코호몰로지 환

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1. 개요
2. 코호몰로지 환의 예시
참조

1. 개요

코호몰로지 환은 위상 공간의 코호몰로지 군에 곱셈 연산을 부여하여 얻는 환이다. 실수 사영 공간, 복소수 사영 공간, 사원수 사영 공간의 코호몰로지 환의 예시를 제시하며, 퀴네트 공식, 쐐기 합, 현수와 관련된 코호몰로지 환의 특징을 설명한다.

2. 코호몰로지 환의 예시

여러 사영 공간의 코호몰로지 환은 특정한 다항식 환 또는 그 몫환으로 표현된다.

'''실수 사영 공간''': 유한 차원 및 무한 차원 실수 사영 공간의 코호몰로지 환에 대한 정보가 제공된다.
'''복소수 사영 공간''': 유한 차원 및 무한 차원 복소수 사영 공간의 코호몰로지 환에 대한 정보가 제공된다.
'''사원수 사영 공간''': 유한 차원 및 무한 차원 사원수 사영 공간의 코호몰로지 환에 대한 정보가 제공된다.

퀴네트 공식에 의하면, ''n''개의 무한 차원 실수 사영 공간(

\mathbb{R}P^\infty

)들의 데카르트 곱의 mod 2 코호몰로지 환은

\mathbb{F}_2

계수를 갖는 ''n''변수 다항식 환이다. 쐐기 합의 축소된 코호몰로지 환은 그들의 축소된 코호몰로지 환의 직곱이며, 현수의 코호몰로지 환은 0차 부분을 제외하고는 사라진다.

2. 1. 실수 사영 공간

퀴네트 공식에 의해, ''n''개의 무한 차원 실수 사영 공간(

\mathbb{R}P^\infty

)들의 데카르트 곱의 mod 2 코호몰로지 환은 계수가

\mathbb{F}_2

의 원소인 ''n''변수 다항식 환이다.

2. 1. 1. 유한 차원 실수 사영 공간

유한 차원 실수 사영 공간의 코호몰로지 환은

\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^n; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]/(\alpha^{n+1})

이며, 여기서

|\alpha|=1

이다.

2. 1. 2. 무한 차원 실수 사영 공간

\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^\infty; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]

이며, 여기서

|\alpha|=1

이다.

2. 2. 복소수 사영 공간

복소수 사영 공간의 코호몰로지 환은 다음과 같이 주어진다.

유한 차원 복소수 사영 공간: $\operatorname{H}^*(\mathbb{C}P^n; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})$ 이며, 여기서 $|\alpha|=2$ 이다.
무한 차원 복소수 사영 공간: $\operatorname{H}^*(\mathbb{C}P^\infty; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]$ 이며, 여기서 $|\alpha|=2$ 이다.

2. 2. 1. 유한 차원 복소수 사영 공간

H^영어^*(CP^영어ⁿ; Z^영어) = Z^영어[α]/(αⁿ⁺¹)이며, 여기서 |α|=2이다.

2. 2. 2. 무한 차원 복소수 사영 공간

\operatorname{H}^*(\mathbb{C}P^\infty; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]

이며, 여기서

|\alpha|=2

이다.

2. 3. 사원수 사영 공간

사원수 사영 공간의 코호몰로지 환은 다음과 같이 주어진다.

유한 차원 사원수 사영 공간: $\operatorname{H}^*(\mathbb{H}P^n; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})$ ( $|\alpha|=4$ )
무한 차원 사원수 사영 공간: $\operatorname{H}^*(\mathbb{H}P^\infty; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]$ ( $|\alpha|=4$ )

2. 3. 1. 유한 차원 사원수 사영 공간

\operatorname{H}^*(\mathbb{H}P^n; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})

이며, 여기서

|\alpha|=4

이다.

2. 3. 2. 무한 차원 사원수 사영 공간

H^영어^*(HP^영어^∞; Z^영어) = Z^영어[α]이며, 여기서 |α| = 4이다.

2. 4. 퀴네트 공식

퀴네트 공식에 의해, ''n''개의

\mathbb{R}P^\infty

들의 데카르트 곱의 mod 2 코호몰로지 환은

\mathbb{F}_2

계수를 갖는 ''n''변수의 다항식 환이다.

2. 5. 쐐기 합과 현수

위상 공간의 쐐기 합과 현수에 대한 코호몰로지 환은 다음과 같이 계산할 수 있다. 쐐기 합의 축소된 코호몰로지 환은 그들의 축소된 코호몰로지 환의 직곱이며, 현수의 코호몰로지 환은 0차 부분을 제외하고는 사라진다.

2. 5. 1. 쐐기 합

쐐기 합의 축소된 코호몰로지 환은 그들의 축소된 코호몰로지 환의 직곱이다.

2. 5. 2. 현수

현수의 코호몰로지 환은 0차 부분을 제외하고는 사라진다.

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