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펄스파

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목차

1. 개요

펄스파는 푸리에 급수를 이용하여 주파수 영역에서 분석할 수 있는 파형이다. 펄스파는 기본 주파수와 그 정수배 주파수 성분들의 합으로 구성되며, 톱니파를 위상 변이된 톱니파에서 빼는 방식으로 생성할 수 있다. 펄스파는 전자 회로, 음악 합성, 신호 처리 등 다양한 분야에 응용되며, 듀티 사이클에 따라 고조파 스펙트럼이 결정된다.

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펄스파
개요
펄스파
펄스파
종류파형
관련 개념듀티 사이클
설명
정의펄스파는 주기적인 사각 파형이다.
특징펄스 지속 시간(𝜏)과 주기(T) 사이의 비율인 듀티 사이클(D)을 가진다.
듀티 사이클 계산D = 𝜏 / T
활용펄스파는 전자 공학, 신호 처리, 디지털 논리 회로 등 다양한 분야에서 사용된다.
추가 설명이상적인 펄스파는 순간적인 상승 및 하강 시간을 가지지만, 실제로는 유한한 시간이 걸린다.

2. 주파수 영역 표현

펄스파는 푸리에 급수를 이용하여 주파수 영역에서 분석할 수 있다. 이는 펄스파가 시간에 따라 주기적으로 변하는 복잡한 파형이지만, 실제로는 여러 개의 단순한 사인파와 코사인파의 합으로 분해될 수 있음을 의미한다. 구체적으로, 펄스파는 그 파형의 기본이 되는 주파수 성분과 그 주파수의 정수배에 해당하는 주파수 성분들, 즉 고조파(Harmonics)들의 무한한 합으로 표현된다. 각 고조파 성분의 진폭과 위상은 펄스파의 듀티 사이클(Duty cycle) 등에 따라 달라진다.

이러한 주파수 성분 분석을 통해 펄스파가 어떤 주파수들을 포함하고 있는지, 각 주파수 성분의 세기는 어떠한지를 알 수 있다. 이는 통신 시스템이나 디지털 회로 설계 등에서 펄스파 신호를 다룰 때 매우 유용하게 활용된다.

펄스파의 구체적인 푸리에 급수 전개 공식과 각 항의 의미는 아래 '푸리에 급수 전개' 섹션에서 더 자세히 다룬다.

2. 1. 푸리에 급수 전개

33.33% 펄스파의 푸리에 급수, 처음 50개 고조파(빨간색으로 합산)


주기 T, 진폭 A 및 펄스 길이 \tau를 갖는 사각 펄스파의 푸리에 급수 전개는 다음과 같다.[1]

x(t) = A \frac{\tau}{T} + \frac{2A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} \sin\left(\pi n\frac{\tau}{T}\right) \cos\left(2\pi nft\right)\right)

여기서 f = \frac{1}{T}이다.

동등하게, 듀티 사이클 d = \frac{\tau}{T}를 사용하고 \omega = 2\pi f인 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

x(t) = Ad + \frac{2A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n}\sin\left(\pi n d \right)\cos\left(n \omega t \right) \right)

참고로, 대칭성을 위해 이 전개에서 시작 시간(t=0)은 첫 번째 펄스의 중간 지점이다.

또는 x(t)는 싱크 함수를 사용하여 정의 \operatorname{sinc}x = \frac{\sin \pi x}{\pi x}를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

x(t) = A \frac{\tau}{T} \left(1 + 2\sum_{n=1}^\infty \left(\operatorname{sinc}\left(n\frac{\tau}{T} \right)\cos\left(2\pi n f t\right) \right) \right)

또는 듀티 사이클 d = \frac{\tau}{T}를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

x(t) = A d \left(1 + 2\sum_{n=1}^\infty \left(\operatorname{sinc}\left(n d\right)\cos\left(2\pi n f t\right) \right) \right)

3. 생성

펄스파는 톱니파를 이용하여 생성할 수 있는데, 이는 일반적인 톱니파 신호에서 위상이 변이된 톱니파 신호를 빼는 방식으로 이루어진다. 이 과정에서 사용된 톱니파가 대역 제한된 신호일 경우, 결과로 생성되는 펄스파 역시 대역 제한된다.

4. 응용

펄스파는 그 독특한 고조파 스펙트럼과 음향적 특성으로 인해 음악 합성 분야에서 주로 활용된다.

4. 1. 음악 합성

펄스파의 고조파 스펙트럼은 듀티 사이클에 의해 결정된다.[12][8][9][2][3][4][5][6] 음향적으로 펄스파 소리는 좁고[13] 얇으며,[7][8][9][10][11] 비음이 많거나[7][8][9][13] 웅웅거리고[11] 날카로운[10] 특성을 갖는 동시에, 깨끗하고[12] 공명하며,[12] 풍부하고[8][11] 둥글면서[8][11] 밝은[11] 소리로 다양하게 묘사된다. 이러한 특성으로 인해 펄스파는 음악 합성에 활용되며, 대표적인 예로 스티브 윈우드의 노래 "While You See a Chance" 등에서 사용된 것을 들 수 있다.[13]

참조

[1] 서적 The Scientist & Engineer's Guide to Digital Signal Processing
[2] 서적 Creating Sounds from Scratch Oxford University Press 2017
[3] 서적 Dance Music Manual Taylor & Francis 2013
[4] 서적 Handbook of Applications of Chaos Theory https://books.google[...] CRC Press 2017
[5] 웹사이트 Electronic Music Interactive: 14. Square and Rectangle Waves http://pages.uoregon[...]
[6] 서적 Signals, Sound, and Sensation Springer Science & Business Media 2004
[7] 웹사이트 Synth Secrets: Modulation http://www.soundonso[...] 2018-05-04
[8] 서적 Loops and Grooves Hal Leonard 2003
[9] 서적 How to Make a Noise https://books.google[...] BookBaby 2011
[10] 서적 Power Tools for Synthesizer Programming Hal Leonard 2004
[11] 서적 Synthesizer Basics Hal Leonard 1988
[12] 서적 Electronic and Experimental Music Routledge 2015
[13] 웹사이트 Synth Soloing in the Style of Steve Winwood http://www.keyboardm[...] 2018-05-04
[14] 웹사이트 Synth Secrets: Modulation http://www.soundonso[...] 2018-05-04


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