유클리드 기하학
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1. 개요
유클리드 기하학은 유클리드의 《원론》을 기반으로 하는 기하학으로, 평면 기하학에 대한 다섯 개의 공준(공리)을 제시한다. 이 공준들은 점, 선, 원과 같은 기본적인 기하학적 대상들의 관계를 정의하며, 이를 통해 다양한 기하학적 정리들을 증명한다. 유클리드 기하학은 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 작도하는 구성적 증명 방법을 사용하며, 넓이와 부피를 측정하는 데 각도와 거리를 활용한다. 응력 해석, 기어 설계, 광학 렌즈 설계, 항공기 날개 설계, CAD 시스템 등 다양한 공학 분야에 활용되며, 측량, 건축, 종이 접기 디자인에도 적용된다. 19세기 비유클리드 기하학의 등장과 20세기 상대성 이론의 발전은 유클리드 기하학의 한계를 보여주었지만, 여전히 3차원 공간을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
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현은 원 둘레를 두 호로 나누는 선분으로, 원에 내접하는 정다각형의 변이 될 수 있으며, 원의 중심을 지나는 가장 긴 현은 지름이라고 한다.
| 유클리드 기하학 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 유형 | 기하학의 한 분야 |
| 연구 대상 | 점, 선, 면, 각, 거리, 도형의 성질 |
| 공리 | 유클리드 원론의 5개의 공준 |
| 특징 | 직관적인 공간 개념에 기반 |
| 역사 | |
| 기원 | 고대 그리스 |
| 발전 | 유클리드에 의해 체계화, 이후 수 세기 동안 표준 기하학으로 인정 |
| 비유클리드 기하학 등장 | 19세기, 비유클리드 기하학의 등장으로 새로운 발전 |
| 기본 요소 | |
| 기본 요소 | 점, 선, 면 |
| 도형 | 삼각형, 사각형, 원, 다면체, 구 |
| 관계 | 평행, 수직, 합동, 닮음 |
| 유클리드 공간 | |
| 정의 | 유클리드 기하학의 기본 배경이 되는 공간 |
| 특징 | 3차원 공간, 데카르트 좌표계로 표현 가능 |
| 주요 정리 | |
| 주요 정리 | 피타고라스 정리 탈레스 정리 삼각형의 합동 조건 삼각형의 닮음 조건 |
| 응용 | |
| 응용 분야 | 건축 공학 천문학 측량 컴퓨터 그래픽스 |
| 관련 분야 | |
| 관련 분야 | 해석기하학 미분기하학 위상수학 사영기하학 비유클리드 기하학 |
| 참고 문헌 | |
| 참고 문헌 | Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Revised Edition, Holt, Rinehart and Winston, 1963, ISBN 0-03-002918-6. |
| 외부 링크 | |
| 외부 링크 | MathWorld: Euclidean Geometry 고리로 자르기: 유클리드 기하학 |
2. 유클리드 기하학의 공준
유클리드 기하학은 모든 정리("참된 명제")가 소수의 간단한 공리로부터 유도되는 공리계이다. 비유클리드 기하학이 등장하기 전까지, 이 공리들은 물리 세계에서 명백히 참으로 여겨졌으며, 따라서 모든 정리 또한 마찬가지로 참일 것으로 생각되었다. 그러나 유클리드의 추론 방식 자체는 물리적 현실과 별개로 논리적으로 유효하다.[4]
유클리드는 그의 저서 《원론》 제1권의 시작 부분에서 평면 기하학에 대한 다섯 개의 공준 (공리)과 다섯 개의 "공통 관념"을 제시했다.[5] 이 공준들은 점, 선, 원의 작도와 관련된 기본적인 가정들을 포함하며, 특히 다섯 번째 공준인 평행선 공준은 이후 기하학의 역사에서 중요한 논쟁점이 되었다. 공통 관념들은 덧셈, 뺄셈 등 기본적인 논리적 원리들을 다룬다.
고대 이집트나 고대 그리스 등에서 활발히 연구되던 기하학의 성과를 유클리드는 《원론》의 1~4권에서 체계적으로 정리했다. 그는 먼저 점이나 선과 같은 기본 개념을 정의하고, 공리를 제시하여 공리계를 확립한 뒤, 이를 바탕으로 500개가 넘는 정리를 증명하는 방식을 사용했다. 이러한 체계적인 접근 방식은 현대 수학과 유사하며, 그 완성도가 높아 이후 오랫동안 기하학 연구의 기초가 되었고, 유럽에서는 중요한 교양으로 여겨졌다.
이처럼 유클리드에 의해 기초가 다져지고 발전한 기하학 체계를 유클리드 기하학이라고 부른다. 유클리드 기하학은 우리가 직관적으로 이해하는 공간의 모습, 즉 직선은 무한히 뻗어 나가고 평면은 끝없이 펼쳐지며 평행선은 영원히 만나지 않는다는 생각에 기반한다. 이는 오랫동안 현실 세계의 당연한 모습으로 받아들여졌다.
하지만 현대적인 관점에서 보면 유클리드의 공리계에는 논리적으로 완전하지 못한 부분이 있다는 지적이 있다.[6] 특히 평행선 공준에 대한 의문은 19세기에 비유클리드 기하학의 탄생으로 이어졌다. 현대의 기하학 기초 연구에서는 더 포괄적이고 완전한 공리 집합을 사용한다.
2. 1. 유클리드의 다섯 공준
유클리드는 《원론》 제1권의 시작 부분에서 평면 기하학에 대한 다섯 개의 공준 (공리)을 제시한다. 이는 작도와 관련하여 다음과 같이 설명될 수 있다.[5]다음과 같은 것을 가정한다.
# 어떤 점에서 다른 점까지 직선을 긋는 것.
# 선분을 직선으로 계속 연장하는 것.
# 어떤 중심과 거리(반지름)로 원을 그리는 것.
# 모든 직각은 서로 같은 것.
# 평행선 공준: 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각(180˚)보다 작으면, 두 직선은 무한히 연장될 때 그 쪽에서 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 만난다.
유클리드는 명시적으로 작도된 대상의 존재만을 주장했지만, 그의 추론 과정에서는 암묵적으로 그 대상들이 유일하다고 가정하기도 했다.
《원론》에는 또한 다음과 같은 다섯 가지 "공통 관념"이 포함되어 있다.
# 같은 것에 같은 것들은 서로 같다(유클리드 관계의 추이적 성질).
# 같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다 (등식의 덧셈 성질).
# 같은 것에서 같은 것을 빼면 차이는 같다 (등식의 뺄셈 성질).
# 서로 일치하는 것들은 서로 같다 (반사적 성질).
# 전체는 부분보다 크다.
고대인들에게 평행선 공준은 다른 공리들보다 덜 자명하게 보였다. 그들은 절대적으로 확실한 명제 체계를 만들기를 원했으며, 평행선 공준이 더 간단한 명제들로부터 증명될 필요가 있다고 생각했다. 그러나 오늘날 이러한 증명은 불가능하다는 것이 알려져 있다. 이는 평행선 공준이 참인 기하학적 체계(다른 공리들을 따르는)와 거짓인 기하학적 체계를 모두 구성할 수 있기 때문이다.[7] 유클리드 자신도 《원론》의 구성을 보면 평행선 공준을 다른 공리들과는 질적으로 다른 것으로 여겼던 것으로 보인다. 그의 첫 28개 명제는 평행선 공준 없이 증명할 수 있는 것들이다.
평행선 공준과 논리적 동치인 여러 대안적 공리들이 (다른 공리들의 맥락 속에서) 제시될 수 있다. 예를 들어, 플레이페어 공리는 다음과 같이 말한다.
:어떤 평면에서 주어진 직선 위에 있지 않은 점을 지나는 직선 중, 주어진 직선과 만나지 않는 직선은 최대 하나만 존재한다.
여기서 "최대"라는 조건만 필요한 이유는, 나머지 공리들로부터 적어도 하나의 평행선이 존재한다는 것을 증명할 수 있기 때문이다.
현대 학자들은 유클리드의 공준들이 그가 제시하고자 했던 완전한 논리적 기반을 제공하지는 못한다는 데 동의한다.[6] 현대의 기하학 기초 연구에서는 더 포괄적이고 완전한 공리 집합을 사용한다.
2. 2. 공통 관념
《원론》에는 공준 외에도 다음과 같은 다섯 가지 "공통 관념"이 포함되어 있다.# 같은 것에 같은 것들은 서로 같다(유클리드 관계의 추이적 성질).
# 같은 것에 같은 것을 더하면 전체는 같다 (등식의 덧셈 성질).
# 같은 것에서 같은 것을 빼면 차이는 같다 (등식의 뺄셈 성질).
# 서로 일치하는 것들은 서로 같다 (반사적 성질).
# 전체는 부분보다 크다.
2. 3. 현대적 관점
현대 학자들은 유클리드의 공준이 그가 제시하려 했던 기하학 체계의 완전한 논리적 기반을 제공하지 못한다고 본다.[6] 유클리드의 공리계에는 몇 가지 미비점이 있었기에, 현대의 기하학 기초 연구에서는 더 넓고 완전한 공리 집합을 사용한다. 특히 "현대 수학의 아버지"로 불리는 다비트 힐베르트는 유클리드 기하학을 더욱 엄밀하게 체계화하여 힐베르트 공리계를 제시했다.3. 《원론》
《원론》(The ''Elements'')은 유클리드가 저술한 수학 및 기하학 교과서로, 이전 시대의 관련 지식을 체계적으로 집대성한 기념비적인 저작이다. 《원론》은 내용과 구성의 완결성이 매우 뛰어나, 출간 이후 기하학 분야의 표준적인 교재로 자리 잡았으며, 이로 인해 이전의 기하학 관련 저술들은 그 중요성을 잃고 대부분 소실되었다.
《원론》은 점이나 선과 같은 기초적인 개념을 먼저 정의하고, 이를 바탕으로 공리 체계를 세운 뒤, 500개가 넘는 정리를 논리적으로 증명해 나가는 방식을 사용하였다. 이러한 체계적인 접근 방식은 현대 수학의 형식과 매우 유사하며, 그 완성도 덕분에 《원론》은 이후 수많은 기하학자들의 연구 토대가 되었고, 유럽에서는 오랫동안 중요한 교양 서적으로 여겨졌다.
《원론》을 통해 정립된 기하학 체계는 저자인 유클리드의 이름을 따 유클리드 기하학이라고 불리게 되었다. 유클리드 기하학은 우리가 직관적으로 인식하는 평평한 공간의 성질을 다루는 학문으로, 직선과 평면이 무한히 뻗어나가고 평행선은 영원히 만나지 않는다는 것을 전제로 한다. 이는 당시 현실 세계의 모습에 대한 당연한 전제로 받아들여졌다.
오랜 시간 동안 유클리드 기하학은 유일한 기하학으로 받아들여졌으나, 《원론》의 제5공준(평행선 공준)에 대한 지속적인 탐구는 19세기에 이르러 비유클리드 기하학이라는 새로운 기하학의 탄생을 이끌었다. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학은 서로 대립하는 것이 아니라, 각각 평면이나 왜곡 없는 공간(유클리드 기하학), 곡면이나 왜곡된 공간(비유클리드 기하학)의 성질을 탐구하는 독립적인 학문 분야이다.
한편, 현대 수학의 관점에서 보면 《원론》의 공리 체계에는 일부 미비한 점이 존재했으며, 이는 훗날 "현대 수학의 아버지"라 불리는 다비트 힐베르트에 의해 보다 엄밀하게 체계화되었다.
3. 1. 구성
유클리드의 대표 저서인 《원론》(The ''Elements'')은 이전까지의 기하학 지식을 체계적으로 정리한 책이다. 《원론》은 내용과 구성 면에서 이전의 기하학 서적들보다 뛰어났기 때문에, 이후 기하학의 표준 교재처럼 사용되었고 이전 서적들은 대부분 소실되었다.《원론》은 총 13권으로 구성되어 있다.
- 1권부터 4권, 그리고 6권은 평면 기하학을 다룬다. 여기서는 삼각형 내각의 합에 대한 명제("어떤 삼각형에서든 두 각의 합은 두 직각보다 작다.", 1권 명제 17)나 유명한 피타고라스 정리("직각 삼각형에서 직각을 마주보는 변의 제곱은 직각을 포함하는 변들의 제곱의 합과 같다.", 1권, 명제 47)와 같이 평면 도형에 대한 여러 성질을 증명한다.
- 5권과 7권부터 10권까지는 정수론을 다룬다. 수는 선분의 길이나 도형의 넓이 등 기하학적인 방식으로 표현된다. 소수, 유리수, 무리수와 같은 수의 개념을 소개하고, 소수가 무한히 많다는 사실을 증명하기도 한다.
- 마지막 11권부터 13권까지는 입체 기하학을 다룬다. 예를 들어, 높이와 밑면이 같은 원뿔과 원기둥의 부피 비율이 1:3이라는 점 등을 다루고, 플라톤 다면체를 작도하는 방법을 설명한다.
4. 증명 방법
유클리드 기하학은 구성적 증명 방법을 사용한다. 공준 1, 2, 3, 5는 특정 기하학적 도형의 존재와 유일성을 주장하는데, 이는 단순히 존재를 알리는 것을 넘어 컴퍼스와 눈금이 없는 자만으로 해당 도형을 만드는 방법까지 제시하는 구성적 성격을 지닌다.[8] 이런 점에서 유클리드 기하학은, 구성 방법을 명확히 제시하지 않거나 이론 내에서 구성할 수 없는 대상의 존재를 주장하기도 하는 집합론과 같은 현대의 여러 공리 체계보다 더 구체적이라고 할 수 있다.[9] 엄밀히 말해, 종이 위에 그려진 선은 형식적 시스템에서 정의된 객체의 모델일 뿐, 그 자체는 아니다. 예를 들어 유클리드의 직선은 폭이 없지만, 실제로 그리는 선에는 폭이 있다.
현대의 많은 수학자들은 비구성적 증명 역시 구성적 증명만큼 타당하다고 인정하지만, 구성적 증명이 종종 더 우아하고 직관적이며 실용적이라고 여기기도 한다. 실제로 유클리드의 구성적 증명은 모든 수가 유리수라고 가정하는 등 오류를 포함했던 일부 피타고라스 학파의 비구성적 증명을 대체하기도 했다.[10]
또한, 유클리드는 증명 과정에서 귀류법을 자주 활용했다.[11] 그는 고대 이집트나 그리스 등에서 발전한 기하학 연구 성과를 바탕으로 『원론』의 1~4권에서 기하학을 체계화했는데, 이는 먼저 점, 선 등 기본 개념을 정의하고, 일련의 공리를 제시하여 공리계를 세운 뒤, 이를 바탕으로 500개가 넘는 정리를 증명하는 방식이었다. 이는 현대 수학의 형식과 유사하며 완성도가 높아 후대 기하학 발전에 큰 영향을 미쳤다. 현대적 관점에서는 이 공리계에 일부 미비점이 지적되어 다비트 힐베르트가 힐베르트 공리계를 통해 더욱 엄밀하게 체계화하기도 했다.
5. 표기법 및 용어
점은 일반적으로 알파벳 대문자를 사용하여 나타낸다. 예를 들어, 점 A, 점 B 와 같이 표기한다. 선, 선분, 삼각형, 원과 같은 기하학적 도형들은 그 도형을 구성하는 주요 점들을 나열하여 명명한다. 예를 들어, 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 삼각형 ABC (또는 △ABC) 와 같이 나타낸다.
5. 1. 각
합이 직각인 각을 보각이라고 한다. 보각은 한 광선이 동일한 꼭짓점을 공유하고 직각을 이루는 두 개의 원래 광선 사이에 있는 방향을 가리킬 때 형성된다. 두 개의 원래 광선 사이의 광선 수는 무한하다.합이 평각인 각을 보충각이라고 한다. 보충각은 한 광선이 동일한 꼭짓점을 공유하고 평각(180도 각)을 이루는 두 개의 원래 광선 사이에 있는 방향을 가리킬 때 형성된다. 두 개의 원래 광선 사이의 광선 수는 무한하다.
5. 2. 선
현대 학교 교과서에서는 선(무한히 긴 것), 반직선(한쪽으로만 무한히 긴 것), 그리고 선분(유한한 길이의 것)을 서로 다른 도형으로 구분하여 정의한다.하지만 유클리드는 오늘날의 반직선과 같은 개념을 설명할 때, 별도의 용어를 사용하기보다는 "선을 충분한 길이까지 연장한다면"과 같은 표현을 주로 사용했다. 때로는 "무한선"이라는 말을 언급하기도 했다. 유클리드에게 '선'이라는 용어는 직선뿐만 아니라 곡선까지도 포함하는 넓은 의미였으며, 필요에 따라 더 구체적으로 '직선'이라는 용어를 사용했다.
6. 주요 정리
《원론》(The Elements영어)은 초기 기하학 지식을 체계적으로 정리한 저작이다. 《원론》의 등장 이후 이전의 기하학 저술들은 점차 유실되었다. 총 13권으로 구성되어 있으며, 주요 내용은 다음과 같다.
- 1권–4권, 6권: 평면 기하학을 다룬다. "어떤 삼각형에서든 두 각의 합은 두 직각보다 작다" (1권 명제 17, 삼각형 내각의 합 정리와 관련) 와 피타고라스 정리("직각 삼각형에서 직각을 마주보는 변의 제곱은 직각을 포함하는 변들의 제곱의 합과 같다", 1권 명제 47) 등 평면 도형에 대한 여러 증명이 포함되어 있다. 이 외에도 우둔교 정리 등이 유명하다.
- 5권, 7권–10권: 정수론을 다룬다. 수는 선분의 길이나 면적으로 표현되며, 소수, 유리수, 무리수 개념이 도입되고 소수가 무한히 많다는 사실이 증명된다.
- 11권–13권: 입체 기하학을 다룬다. 같은 높이와 밑면을 가진 원뿔과 원기둥의 부피 비율이 1:3이라는 것과 같은 결과가 제시되며, 넓이와 부피의 관계에 대한 기초를 다룬다. 플라톤 다면체의 구성 방법도 설명한다. 또한, 탈레스의 정리와 같이 원과 관련된 중요한 정리도 포함하고 있다.
《원론》에서는 삼각형의 합동 조건에 대해서도 다룬다. 두 삼각형은 세 변의 길이가 모두 같거나(SSS), 두 변의 길이와 그 사이의 각의 크기가 같거나(SAS), 또는 두 각의 크기와 그 사이 또는 대응하는 변의 길이가 같으면(ASA 또는 AAS) 합동이다 (제1권, 명제 4, 8, 26). 하지만 세 각의 크기가 같은 삼각형(AAA)은 닮음일 뿐 반드시 합동인 것은 아니며, 두 변의 길이와 인접한 각 중 하나(끼인각이 아닌 각)의 크기가 같은 경우(SSA)에도 반드시 합동이라고 할 수 없다.
6. 1. 우둔교 정리 (Pons asinorum)
우둔교(pons asinorum|폰스 아시노룸la)는 "이등변 삼각형에서 밑각의 크기는 서로 같으며, 같은 길이의 선분을 연장하면 밑각 아래의 각도 서로 같다"는 명제이다.[12] 이 명칭은 종종 《유클리드 기하학 원론》에서 독자의 지적 능력을 시험하는 첫 번째 관문으로 등장하며, 이후 더 어려운 명제들을 이해하기 위한 다리 역할을 한다는 데서 유래했을 수 있다. 또한 기하학적 도형이 가파른 다리와 닮아, 발굽이 튼튼한 당나귀만이 건널 수 있다는 데서 유래했을 수도 있다.[13]
6. 2. 삼각형 내각의 합
삼각형의 내각의 합은 평각(180도)과 같다.[14] 이로 인해 정삼각형은 세 개의 60도 내각을 갖게 된다. 또한, 모든 삼각형은 적어도 두 개의 예각과 최대 하나의 둔각 또는 직각을 갖게 된다.
6. 3. 피타고라스 정리
《원론》 제1권 명제 47은 피타고라스 정리를 다룬다.[1][2] 이 명제는 "직각 삼각형에서 직각을 마주보는 변의 제곱은 직각을 포함하는 변들의 제곱의 합과 같다"고 설명한다.[1] 즉, 직각삼각형에서 빗변(직각의 대변)을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는, 직각을 끼고 있는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 두 정사각형의 넓이의 합과 동일하다는 것을 의미한다.[3]
6. 4. 탈레스 정리
탈레스의 정리는 고대 그리스의 수학자 밀레투스의 탈레스의 이름을 따서 명명되었다. 이 정리는 점 A, B, C가 원 위에 있고 선분 AC가 그 원의 지름일 때, 각 ABC는 직각이라는 내용이다. 수학사학자 칸토어(Cantor)는 탈레스가 유클리드의 원론 제1권 명제 32를 이용하여 유클리드 제3권 명제 31의 방식으로 자신의 정리를 증명했을 것이라고 추정했다.[15][16]6. 5. 넓이와 부피의 관계
현대적인 용어로 표현하면, 평면 도형의 넓이(A)는 어떤 선형 치수(L)의 제곱에 비례하고(), 입체의 부피(V)는 선형 치수(L)의 세제곱에 비례한다(). 유클리드는 원의 넓이[17]나 평행육면체 입체의 부피[18]와 같은 몇몇 특수한 경우에 대해 이 관계를 증명했다. 하지만 유클리드는 관련된 모든 비례 상수를 알아내지는 못했다. 예를 들어, 구의 부피가 그 구에 외접하는 원기둥 부피의 3분의 2라는 사실은 유클리드의 뒤를 이은 아르키메데스가 증명했다.[19]7. 측정 및 산술 시스템
유클리드 기하학은 두 가지 기본적인 측정 유형인 각도와 거리를 다룬다. 각도 측정은 직각을 기본 단위로 하는 절대적인 척도를 사용하며, 거리 측정은 임의의 선분을 단위 길이로 삼는 상대적인 척도를 사용한다. 거리의 덧셈과 뺄셈은 선분을 이어 붙이거나 잘라내는 방식으로 표현된다.
넓이와 부피는 거리를 기반으로 측정된다. 예를 들어, 직사각형의 넓이는 가로와 세로 길이의 곱으로 계산된다. 유클리드는 길이, 넓이, 부피가 같은 도형을 '같다'고 표현했으며, 크기와 모양이 모두 같은 도형은 '합동', 크기는 다르지만 모양이 같은 도형은 '닮음'이라고 정의했다. 합동인 도형은 서로 포갤 수 있으며, 닮은 도형은 대응하는 각이 같고 대응하는 변의 길이의 비가 일정하다.
7. 1. 각도 측정
유클리드 기하학에서 각도 측정은 기본적인 요소 중 하나이다. 각도 척도는 절대적이며, 유클리드는 직각을 기본 단위로 사용했다. 예를 들어, 45도 각도는 직각의 절반으로 표현되었다.7. 2. 거리 측정
유클리드 기하학에서 거리는 각도와 함께 기본적인 측정 대상 중 하나이다. 각도 척도가 직각을 기준으로 하는 절대적인 것과 달리, 거리 척도는 상대적이다. 이는 0이 아닌 특정 길이를 가진 선분을 임의로 '단위 길이'로 선택하고, 다른 모든 거리를 이 단위 길이를 기준으로 나타내는 방식이다.거리의 덧셈은 한 선분을 다른 선분의 끝에 이어 붙여 길이를 늘리는 방식으로 표현되며, 뺄셈도 마찬가지 방식으로 이루어진다.
7. 3. 넓이와 부피 측정
넓이와 부피의 측정은 거리로부터 파생된다. 예를 들어, 너비가 3이고 길이가 4인 직사각형은 그 넓이가 3과 4의 곱인 12가 된다. 이러한 곱셈의 기하학적 해석은 3차원까지만 가능했기 때문에, 유클리드는 네 개 이상의 수를 곱하는 것을 직접 다루지는 않았다. 다만, 그의 저서 《원론》 제9권 명제 20의 증명 등에서 간접적으로 나타난다.유클리드는 두 선분, 두 평면 도형, 또는 두 입체 도형의 길이, 넓이, 또는 부피가 각각 같을 경우 '같다'( ἴσος|이소스grc )고 표현했다. 각도가 같은 경우에도 마찬가지이다. 이보다 더 강력한 개념인 '합동'은 어떤 도형이 다른 도형과 크기와 모양이 완전히 같다는 것을 의미한다. 즉, 한 도형을 이동하거나 뒤집어서 다른 도형과 정확히 포갤 수 있을 때 두 도형은 합동이다. 예를 들어, 가로와 세로가 각각 2와 6인 직사각형과 3과 4인 직사각형은 넓이가 12로 같지만, 합동은 아니다. 또한 알파벳 R 모양은 그 거울상과 합동이다. 크기만 다르고 모양이 같은 도형은 닮음이라고 한다. 닮은 도형끼리는 대응각의 크기가 같고, 대응변의 길이의 비가 일정하다.
8. 공학에서의 활용
유클리드 기하학은 현대 공학의 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 수행하며 문제 해결과 설계의 기초를 제공한다. 기계 공학에서는 부품의 응력 해석, 기어 및 열교환기 설계 등에 활용되며, 광학에서는 렌즈 설계, 항공우주공학에서는 항공기 날개 설계 및 위성 궤도 계산 등에 필수적으로 적용된다.
특히 CAD 및 CAM 시스템은 유클리드 기하학을 기반으로 작동하며, 이를 통해 자동차, 항공기, 스마트폰 등 다양한 제품의 정밀한 3D 모델링과 제조가 가능하다. 전자공학 분야에서도 PCB의 효율적인 레이아웃 설계나 안테나 성능 최적화에 기하학적 원리가 중요하게 사용된다. 이 외에도 유체 역학의 포텐셜 흐름 분석, 제어 시스템의 안정성 분석 등 여러 공학 분야에서 유클리드 기하학은 기본적인 도구이자 이론적 토대로 기능한다.
8. 1. 설계 및 해석
- '''응력 해석''': 응력 해석에서 유클리드 기하학은 기계 부품의 응력 분포를 결정하는 데 중요하게 활용된다. 이는 부품의 구조적 무결성과 내구성을 보장하는 데 필수적이다.
- '''기어 설계''': 많은 기계 시스템의 중요 부품인 기어를 설계할 때 유클리드 기하학이 중요하게 사용된다. 효율적인 동력 전달을 위해서는 기어 잇몸의 모양과 맞물림이 정확해야 하는데, 이를 위해 유클리드 기하학 원리가 적용된다.
- '''열교환기 설계''': 열공학 분야에서 열교환기를 설계할 때 유클리드 기하학이 사용된다. 열교환기의 기하학적 구조는 열효율에 직접적인 영향을 미치기 때문이다. 대표적인 예로 쉘 앤 튜브 열교환기와 플레이트 열교환기가 있다.
- '''렌즈 설계''': 광학 공학에서 렌즈를 설계하는 데 유클리드 기하학은 필수적이다. 렌즈의 정확한 기하학적 모양이 빛을 모으는 초점 특성을 결정하기 때문이다. 기하 광학 분야에서는 유클리드 기하학을 이용하여 렌즈나 거울에 의한 빛의 경로와 초점을 분석한다.
8. 2. 동역학
- '''날개 설계''': 항공기 날개 설계 - 유클리드 기하학의 항공역학 적용은 기하학적 형태가 양력 및 항력 특성에 직접적인 영향을 미치는 항공기 날개 설계, 에어포일 및 수중익에서 분명하게 나타난다.
- '''위성 궤도''': 위성 궤도 - 유클리드 기하학은 성공적인 우주 임무 및 위성 운영에 필수적인 위성의 궤도를 계산하고 예측하는 데 도움이 된다. 또한 천체역학, 천체역학 및 타원 궤도를 참조할 수 있다.
8. 3. CAD 시스템
- '''3D 모델링''': CAD 시스템에서 유클리드 기하학은 기계 부품의 정확한 3D 모델을 만드는 데 기본이 된다. 이러한 모델은 제조 전에 설계를 시각화하고 테스트하는 데 매우 중요하다.
- '''설계 및 제조''': 대부분의 CAM은 유클리드 기하학에 의존한다. CAD/CAM의 설계 기하학은 일반적으로 평면, 원통, 원뿔, 토러스 및 기타 유사한 유클리드 형태로 경계가 지정된 모양으로 구성된다. 오늘날 CAD/CAM은 자동차, 항공기에서 선박, 스마트폰에 이르기까지 광범위한 제품의 설계에 필수적이다.
- '''제도 관행의 진화''': 역사적으로, 파스칼의 정리 및 브리앙숑의 정리와 같은 정리를 포함한 고급 유클리드 기하학은 제도 관행에 필수적이었다. 그러나 현대 CAD 시스템의 출현으로 이러한 정리에 대한 심층적인 지식은 현대적인 설계 및 제조 프로세스에서 덜 필요하게 되었다.
8. 4. 회로 설계
인쇄 회로 기판(PCB) 설계는 유클리드 기하학을 사용하여 구성 요소를 효율적으로 배치하고 배선한다. 이는 기능을 보장하면서 공간을 최적화하는 데 도움을 준다. PCB에 전자 부품을 효율적으로 배치하는 것은 신호 간섭을 최소화하고 회로 성능을 최적화하는 데 매우 중요하다.
8. 5. 전자기장 및 유체 흐름장
- 안테나 설계: 안테나 설계에서 유클리드 기하학은 중요한 역할을 한다. 안테나의 공간 배치와 치수는 전자기파를 송수신하는 성능에 직접적인 영향을 미치기 때문이다. 이는 개별 안테나뿐만 아니라 여러 안테나를 배열하는 안테나 배열의 성능에도 해당된다.
- 장 이론: 복소수 포텐셜 흐름 연구, 즉 비점성 흐름 장과 전자기장 연구에서, 유클리드 기하학은 포텐셜 흐름 문제를 시각화하고 해결하는 데 도움을 준다. 이는 3차원 공간에서 유체 속도장과 전자기장의 상호 작용을 이해하는 데 필수적이다. 이러한 관계는 비회전 솔레노이드 장 또는 보존적 벡터장으로 특징지어진다.
8. 6. 제어 시스템
유클리드 기하학은 제어 이론에서 제어 시스템의 분석 및 설계에 적용된다. 특히 시스템의 안정성, 최적화, 응답을 이해하고 최적화하는 데 도움을 준다.
또한 유클리드 기하학은 기계 공학 및 전기 공학 분야에서 변환 및 제어 시스템에 대한 야코비 행렬을 사용하는 데 필수적이며, 시스템의 동작과 특성에 대한 통찰력을 제공한다. 야코비 행렬은 통계적 회귀 분석 및 곡선 맞춤에서 선형화된 설계 행렬 역할을 하기도 한다. (비선형 최소 자승법 참조) 이외에도 랜덤 행렬, 모멘트, 통계, 진단 등 다양한 분야에서 활용된다.
9. 기타 응용
유클리드 기하학은 수학에서 기본적인 위치를 차지하고 있어, 모든 응용 분야를 상세히 소개하기는 어렵다. 여기서는 대표적인 몇 가지 응용 분야를 간략히 살펴본다.
기하학(Geometry)이라는 단어의 어원(geo- '땅', -metry '측정')에서도 알 수 있듯이, 기하학에 대한 초기 관심 중 하나이자 현재까지도 가장 흔한 사용 분야는 측량이다.[20] 유클리드 기하학에서 기본적인 측정 대상은 거리와 각도이며, 이들은 측량사가 직접 측정할 수 있는 값이다. 역사적으로 거리는 건터 체인과 같은 사슬로 측정되었고, 각도는 눈금 원이나 이후 개발된 측량기를 사용하여 측정되었다. 또한 유클리드 기하학은 고전 역학과 사물의 시각 지각에 대한 인지 및 계산적 접근 방식 연구에도 활용되었다. 3-4-5 삼각형의 직각 속성과 같은 유클리드 기하학의 특정 실용적인 결과들은 공식적으로 증명되기 훨씬 이전부터 사용되어 왔다.[21]
유클리드 입체 기하학은 다양한 포장 문제 해결에 응용된다. 예를 들어, 주어진 공간에 가장 많은 구를 효율적으로 쌓는 방법을 찾는 n차원 구 쌓기 문제가 있으며, 이는 오류 감지 및 수정 기술에도 적용된다.
기하학은 건축 분야에서도 광범위하게 활용된다. 건물의 구조 설계나 공간 구성 등에 기하학적 원리가 적용된다.
또한, 기하학은 종이 접기 디자인에도 사용될 수 있다. 흥미롭게도, 컴퍼스와 자만으로는 해결할 수 없는 몇몇 고전적인 기하학 작도 문제들이 종이 접기를 이용하면 해결 가능하다는 사실이 알려져 있다.[22]
10. 유클리드 기하학의 역사
고대 이집트나 고대 그리스 등에서는 기하학이 활발하게 연구되었다. 유클리드는 이러한 성과를 『원론』의 1~4권에서 체계적으로 정리했다. 그는 먼저 점이나 선과 같은 기본적인 개념에 대한 정의를 제시하고, 다음으로 일련의 공리를 설명하여 공리계를 확립했다. 그리고 이를 바탕으로 500개가 넘는 정리를 증명하는 방식을 사용했다. 이는 현대 수학과 유사한 형식으로, 완성도가 매우 높아 이후 많은 기하학자들이 이 체계 위에서 연구를 진행했다. 유럽에서는 오랫동안 중요한 교양 과목 중 하나로 여겨졌다.
이렇게 기초가 다져지고 발전한 기하학 체계는 유클리드의 이름을 따서 유클리드 기하학이라고 불리게 되었다.
현대적인 관점에서 보면 유클리드의 공리계에는 약간의 부족한 점이 있었기에, "현대 수학의 아버지"라 불리는 다비트 힐베르트가 이를 더욱 엄밀하게 체계화했다. (힐베르트의 공리)
유클리드 기하학은 우리가 직관적으로 이해하는 공간의 모습에 기초한 기하학이다. 직선은 어디까지나 뻗어 나갈 수 있고, 평면은 끝없이 펼쳐진 평평한 면으로 상상되었다. 또한, 평행선은 영원히 만나지 않고 평행하게 뻗어 나가는 것으로 여겨졌다. 이는 현실 세계의 모습과 일치한다고 당연하게 받아들여졌다.
유클리드 기하학은 오랫동안 "유일한 기하학"으로 간주되었지만, 『원론』의 제5공준(평행선 공준)에 대한 의문에서 시작된 연구 흐름은 19세기에 이르러 마침내 비유클리드 기하학이라는 새로운 기하학의 탄생으로 이어졌다.
유클리드 기하학과 비유클리드 기하학은 어느 한쪽이 옳고 다른 쪽이 틀린 관계가 아니라, 서로 다른 가정을 바탕으로 하는 독립적인 기하학 체계이다. 유클리드 기하학이 "평면이나 왜곡이 없는 공간의 도형의 성질을 탐구하는" 것이라면, 비유클리드 기하학은 "곡면이나 왜곡된 공간의 도형을 탐구하는" 것이라고 할 수 있다.
10. 1. 아르키메데스와 아폴로니우스
아르키메데스(기원전 약 287년–기원전 약 212년)는 많은 역사적 일화가 기록된 다채로운 인물로, 유클리드와 함께 고대 최고의 수학자 중 한 명으로 기억된다. 그의 작업의 기초는 유클리드에 의해 마련되었지만, 유클리드와 달리 그의 작업은 전적으로 독창적이었던 것으로 여겨진다.[23] 그는 2차원 및 3차원의 다양한 도형의 부피와 면적에 대한 방정식을 증명했으며, 유한수의 아르키메데스 성질을 명시했다.
페르가의 아폴로니우스(기원전 약 240년–기원전 약 190년)는 주로 원뿔 곡선 연구로 알려져 있다.
10. 2. 17세기: 데카르트
르네 데카르트(1596–1650)는 기하학 문제를 대수학 문제로 바꾸어 푸는 새로운 방법인 해석 기하학을 개발했다.[24] 이 방식에서는 평면 위의 점을 데카르트 좌표 (''x'', ''y'')로 나타내고, 선은 방정식으로 표현한다.유클리드의 원래 방식에서는 피타고라스 정리가 유클리드의 공리로부터 증명되는 정리였다. 하지만 데카르트 방식에서는 대수학의 공리가 기본이며, 피타고라스 정리를 나타내는 방정식은 이제 유클리드의 공리 중 하나를 대수적으로 정의하는 것으로 볼 수 있다.
두 점 ''P'' = (''px'', ''py'')와 ''Q'' = (''qx'', ''qy'') 사이의 거리를 구하는 다음 방정식은 '유클리드 메트릭'이라고 불린다.
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이와 다른 거리 정의(메트릭)를 사용하면 비유클리드 기하학이 정의된다.
해석 기하학의 관점에서 보면, 고대 기하학에서 컴퍼스와 자만을 이용한 작도 문제는 1차 방정식(예: ''y'' = 2''x'' + 1, 직선)과 2차 방정식(예: ''x''2 + ''y''2 = 7, 원)만을 사용하는 문제로 해석될 수 있다.
또한 같은 17세기에 제라르 데자르그는 원근법 이론에서 영감을 받아 무한대에 있는 점, 선, 평면이라는 이상적인 개념을 도입했다. 이는 사영 기하학이라는 일반화된 기하학으로 이어졌으며, 특수한 경우를 줄여 유클리드 기하학의 증명을 더 단순하게 만드는 데 사용되기도 했다.[25]
10. 3. 18세기
18세기 기하학자들은 유클리드 기하학 체계의 경계를 명확히 정의하는 데 어려움을 겪었다. 많은 학자들이 처음 네 개의 공준으로부터 제5공준을 증명하려고 시도했지만 성공하지 못했다. 1763년까지 최소 28가지의 서로 다른 증명이 발표되었으나, 모두 오류가 있는 것으로 밝혀졌다.[26]이 시기 기하학자들은 유클리드 기하학에서 어떤 작도가 가능한지를 규명하는 데에도 힘썼다. 예를 들어, 각의 삼등분 문제는 컴퍼스와 자만을 사용하여 도형을 그리는 유클리드의 공리가 이러한 도구로 수행할 수 있는 작도 연산을 언급하기 때문에 자연스럽게 제기된 문제였다. 그러나 수 세기에 걸친 노력에도 불구하고 해법을 찾지 못했으며, 1837년 피에르 방첼이 이러한 작도가 불가능하다는 것을 증명했다. 정육면체 배가와 원의 제곱 문제 역시 컴퍼스와 자만으로는 작도가 불가능함이 증명되었다. 정육면체 배가의 경우, 컴퍼스와 자를 이용한 방법은 차수가 2의 정수 거듭제곱인 방정식을 포함하기 때문에 작도가 불가능하며,[27] 정육면체를 배가하려면 3차 방정식의 해를 구해야 한다.
한편, 오일러는 유클리드 기하학을 일반화한 아핀 기하학을 연구했다. 아핀 기하학은 제5공준은 그대로 유지하면서 각의 개념(따라서 직각삼각형은 의미가 없어짐)과 선분 길이의 동일성 개념(따라서 원은 의미가 없어짐)을 약화시키는 대신, 평행선의 동치 관계와 평행한 선분 길이의 동일성(따라서 선분은 여전히 중점을 가짐) 개념은 유지하는 방식으로 유클리드 기하학을 확장했다.
10. 4. 19세기
(초사면체)(초팔면체)
(초정육면체, 테서랙트)
(초이십면체)
(초정십이면체)
