뉴턴-코츠 공식

1. 개요

뉴턴-코츠 공식은 수치 적분 방법의 일종으로, 적분 구간을 균등하게 분할하여 함수 값을 계산하고, 이를 가중 평균하여 적분 값을 구하는 방법이다. 이 공식은 닫힌 뉴턴-코츠 공식과 열린 뉴턴-코츠 공식으로 나뉘며, 사다리꼴 공식, 심슨 공식, 불의 공식 등이 닫힌 공식에, 구형 공식(중점 공식), 밀른 공식 등이 열린 공식에 해당한다. 뉴턴-코츠 공식은 라그랑주 보간 다항식을 이용하여 가중치를 계산하며, 가중치는 함수에 의존하지 않고 점의 위치에만 의존한다. 그러나 고차 공식에서는 룬게 현상으로 인해 오차가 커질 수 있으며, 이를 해결하기 위해 합성 공식을 사용한다.

2. 공식

뉴턴-코츠 공식은 함수 $f(x)$의 적분값을 근사하는 방법으로, 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; \backslash approx\; \backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^n\; w\_i\backslash ,\; f(x\_i)$

여기서 $x\_i$는 등간격 점을 나타내고, $w\_i$는 각 점에 대한 가중치, $f(x\_i)$는 해당 점에서의 함숫값을 의미한다.

뉴턴-코츠 공식은 구간의 양 끝점을 포함하는지 여부에 따라 "닫힌 공식"과 "열린 공식"으로 나뉜다.

* 닫힌 공식: 구간의 양 끝점($x\_0\; =\; a$, $x\_n\; =\; b$)을 포함한다.
* 열린 공식: 구간의 양 끝점을 포함하지 않는다.($x\_0\; >\; a$, )

닫힌 공식의 경우 $x\_i\; =\; a\; +\; ih$ ($h\; =\; \backslash frac\{b\; -\; a\}\{n\}$)이고, 열린 공식의 경우 $x\_i\; =\; a\; +\; (i\; +\; 1)h$ ($h\; =\; \backslash frac\{b\; -\; a\}\{n\; +\; 2\}$)이다. 여기서 $h$는 "스텝 사이즈"라고 불린다.

가중치 $w\_i$는 라그랑주 기저 다항식의 적분으로 계산할 수 있으며, $x\_i$에만 의존하고 함수 $f(x)$에는 의존하지 않는다. 이는 다음 식과 같이 표현된다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; \backslash approx\; \backslash int\_a^b\; L(x)\backslash ,\; dx\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash left(\backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^n\; f(x\_i)\; l\_i(x)\backslash right)\backslash ,\; dx\; =\; \backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^n\; f(x\_i)\; \backslash underbrace\{\backslash int\_a^b\; l\_i(x)\backslash ,\; dx\}\_\{w\_i\}$

2.1. 닫힌 뉴턴-코츠 공식

$0\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n$에 대해, $x\_i\; =\; a\; +\; ih$ ($h\; =\; \backslash frac\{b\; -\; a\}\{n\}$), $f\_i\; =\; f(x\_i)$일 때, 폐 뉴턴-코츠 공식은 다음과 같다.

불의 공식은 초기 참고서인 애브러모위츠와 스티건의 오타로 인해 때때로 보드의 공식이라고 잘못 불리기도 한다.

오차 항에서 단계 크기 h의 지수는 근사 오차가 감소하는 속도를 나타낸다. 오차 항에서 f의 도함수 차수는 이 규칙으로 더 이상 정확하게 적분할 수 없는 (즉, 오차가 0과 같은) 다항식의 최소 차수를 나타낸다. 숫자 $\backslash xi$는 구간 에서 가져와야 하므로, 오차 상한은

n차 닫힌 뉴턴-코츠 공식은 다음과 같다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,dx\; \backslash approx\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; w\_i\backslash ,\; f(x\_i)$

여기서 $\{\backslash displaystyle\; x\_i\; =\; a\; +\; i\backslash ,\; \{\backslash frac\{b-a\}\{n\}\}\}\backslash$ $(i\; =\; 0,\; ...,\; n)$이다.

$w\_i$는 가중치라고 불린다. 가중치는 라그랑주 보간법에 의한 보간 다항식에서 유도된다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,dx\; \backslash approx\; \backslash int\_a^b\; L(x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; f(x\_i)\backslash ,\; l\_i(x)\; \backslash right)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; f(x\_i)\; \backslash underbrace\{\backslash int\_a^b\; l\_i(x)\; \backslash ,dx\}\_\{w\_i\}$

이상의 유도 과정에서 가중치는 함수 f에 의존하지 않고, $x\_i$에 의해서만 결정된다는 것을 알 수 있다.

2.2. 열린 뉴턴-코츠 공식

열린 공식은 적분 구간의 양 끝점을 포함하지 않는다. 즉, $x\_0\; >\; a$이고 이다. $x\_i\; =\; a\; +\; (i\; +\; 1)h$ ($h\; =\; \backslash frac\{b\; -\; a\}\{n\; +\; 2\}$)이다.

다음은 열린 뉴턴-코츠 공식의 일부이다. 여기서 $0\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n$에 대해, $x\_i\; =\; a\; +\; (i\; +\; 1)h$이고 $h\; =\; \backslash frac\{b\; -\; a\}\{n\; +\; 2\}$, $f\_i\; =\; f(x\_i)$이다.

2.3. 가중치 계산

가중치 $w\_i$는 라그랑주 기저 다항식을 이용하여 계산할 수 있다. 이 가중치는 함수 $f(x)$에 의존하지 않고, $x\_i$에만 의존한다. 주어진 데이터 점 $(x\_0,\; f(x\_0)),\; (x\_1,\; f(x\_1)),\; \backslash ldots,\; (x\_n,\; f(x\_n))$에 대한 라그랑주 형태의 보간 다항식을 $L(x)$라고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; \backslash approx\; \backslash int\_a^b\; L(x)\backslash ,\; dx\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash left(\backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^n\; f(x\_i)\; l\_i(x)\backslash right)\backslash ,\; dx$$
= \sum_{i = 0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}.

뉴턴-코츠 공식의 가중치는 선형 방정식계의 해로도 구할 수 있다. 이는 보간 다항식의 유일성에서 $f(x)$가 $n$차 이하의 다항식인 경우 $L(x)\; =\; f(x)$가 되는 것에 기초한다. 계수 행렬은 반데르몽드 행렬이다.

$$$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_0 & x_1 & \cdots & x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_0^n & x_1^n & \cdots & x_n^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
w_0 \\
w_1 \\
\vdots \\
w_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b - a \\
(b^2 - a^2)/2 \\
\vdots \\
(b^{n+1} - a^{n+1})/(n+1)
\end{pmatrix}

3. 공식 목록

다음은 몇 가지 뉴턴-코츠 공식의 예시이다.

$f\_i$는 $f(x\_i)$의 약기이다. 오차항 $E$는 $\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,dx\; -\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; w\_i\; f(x\_i)\; =\; E$가 되는 $\backslash xi\; \backslash in\; (a,\; b)$가 존재함을 의미한다. 또한, $f$의 도함수의 차수는 그 미만의 차수의 다항식이 정확하게 적분될 수 있음(즉, 오차가 0이 됨)을 나타낸다. $(b\; -\; a)$의 차수와 $f$의 도함수의 계수는 하나씩 건너뛰어 2씩 증가한다.

3.1. 닫힌 공식

다음은 닫힌 뉴턴-코츠 공식(폐 뉴턴-코츠 공식) 중 일부이다. $0\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n$에 대해, $x\_i\; =\; a\; +\; ih$ ($h\; =\; \backslash frac\{b\; -\; a\}\{n\}$), $f\_i\; =\; f(x\_i)$이다.

불의 공식은 초기 참고서인 애브러모위츠와 스티건의 오타로 인해 때때로 보드의 공식이라고 잘못 불리기도 한다.

오차 항에서 단계 크기 h의 지수는 근사 오차가 감소하는 속도를 나타낸다. 오차 항에서 f의 도함수 차수는 이 규칙으로 더 이상 정확하게 적분할 수 없는 (즉, 오차가 0과 같은) 다항식의 최소 차수를 나타낸다. 숫자 $\backslash xi$는 구간 ($a,\; b$)에서 가져와야 하므로, 오차 상한은

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좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

닫힌 뉴턴-코츠 공식

차수	이름	식	오차항
1	사다리꼴 공식	$\backslash frac\{b-a\}\{2\}\; (f\_0\; +\; f\_1)$	$-\backslash frac\{(b-a)^3\}\{12\}\backslash ,f^\{(2)\}(\backslash xi)$
2	심슨 공식	$\backslash frac\{b-a\}\{6\}\; (f\_0\; +\; 4\; f\_1\; +\; f\_2)$	$-\backslash frac\{(b-a)^5\}\{2880\}\backslash ,f^\{(4)\}(\backslash xi)$
3	심슨의 3/8 공식	$\backslash frac\{b-a\}\{8\}\; (f\_0\; +\; 3\; f\_1\; +\; 3\; f\_2\; +\; f\_3)$	$-\backslash frac\{(b-a)^5\}\{6480\}\backslash ,f^\{(4)\}(\backslash xi)$
4	불의 공식	$\backslash frac\{b-a\}\{90\}\; (7\; f\_0\; +\; 32\; f\_1\; +\; 12\; f\_2\; +\; 32\; f\_3\; +\; 7\; f\_4)$	$-\backslash frac\{(b-a)^7\}\{1935360\}\backslash ,f^\{(6)\}(\backslash xi)$

3.2. 열린 공식

다음 표는 열린 형태의 뉴턴-코츠 공식 중 일부를 나열한 것이다. $0\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n$에 대해, $x\_i\; =\; a\; +\; (i\; +\; 1)h$이고 $h\; =\; \backslash frac\{b\; -\; a\}\{n\; +\; 2\}$, $f\_i\; =\; f(x\_i)$이다.

여기서 $f\_i$는 $f(x\_i)$의 약기이다.

오차항 $E$는 $\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,dx\; -\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; w\_i\; f(x\_i)\; =\; E$가 되는 $\backslash xi\; \backslash in\; (a,\; b)$가 존재함을 의미한다. 또한, $f$의 도함수의 차수는 그 미만의 차수의 다항식이 정확하게 적분될 수 있음 (즉, 오차가 0이 됨)을 나타낸다. $(b\; -\; a)$의 차수와 $f$의 도함수의 계수는 하나씩 건너뛰어 2씩 증가한다는 점에 유의한다.

4. 고차 공식의 불안정성

높은 차수의 뉴턴-코츠 공식은 때때로 심각한 룬게 현상으로 인해 오차가 큰 차수에서 지수적으로 증가할 수 있다. 가우스 구적법이나 적분 구간의 양 끝점에 점이 밀집된 클렌쇼-커티스 구적법과 같은 방법은 안정적이고 훨씬 더 정확하여 일반적으로 뉴턴-코츠 공식보다 선호된다. 이러한 방법을 사용할 수 없는 경우, 피적분 함수가 고정된 등간격 격자에서만 주어지기 때문에 복합 공식을 사용하여 룬게 현상을 피할 수 있다.

또는, 보간 대신 최소 제곱 근사를 사용하여 안정적인 뉴턴-코츠 공식을 구성할 수 있다. 이를 통해 고차에서도 수치적으로 안정적인 공식을 만들 수 있다.

5. 합성 공식

정확도를 높이려면, 단계 크기가 작아야 한다. 이는 적분 구간 $[a,\; b]$ 자체가 작아야 함을 의미하지만, 대부분의 경우 그렇지 않다. 이러한 이유로, 수치 적분을 수행할 때는 일반적으로 $[a,\; b]$를 더 작은 부분 구간으로 나누어 각 부분 구간에 뉴턴-코츠 공식을 적용하고, 그 결과를 합산한다. 이를 '합성 공식'이라고 한다. 수치 적분을 참고하라.

큰 차수에서는 룬게 현상에 의해 오차가 증가함에 따라 지수 함수적으로 커진다. 그 때문에, 일반적으로는 큰 차수에서는 가우스 구적법이나 Clenshaw-Curtis quadrature^영어 등의 비등분점법이 안정적으로 보다 정확한 값을 구할 수 있다. 만약 그 방법들을 사용할 수 없다면, 합성 적분 공식을 사용하여 룬게 현상을 피할 수 있다.

뉴턴-코츠 공식의 정밀도를 높이려면, 단계 크기를 작게 해야 한다. 즉, 적분 구간 자체가 작아야 한다. 이 때문에, 적분 구간을 작은 부분 구간으로 분할하고, 각 부분 구간마다 뉴턴-코츠 공식을 사용하며, 그 결과를 합산하는 방법이 사용된다. 이것을 합성 적분 공식이라고 부른다.