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페이버-잭슨 관계

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목차

1. 개요

페이버-잭슨 관계는 은하의 광도와 중심 별 속도 분산 사이의 경험적 관계를 나타낸다. 중력 결합 에너지, 비리얼 정리, 표면 밝기 상수 가정을 통해 이론적으로 유도되었으나, 실제로는 상수 표면 밝기 가정이 성립하지 않아 수정되었다. 수정된 관계는 은하의 크기에 따라 다르며, 이를 통해 은하까지의 거리를 추정하는 데 사용될 수 있다. 이 관계는 툴리-피셔 관계와 유사하게, 은하의 관측 가능한 특성을 이용하여 거리를 추정하는 데 기여하지만, 일정한 표면 밝기 가정을 지지하는 주장에 대한 비판과 논쟁이 존재한다.

2. 이론적 배경

페이버-잭슨 관계는 타원은하의 광도와 중심 별의 속도 분산 사이의 경험적 관계이다. 이 관계는 은하의 질량과 광도 사이의 관계를 이해하는 데 중요한 이론적 배경을 제공한다.

만약 질량 대 광도비(M/L)가 일정하고, 표면 밝기(B = L/(4 \pi R^2)) 또한 상수라고 가정하면 (이는 이론적으로 정당화되지 않은 가정이다), 광도(L)와 속도 분산(\sigma) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.[1]

:L \propto \sigma^4.

하지만 실제 은하는 상수 표면 밝기 가정을 따르지 않는다. 경험적으로 표면 밝기는 특정 값에서 정점을 보인다. 따라서 은하의 질량에 따라 다음과 같은 수정된 관계가 제시되었다.[1]


  • 덜 거대한 은하: L \propto \sigma^{3.1}
  • 더 거대한 은하: L \propto \sigma^{15.0}


이러한 수정된 관계는 기본 평면을 두 개의 기울어진 평면으로 분리한다.[1]

1972년 앨런 R. 샌디지는 은하단 은하의 표면 밝기가 일정하다고 주장했으나, 1975년 도널드 구데후스는 이 주장을 반박했다.[1]

2. 1. 중력 결합 에너지

질량 M과 반지름 R을 가진 질량 분포의 중력 위치 에너지는 다음과 같다.

:U=-\alpha \frac{GM^2}{R}

여기서 \alpha는 시스템의 밀도 프로필 등에 따라 달라지는 상수이며, G는 중력 상수이다. 상수 밀도의 경우, \alpha\ = \frac{3}{5}이다.

운동 에너지는 다음과 같다.

:K = \frac{1}{2}MV^2 = \frac{3}{2}M \sigma^2

(\sigma가 1차원 속도 분산임을 기억하자. 따라서, 3\sigma^2 = V^2이다.) 비리얼 정리(2 K + U = 0)에서 다음이 도출된다.

:\sigma^2 =\frac{1}{5}\frac{GM}{R}.

2. 2. 운동 에너지와 비리얼 정리

질량 M과 반경 R을 가진 질량 분포의 중력 위치 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:

U=-\alpha \frac{GM^2}{R}



여기서 α는 시스템의 밀도 프로필 등에 따라 달라지는 상수이며, G는 중력 상수이다. 상수 밀도의 경우, \alpha\ = \frac{3}{5}이다.

운동 에너지는 다음과 같다.

:

K = \frac{1}{2}MV^2 = \frac{3}{2}M \sigma^2



(\sigma가 1차원 속도 분산이므로, 3\sigma^2 = V^2이다.) 비리얼 정리(2 K + U = 0)에 의해 다음이 유도된다.

:

\sigma^2 =\frac{1}{5}\frac{GM}{R}.



만약 질량 대 광도비, M/L이 일정하다고 가정하면(예를 들어 M \propto L), 이 식과 위의 식을 사용하여 R과 \sigma^2 사이의 관계를 얻을 수 있다.

:

R \propto\frac{LG}{\sigma^2}.



표면 밝기 B = L/(4 \pi R^2)를 도입하고 이것이 상수라고 가정하면(이는 근본적인 이론적 관점에서 전혀 정당화되지 않은 가정이다),

:

L=4\pi R^2 B.



이것을 사용하여 R과 L 사이의 관계와 결합하면, 다음을 얻는다.

:

L \propto 4\pi\left(\frac{LG}{\sigma^2}\right)^2B



위의 식을 다시 쓰면, 광도와 속도 분산 사이의 관계를 얻는다.

:

L \propto\frac{\sigma^4}{4\pi G^2 B},



즉,

:

L \propto \sigma^4.


2. 3. 광도와 속도 분산의 관계

비리얼 정리에 따르면, 질량 M과 반경 R을 가진 질량 분포의 중력 위치 에너지와 운동 에너지는 다음과 같은 관계를 갖는다.[1]

:

U=-\alpha \frac{GM^2}{R}



:

K = \frac{1}{2}MV^2 = \frac{3}{2}M \sigma^2



:

\sigma^2 =\frac{1}{5}\frac{GM}{R}.



여기서 α는 시스템의 밀도 프로필 등에 따라 달라지는 상수이고, G는 중력 상수이며, \sigma는 1차원 속도 분산이다. 상수 밀도의 경우, \alpha\ = \frac{3}{5}이다.[1]

만약 질량 대 광도비, M/L이 일정하다고 가정하면(M \propto L), 위의 식들을 사용하여 R과 \sigma^2 사이의 관계를 얻을 수 있다.[1]

:

R \propto\frac{LG}{\sigma^2}.



표면 밝기 B = L/(4 \pi R^2)를 도입하고 이것이 상수라고 가정하면(이는 근본적인 이론적 관점에서 전혀 정당화되지 않은 가정이다),[1]

:

L=4\pi R^2 B.



이를 R과 L 사이의 관계와 결합하면 다음을 얻는다.[1]

:

L \propto 4\pi\left(\frac{LG}{\sigma^2}\right)^2B



위의 식을 다시 쓰면, 광도와 속도 분산 사이의 관계는 다음과 같다.[1]

:

L \propto\frac{\sigma^4}{4\pi G^2 B},



즉,

:

L \propto \sigma^4.



하지만, 거대한 은하는 상동 합병으로부터 기원하고, 더 희미한 은하는 소산으로부터 기원한다는 점을 감안할 때, 상수 표면 밝기 가정은 더 이상 지지될 수 없다. 경험적으로 표면 밝기는 약 M_V=-23에서 정점을 보인다. 따라서 수정된 관계는 다음과 같다.[1]

:

L \propto \sigma^{3.1}

(덜 거대한 은하)

:

L \propto \sigma^{15.0}

(더 거대한 은하)

이러한 수정된 공식을 사용하면 기본 평면이 서로 약 11도 기울어진 두 개의 평면으로 분리된다.[1]

앨런 R. 샌디지는 1972년에 세 개의 논리적 주장과 그의 경험적 데이터를 기반으로 첫 번째 랭크의 은하단 은하도 일정한 표면 밝기를 가진다고 주장하였으나, 1975년에 도널드 구데후스는 각 논리적 주장이 틀렸으며, 첫 번째 랭크의 은하단 은하가 약 0.5 등급의 표준 편차를 보인다는 것을 보여주었다.[1]

3. 수정된 페이버-잭슨 관계

(이전 출력이 비어있으므로 수정할 내용이 없습니다. 따라서 빈칸으로 출력합니다.)

4. 은하까지의 거리 측정

페이버-잭슨 관계는 툴리-피셔 관계와 마찬가지로 은하까지의 거리를 추정하는 수단을 제공한다. 은하까지의 거리는 직접적으로 측정하기 어렵지만, 은하의 다른 관측 가능한 특성들과 연관 지어 추정할 수 있다. 타원 은하의 경우, 분광법을 사용하여 별의 빛에서 나타나는 도플러 효과를 측정하면 중심 별 속도 분산을 비교적 쉽게 얻을 수 있다. 페이버-잭슨 관계를 이용하면 이 값을 통해 은하의 실제 광도를 추정할 수 있으며, 이는 은하의 겉보기 등급과 비교하여 거리 지수를 계산하고, 최종적으로 은하까지의 거리를 추정하는 데 사용된다.

4. 1. 거리 지수 활용

페이버-잭슨 관계는 툴리-피셔 관계와 마찬가지로, 은하까지의 거리를 추정하는 수단을 제공한다. 은하까지의 거리는 다른 방법으로는 얻기 어렵지만, 은하의 더 쉽게 관측 가능한 특성과 관련시켜 추정할 수 있다. 타원 은하의 경우, 별의 빛에서 방출되는 도플러 효과를 측정하기 위해 분광법을 사용하여 비교적 쉽게 측정할 수 있는 중심 별 속도 분산을 측정할 수 있다면, 페이버-잭슨 관계를 통해 은하의 실제 광도를 추정할 수 있다. 이는 은하의 겉보기 등급과 비교될 수 있으며, 이를 통해 거리 지수, 즉 은하까지의 거리를 추정할 수 있다.

은하의 중심 속도 분산을 중심 표면 밝기 및 반경 매개변수 측정과 결합하면 은하의 거리 추정을 더욱 개선할 수 있다. 1991년 구데후스(Gudehus)가 고안한 표준 자 또는 "감소된 은하 반경 매개변수" r_g는 체계적인 편향이 없고 약 31%의 정확도로 거리를 산출할 수 있다.[1]

4. 2. 감소된 은하 반경 매개변수 (r_g)

1991년 구데후스(Gudehus)가 고안한 표준 자 또는 "감소된 은하 반경 매개변수" r_g는 체계적인 편향이 없고 약 31%의 정확도로 거리를 산출할 수 있다.[1] 은하의 중심 속도 분산을 중심 표면 밝기 및 반경 매개변수 측정과 결합하면 은하의 거리 추정을 더욱 개선할 수 있다.[1]

참조

[1] 논문 Internal Dispersion of Velocities in Other Galaxies http://adsabs.harvar[...] 1962
[2] 논문 The kinematic properties of faint elliptical galaxies http://adsabs.harvar[...] 1983
[3] 논문 Mass-to-light ratios for elliptical galaxies http://adsabs.harvar[...] 1980


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