓨터 그래픽스

2. 공식

뉴턴-코츠 공식은 함수 $f(x)$ 의 적분값을 근사하는 방법으로, 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i = 0}^n w_i\, f(x_i)$

여기서 $x_i$ 는 등간격 점을 나타내고, $w_i$ 는 각 점에 대한 가중치, $f(x_i)$ 는 해당 점에서의 함숫값을 의미한다.

뉴턴-코츠 공식은 구간의 양 끝점을 포함하는지 여부에 따라 "닫힌 공식"과 "열린 공식"으로 나뉜다.

닫힌 공식: 구간의 양 끝점( $x_0 = a$ , $x_n = b$ )을 포함한다.
열린 공식: 구간의 양 끝점을 포함하지 않는다.( $x_0 > a$ , $x_n < b$ )

닫힌 공식의 경우

x_i = a + ih

(

h = \frac{b - a}{n}

)이고, 열린 공식의 경우

x_i = a + (i + 1)h

(

h = \frac{b - a}{n + 2}

)이다. 여기서

h

는 "스텝 사이즈"라고 불린다.

가중치

w_i

는 라그랑주 기저 다항식의 적분으로 계산할 수 있으며,

x_i

에만 의존하고 함수

f(x)

에는 의존하지 않는다. 이는 다음 식과 같이 표현된다.

:

\int_a^b f(x)\, dx \approx \int_a^b L(x)\, dx = \int_a^b \left(\sum_{i = 0}^n f(x_i) l_i(x)\right)\, dx = \sum_{i = 0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}

2. 1. 닫힌 뉴턴-코츠 공식

0 \le i \le n

에 대해,

x_i = a + ih

(

h = \frac{b - a}{n}

),

f_i = f(x_i)

일 때, 폐 뉴턴-코츠 공식은 다음과 같다.

폐 뉴턴-코츠 공식
	단계 크기	일반적인 이름	공식	오차 항
1	$b - a$	사다리꼴 공식	$\frac{1}{2} h(f_0 + f_1)$	$-\frac{1}{12}h^3f^{(2)}(\xi)$
2	$\frac{b - a}{2}$	심슨 공식	$\frac{1}{3} h(f_0 + 4f_1 + f_2)$	$-\frac{1}{90} h^5f^{(4)}(\xi)$
3	$\frac{b - a}{3}$	심슨 3/8 공식	$\frac{3}{8} h(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3)$	$-\frac{3}{80} h^5f^{(4)}(\xi)$
4	$\frac{b - a}{4}$	불의 공식	$\frac{2}{45} h(7f_0 + 32f_1 + 12f_2 + 32f_3 + 7f_4)$	$-\frac{8}{945} h^7f^{(6)}(\xi)$

불의 공식은 초기 참고서인 애브러모위츠와 스티건의 오타로 인해 때때로 보드의 공식이라고 잘못 불리기도 한다.^[5]

오차 항에서 단계 크기 ''h''의 지수는 근사 오차가 감소하는 속도를 나타낸다. 오차 항에서 ''f''의 도함수 차수는 이 규칙으로 더 이상 정확하게 적분할 수 없는 (즉, 오차가 0과 같은) 다항식의 최소 차수를 나타낸다. 숫자 $\xi$ 는 구간 에서 가져와야 하므로, 오차 상한은 $f(\xi) = \max(f(x)), a 일 때 오차 항과 같다.$

n차 닫힌 뉴턴-코츠 공식은 다음과 같다.

: $\int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)$

여기서 ${\displaystyle x_i = a + i\, {\frac{b-a}{n}}}\$ $(i = 0, ..., n)$ 이다.

$w_i$ 는 가중치라고 불린다. 가중치는 라그랑주 보간법에 의한 보간 다항식에서 유도된다.

: $\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x) \,dx = \int_a^b \left( \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x) \right) \,dx = \sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x) \,dx}_{w_i}$

이상의 유도 과정에서 가중치는 함수 f에 의존하지 않고, $x_i$ 에 의해서만 결정된다는 것을 알 수 있다.

2. 2. 열린 뉴턴-코츠 공식

열린 공식은 적분 구간의 양 끝점을 포함하지 않는다. 즉,

x_0 > a

이고

x_n < b

이다.

x_i = a + (i + 1)h

(

h = \frac{b - a}{n + 2}

)이다.^[1]

다음은 열린 뉴턴-코츠 공식의 일부이다. 여기서

0 \le i \le n

에 대해,

x_i = a + (i + 1)h

이고

h = \frac{b - a}{n + 2}

,

f_i = f(x_i)

이다.

'''열린 뉴턴-코츠 공식'''
$n$	단계 크기 $h$	일반적인 이름	공식	오차 항
0	$\frac{b - a}{2}$	구형 공식, 또는 중점 공식	$2hf_0$	$\frac{1}{3} h^3f^{(2)}(\xi)$
1	$\frac{b - a}{3}$		$\frac{3}{2} h(f_0 + f_1)$	$\frac{3}{4}h^3f^{(2)}(\xi)$
2	$\frac{b - a}{4}$	밀른 공식	$\frac{4}{3} h(2f_0 - f_1 + 2f_2)$	$\frac{14}{45} h^5f^{(4)}(\xi)$
3	$\frac{b - a}{5}$		$\frac{5}{24} h(11f_0 + f_1 + f_2 + 11f_3)$	$\frac{95}{144} h^5f^{(4)}(\xi)$

2. 3. 가중치 계산

가중치

w_i

는 라그랑주 기저 다항식을 이용하여 계산할 수 있다.^[1] 이 가중치는 함수

f(x)

에 의존하지 않고,

x_i

에만 의존한다. 주어진 데이터 점

(x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), \ldots, (x_n, f(x_n))

에 대한 라그랑주 형태의 보간 다항식을

L(x)

라고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int_a^b f(x)\, dx \approx \int_a^b L(x)\, dx = \int_a^b \left(\sum_{i = 0}^n f(x_i) l_i(x)\right)\, dx= \sum_{i = 0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}.

뉴턴-코츠 공식의 가중치는 선형 방정식계의 해로도 구할 수 있다. 이는 보간 다항식의 유일성에서

f(x)

가

n

차 이하의 다항식인 경우

L(x) = f(x)

가 되는 것에 기초한다. 계수 행렬은 반데르몽드 행렬이다.

\begin{pmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\x_0 & x_1 & \cdots & x_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_0^n & x_1^n & \cdots & x_n^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_0 \\w_1 \\\vdots \\w_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b - a \\(b^2 - a^2)/2 \\\vdots \\(b^{n+1} - a^{n+1})/(n+1)\end{pmatrix}

3. 공식 목록

다음은 몇 가지 뉴턴-코츠 공식의 예시이다.

$f_i$ 는 $f(x_i)$ 의 약기이다. 오차항 $E$ 는 $\int_a^b f(x) \,dx - \sum_{i=0}^n w_i f(x_i) = E$ 가 되는 $\xi \in (a, b)$ 가 존재함을 의미한다. 또한, $f$ 의 도함수의 차수는 그 미만의 차수의 다항식이 정확하게 적분될 수 있음(즉, 오차가 0이 됨)을 나타낸다. $(b - a)$ 의 차수와 $f$ 의 도함수의 계수는 하나씩 건너뛰어 2씩 증가한다.

닫힌 뉴턴-코츠 공식
차수	이름	식	오차항
1	사다리꼴 공식	$\frac{b-a}{2} (f_0 + f_1)$	$-\frac{(b-a)^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)$
2	심슨 공식	$\frac{b-a}{6} (f_0 + 4 f_1 + f_2)$	$-\frac{(b-a)^5}{2880}\,f^{(4)}(\xi)$
3	심슨의 3/8 공식	$\frac{b-a}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)$	$-\frac{(b-a)^5}{6480}\,f^{(4)}(\xi)$
4	불의 공식	$\frac{b-a}{90} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)$	$-\frac{(b-a)^7}{1935360}\,f^{(6)}(\xi)$

열린 뉴턴-코츠 공식
차수	이름	식	오차항
0	중점 규칙	$(b-a) f_0$	$\frac{(b-a)^3}{24}\,f^{(2)}(\xi)$
1	사다리꼴 방법	$\frac{b-a}{2} (f_0 + f_1)$	$\frac{(b-a)^3}{36}\,f^{(2)}(\xi)$
2	밀른 공식	$\frac{b-a}{3} (2 f_0 - f_1 + 2 f_2)$	$\frac{7(b-a)^5}{23040}\,f^{(4)}(\xi)$
3		$\frac{b-a}{24} (11 f_0 + f_1 + f_2 + 11 f_3)$	$\frac{19(b-a)^5}{90000}\,f^{(4)}(\xi)$

3. 1. 닫힌 공식

다음은 닫힌 뉴턴-코츠 공식(폐 뉴턴-코츠 공식) 중 일부이다.

0 \le i \le n

에 대해,

x_i = a + ih

(

h = \frac{b - a}{n}

),

f_i = f(x_i)

이다.

'''닫힌 뉴턴-코츠 공식'''
n	단계 크기	일반적인 이름	공식	오차 항
1	$b - a$	사다리꼴 공식	$\frac{1}{2} h(f_0 + f_1)$	$-\frac{1}{12}h^3f^{(2)}(\xi)$
2	$\frac{b - a}{2}$	심슨 공식	$\frac{1}{3} h(f_0 + 4f_1 + f_2)$	$-\frac{1}{90} h^5f^{(4)}(\xi)$
3	$\frac{b - a}{3}$	심슨 3/8 공식	$\frac{3}{8} h(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3)$	$-\frac{3}{80} h^5f^{(4)}(\xi)$
4	$\frac{b - a}{4}$	불의 공식	$\frac{2}{45} h(7f_0 + 32f_1 + 12f_2 + 32f_3 + 7f_4)$	$-\frac{8}{945} h^7f^{(6)}(\xi)$

불의 공식은 초기 참고서인 애브러모위츠와 스티건의 오타로 인해 때때로 보드의 공식이라고 잘못 불리기도 한다.^[5]

오차 항에서 단계 크기 ''h''의 지수는 근사 오차가 감소하는 속도를 나타낸다. 오차 항에서 ''f''의 도함수 차수는 이 규칙으로 더 이상 정확하게 적분할 수 없는 (즉, 오차가 0과 같은) 다항식의 최소 차수를 나타낸다. 숫자 $\xi$ 는 구간 ( $a, b$ )에서 가져와야 하므로, 오차 상한은 $f(\xi) = \max(f(x)), a 일 때 오차 항과 같다.$

'''닫힌 뉴턴-코츠 공식'''
차수	이름	식	오차항
1	사다리꼴 공식	$\frac{b-a}{2} (f_0 + f_1)$	$-\frac{(b-a)^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)$
2	심슨 공식	$\frac{b-a}{6} (f_0 + 4 f_1 + f_2)$	$-\frac{(b-a)^5}{2880}\,f^{(4)}(\xi)$
3	심슨의 3/8 공식	$\frac{b-a}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)$	$-\frac{(b-a)^5}{6480}\,f^{(4)}(\xi)$
4	불의 공식	$\frac{b-a}{90} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)$	$-\frac{(b-a)^7}{1935360}\,f^{(6)}(\xi)$

3. 2. 열린 공식

중점 공식

2hf_0

\frac{1}{3} h^3f^{(2)}(\xi)

1

\frac{b - a}{3}

\frac{3}{2} h(f_0 + f_1)

\frac{3}{4}h^3f^{(2)}(\xi)

2

\frac{b - a}{4}

밀른 공식

\frac{4}{3} h(2f_0 - f_1 + 2f_2)

\frac{14}{45} h^5f^{(4)}(\xi)

3

\frac{b - a}{5}

\frac{5}{24} h(11f_0 + f_1 + f_2 + 11f_3)

\frac{95}{144} h^5f^{(4)}(\xi)

뉴턴-코츠 공식

1. 개요

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2. 2. 열린 뉴턴-코츠 공식

2. 3. 가중치 계산

3. 공식 목록

3. 1. 닫힌 공식

3. 2. 열린 공식

4. 고차 공식의 불안정성

5. 합성 공식

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