추정량

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1. 개요
2. 정의
3. 추정량의 성질
4. 최대 우도 추정 (Maximum Likelihood Estimation)
5. 기타 고려 사항
참조

1. 개요

추정량은 확률변수가 따르는 분포의 모수를 추정하기 위해 사용되는 가측 함수이다. 추정량은 표본 공간을 표본 추정치로 매핑하며, 오차, 편향, 분산 등의 특성을 갖는다. 추정량의 주요 성질로는 불편성, 일치성, 점근적 정규성, 효율성, 강건성이 있으며, 이러한 성질을 통해 추정량의 성능을 평가한다. 최대 우도 추정은 우도 함수를 최대로 만드는 모수를 찾는 방법으로, 최대 우도 추정량은 점근적 정규성을 갖는 등 좋은 성질을 가진다. 추정량 선택은 문제의 특성과 데이터를 고려하여 결정해야 하며, 추정량의 성질을 평가하고 비교하여 적합한 추정량을 선택하는 것이 중요하다.

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추정량
기본 정보
종류	통계량
하위 분류	추정
사용 분야	통계학
정의
정의	모집단의 모수를 추정하는 데 사용되는 표본 통계량 또는 함수
특징	추정값은 확률변수이며, 표본에 따라 달라짐
속성
불편성	추정량의 기대값이 모수와 같음
일치성	표본 크기가 증가함에 따라 추정량이 모수에 수렴함
효율성	동일한 모수를 추정하는 다른 추정량보다 분산이 작음
충분성	표본에 있는 모수에 대한 모든 정보를 포함함
예시
표본 평균	모집단 평균의 불편 추정량
표본 분산	모집단 분산의 편향 추정량 (불편 추정량은 표본 분산에 Bessel 보정을 적용한 것)
최대 가능도 추정량 (MLE)	주어진 데이터에 대해 가능도를 최대화하는 모수 값
참고
관련 항목	추정 점추정 구간 추정 최대 가능도 추정법 최소 제곱법
추가 정보
주의사항	추정량은 모수를 완벽하게 추정하는 것을 보장하지 않으며, 추정값은 항상 오차를 포함할 수 있음
활용	다양한 분야에서 데이터 분석 및 의사 결정에 활용됨

2. 정의

확률변수 $X\colon P\to\mathcal X$ 가 모수 $\theta\in\Theta$ 를 가지는 분포를 따른다고 할 때, 모수 $\theta$ 의 '''추정량''' $\hat\theta\colon\mathcal X\to\Theta$ 은 임의의 가측 함수이다. 추정되는 모수는 ''추정값''이라고도 하며, 유한 차원 또는 무한 차원일 수 있다.^[2] 모수가 $\theta$ 로 표시되면 추정량은 전통적으로 기호 위에 캐럿을 추가하여 $\widehat{\theta}$ 로 표기한다.

"추정량" 또는 "점 추정"은 알려지지 않은 통계적 모수의 값을 통계 모델에서 추론하는 데 사용되는 통계량(데이터의 함수)이다. "추정량은 알려지지 않은 모수의 추정치를 얻기 위해 선택된 방법"이라고 표현하기도 한다.

데이터의 함수인 추정량 자체는 확률 변수이다. 이 확률 변수의 특정 실현을 "추정치"라고 한다. 때로는 "추정량"과 "추정치"라는 단어를 서로 바꿔 사용하기도 한다.

"추정량"이라는 단어가 수식어 없이 사용될 때는 일반적으로 점 추정을 의미한다. 이 경우 추정치는 모수 공간의 단일 점이다. 추정치가 모수 공간의 부분 집합인 구간 추정량과 같은 다른 유형의 추정량도 있다.

밀도 추정 문제는 확률 변수의 확률 밀도 함수를 추정하거나, 시계열의 스펙트럼 밀도 함수를 추정하는 데 사용된다. 이러한 문제에서 추정치는 무한 차원 공간에서 점 추정치로 간주할 수 있는 함수이며, 이에 상응하는 구간 추정 문제가 있다.

고정된 ''모수'' $\theta$ 를 추정해야 한다고 가정할 때, "추정량"은 표본 공간을 일련의 ''표본 추정치''로 매핑하는 함수이다. 확률 변수의 대수를 사용하여 이론을 표현하는 것이 편리하다. 관찰된 데이터에 해당하는 확률 변수를 ''X''로 사용하면, 추정량은 해당 확률 변수의 함수 $\widehat{\theta}(X)$ 로 표현된다. 특정 관찰 데이터 값 $x$ ( $X=x$ )에 대한 추정치는 $\widehat{\theta}(x)$ 이며, 이는 고정된 값이다.

2. 1. 오차와 편향

표본

x \in \mathcal{X}

에 대한 모수

\theta

의 추정량

\hat{\theta}

의 '''오차'''(error^영어)는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathcal E_{\hat{\theta}}(x)=\hat\theta(x)-\theta

모수

\theta

의 추정량

\hat{\theta}

의 '''편향'''(bias^영어)은 그 오차의 기댓값이다.

:

B(\hat\theta) = \operatorname{E}(\hat\theta(X)-\theta)

모수

\theta

의 '''불편추정량'''(unbiased estimator^영어)

\hat\theta

은 편향이 0인 추정량이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 추정량이다.

:

\operatorname E(\hat\theta(X))=\theta

2. 2. 분산과 효율

표본

x \in \mathcal{X}

에 대한 모수

\theta

의 추정량

\hat{\theta}

의 표본편차는 다음과 같다.

:

d(x) = \hat{\theta}(x) - \operatorname{E}(\hat{\theta}(X)) = \hat{\theta}(x) - \operatorname{E}(\hat{\theta})

모수

\theta

의 추정량

\hat{\theta}

의 분산은 표본편차의 제곱의 기댓값이다.

:

\operatorname{var}(\hat{\theta}) = \operatorname{E}(\hat{\theta}(X)^2) - \operatorname{E}(\hat{\theta}(X))^2

모수

\theta

의 추정량

\hat{\theta}

의 효율은 다음과 같다.

:

e(\hat{\theta}) = \frac{1}{\mathcal{I}_X(\theta) \operatorname{var}(\hat{\theta})}

여기서

\mathcal{I}_X(\theta)

는 피셔 정보이다. 크라메르-라오 하한에 따라, 추정량의 효율은 항상 1 이하이다.

:

e(\hat{\theta}) \le 1

효율이 1인 추정량을 최대효율추정량이라고 한다.

2. 3. 평균 제곱 오차

추정량 estimator|추정량^영어

\hat\theta

의 '''평균 제곱 오차'''(Mean Squared Error, MSE)는 오차 제곱의 기댓값이다.

:

\operatorname{MSE}(\hat\theta) = \operatorname{E}[(\widehat{\theta}(X) - \theta)^2]

이는 추정치들이 추정되는 단일 매개변수로부터 평균적으로 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다. 매개변수가 과녁의 정중앙이고, 추정기가 과녁에 화살을 쏘는 과정이며, 개별 화살이 추정치(표본)라고 가정하면, 높은 MSE는 화살이 과녁의 정중앙으로부터 평균적으로 멀리 떨어져 있다는 것을 의미하고, 낮은 MSE는 과녁의 정중앙으로부터 평균적으로 가깝다는 것을 의미한다.

\operatorname{MSE}(\widehat{\theta})

는 분산과 편향의 제곱의 합으로 표현될 수 있다.

:

\operatorname{MSE}(\widehat{\theta}) = \operatorname{Var}(\widehat\theta) + (B(\widehat{\theta}))^2

즉, 평균 제곱 오차 = 분산 + 편향의 제곱이다. 특히, 불편추정량의 경우, 분산은 평균 제곱 오차와 같다.

3. 추정량의 성질

추정량의 바람직한 성질은 편향, 분산, 평균 제곱 오차 등을 통해 평가할 수 있다.

모수 ${\displaystyle \theta }$의 점 추정량을 ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$라고 할 때,

${\displaystyle {\widehat {\theta }}-\theta }$를 ${\widehat {\theta }}}$의 오차라고 한다.
${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$의 편향은 ${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta }$로 정의된다.
평균 제곱 오차는 ${\displaystyle \operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} [({\widehat {\theta }}-\theta )^{2}]}$로 정의되며, ${\displaystyle \operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {var} ({\widehat {\theta }})+(B({\widehat {\theta }}))^{2}}$이다. 즉, 평균 제곱 오차 = 분산 + (편향의 제곱)이다.

이 외에도, 추정량의 바람직한 성질에 관한 개념에는 일치성, 점근적 정규성, 효율성, 강건성 등이 있다.

3. 1. 불편성 (Unbiasedness)

추정량 ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$의 편향은 ${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta }$로 정의되며, 이는 추정치들의 평균과 추정되는 단일 매개변수 간의 거리이다. ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$의 편향은 ${\displaystyle \theta }$의 실제 값의 함수이므로, ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$의 편향이 ${\displaystyle b}$라고 말하는 것은 모든 ${\displaystyle \theta }$에 대해 ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$의 편향이 ${\displaystyle b}$임을 의미한다.^[2]

편향 추정량과 비편향 추정량의 두 종류의 추정량이 있다. 추정량이 편향되었는지 여부는 ${\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta }$와 0의 관계를 통해 식별할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta \neq 0}$이면, ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$는 편향된 것이다.
${\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta =0}$이면, ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$는 비편향된 것이다.

편향은 또한 오류의 기대값이며, ${\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta =\operatorname {E} ({\widehat {\theta }}-\theta )}$이기 때문이다. 만약 매개변수가 과녁의 정중앙이고 화살이 추정치라면, 편향의 절대값이 비교적 크다는 것은 화살의 평균 위치가 빗나갔다는 것을 의미하고, 편향의 절대값이 비교적 작다는 것은 화살의 평균 위치가 과녁에 맞았다는 것을 의미한다. 화살은 분산되어 있거나 뭉쳐 있을 수 있다. 편향과 분산의 관계는 정확도와 정밀도의 관계와 유사하다.

추정량 ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$는 ${\displaystyle \theta }$의 비편향 추정량이며, 만약 그리고 오직 만약 ${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=0}$이다.^[2] 편향은 추정치의 속성이며 추정량의 속성이 아니다. 종종 사람들은 "편향된 추정치" 또는 "비편향된 추정치"라고 말하지만, 실제로는 "편향된 추정량에서 나온 추정치" 또는 "비편향된 추정량에서 나온 추정치"에 대해 이야기하는 것이다. 또한, 사람들은 단일 추정치의 "오류"를 추정량의 "편향"과 혼동하는 경우가 많다. 하나의 추정치에 대한 오류가 크다고 해서 추정량이 편향된 것은 아니다. 사실, 모든 추정치가 오류에 대해 천문학적인 절대값을 갖더라도, 오류의 기대값이 0이면 추정량은 비편향적이다. 또한, 추정량이 편향되어 있다고 해서 특정 인스턴스에서 추정치의 오류가 0이 될 수 없다는 것은 아니다. 이상적인 상황은 분산이 낮고 비편향된 추정치를 갖는 것이며, 오류가 극단적인 표본의 수를 제한하려고 하는 것이다(즉, 이상치가 적다). 그러나 비편향성은 필수적이지 않다. 종종, 약간의 편향만 허용된다면, 더 낮은 평균 제곱 오차 및/또는 이상치 표본 추정치가 적은 추정량을 찾을 수 있다.

위의 "비편향" 버전의 대안은 "중앙값-비편향"이며, 여기서 추정치 분포의 중앙값은 실제 값과 일치한다. 따라서 장기적으로 추정치의 절반은 너무 낮고 절반은 너무 높을 것이다. 이는 스칼라 값 추정량에 즉시 적용되지만, 분포의 모든 중심 경향 측정으로 확장될 수 있다. 중앙값-비편향 추정량을 참조하라.

실제 문제에서 ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$는 항상 ${\displaystyle \theta }$와 함수적 관계를 가질 수 있다. 예를 들어, 유전 이론에서 확률이 ${\displaystyle p_{1}=1/4\cdot (\theta +2)}$인 잎(녹말 녹색) 유형이 존재하며, ${\displaystyle 0<\theta <1}$이라고 가정한다.

그런 다음, ${\displaystyle n}$개의 잎에 대해, 임의 변수 ${\displaystyle N_{1}}$(녹말 녹색 잎의 수)은 ${\displaystyle Bin(n,p_{1})}$ 분포로 모델링할 수 있다. 이 수를 사용하여 ${\displaystyle \theta }$에 대한 다음 추정치를 표현할 수 있다: ${\displaystyle {\widehat {\theta }}=4/n\cdot N_{1}-2}$. ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$가 ${\displaystyle \theta }$에 대한 비편향 추정량임을 나타낼 수 있다:

:${\displaystyle E[{\widehat {\theta }}]=E[4/n\cdot N_{1}-2]}$

:${\displaystyle =4/n\cdot E[N_{1}]-2}$

:${\displaystyle =4/n\cdot np_{1}-2}$

:${\displaystyle =4\cdot p_{1}-2}$

:${\displaystyle =4\cdot 1/4\cdot (\theta +2)-2}$

:${\displaystyle =\theta +2-2}$

:${\displaystyle =\theta }$.

추정량의 차이: 비편향 추정량 ${\displaystyle \theta _{2}}$는 ${\displaystyle \theta }$를 중심으로 하는 반면, 편향 추정량 ${\displaystyle \theta _{1}}$은 그렇지 않다.

추정량에 대한 바람직한 속성은 추정량이 주어진 확률보다 크거나 작은 추정치를 체계적으로 생성하는 경향이 없음을 보여주는 비편향 특성이다. 또한, 더 작은 분산을 가진 비편향 추정량은 더 큰 분산을 가진 추정량보다 선호되는데, 이는 모수의 "진정한" 값에 더 가깝기 때문이다. 가장 작은 분산을 가진 비편향 추정량은 최소 분산 비편향 추정량(MVUE)이라고 한다.

추정량이 비편향적인지 확인하려면 방정식 ${\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta =0}$을 따르면 된다. 추정량 ''T''와 관심 모수 ${\displaystyle \theta }$를 사용하여 이전 방정식을 풀면 ${\displaystyle \operatorname {E} [T]=\theta }$로 표시되며, 추정량은 비편향적이다. 오른쪽 그림을 보면 ${\displaystyle \theta _{2}}$가 유일한 비편향 추정량임에도 불구하고, 만약 분포가 겹치고 모두 ${\displaystyle \theta }$를 중심으로 한다면, 분포 ${\displaystyle \theta _{1}}$이 실제로 선호되는 비편향 추정량이 될 것이다.

'''기대값'''

모형 분포에 대한 기대값에 관심이 있는 양을 살펴보면, 아래 두 방정식을 만족해야 하는 비편향 추정량이 있다.

:

1.\quad {\overline {X}}_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}

:

2.\quad \operatorname {E} \left[{\overline {X}}_{n}\right]=\mu

'''분산'''

마찬가지로, 모형 분포에 대한 분산에 관심이 있는 양을 살펴보면, 아래 두 방정식을 만족해야 하는 비편향 추정량도 있다.

:

1.\quad S_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X_{n}}})^{2}

:

2.\quad \operatorname {E} \left[S_{n}^{2}\right]=\sigma ^{2}

여기서 ''n'' − 1로 나누는 이유는, 만약 ''n''으로 나누면 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$에 대해 너무 작은 추정치를 생성하는 음의 편향을 가진 추정량을 얻게 되기 때문이다. 또한 ${\displaystyle S_{n}^{2}}$이 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$에 대해 비편향적이지만 그 반대는 성립하지 않는다는 점을 언급해야 한다.^[4]

모수 ${\displaystyle \theta }$의 점 추정량을 ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$라고 할 때,

${\displaystyle {\widehat {\theta }}-\theta }$를 ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$의 오차라고 한다.
${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$의 편향 (모수로부터의 어긋남)은 ${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta }$로 정의된다.
모든 θ에 대해 ${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=0}$인 경우 (다시 말해 모든 θ에 대해 ${\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }})=\theta }$인 경우), ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$를 모수 θ의 '''불편 추정량'''이라고 한다.

3. 2. 일치성 (Consistency)

일치 추정량은 표본 크기가 커짐에 따라 모수에 확률적으로 수렴하는 추정량이다. 즉, 표본 크기를 늘리면 추정량이 모집단 모수에 가까워질 확률이 높아진다.

모수

\theta

의 '''약한 일치 추정량'''(weakly consistent estimator^영어)은 다음 성질을 만족시키는 추정량들의 열

\{\hat\theta_n\}

이다. 모든

\epsilon>0

에 대하여,

:

\lim_{n\to\infty}\Pr(|\hat\theta_n(X)-\theta|<\epsilon)=1

모수

\theta

의 '''강한 일치 추정량'''(strongly consistent estimator^영어)은 다음 성질을 만족시키는 추정량들의 열

\{\hat\theta_n\}

이다.

:거의 확실하게,

n\to\infty

이면

\hat\theta_n\to\theta

위에 정의된 일치는 약한 일치라고 할 수 있다. 이 수열이 참값으로 거의 확실히 수렴하면 "강한 일치"라고 한다.

모수의 "배수"로 수렴하는 추정량은 추정량을 척도 인자, 즉 추정량의 점근값을 참값으로 나누어 곱함으로써 일치 추정량으로 만들 수 있다. 이는 척도 모수 추정에서 통계적 분산의 척도에 의해 자주 발생한다.

추정량은 추정량이 실제 분포 함수의 경험적 분포 함수와 동일한 함수인 한 Fisher 일관성을 갖는 것으로 간주될 수 있다. 다음 공식을 따른다.

:

\widehat{\theta} = h(T_n),      \theta  = h(T_\theta)

여기서

T_n

과

T_\theta

는 각각 경험적 분포 함수와 이론적 분포 함수이다.

Fisher 일관성을 확인하는 쉬운 예는 평균 일관성과 분산을 확인하는 것이다. 예를 들어, 평균

\widehat{\mu} = \bar{X}

에 대한 일관성을 확인하고 분산에 대해

\widehat{\sigma}^2 = SSD/n

임을 확인한다.^[5]

3. 3. 점근적 정규성 (Asymptotic Normality)

어떤

V\in\mathbb R^+

에 대하여,

:

\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)\xrightarrow{\text{D}}\mathcal N(0,V)

를 만족하는 추정량의 열

\{\hat\theta_n\}

을 모수

\theta

의 '''점근적 정규 추정량'''(asymptotically normal estimator^영어)이라고 한다.^[2] 여기서

\xrightarrow{\text{D}}

는 확률변수의 분포수렴이며,

\mathcal N(0,V)

는 평균이 0이고 분산이

V

인 정규분포이다.

점근적 정규성 추정량은 참 매개변수 ''θ'' 주위의 분포가 표본 크기 ''n''이 증가함에 따라

1/\sqrt{n}

에 비례하여 축소되는 표준 편차를 갖는 정규 분포에 접근하는 일치 추정량이다. ''t_n''은 다음과 같을 때 점근적 정규성을 갖는다.^[2]

:

\sqrt{n}(t_n - \theta) \xrightarrow{D} N(0,V),

(어떤 ''V''에 대해서)

이 공식에서 ''V/n''은 추정량의 ''점근 분산''이라고 할 수 있다. 그러나 일부 저자는 ''V''를 ''점근 분산''이라고 부르기도 한다.

중심 극한 정리는 참 평균의 추정량으로서 표본 평균

\bar X

의 점근적 정규성을 의미한다. 최대 가능도 추정량은 매우 약한 정규성 조건 하에서 점근적으로 정규적이다. — 최대 가능도 문서의 점근성 섹션 참조. 그러나 모든 추정량이 점근적으로 정규적인 것은 아니다. 가장 간단한 예는 매개변수의 참값이 허용 가능한 매개변수 영역의 경계에 있는 경우에 발견된다.

3. 4. 효율성 (Efficiency)

모수

\theta

의 추정량

\hat\theta

의 효율(Efficiency)은 다음과 같이 정의된다.

:

e(\hat\theta)=\frac1{\mathcal I_X(\theta)\operatorname{var}(\hat\theta)}

여기서

\mathcal I_X(\theta)

는 피셔 정보이고,

\operatorname{var}(\hat\theta)

는 추정량

\hat\theta

의 분산이다. 크라메르-라오 하한에 따라, 추정량의 효율은 항상 1 이하이다.

:

e(\hat\theta)\le1

효율이 1인 추정량을 최대효율추정량(Most Efficient Estimator)이라고 한다.

추정량의 효율성은 "최소 오차" 방식으로 관심 있는 양을 추정하는 데 사용된다. 추정량의 두 가지 바람직한 속성은 편향이 없고, 평균 제곱 오차(MSE)를 최소화하는 것이다.

좋은 추정량은 좁은 곡선을 가지고 있는 반면, 나쁜 추정량은 넓은 곡선을 가지고 있다.

불편 추정량 중에는 종종 최소 분산을 갖는 추정량이 있으며, 이를 최소 분산 불편 추정량 (MVUE)이라고 한다. 어떤 경우에는 편향되지 않은 효율적인 추정량이 존재하며, 이는 편향되지 않은 추정량 중에서 가장 낮은 분산을 가질 뿐만 아니라 크라메르-라오 하한을 충족한다.

3. 5. 강건성 (Robustness)

강건성은 가정한 모델의 변화에 따른 추정량의 변화가 적은 것을 말한다.^[2]

4. 최대 우도 추정 (Maximum Likelihood Estimation)

모수를 특정 값으로 설정했을 때 데이터가 얻어질 조건부 확률을, 반대로 모수의 함수로 보고, 해당 데이터에서의 우도 함수라고 한다. 데이터에 대해 우도 함수를 최대로 만드는 모수를 구하는 방법을 최대 우도법이라고 한다. 이를 통해 모수 값으로 추정되는 것을 '''최대 우도 추정량'''이라고 한다.

5. 기타 고려 사항

추정량 선택은 문제의 특성, 데이터의 성격, 통계적 가정 등을 고려하여 결정해야 한다. 주어진 상황에 가장 적합한 추정량을 선택하기 위해 추정량의 성질을 평가하고 비교하는 것이 중요하다.

"추정량"이라는 단어가 별다른 수식어 없이 사용될 때는 일반적으로 점 추정을 의미한다. 이 경우 추정치는 모수 공간의 단일 점이다. 구간 추정량은 추정치가 모수 공간의 부분 집합인 또 다른 유형의 추정량이다.

밀도 추정 문제는 두 가지 응용 분야에서 발생한다. 첫째는 확률 변수의 확률 밀도 함수를 추정하는 것이고, 둘째는 시계열의 스펙트럼 밀도 함수를 추정하는 것이다. 이러한 문제에서 추정치는 무한 차원 공간에서 점 추정치로 간주할 수 있는 함수이며, 이에 상응하는 구간 추정 문제가 있다.

추정량이 충족해야 하는 성질에는 확률 추정량이 0과 1 사이여야 하고, 분산 추정량이 음수가 아니어야 한다는 것 등이 있지만, 경우에 따라서는 불편 추정량이 이를 만족시키지 못하는 경우도 있다.^[2]

참조

_[1] 서적 The Collected Works of John W. Tukey: Philosophy and Principles of Data Analysis 1965–1986 CRC Press
_[2] 서적 2008
_[3] 서적 2007
_[4] 서적 A Modern Introduction to Probability and Statistics https://archive.org/[...] 2005
_[5] 웹인용 Properties of Estimators https://www.stats.ox[...] University of Oxford 2023-12-09

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