평행각

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1. 개요

평행각은 1840년 니콜라이 로바체프스키에 의해 처음 제시된 개념으로, 쌍곡 기하학에서 평행선의 존재성과 유일성을 증명하는 데 중요한 역할을 한다. 평행각은 직선 r 위에 있지 않은 점 A를 지나고 직선 r에 점근적으로 평행한 직선 s를 작도하는 과정에서 나타나는 각도이다. 쌍곡 평면의 푸앵카레 반평면 모델에서 유클리드 기하학을 사용하여 평행각 Φ와 거리 a의 관계를 설정할 수 있으며, tanΦ = 1/sinh a 공식을 통해 표현된다.

평행각

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1. 개요
2. 역사
3. 작도
4. 평행각 공식
5. 푸앵카레 반평면 모델

2. 역사

니콜라이 로바체프스키는 1840년 독일어로 출판된 그의 저서 "평행선의 이론에 대한 기하학적 연구"에서 평행각 개념을 처음으로 제시하였다.

이 저서는 1891년 텍사스 대학교의 G. B. 할스테드 교수가 "Geometrical researches on the theory of parallels"라는 제목으로 번역하면서 영어권에 널리 알려지게 되었다.

할스테드의 번역본은 쌍곡 기하학에서 평행각을 다음과 같이 정의한다.

:"평행선 HA와 수직선 AD 사이의 각 HAD를 평행각(평행각)이라고 부르며, 여기서는 AD = p에 대해 Π(p)로 표기한다."

3. 작도

야노시 볼라이는 직선 r 위에 있지 않은 점 A를 지나고, 직선 r에 점근적으로 평행한 직선 s를 그리는 작도법을 발견했다. 이 작도법은 다음과 같은 단계를 거친다.

1. 점 A에서 직선 r에 수선을 내려 점 B에서 만난다.
2. r 위의 B와 다른 점 C를 선택한다.
3. C에서 r에 수선 t를 세운다.
4. 점 A에서 t에 수선을 내려 점 D에서 만난다.
5. 그러면, 길이 DA는 CB보다 길지만, CA보다는 짧다.
6. 반지름이 DA와 같은 원을 C를 중심으로 그린다.
7. 이 원은 선분 AB와 점 E에서 교차한다.
8. 그러면 각 BEC는 BC의 길이에 관계없이, 오직 AB에만 의존하며, 이것이 평행각이다.
9. AB에서 BEC 각도로 점 A를 지나도록 s를 작도한다.

이때, 직선 s는 직선 r에 점근적으로 평행하다.

여기서 사용된 공식은 직각삼각형의 삼각법을 참조하라.

4. 평행각 공식

야노시 볼라이는 직선 r 위에 있지 않은 점 A를 지나고, 직선 r에 점근적으로 평행한 직선 s를 작도하는 방법을 발견했다. 평행각 Π(p)는 주어진 점과 직선 사이의 거리 p에 대한 함수로 표현된다. 평행각과 거리 사이의 관계는 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다.

: $\tan \phi = \frac{1}{\sinh a}.$

여기서 Φ는 평행각, a는 점 (0, y)에서 (0, 1)까지의 쌍곡선 거리, sinh는 쌍곡사인 함수를 나타낸다.

이 공식은 쌍곡 평면의 푸앵카레 반평면 모델(쌍곡 운동 참조)에서 유클리드 기하학을 이용하여 유도할 수 있다.

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5. 푸앵카레 반평면 모델

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쌍곡 평면의 푸앵카레 반평면 모델(쌍곡 운동 참조)에서 유클리드 기하학을 사용하여 Φ와 a의 관계를 설정할 수 있다. Q를 (1,0)과 (0,y) 점을 통과하고 x축에 지름이 있는 반원이라고 하자(여기서 y > 1). Q는 원점을 중심으로 하는 단위 반원에 접하므로 두 반원은 평행한 쌍곡선을 나타낸다. y축은 두 반원을 모두 교차하여 단위 반원과는 직각을 이루고, Q와는 가변 각도 Φ를 이룬다. (0, y)까지의 반지름에 의해 만들어지는 Q의 중심에서의 각도도 Φ인데, 이는 두 각도가 왼쪽 변에서 왼쪽 변으로, 오른쪽 변에서 오른쪽 변으로 수직인 변을 갖기 때문이다. 반원 Q는 (x, 0) (x < 0)을 중심으로 하므로 반지름은 1 − x이다. 따라서 Q의 반지름 제곱은 다음과 같다.

: $x^2 + y^2 = (1 - x)^2,$

따라서

: $x = \tfrac{1}{2}(1 - y^2).$

쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델의 계량은 로그 척도로 {(y > 0 }의 광선에 대한 거리를 매개변수화한다. (0, y)에서 (0, 1)까지의 쌍곡선 거리를 a라고 하면, log y − log 1 = a이다. 따라서 y = e^a 이고, 여기서 e는 자연 로그의 밑이다.

Φ와 a의 관계는 {(x, 0), (0, 0), (0, y)} 삼각형에서 추론할 수 있다.

: $\tan\phi = \frac{y}{-x} = \frac{2y}{y^2 - 1} = \frac{2e^a}{e^{2a} - 1} = \frac{1}{\sinh a}.$