퀴네트 정리

1. 개요

퀴네트 정리는 위상 공간의 곱의 호몰로지 또는 코호몰로지를 계산하는 데 사용되는 정리이다. 체, 주 아이디얼 정역, 호몰로지 스펙트럼 열 등 다양한 계수를 사용하여 정의되며, 호몰로지 및 코호몰로지 군 사이의 관계를 나타내는 완전열과 스펙트럼 열을 제공한다. 이 정리는 1923년 헤르만 퀴네트에 의해 발표되었으며, K-이론과 코보디즘과 같은 일반화된 호몰로지 및 코호몰로지 이론에서도 유사한 형태로 증명되었다.

2. 정의

두 위상 공간 $X$와 $Y$가 주어졌을 때, 특이 호몰로지를 사용하여 퀴네트 정리를 정의할 수 있다. $X$와 $Y$가 CW 복합체일 경우, 특이 호몰로지는 세포 호몰로지와 동형이므로 세포 호몰로지로 대체할 수 있다.

가장 간단한 경우는 호몰로지의 계수환이 체 $F$인 경우이다. 이때 퀴네트 정리는 임의의 정수 $k$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash bigoplus\_\{i\; +\; j\; =\; k\}\; H\_i(X;\; F)\; \backslash otimes\; H\_j(Y;\; F)\; \backslash cong\; H\_k(X\; \backslash times\; Y;\; F)$.

이 동형 사상은 자연 동형이며, 합에서 곱의 호몰로지 군으로의 사상을 교차 곱이라고 한다. 교차 곱 연산은 $X$ 위의 $i$-사이클과 $Y$ 위의 $j$-사이클을 결합하여 $X\; \backslash times\; Y$ 위의 $(i+j)$-사이클을 생성한다. 이를 통해 직접 합에서 $H\_k(X\; \backslash times\; Y)$로의 명시적인 선형 사상이 정의된다.

이 결과, $X\; \backslash times\; Y$의 베티 수는 $X$와 $Y$의 베티 수로부터 결정될 수 있다. $p\_Z(t)$가 공간 $Z$의 베티 수 $b\_k(Z)$의 수열의 생성 함수라고 하면, 다음 항등식이 성립한다.

: $p\_\{X\; \backslash times\; Y\}(t)\; =\; p\_X(t)\; p\_Y(t).$

이는 $X$와 $Y$의 베티 수가 유한하고 각각 $\backslash infty$가 아닌 자연수인 경우, 푸앵카레 다항식에 대한 항등식으로 읽힌다.

계수환이 주 아이디얼 정역(PID)인 경우, 위 방정식은 항상 참이 아니며, Tor 함자를 이용한 수정 인자가 필요하다. R이 PID일 때, 퀴네트 정리는 모든 위상 공간 X와 Y에 대해 다음과 같은 자연스러운 짧은 완전열이 존재함을 나타낸다.

:$0\; \backslash to\; \backslash bigoplus\_\{i\; +\; j\; =\; k\}\; H\_i(X;\; R)\; \backslash otimes\_R\; H\_j(Y;\; R)\; \backslash to\; H\_k(X\; \backslash times\; Y;\; R)\; \backslash to\; \backslash bigoplus\_\{i\; +\; j\; =\; k-1\}\; \backslash mathrm\{Tor\}\_1^R(H\_i(X;\; R),\; H\_j(Y;\; R))\; \backslash to\; 0.$

이 수열들은 분할되지만, 표준적으로 분할되지는 않는다.

2.1. 체 계수

$X$와 $Y$가 위상 공간이고, $K$가 체일 때, 특이 호몰로지에 대한 퀴네트 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash bigoplus\_\{i+j=k\}\backslash operatorname\; H\_i(X;K)\backslash otimes\_K\backslash operatorname\; H\_j(Y;K)\backslash cong\backslash operatorname\; H\_k(X\backslash times\; Y;K)$

이는 베티 수의 생성함수에 대한 다음 항등식으로 표현될 수 있다.

:$b\_X(t)b\_Y(t)=b\_\{X\backslash times\; Y\}(t)$

코호몰로지 환에 대한 퀴네트 정리는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\; H^\backslash bullet(X;K)\backslash otimes\_K\backslash operatorname\; H^\backslash bullet(Y;K)\backslash cong\backslash operatorname\; H^\backslash bullet(X\backslash times\; Y;K)$

2.2. 주 아이디얼 정역 계수

계수가 주 아이디얼 정역 $R$인 경우, 퀴네트 정리에 따르면 다음과 같은 $R$-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

:$0\backslash to\backslash bigoplus\_\{i+j=k\}\backslash operatorname\; H\_i(X;R)\backslash otimes\_R\backslash operatorname\; H\_j(Y;R)\backslash to\backslash operatorname\; H\_k(X\backslash times\; Y;R)\backslash to\backslash bigoplus\_\{i+j=k-1\}\backslash operatorname\{Tor\}^R\_1(\backslash operatorname\; H\_i(X;R),\backslash operatorname\; H\_j(Y;R))\backslash to0$

여기서 $\backslash operatorname\{Tor\}$는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, 주 아이디얼 정역 $R$ 계수의 코호몰로지에 대하여, $R$-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

:$0\backslash to\; \backslash bigoplus\_\{i+j=k\}\backslash operatorname\; H^i(X;R)\backslash otimes\_R\backslash operatorname\; H^j(Y;R)\backslash to\backslash operatorname\; H^k(X\backslash times\; Y;R)\backslash to\backslash bigoplus\_\{i+j=k+1\}\backslash operatorname\{Tor\}^R\_1(\backslash operatorname\; H^i(X;R),\backslash operatorname\; H^j(Y;R))\backslash to\; 0$

여기서 $\backslash operatorname\{Tor\}$는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.

2.3. 호몰로지 스펙트럼 열

임의의 가환환 $R$ 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 퀴네트 스펙트럼 열(Künneth spectral sequence^영어) $E\_\{\backslash bullet\backslash bullet\}^\backslash bullet$로 표현된다. 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.
:$E\_\{pq\}^2\; =\; \backslash bigoplus\_\{q\_1\; +\; q\_2\; =\; q\}\; \backslash operatorname\{Tor\}^R\_p\backslash left(\backslash operatorname\; H\_\{q\_1\}(X;\; R),\; \backslash operatorname\; H\_\{q\_2\}(Y;\; R)\backslash right)$
이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다.
:$E\_\{pq\}^2\; \backslash Rightarrow\; E\_\{pq\}^\backslash infty\backslash cong\backslash operatorname\; H\_\{p+q\}(X\; \backslash times\; Y;\; R)$

보다 일반적으로, 위상군 $G$가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간 $X$ 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 $Y$가 주어졌고, $Y\backslash twoheadrightarrow\; Y/G$가 $G$-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우 $G$의 호몰로지 $\backslash operatorname\; H\_\backslash bullet(G;R)$는 자연스럽게 환을 이루며, 이는 $X$와 $Y$의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열
:$E\_\{pq\}^2=\backslash bigoplus\_\{q\_1+q\_2=q\}\backslash operatorname\{Tor\}\_p^\{\backslash operatorname\; H\_\backslash bullet(G;R)\}\backslash left(\backslash operatorname\; H\_\{q\_1\}(X;\; R),\; \backslash operatorname\; H\_\{q\_2\}(Y;\; R)\backslash right)$
은 다음과 같은 $G$-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.
:$E\_\{pq\}^2\backslash Rightarrow\; E\_\{pq\}^\backslash infty\backslash cong\backslash operatorname\; H\_\{p+q\}(X\backslash times\_GY;R)$
여기서
:$X\backslash times\_GY=\backslash frac\{X\backslash times\; Y\}\{(x,g\backslash cdot\; y)\backslash sim(x\backslash cdot\; g,y)\backslash ;\backslash forall\; g\backslash in\; G,x\backslash in\; X,y\backslash in\; Y\}$
이다. 이는 $G$가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.

2.4. 코호몰로지 스펙트럼 열

마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

:$E^\{pq\}\_2=\backslash bigoplus\_\{q\_1+q\_2=q\}\backslash operatorname\{Tor\}\_p^R\backslash left(\backslash operatorname\; H^\{q\_1\}(X;R),\backslash operatorname\; H^\{q\_2\}(Y;R)\backslash right)$

만약 $X$와 $Y$의 코호몰로지가 각 차수에서 $R$-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은 $X\backslash times\; Y$의 코호몰로지로 수렴한다.

:$E^\{pq\}\_2\backslash Rightarrow\; E^\{pq\}\_\backslash infty\backslash cong\backslash operatorname\; H^\{p+q\}(X\backslash times\; Y;R)$

보다 일반적으로, 연속 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; B$, $g\backslash colon\; Y\backslash to\; B$가 주어졌으며 $g$는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면 $\backslash operatorname\; H^\backslash bullet(B;R)$는 $X$와 $Y$의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.

* $B$는 단일 연결 공간이다.
* $X$, $Y$, $B$의 코호몰로지는 각 차수에서 $R$-유한 생성 가군이다.

그렇다면 스펙트럼 열

:$E^\{pq\}\_2=\backslash bigoplus\_\{q\_1+q\_2=q\}\backslash operatorname\{Tor\}\_p^\{\backslash operatorname\; H^\backslash bullet(B;R)\}\backslash left(\backslash operatorname\; H^\{q\_1\}(X;R),\backslash operatorname\; H^\{q\_2\}(Y;R)\backslash right)$

은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.

:$E^\{pq\}\_2\backslash Rightarrow\; E^\{pq\}\_\backslash infty\backslash cong\backslash operatorname\; H^\{p+q\}(X\backslash times\_B\; Y;R)$

여기서 $X\backslash times\_BY$는 범주론적 당김

:$X\backslash times\_BY=\backslash \{(x,y)\backslash in\; X\backslash times\; Y\backslash colon\; f(x)=g(y)\backslash \}$

이다. 이는 $B$가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.

3. 예시

두 개의 실사영 평면의 곱 $\backslash mathbb\{RP\}^2\; \backslash times\; \backslash mathbb\{RP\}^2$의 정수 계수를 갖는 호몰로지 군 $H\_k(\backslash mathbb\{RP\}^2\; \backslash times\; \backslash mathbb\{RP\}^2;\; \backslash Z)$은 다음과 같이 계산할 수 있다. 이 공간은 CW 복합체이다. 편의상 호몰로지 군 $H\_i(\backslash mathbb\{RP\}^2;\backslash Z)$를 $h\_i$로 표기하면, 세포 호몰로지를 사용해 간단히 계산하여 다음을 알 수 있다.
:$h\_0\backslash cong\; \backslash Z$,
:$h\_1\backslash cong\; \backslash Z/2\backslash Z$,
:$i$의 다른 모든 값에 대해 $h\_i=\; 0$
이러한 $h\_i$ 값에서 형성될 수 있는 유일한 0이 아닌 Tor 군(비틀림 곱)은
:$\backslash mathrm\{Tor\}^\{\backslash Z\}\_1(h\_1,\; h\_1)\; \backslash cong\; \backslash mathrm\{Tor\}^\{\backslash Z\}\_1(\backslash Z/2\backslash Z,\backslash Z/2\backslash Z)\backslash cong\; \backslash Z/2\backslash Z$이다.
따라서 퀴네트 짧은 완전 순서는 각 차수에서 동형 사상으로 축소되는데, 그 이유는 순서의 왼쪽 또는 오른쪽에 각 경우에 0 군이 있기 때문이다. 결과는 다음과 같다.
:$\backslash begin\{align\}$
H_0 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \;h_0 \otimes h_0 \;\cong \;\Z \\
H_1 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \; h_0 \otimes h_1 \; \oplus \; h_1 \otimes h_0 \;\cong \;\Z/2\Z\oplus \Z/2\Z \\
H_2 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \;h_1 \otimes h_1 \;\cong \;\Z/2\Z \\
H_3 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \;\mathrm{Tor}^{\Z}_1(h_1,h_1) \;\cong \;\Z/2\Z \\
\end{align}
그리고 다른 모든 호몰로지 군은 0이다.

4. 일반화된 호몰로지와 코호몰로지 이론

K-이론과 코보디즘이 가장 잘 알려져 있는, 위상 공간에 대한 많은 일반화된 (또는 "특별한") 호몰로지 및 코호몰로지 이론이 존재한다. 일반 호몰로지 및 코호몰로지와 달리, 일반적으로 체인 복합체를 사용하여 정의할 수 없다. 따라서 퀴네트 정리는 상동 대수의 위 방법으로는 얻을 수 없다. 그럼에도 불구하고, 퀴네트 정리는 매우 많은 경우에 다른 다양한 방법으로 동일한 형태로 증명되었다. 최초의 것은 마이클 아티야의 복소 K-이론에 대한 퀴네트 정리와 피에르 코너와 에드윈 플로이드의 코보디즘에 대한 결과였다. 이러한 모듈의 고도로 구조화된 링 스펙트럼에 대한 호모토피 이론을 기반으로 하는 일반적인 증명 방법이 나타났다. 이러한 모듈의 호모토피 범주는 호몰로지 대수의 유도 범주와 매우 유사하다.

5. 역사

독일의 수학자 헤르만 퀴네트(Hermann Künneth^독일어)가 1923년에 발표하였다.

6. 관련 수학 이론

공간 X × Y의 사슬 복합체는 자연스러운 준동형사상에 의해 X와 Y의 사슬 복합체와 관련된다. 특이 사슬의 경우, 이것은 아일렌버그-질버 정리이다. CW 복합체에 대한 세포 사슬의 경우, 이는 직접적인 동형사상이다. 그러면 오른쪽의 텐서 곱의 호몰로지는 호몰로지 대수의 분광 퀴네스 공식에 의해 주어진다.

사슬 모듈의 자유성은 이 기하학적 경우에 초호몰로지나 전체 도출 텐서 곱을 사용할 필요가 없음을 의미한다.

위의 명제들은 특이 코호몰로지와 층 코호몰로지에도 유사하게 적용된다. 대수적 다양체에 대한 층 코호몰로지의 경우, 알렉산더 그로텐딕은 두 사슬 복합체의 가능한 초호몰로지 군과 이들의 텐서 곱의 초호몰로지 군을 관련시키는 여섯 개의 스펙트럼 열을 발견했다.