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비리얼 정리

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목차

1. 개요

비리얼 정리는 심플렉틱 다양체 위에서 정의된 비리얼의 시간 변화율의 평균이 0이라는 정리이다. 이 정리는 고전역학, 양자역학, 전자기학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 천문학에서 중력계의 운동 에너지와 위치 에너지 사이의 관계를 설명하는 데 유용하다. 비리얼 정리는 항성, 행성계, 백색 왜성, 은하, 은하단, 플라스모이드 등 다양한 천체 및 물리 시스템의 특성을 이해하고 계산하는 데 사용된다. 1870년 루돌프 클라우지우스가 도입한 '비리얼'이라는 용어는 라틴어 'vis'(힘, 에너지)에서 유래했다.

2. 정의

심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위에 국소 좌표 (q^i,p_i)를 설정하자. 여기서 \omega는 심플렉틱 형식으로 다음과 같이 표현된다.

:\omega=\sum_idq^i\wedge dp_i

이 좌표계를 이용하여 '''비리얼''' G를 다음과 같이 정의한다.

:G=\sum_iq^ip_i

비리얼 G의 시간에 대한 변화율 \dot G는 해밀턴 방정식을 이용하여 계산할 수 있다. 계의 해밀토니언을 H라고 하면, 일반화 속도 v^i = \dot q^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}와 일반화 힘 F_i = \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q^i}를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\dot G=\sum_i(\dot q^ip_i+q^i\dot p_i)=\sum_iv^ip_i+\sum_iF_iq^i

이제 어떤 선형 평균 연산 \langle\cdots\rangle을 도입하자. 이 평균 연산은 하나의 계가 시간에 따라 변하는 것을 평균하거나, 또는 여러 계로 이루어진 앙상블에 대한 평균일 수 있다. 만약 이 평균 연산에 대해 비리얼의 시간 변화율 평균이 0이라면, 즉

:\langle\dot G\rangle=0

이라면, 다음의 관계식이 성립한다.

:0=\langle\dot G\rangle=\langle\sum_iv^ip_i\rangle+\langle\sum_iF_iq^i\rangle

이 관계식을 '''비리얼 정리'''라고 한다. 이 정리는 계의 평균적인 운동 상태와 힘의 작용 사이의 관계를 나타낸다.

2. 1. 비상대론적 입자

N개의 점입자들이 각각 위치 \mathbf r_i에, 질량 m_i를 가지고, 이 계의 해밀토니언이 다음과 같다고 하자.

:H=\sum_i\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}+V_{\text{tot}}(\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_N)

여기서 \mathbf p_i는 i번째 입자의 운동량이고, V_{\text{tot}}는 계의 총 위치 에너지이다. 이 계의 '''비리얼''' G는 다음과 같이 정의된다.[4]

:G = \sum_{i=1}^N\mathbf p_i\cdot \mathbf r_i

비리얼 G를 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

:\frac{dG}{dt} = \sum_{i=1}^N \frac{d\mathbf p_i}{dt}\cdot \mathbf r_i + \sum_{i=1}^N\mathbf p_i\cdot \frac{d\mathbf r_i}{dt}

뉴턴의 제2 운동 법칙에 따라 \frac{d\mathbf p_i}{dt} = \mathbf F_i (입자 i에 작용하는 총 힘)이고, 정의에 따라 \frac{d\mathbf r_i}{dt} = \mathbf v_i (입자 i의 속도)이며 \mathbf p_i = m_i \mathbf v_i이다. 따라서 위 식은 다음과 같이 정리된다.

:\frac{dG}{dt} = \sum_{i=1}^N \mathbf F_i\cdot \mathbf r_i + \sum_{i=1}^N m_i \mathbf v_i \cdot \mathbf v_i

여기서 \sum_{i=1}^N m_i \mathbf v_i \cdot \mathbf v_i = \sum_{i=1}^N m_i v_i^2 = 2T 이므로 (T는 계의 총 운동 에너지), 다음 관계를 얻는다.

:\frac{dG}{dt} = 2T + \sum_{i=1}^N \mathbf F_i\cdot \mathbf r_i

이 식의 양변을 충분히 긴 시간 \tau에 대해 평균하면,

:\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle = \frac{1}{\tau} \int_0^\tau \frac{dG}{dt} dt = \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau}

만약 계가 유한한 공간에 한정되어 있고 각 입자의 운동량도 유한하다면, 비리얼 G는 특정 범위 내의 값을 가지게 된다. 따라서 시간이 충분히 길어지면 (\tau \to \infty), \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau}는 0으로 수렴한다. 그러므로 시간 평균에 대해 다음 식이 성립한다.

:0 = 2\left\langle T \right\rangle + \left\langle \sum_{i=1}^N \mathbf F_i\cdot \mathbf r_i \right\rangle

이것이 '''비리얼 정리'''이다. 여기서 \langle \cdot \rangle는 시간 평균을 의미한다.

만약 입자들 사이의 힘이 보존력이고, 두 입자 i, j 사이의 위치 에너지가 두 입자 사이의 거리 r_{ij} = |\mathbf r_i - \mathbf r_j|의 거듭제곱 n에 비례하는 형태, 즉 V_{ij} \propto r_{ij}^n 꼴이라고 가정하자. 계의 총 위치 에너지는 V_{\text{tot}} = \sum_{i이다. 이 경우, i번째 입자에 작용하는 힘 \mathbf F_i = -\nabla_{\mathbf r_i} V_{\text{tot}}를 이용하여 다음 관계를 유도할 수 있다.

:\sum_{i=1}^N \mathbf F_i\cdot \mathbf r_i = -n V_{\text{tot}}

이 관계를 비리얼 정리에 대입하면 다음과 같은 간단한 형태를 얻는다.

:2 \langle T \rangle = n \langle V_{\text{tot}} \rangle

즉, 계의 평균 운동 에너지는 평균 위치 에너지와 비례 관계에 있다.

특히, 만유인력이나 쿨롱 법칙과 같이 힘이 거리의 제곱에 반비례하는 경우 (V \propto r^{-1}), n = -1이 된다. 이 경우 비리얼 정리는 다음과 같다.

:2 \langle T \rangle = -\langle V_{\text{tot}} \rangle

이 관계는 천체역학 등 다양한 분야에서 유용하게 사용된다. 중력 시스템의 경우(n=-1), \frac{dG}{dt} = 2T + V_{\text{tot}}는 관성 모멘트 I = \sum m_k r_k^2의 시간 미분과 관련하여 라그랑주 항등식 \frac{1}{2}\frac{d^2I}{dt^2} = 2T + V_{\text{tot}}과 직접적으로 연결된다. 이 항등식은 라그랑주에 의해 유도되었고 야코비에 의해 확장되었다.

2. 2. 상대론적 입자

특수 상대성 이론에서 단일 입자의 운동 에너지 T는 다음과 같이 정의된다.

:T = (\gamma - 1) mc^2

여기서 m은 입자의 정지 질량, c는 광속이며, \gamma는 로렌츠 인자로 다음과 같다.

:\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}

(v는 입자의 속도, \beta = v/c는 속도 계수이다.)

입자의 운동량 \mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}와 속도 \mathbf{v}의 스칼라곱은 운동 에너지 T와 다음과 같은 관계를 가진다.

:\frac 12 \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} = \frac 12 (\gamma m \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = \frac 12 \gamma m v^2 = \frac 12 \gamma m (\beta c)^2 = \frac 12 \gamma \beta^2 mc^2

이를 운동 에너지 T로 표현하면,

:\frac 12 \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} = \left(\frac{\gamma \beta^2}{2(\gamma - 1)}\right) T

괄호 안의 계수는 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

:\frac{\gamma \beta^2}{2(\gamma - 1)} = \frac{\gamma (1 - 1/\gamma^2)}{2(\gamma - 1)} = \frac{\gamma^2 - 1}{2\gamma(\gamma - 1)} = \frac{(\gamma-1)(\gamma+1)}{2\gamma(\gamma - 1)} = \frac{\gamma + 1}{2 \gamma}

따라서 다음 관계가 성립한다.

:\frac 12 \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} = \left(\frac{\gamma + 1}{2 \gamma}\right) T

비상대론적 비리얼 정리의 유도 과정에서 \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{v}_k = 2T 항이 상대론적으로는 \sum_{k=1}^N 2 \left(\frac{\gamma_k + 1}{2 \gamma_k}\right) T_k 로 바뀌게 된다. 시스템에 작용하는 힘 \mathbf{F}_k가 거리 r의 n제곱에 비례하는 퍼텐셜 V \propto r^n에서 유도되고, 뉴턴의 제3 운동 법칙이 성립한다고 가정하면, G = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k의 시간 미분은 다음과 같다.

:\frac{dG}{dt} = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{v}_k + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k = \sum_{k=1}^N 2 \left(\frac{\gamma_k + 1}{2 \gamma_k}\right) T_k - n V_\text{TOT}

여기서 V_\text{TOT}는 시스템의 총 퍼텐셜 에너지이다.

시스템이 안정적이어서 G의 장시간 평균 변화율이 0이라고 가정하면, \langle dG/dt \rangle_\tau = 0 이므로 시간 평균된 비리얼 정리는 다음과 같다.

:\left\langle \sum_{k=1}^N \left(\frac{\gamma_k + 1}{ \gamma_k}\right) T_k \right\rangle_\tau = n \left\langle V_\text{TOT} \right\rangle_\tau

이를 총 운동 에너지 T_\text{TOT} = \sum T_k 와 관련지어 표현하면 다음과 같다.

:\left\langle \sum_{k=1}^N \left(\frac{\gamma_k + 1}{2 \gamma_k}\right) T_k \right\rangle_\tau = \frac{n}{2} \left\langle V_\text{TOT} \right\rangle_\tau[4]

특히, 모든 입자가 동일한 평균 로렌츠 인자 \gamma를 가진다고 근사하면, 평균 총 운동 에너지 \langle T_\text{TOT} \rangle와 평균 총 퍼텐셜 에너지 \langle V_\text{TOT} \rangle 사이의 관계는 다음과 같다.

:\left(\frac{\gamma + 1}{\gamma}\right) \langle T_\text{TOT} \rangle = n \langle V_\text{TOT} \rangle

따라서 두 에너지의 비율은 다음과 같다.

:\frac{ \langle T_\text{TOT} \rangle}{ \langle V_\text{TOT} \rangle} = \frac{n \gamma}{\gamma + 1}

로렌츠 인자 \gamma는 1 \le \gamma < \infty 의 범위를 가지므로, \frac{\gamma}{\gamma+1}는 \frac{1}{2} \le \frac{\gamma}{\gamma+1} < 1의 범위를 가진다. 따라서 에너지 비율은 다음 구간에 속하게 된다.

:\frac{n}{2} \le \frac{n \gamma}{\gamma+1} < n

입자의 속도가 광속 c에 비해 매우 느린 비상대론적 극한 (v \ll c)에서는 \beta \approx 0이고 \gamma \approx 1이므로, 비율 계수 \frac{\gamma}{\gamma+1} \approx \frac{1}{2}가 되어 2 \langle T_\text{TOT} \rangle \approx n \langle V_\text{TOT} \rangle 로 비상대론적 결과와 일치한다.

반대로 입자의 속도가 광속에 매우 가까운 극한 상대론적 경우 (v \approx c)에서는 \beta \approx 1이고 \gamma \to \infty이므로, 비율 계수 \frac{\gamma}{\gamma+1} \to 1이 된다. 이 경우 \langle T_\text{TOT} \rangle \approx n \langle V_\text{TOT} \rangle 가 된다.

예를 들어, 중력과 같이 n=-1인 경우, 에너지 비율 \frac{\langle T_\text{TOT} \rangle}{\langle V_\text{TOT} \rangle}는 [-\frac{1}{2}, -1) 범위에 있게 된다. 즉, 시스템이 더 상대론적이 될수록 (입자 속도가 빨라질수록), 같은 퍼텐셜 에너지에 대해 더 적은 운동 에너지를 가지게 된다.

2. 3. 비리얼이 상수일 조건

비리얼 정리는 비리얼 G의 평균 시간 변화율 \langle\dot G\rangle가 0일 때 성립한다. 즉, \langle \frac{dG}{dt} \rangle = 0일 때 비리얼 정리가 유효하다. 이 조건은 다양한 물리계에서 실제로 만족되는데, 대표적인 경우는 다음과 같다.

=== 시간 평균 ===

하나의 계에 대해 매우 긴 시간 \tau 동안의 평균 \langle\cdots\rangle_\tau를 생각해보자. 만약 계가 안정적이어서 입자들의 위치와 속도가 유한한 범위 내에 한정된다면 (즉, 계의 상태가 위상 공간의 어떤 콤팩트 집합 K 안에 존재한다면), 비리얼 G = \sum_i q^i p_i (또는 데카르트 좌표계에서 G = \sum_{i=1}^N\mathbf p_i\cdot \mathbf r_i)는 이 콤팩트 집합 K 위에서 연속함수이므로 최댓값 G_{\max}와 최솟값 G_{\min}을 갖는다. 다시 말해, 비리얼 G는 유한한 상한과 하한을 갖는다.

G의 시간 도함수 \dot G = \frac{dG}{dt}의 시간 평균은 다음과 같이 계산된다.



\langle\dot G\rangle_\tau = \left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_\tau = \frac{1}{\tau} \int_0^\tau \frac{dG}{dt} \,dt = \frac{1}{\tau} \int_{G(0)}^{G(\tau)} \,dG = \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau}



여기서 G(0)는 시간 t=0에서의 비리얼 값이고, G(\tau)는 시간 t=\tau에서의 비리얼 값이다.

G가 유한한 범위 [G_{\min}, G_{\max}] 내에 있으므로, 분자 G(\tau) - G(0)의 절댓값은 G_{\max} - G_{\min}보다 클 수 없다. 따라서 매우 긴 시간 \tau \to \infty의 극한에서 시간 평균 \langle\dot G\rangle_\tau는 0으로 수렴한다.



\lim_{\tau \to \infty} |\langle\dot G\rangle_\tau| = \lim_{\tau \to \infty} \left| \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau} \right| \le \lim_{\tau \to \infty} \frac{G_\max - G_\min}{\tau} = 0



그러므로 안정적으로 묶인 계(bound system)에서는 장시간 평균을 취하면 \langle\dot G\rangle_\tau = 0이 되어 비리얼 정리가 성립한다. 만약 시간 평균이 정확히 0이 아니라 0에 가깝다면, 비리얼 정리도 그만큼의 근사치로 성립한다.

=== 앙상블 평균 ===

시간 평균 대신 통계 역학적인 앙상블 평균 \langle\cdots\rangle을 사용할 수도 있다. 이 경우, 고려하는 계의 앙상블이 열역학적 평형 상태에 있다면 \langle\dot G\rangle = 0 조건이 만족되어 비리얼 정리가 성립한다.

만약 시스템이 에르고드 가설을 만족한다면, 장시간 시간 평균과 앙상블 평균은 동일한 결과를 주므로 어느 방법을 사용하든 비리얼 정리를 적용할 수 있다.

2. 4. 양자역학에서의 비리얼 정리

비리얼 정리는 비록 고전역학에서 유도되었지만 양자역학에서도 성립한다. 이 경우 평균 연산은 에너지 고유상태에서의 기댓값이며, 에너지 고유상태에서는 \langle\dot G\rangle=0이다. 비리얼 정리는 에렌페스트 정리를 사용하여 포크[5]가 처음으로 보인 바와 같이 양자 역학에도 적용된다.

해밀토니안 H를 다음과 같이 정의하자.

H = V\bigl(\{X_i\}\bigr) + \sum_n \frac{P_n^2}{2m_n}

여기서 V(\{X_i\})는 퍼텐셜 에너지 연산자이고, X_n은 입자 n의 위치 연산자, P_n은 입자 n의 운동량 연산자이다. 운동량 연산자는 다음과 같이 주어진다.

P_n = -i\hbar \frac{d}{dX_n}

해밀토니안과 연산자 X_n P_n의 교환자를 계산하면 다음과 같다.

[H, X_n P_n] = X_n [H, P_n] + [H, X_n] P_n = i\hbar X_n \frac{dV}{dX_n} - i\hbar\frac{P_n^2}{m_n}

모든 입자에 대해 이 교환자를 합하면, 연산자 Q = \sum_n X_n P_n에 대해 다음 관계를 얻는다.

\frac{i}{\hbar} [H, Q] = \sum_n \frac{P_n^2}{m_n} - \sum_n X_n \frac{dV}{dX_n} = 2 T - \sum_n X_n \frac{dV}{dX_n}

여기서 T = \sum_n P_n^2/2m_n는 총 운동 에너지 연산자이다.

하이젠베르크 방정식에 따르면, 연산자 Q의 시간 미분은 \frac{dQ}{dt} = \frac{i}{\hbar} [H, Q] 와 같다. 따라서 다음을 얻는다.

\frac{dQ}{dt} = 2 T - \sum_n X_n \frac{dV}{dX_n}

계가 정상 상태 (에너지 고유상태)에 있다면, 임의의 연산자 A의 기댓값 \langle A \rangle는 시간에 따라 변하지 않는다. 즉, \frac{d}{dt}\langle A \rangle = 0이다. 특히 \langle dQ/dt \rangle = 0 이므로, 위 식의 기댓값을 취하면 '''양자 비리얼 정리'''를 얻는다.

\langle \frac{dQ}{dt} \rangle = \left\langle 2 T - \sum_n X_n \frac{dV}{dX_n} \right\rangle = 0

2\langle T\rangle = \sum_n \left\langle X_n \frac{dV}{dX_n}\right\rangle

이는 양자역학적 계에서도 평균 운동 에너지의 두 배가 위치 에너지의 도함수와 관련된 항의 평균값과 같다는 것을 보여준다.

2. 5. 전자기장의 비리얼 정리

전자기장이 포함된 계에서도 비리얼 정리를 적용할 수 있다.[28]

입자들과 전자기장으로 구성된 계의 경우, 비리얼 G는 다음과 같이 정의된다.

:G=\sum_{i=1}^N\mathbf p_i\cdot\mathbf r_i+\iiint_V\mathbf r\cdot\mathbf P_{\text{em}}\,d^3\mathbf r

여기서 첫 번째 항은 입자들의 운동량 \mathbf p_i와 위치 벡터 \mathbf r_i의 곱의 합이고, 두 번째 항은 전자기장의 운동량 밀도(즉, 포인팅 벡터 \mathbf P_{\text{em}})와 위치 벡터 \mathbf r의 곱을 부피 V에 대해 적분한 값이다.

이때 비리얼 정리의 시간 미분 형태는 다음과 같다.

:\frac{dG}{dt} = 2T-\iint_{\partial V}\mathbf r\cdot p\,d\hat{\mathbf n}

여기서 T는 계의 총 운동 에너지이며, 다음을 모두 포함한다.

  • 계에 속한 입자들의 운동 에너지
  • 계의 열 에너지 (미시적 운동 에너지)
  • 계의 전자기장의 에너지


p는 계의 총 압력 텐서로, 입자에 의한 압력과 전자기장으로 인한 압력을 모두 포함한다. 그 성분 p_{ik}는 다음과 같이 표현된다.

:p_{ik}=\sum n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma - V_iV_k\sum m^\sigma n^\sigma+ \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right) - \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right)

여기서 첫 두 항은 유체의 압력을 나타내고, 나머지 두 항은 전자기장의 압력을 나타낸다. \varepsilon_0는 진공 유전율, \mu_0는 진공 투자율, E는 전기장, B는 자기장을 의미한다.

비리얼 정리는 다음과 같은 형태로 확장될 수도 있다.[22]

:\frac12\frac{d^2I}{dt^2} + \int_Vx_k\frac{\partial G_k}{\partial t} \, d^3r = 2(T+U) + W^\mathrm{E} + W^\mathrm{M} - \int x_k(p_{ik}+T_{ik}) \, dS_i

여기서 각 항은 다음과 같은 의미를 가진다.

  • I: 관성 모멘트
  • G_k: 포인팅 벡터로 표현되는 전자기장의 운동량 밀도
  • T: "유체"의 운동 에너지
  • U: 입자의 무작위 "열" 에너지
  • W^\mathrm{E}: 고려되는 부피 내의 전기 에너지
  • W^\mathrm{M}: 고려되는 부피 내의 자기 에너지
  • p_{ik}: 국소 이동 좌표계로 표현된 유체 압력 텐서

:p_{ik} = \Sigma n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma - V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma

  • T_{ik}: 맥스웰 응력 텐서

:T_{ik} = \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right) \delta_{ik} - \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right)

이러한 전자기장을 포함한 비리얼 정리는 플라스모이드(자기장과 플라즈마의 유한한 구성)와 같은 시스템을 분석하는 데 유용하다. 외부 힘에 의해 구속되지 않는 플라스모이드의 경우, 표면 적분 항(\int x_k(p_{ik}+T_{ik}) \, dS_i)은 사라진다. 나머지 항들(T, U, W^\mathrm{E}, W^\mathrm{M})은 모두 양수이므로, 관성 모멘트의 2차 시간 미분(\frac{d^2I}{dt^2}) 역시 양수가 된다. 이는 외부 구속이 없는 플라스모이드는 항상 팽창하는 경향이 있음을 의미한다.

또한, 비리얼 정리를 이용하여 플라스모이드의 팽창 시간 \tau를 추정할 수 있다. 총 질량 M이 반경 R 내에 갇혀 있다고 가정하면, 관성 모멘트는 대략 MR^2이고 비리얼 정리 좌변의 첫 항은 \frac{MR^2}{\tau^2} 정도로 근사할 수 있다. 우변의 에너지 항들은 플라즈마 압력 또는 자기 압력 중 더 큰 값을 p라고 할 때 대략 pR^3으로 근사할 수 있다. 이 두 값을 같다고 놓으면 팽창 시간 \tau는 다음과 같이 추정된다.

:\tau\,\sim \frac{R}{c_\mathrm{s}}

여기서 c_\mathrm{s}는 이온 음파의 속도 (또는 자기 압력이 플라즈마 압력보다 높으면 알벤파의 속도)이다. 따라서 플라스모이드의 수명은 음파 또는 알벤파가 플라스모이드를 가로지르는 시간과 비슷한 규모일 것으로 예상된다.

3. 응용

비리얼 정리는 천문학을 비롯한 다양한 과학 분야에서 중요한 도구로 활용된다. 특히 중력이 지배적인 시스템의 운동 에너지나 열 에너지와 중력 위치 에너지 사이의 관계를 분석하는 데 유용하다.

이 정리는 1870년 루돌프 클라우지우스가 열역학 연구를 바탕으로 제시한 개념에서 출발했으며, 이는 이미 라그랑주가 1772년 발표한 라그랑주 항등식과 카를 야코비, 라플라스 등의 연구에 뿌리를 두고 있다.[2] 이후 제임스 클러크 맥스웰, 레일리 경, 앙리 푸앵카레, 수브라마니안 찬드라세카르, 엔리코 페르미 등 여러 과학자들에 의해 확장되고 발전되었다.

천체물리학 분야에서 비리얼 정리는 항성, 행성계, 은하, 은하단과 같은 복잡한 중력 시스템의 특성을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어, 중력으로 묶인 안정적인 시스템에서는 평균 운동 에너지 \langle T \rangle_\tau가 평균 위치 에너지 \langle V_\text{TOT} \rangle_\tau의 절반과 같다는 관계(\langle T \rangle_\tau = -\frac12 \langle V_\text{TOT} \rangle_\tau)가 성립하여, 시스템의 전체 에너지나 질량, 크기, 온도 등을 추정하는 데 사용된다.

프리츠 츠비키는 비리얼 정리를 은하단에 적용하여 암흑 물질의 존재 가능성을 처음으로 제기했으며, 수브라마니안 찬드라세카르는 백색 왜성의 질량 상한선인 찬드라세카르 한계를 유도하는 데 이 정리를 활용했다.

이 외에도 비리얼 정리는 중심 퍼텐셜에서의 입자 운동 분석,[4] 분자 동역학에서 전하 분포와 에너지 분할 연구(리처드 베이더의 기여),[3] 기체 분자 운동론에서 기체의 압력 계산 등 다양한 물리 문제에 응용된다.

3. 1. 항성과 행성계

비리얼 정리는 천체물리학 분야에서 항성이나 행성계와 같은 중력이 지배적인 시스템을 이해하는 데 유용하게 사용된다. 특히, 중력으로 묶인 안정적인 계의 경우, 평균 운동 에너지 \langle T \rangle_\tau와 평균 중력 위치 에너지 \langle V_\text{TOT} \rangle_\tau 사이에 다음과 같은 간단한 관계가 성립한다.

\langle T \rangle_\tau = -\frac12 \langle V_\text{TOT} \rangle_\tau

이는 계의 전체 에너지를 알면 운동 에너지와 위치 에너지의 평균값을 각각 구할 수 있음을 의미한다.

질량이 m인 입자들로 구성된 구형 항성을 가정해 보자. 비리얼 정리를 이용하면 항성의 전체 질량 M, 반지름 R, 그리고 항성 내부 입자들의 평균 속도 v (또는 온도 T) 사이에 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.[4]

\frac35 \frac{GM}{R} = \frac32 \frac{k_\mathrm{B} T}{m_\mathrm{p}} = \frac12 v^2

여기서 G는 중력 상수, k_B는 볼츠만 상수, m_p는 양성자 질량이다. 이 식으로부터 항성의 질량을 다음과 같이 추정할 수도 있다.

M = \frac56\frac{v^2R}G

다만, 위 식에 나타나는 상수 인자(3/5, 1/2, 5/6 등)는 항성의 밀도 분포 등 세부적인 구조에 따라 달라질 수 있는 근사적인 값이다.

만약 계의 질량이 대부분 중심에 집중되어 있다면, 예를 들어 태양계에서 태양이 전체 질량의 대부분을 차지하는 경우, 비리얼 정리는 다른 형태로 나타난다. 이 경우, 특정 궤도 반지름 R에서 행성의 평균 속도 v는 다음과 같은 관계를 만족한다.

R^{-1}\propto v^2

이는 행성의 공전 주기 제곱이 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다는 케플러 제3 법칙과 동일한 내용을 나타낸다.

비리얼 정리는 별의 진화 과정을 이해하는 데에도 중요한 역할을 한다. 주계열성 단계에 있는 별들은 중심부에서 수소 핵융합을 통해 헬륨을 생성한다. 이 과정에서 중심부의 평균 분자량이 증가하면, 별은 자체 중력을 이기기 위해 수축하게 된다. 수축 과정에서 중력 위치 에너지는 감소(더 음수가 됨)하고, 비리얼 정리에 따라 내부 입자들의 운동 에너지, 즉 온도는 오히려 증가하게 된다. 에너지를 외부로 방출하면서도 중심 온도가 상승하는 이러한 현상은 별이 마치 음의 비열을 가진 것처럼 보이게 한다.[26] 이러한 과정은 별의 중심부가 전자 축퇴 상태와 같이 압력이 온도와 무관해지는 상태에 도달할 때까지 계속된다. 축퇴 상태에서는 일반적인 비리얼 관계가 더 이상 성립하지 않는다.[27]

이 외에도 비리얼 정리는 은하단과 같이 거대한 천체 구조의 총 질량을 추정하는 데 사용된다. 도플러 효과를 이용해 은하들의 시선 속도를 측정하고, 이를 통해 은하단의 운동 에너지를 추정할 수 있다. 비리얼 정리를 적용하면, 관측 가능한 물질만으로는 설명되지 않는 운동 에너지를 설명하기 위해 필요한 총 질량, 즉 암흑 물질을 포함한 전체 질량을 계산할 수 있다.

3. 2. 백색왜성

비리얼 정리를 사용하여, 백색 왜성의 찬드라세카르 한계를 유도할 수 있다. 천체물리학에서 비리얼 정리는 시스템의 중력 위치 에너지와 운동 에너지 또는 열 에너지를 관련시키는 데 자주 사용되며,[4] 특히 중력이 작용하는 시스템의 경우 평균 운동 에너지는 평균 위치 에너지의 -1/2배가 되는 관계를 가지는데, 이는 백색왜성과 같은 천체의 구조를 이해하는 데 적용될 수 있다.

3. 3. 은하와 은하단

삼각형자리 은하의 회전곡선. 관측된 회전곡선은 관측할 수 있는 질량의 분포와 어긋나며, 이를 통해 암흑 물질의 존재를 유추할 수 있다.


비리얼 정리는 은하와 은하단 같은 거대 천체 구조의 특성을 이해하는 데 유용하게 응용될 수 있다. 은하를 구성하는 항성(별)들의 속도는 도플러 효과를 이용하여 직접 관측할 수 있다. 은하 중심에서 특정 거리 r만큼 떨어진 별들의 평균 속력을 v(r)이라고 할 때, 이 함수를 은하의 회전곡선이라고 부른다. 이 회전곡선은 반지름 r 안에 포함된 총 질량 M(r)과 비리얼 관계를 갖는다. 따라서 은하의 회전곡선을 관찰하면 은하 내부의 질량이 어떻게 분포하는지 추정할 수 있다.

실제로 관측된 은하들의 회전곡선을 분석해 보면, 은하 중심에서 멀리 떨어진 외곽 지역에서도 별들의 회전 속도가 예상보다 느리게 감소하지 않는 현상이 발견된다. 이는 전자기파로 직접 관측되는 별이나 가스와 같은 '보이는' 물질만으로는 설명하기 어려운 현상이다. 이 관측 결과는 전자기파로 관측되지 않는 막대한 양의 질량이 은하 외곽까지 넓게 분포하고 있음을 시사한다. 이렇게 보이지 않으면서 중력을 통해 존재를 드러내는 미지의 물질을 암흑 물질이라고 부른다. 암흑 물질의 발견은 우주의 구성과 진화를 이해하는 데 중요한 전환점이 되었다.

은하단의 경우에도 비슷한 원리를 적용할 수 있다. 은하단을 구성하는 개별 은하들의 속력을 측정하고 비리얼 정리를 적용하면, 은하단 전체의 질량 분포를 계산할 수 있다.

천문학자 프리츠 츠비키는 1933년 코마 은하단을 연구하면서 비리얼 정리를 처음으로 적용하여 암흑 물질의 존재를 강력하게 시사했다.[9] 그는 은하단 내 은하들의 속도 분산을 측정하고 비리얼 정리를 이용해 은하단의 총 질량을 계산했다. 그 결과, 관측 가능한 은하들의 질량을 모두 합한 것보다 훨씬 큰 질량이 필요하다는 결론에 도달했다. 츠비키는 이 '잃어버린 질량'을 설명하기 위해 "dunkle Materie|둥클레 마테리de(암흑 물질)"라는 용어를 사용했다. 그의 초기 계산은 약 450배의 질량 불일치를 보였으며, 1937년의 개선된 분석에서는 약 500배의 불일치를 확인했다.[10][11] 츠비키는 코마 은하단을 동일한 질량 m을 가진 N개의 은하로 이루어진 구형 가스로 가정하고, 평균 속도 제곱 \langle v^2 \rangle과 평균 거리 역수 \langle 1/r \rangle를 이용하여 비리얼 정리를 적용했다. 이를 통해 추정한 은하단의 총 질량은 관측된 질량보다 훨씬 컸으며, 이는 암흑 물질이 우주 질량의 상당 부분을 차지한다는 강력한 증거가 되었다.

비리얼 정리는 천체물리학에서 시스템의 중력 위치 에너지와 운동 에너지 또는 열 에너지를 연관시키는 데 자주 사용된다. 질량 M, 반경 R, 속도 v, 온도 T를 가진 시스템에 대해 다음과 같은 일반적인 비리얼 관계식이 근사적으로 사용된다.

\frac35 \frac{GM}{R} = \frac32 \frac{k_\mathrm{B} T}{m_\mathrm{p}} = \frac12 v^2

여기서 G는 중력 상수, k_B는 볼츠만 상수, m_p는 양성자 질량이다. 이 관계식들은 근사치이며, 때로는 상수 계수(예: 3/5 또는 1/2)가 생략되기도 한다.

=== 비리얼 질량과 비리얼 반지름 ===

천문학에서는 은하나 은하단과 같은 천체의 질량과 크기를 "비리얼 질량"(virial mass)과 "비리얼 반지름"(virial radius)이라는 개념으로 정의하기도 한다. 은하나 우주 거대 구조 내의 물질 밀집 영역은 경계가 명확하지 않고 넓게 퍼져 있는 경우가 많아 질량과 크기를 명확히 정의하기 어렵다. 따라서 비리얼 정리를 이용해 이를 정량화하는 것이다.

은하 동역학에서는 회전 속도 외에도 속도 분산 \sigma를 이용하여 비리얼 정리를 적용할 수 있다. 시스템의 평균 운동 에너지를 T \approx \frac{3}{2}\sigma^2로, 위치 에너지를 U \approx -\frac{3}{5}\frac{GM}{R}로 근사하면, 비리얼 정리(2\langle T \rangle = -\langle U \rangle)로부터 다음과 같은 관계를 얻는다.

\frac{GM}{R} \approx \sigma^2.

여기서 R은 속도 분산이 측정된 영역의 반지름이고, M은 그 반지름 내의 질량이다. 일반적으로 속도 분산이 최대가 되는 지점의 반지름을 비리얼 반지름 R_\text{vir}으로, 그 안의 질량을 비리얼 질량 M_\text{vir}으로 정의한다.

\frac{GM_\text{vir}}{R_\text{vir}} \approx \sigma_\max^2.

우주론에서는 약간 다른 방식으로 비리얼 반지름과 질량을 정의하기도 한다. 은하나 은하단과 같은 구조가 중력적으로 안정된 상태(비리얼 평형)를 이루고 있는 구체의 반지름을 기준으로 삼는다. 이 반지름은 관측적으로 결정하기 어렵기 때문에, 해당 구체 내부의 평균 밀도가 우주의 임계 밀도 \rho_\text{crit}의 특정 배수(보통 200배)가 되는 반지름 r_{200}으로 근사하는 경우가 많다.

\rho_\text{crit}=\frac{3H^2}{8\pi G}

여기서 H는 허블 상수, G는 중력 상수이다. 이 정의에 따른 비리얼 반지름은 r_\text{vir} \approx r_{200}이며, 비리얼 질량은 다음과 같이 정의된다.

M_\text{vir} \approx M_{200} = \frac43\pi r_{200}^3 \cdot 200 \rho_\text{crit} .

이러한 정의들은 여러 근사를 포함하고 있으므로, 주로 크기의 정도를 비교하거나 일관된 방식으로 사용할 때 유용하다.

3. 4. 플라스모이드의 수명

주어진 원본 소스에는 '플라스모이드의 수명'에 대한 내용이 포함되어 있지 않아 해당 섹션의 내용을 작성할 수 없습니다.

4. 일반화

1900년, 레일리 경은 비리얼 정리의 일반화를 발표했고,[12] 이는 1903년에 부분적으로 재인쇄되었다.[13] 앙리 푸앵카레는 1911년 비리얼 정리의 한 형태를 증명하고 원시별 구름(당시에는 우주론)으로부터 태양계가 형성되는 문제에 적용했다.[14] 비리얼 정리의 변분 형태는 1945년 Ledoux에 의해 개발되었다.[15] 비리얼 정리의 텐서 형태는 Parker,[16] 찬드라세카르[17] 및 페르미에 의해 개발되었다.[18] 1964년 Pollard는 역제곱 법칙의 경우에 대해 비리얼 정리의 다음 일반화를 확립했다:[19][20]



2\lim_{\tau\to+\infty} \langle T\rangle_\tau =

\lim_{\tau\to+\infty} \langle U\rangle_\tau \quad \text{if and only if} \quad \lim_{\tau\to+\infty}{\tau}^{-2}I(\tau) = 0.



그렇지 않으면 ''경계'' 항을 추가해야 한다.[21]

고전역학계에서 비리얼 정리를 유도하기 위해 비리얼 ''G''를 다음과 같이 정의한다.

G = \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{p}_i

이를 시간으로 미분하면 다음 관계를 얻는다.

\frac{d G}{dt} = \sum_i \frac{d \mathbf{r}_i}{dt} \cdot \mathbf{p}_i + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \frac{d \mathbf{p}_i}{dt} = \sum_i \frac{\mathbf{p}_i}{m_i} \cdot \mathbf{p}_i + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i = 2K + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i

즉,

\frac{d G}{dt} = 2K + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i.

이 식의 양변을 0부터 시간 ''t'' 범위로 적분하여 ''t''로 나누고 ''t'' → ∞의 극한을 취하여 장시간 평균을 구한다. 입자가 움직일 수 있는 범위가 유한하면 비리얼 ''G''도 유한하므로 좌변은 0으로 수렴한다.

\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} \frac{d G}{dt} dt = \lim_{t \to \infty} \frac{G(t)-G(0)}{t} =0.

따라서,

0=2 \left\langle K \right\rangle + \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle

이로부터 비리얼 정리

\left\langle K \right\rangle = -\frac{1}{2} \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle

를 얻는다.

만약 계의 포텐셜 에너지 ''V''가 중심력 포텐셜이며, 입자 간 거리의 ''n'' + 1승 (''r''''n'' + 1)에 비례하는 형태, 즉

V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N) = \sum_{i

로 나타내어지는 경우, 입자 ''i''에 작용하는 힘 '''F'''''i''는 다음과 같다.

\mathbf{F}_i = -\nabla_{\mathbf{r}_i} V = -(n+1) \sum_{j \ne i} a_{ij} (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}) |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n-1} = \sum_{j \ne i} \mathbf{F}_{ij}

여기서 '''F'''''ij''는 입자 ''j''가 입자 ''i''에 작용하는 힘이다.

\mathbf{F}_{ij}= - (n+1) a_{ij} (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}) |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n-1}

비리얼 정리의 우변 항 \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i를 계산하면,

\sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i = \sum_{i \ne j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ij}

이 합을 ''i'' > ''j''와 ''i'' < ''j''로 나누고, 첨자 교환에 대한 반대칭성 '''F'''''ji'' = −'''F'''''ij''를 이용하면 다음과 같이 정리된다.

\sum_{i \ne j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} = \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} + \sum_{i < j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} = \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} + \sum_{j < i} \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{F}_{ij} = \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji} - \sum_{j < i} \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{F}_{ji} = \sum_{i > j} (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) \cdot \mathbf{F}_{ji} = -(n+1) V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N)

따라서, 중심력 포텐셜에 관한 비리얼 정리는 다음과 같다.

\left\langle K \right\rangle = \frac{n+1}{2} \left\langle V \right\rangle

일반화된 비리얼 정리를 '''초 비리얼 정리'''(hypervirial theoremeng)라고 한다. 좌표 '''r'''과 켤레 운동량 '''P'''를 변수로 하는 임의의 함수 ''W''('''r''', '''P''')를 생각하자. 해밀토니안을 ''H''라고 할 때, 고전역학에서는 푸아송 괄호의 시간 평균이 0이 된다.

\left\langle [W,H] \right\rangle = 0

이것이 고전적인 초 비리얼 정리이다. 양자역학에서는 위 교환자의 바닥 상태에서의 기댓값이 0이 된다.

\left\langle 0|[W,H]|0 \right\rangle = 0

이것이 양자역학적인 초 비리얼 정리이다. 여기서 ''W''로서 위의 비리얼, 즉

W = \mathbf{r} \cdot \mathbf{P}

를 선택하면 통상적인 비리얼 정리가 유도된다.

5. 역사와 어원

비리얼 정리는 실수에 대한 라그랑주 항등식으로부터 유도된다.

비리얼 정리의 초기 형태는 조제프루이 라그랑주가 1772년에 출판한 "삼체 문제에 관한 에세이"(Essai sur le problème des trois corps프랑스어)에 포함된, 고전적 중력 역학에 적용된 라그랑주 항등식에서 직접 비롯되었다.[2] 이후 카를 야코비는 라그랑주의 항등식을 ''N''개의 물체로 일반화하여 현재의 고전적 비리얼 정리와 매우 유사한 형태를 만들었다.[2] 그러나 당시에는 통계 역학이 열역학과 고전 역학을 통합하지 않았기 때문에, 방정식을 개발하는 해석 방식은 상당히 달랐다.[2]

1870년, 루돌프 클라우지우스는 20년간의 열역학 연구 끝에 "열에 적용 가능한 기계적 정리"라는 강연에서 '비리얼'(virial|비리얼영어)이라는 용어와 비리얼 정리를 처음 도입했다.[29][2] '비리얼'은 라틴어 단어 vīs|비스la(힘, 에너지)에서 유래했다.[29] 클라우지우스는 이 강연에서 시스템의 평균 운동 에너지는 그 비리얼과 같거나, 평균 위치 에너지의 절반과 같다고 언급했다.[2]

이후 비리얼 정리는 제임스 클러크 맥스웰, 레일리 경(1900년 일반화 발표[12][13]), 앙리 푸앵카레(1911년 증명 및 원시별 구름 형성 문제 적용[14]), 수브라마니안 찬드라세카르, 엔리코 페르미, 폴 레두(1945년 변분 형태 개발[15]), 유진 파커[16] 등에 의해 활용되고 일반화되며 더욱 발전했다.[2] 비리얼 정리의 텐서 형태는 파커,[16] 찬드라세카르,[17] 페르미[18]에 의해 개발되었다. 리처드 베이더는 전체 시스템의 전하 분포가 비리얼 정리를 따르는 운동 에너지와 위치 에너지로 분할될 수 있음을 보여주었다.[3]

1933년, 프리츠 츠비키는 코마 은하단의 질량을 추정하기 위해 비리얼 정리를 적용하여 관측된 질량과 계산된 질량 사이에 큰 불일치(약 450배)를 발견했고, 이를 설명하기 위해 처음으로 '암흑 물질'(Dunkle Materiede)의 존재를 제안했다.[9][2] 그는 1937년에 분석을 개선하여 약 500배의 불일치를 확인했다.[10][11]

비리얼 정리는 다양한 분야에 응용되었는데, 예를 들어 백색왜성의 안정성에 대한 찬드라세카르 한계를 유도하는 데 사용되었다.[3]

참조

[1] 논문 On a Mechanical Theorem Applicable to Heat
[2] 서적 The Virial Theorem in Stellar Astrophysics http://ads.harvard.e[...] Pachart Press
[3] 논문 Virial Field Relationship for Molecular Charge Distributions and the Spatial Partitioning of Molecular Properties https://aip.scitatio[...]
[4] 서적 Classical mechanics Addison-Wesley 1980
[5] 논문 Bemerkung zum Virialsatz
[6] 논문 Nonlinear scalar field equations, I existence of a ground state https://link.springe[...]
[7] 논문 Using the virial theorem https://pubs.aip.org[...] 1986-12
[8] 웹사이트 2.11: Virial Theorem https://phys.librete[...] 2023-06-07
[9] 논문 The Redshift of Extragalactic Nebulae https://resolver.cal[...] 1933
[10] 논문 On the Masses of Nebulae and of Clusters of Nebulae 1937-10
[11] 논문 History of dark matter https://link.aps.org[...] 2018-10-15
[12] 논문 XV. On a theorem analogous to the virial theorem https://zenodo.org/r[...] 1900-08
[13] 서적 Scientific Papers: 1892–1901 https://books.google[...] Cambridge: Cambridge University Press 1903
[14] 서적 Leçons sur les hypothèses cosmogoniques Hermann
[15] 논문 On the Radial Pulsation of Gaseous Stars
[16] 논문 Tensor Virial Equations
[17] 논문 The Potentials and the Superpotentials of Homogeneous Ellipsoids
[18] 논문 Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field
[19] 논문 A sharp form of the virial theorem
[20] 서적 Mathematical Introduction to Celestial Mechanics Prentice–Hall, Inc.
[21] 논문 A high-temperature approximation for the path-integral quantum Monte Carlo method 1996-07
[22] 서적 Physics of High Temperature Plasmas Academic Press
[23] 논문 The virial theorem and the kinetic energy of particles of a macroscopic system in the general field concept 2016
[24] 논문 The integral theorem of generalized virial in the relativistic uniform model http://em.rdcu.be/wf[...] 2018-09-24
[25] 논문 The Integral Theorem of the Field Energy https://dergipark.or[...]
[26] 서적 AN INTRODUCTION TO ASTROPHYSICS https://books.google[...] PHI Learning Pvt. Ltd. 2010-01-01
[27] 서적 Advanced Stellar Astrophysics https://books.google[...] Cambridge University Press 1998-04-16
[28] 서적 Physics of High Temperature Plasmas Academic Press
[29] 논문 On a mechanical theorem applicable to heat 1870


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