펄스파

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1. 개요

펄스파는 푸리에 급수를 이용하여 주파수 영역에서 분석할 수 있는 파형이다. 펄스파는 기본 주파수와 그 정수배 주파수 성분들의 합으로 구성되며, 톱니파를 위상 변이된 톱니파에서 빼는 방식으로 생성할 수 있다. 펄스파는 전자 회로, 음악 합성, 신호 처리 등 다양한 분야에 응용되며, 듀티 사이클에 따라 고조파 스펙트럼이 결정된다.

펄스파

개요

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펄스파

종류	파형
관련 개념	듀티 사이클

설명

정의	펄스파는 주기적인 사각 파형이다.
특징	펄스 지속 시간(𝜏)과 주기(T) 사이의 비율인 듀티 사이클(D)을 가진다.
듀티 사이클 계산	D = 𝜏 / T
활용	펄스파는 전자 공학, 신호 처리, 디지털 논리 회로 등 다양한 분야에서 사용된다.
추가 설명	이상적인 펄스파는 순간적인 상승 및 하강 시간을 가지지만, 실제로는 유한한 시간이 걸린다.

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1. 개요
2. 주파수 영역 표현
- 2.1. 푸리에 급수 전개
3. 생성
4. 응용
- 4.1. 음악 합성

2. 주파수 영역 표현

펄스파는 푸리에 급수를 이용하여 주파수 영역에서 분석할 수 있다. 이는 펄스파가 시간에 따라 주기적으로 변하는 복잡한 파형이지만, 실제로는 여러 개의 단순한 사인파와 코사인파의 합으로 분해될 수 있음을 의미한다. 구체적으로, 펄스파는 그 파형의 기본이 되는 주파수 성분과 그 주파수의 정수배에 해당하는 주파수 성분들, 즉 고조파(Harmonics)들의 무한한 합으로 표현된다. 각 고조파 성분의 진폭과 위상은 펄스파의 듀티 사이클(Duty cycle) 등에 따라 달라진다.

이러한 주파수 성분 분석을 통해 펄스파가 어떤 주파수들을 포함하고 있는지, 각 주파수 성분의 세기는 어떠한지를 알 수 있다. 이는 통신 시스템이나 디지털 회로 설계 등에서 펄스파 신호를 다룰 때 매우 유용하게 활용된다.

펄스파의 구체적인 푸리에 급수 전개 공식과 각 항의 의미는 아래 '푸리에 급수 전개' 섹션에서 더 자세히 다룬다.

2.1. 푸리에 급수 전개

33.33% 펄스파의 푸리에 급수, 처음 50개 고조파(빨간색으로 합산)

주기

T

, 진폭

A

및 펄스 길이

\tau

를 갖는 사각 펄스파의 푸리에 급수 전개는 다음과 같다.

x(t) = A \frac{\tau}{T} + \frac{2A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} \sin\left(\pi n\frac{\tau}{T}\right) \cos\left(2\pi nft\right)\right)

여기서

f = \frac{1}{T}

이다.

동등하게, 듀티 사이클

d = \frac{\tau}{T}

를 사용하고

\omega = 2\pi f

인 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

x(t) = Ad + \frac{2A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n}\sin\left(\pi n d \right)\cos\left(n \omega t \right) \right)

참고로, 대칭성을 위해 이 전개에서 시작 시간(

t=0

)은 첫 번째 펄스의 중간 지점이다.

또는

x(t)

는 싱크 함수를 사용하여 정의

\operatorname{sinc}x = \frac{\sin \pi x}{\pi x}

를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

x(t) = A \frac{\tau}{T} \left(1 + 2\sum_{n=1}^\infty \left(\operatorname{sinc}\left(n\frac{\tau}{T} \right)\cos\left(2\pi n f t\right) \right) \right)

또는 듀티 사이클

d = \frac{\tau}{T}

를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

x(t) = A d \left(1 + 2\sum_{n=1}^\infty \left(\operatorname{sinc}\left(n d\right)\cos\left(2\pi n f t\right) \right) \right)

3. 생성

펄스파는 톱니파를 이용하여 생성할 수 있는데, 이는 일반적인 톱니파 신호에서 위상이 변이된 톱니파 신호를 빼는 방식으로 이루어진다. 이 과정에서 사용된 톱니파가 대역 제한된 신호일 경우, 결과로 생성되는 펄스파 역시 대역 제한된다.

4. 응용

펄스파는 그 독특한 고조파 스펙트럼과 음향적 특성으로 인해 음악 합성 분야에서 주로 활용된다.

4.1. 음악 합성

펄스파의 고조파 스펙트럼은 듀티 사이클에 의해 결정된다. 음향적으로 펄스파 소리는 좁고 얇으며, 비음이 많거나 웅웅거리고 날카로운 특성을 갖는 동시에, 깨끗하고 공명하며, 풍부하고 둥글면서 밝은 소리로 다양하게 묘사된다. 이러한 특성으로 인해 펄스파는 음악 합성에 활용되며, 대표적인 예로 스티브 윈우드의 노래 "While You See a Chance" 등에서 사용된 것을 들 수 있다.