프리드먼 검정

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1. 개요
2. 방법
- 2.1. 검정 통계량 계산
- 2.2. 유의성 검정
3. 관련 검정
4. 사후 분석
참조

1. 개요

프리드먼 검정은 무작위 블록 설계에서 여러 처리(treatment)의 효과가 동일한지 확인하는 데 사용되는 비모수 통계 검정이다. 각 블록 내에서 순위를 매기고, 동점 값에는 평균 순위를 할당하여 데이터를 순위 행렬로 변환한다. 검정 통계량 Q를 계산하여 처리 간의 차이를 평가하며, Q 값은 블록 수와 처리 수에 따라 카이제곱 분포로 근사될 수 있다. 사후 분석을 통해 유의미한 차이가 있는 그룹을 파악할 수 있으며, 관련 검정으로는 코크란 Q 검정, 부호 검정, 켄달의 W 등이 있다.

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프리드먼 검정
개요
반복 측정 설계의 예
종류	비모수 검정
개발자	밀턴 프리드먼
발표 시기	1937년
목적	여러 관련 표본에서 중앙값의 동일성 검정
통계량	프리드먼 통계량
관련 검정	윌콕슨 부호 순위 검정 크루스칼-왈리스 검정 분산 분석
활용
활용 분야	반복 측정 데이터 블록 설계
추가 정보
다른 이름	프리드먼 순위합 검정

2. 방법

프리드먼 검정은 무작위 블록 설계에서 k개의 처리(treatment)가 동일한 효과를 가지는지 확인하는 데 사용된다. 주어진 데이터는 n개의 행(블록)과 k개의 열(처리)을 가진 행렬 형태로 구성되며, 각 블록과 처리의 교차점에는 하나의 관측값이 존재한다.

이 검정에서는 먼저 각 블록 내에서 관측값들의 순위를 계산한다. 만약 동점 값이 존재하면, 동점이 없을 때 할당될 순위의 평균을 부여한다. 이렇게 순위로 변환된 데이터는 새로운 행렬을 구성하며, 이 행렬의 각 항목은 해당 블록 내에서의 순위를 나타낸다.

2. 1. 검정 통계량 계산

각 블록 내에서 순위를 계산한다. 동점 값이 있는 경우, 동점이 없을 경우 할당되었을 순위의 평균을 할당한다. 데이터를 새로운 행렬

\{r_{ij}\}_{n \times k}

로 대체하는데, 여기서 항목

r_{ij}

는 블록

i

내에서

x_{ij}

의 순위이다.

\bar{r}_{\cdot j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {r_{ij}}

값을 구한다.

검정 통계량은

Q = \frac{12n}{k(k+1)} \sum_{j=1}^k \left(\bar{r}_{\cdot j}-\frac{k+1}{2}\right)^2

로 주어진다.^[4] 데이터의 동점 값에 대해

Q

값을 조정할 필요가 있다.^[4]

2. 2. 유의성 검정

n 또는 k가 클 경우 (n > 15 또는 k > 4), Q의 확률 분포는 자유도가 k-1인 카이제곱 분포로 근사할 수 있다. p-값은

\mathbf{P}(\chi^2_{k-1} \ge Q)

로 계산된다.^[4] n 또는 k가 작으면 카이제곱 근사는 부정확하므로, 프리드먼 검정을 위해 특별히 준비된 Q 분포표를 사용해야 한다. p-값이 유의 수준보다 작으면 귀무가설을 기각하고, 처리 간에 유의미한 차이가 있다고 결론 내린다.

3. 관련 검정

이진 응답에 대한 설계에는 코크란 Q 검정을 사용한다.
부호 검정(양측 대립 가설 포함)은 두 그룹에 대한 프리드먼 검정과 동일하다.
켄달의 W는 프리드먼 통계량을 0과 1 사이로 정규화한 것이다.
윌콕슨 부호 순위 검정은 두 그룹에서만 비독립적인 데이터에 대한 비모수 검정이다.
스킬링스-맥 검정은 임의의 결측 데이터 구조를 가진 거의 모든 블록 설계에 사용할 수 있다.
비트코우스키 검정은 스킬링스-맥 검정과 유사하며, 결측값이 없는 경우 프리드먼 검정과 동일한 결과를 제공한다.

4. 사후 분석

사후 검정은 샤이히(Schaich)와 해멀(Hamerle) (1984)^[6], 코노버(Conover) (1971, 1980)^[7]가 제안했으며, 그룹 간 평균 순위 차이를 기반으로 어느 그룹이 유의미하게 다른지 결정한다. 이 절차는 보츠(Bortz), 리너트(Lienert), 뵌케(Boehnke) (2000, p. 275)에 자세히 설명되어 있다.^[8] 아이징아(Eisinga), 헤스케스(Heskes), 펠저(Pelzer), 테 흐로텐하위스(Te Grotenhuis) (2017)^[9]는 R에서 구현된 프리드먼 순위 합의 쌍별 비교에 대한 정확한 검정을 제공한다. Eisinga c.s. 정확 검정은 특히 그룹 수( $k$ )가 크고 블록 수( $n$ )가 작은 경우 사용 가능한 근사 검정에 비해 상당한 개선을 제공한다.

모든 통계 패키지가 프리드먼 검정에 대한 사후 분석을 지원하는 것은 아니지만, SPSS^[10], R^[11] 등에서 사용자 기여 코드를 통해 이 기능을 사용할 수 있다. 또한, R에서는 프리드먼 검정 이후 사후 분석을 위한 다양한 비모수적 방법을 포함하는 전문 패키지가 제공된다.^[12]

참조

_[1] 논문 The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance 1937-12
_[2] 논문 A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance 1939-03
_[3] 논문 A comparison of alternative tests of significance for the problem of ''m'' rankings 1940-03
_[4] 웹사이트 FRIEDMAN TEST in NIST Dataplot https://www.itl.nist[...] 2018-08-20
_[5] 논문 Friedman-Type statistics and consistent multiple comparisons for unbalanced designs with missing data
_[6] 서적 Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren Springer 1984
_[7] 서적 Practical nonparametric statistics Wiley 1971, 1980
_[8] 서적 Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik Springer 2000
_[9] 논문 Exact ''p''-values for pairwise comparison of Friedman rank sums, with application to comparing classifiers http://rdcu.be/oOf9
_[10] 웹사이트 Post-hoc comparisons for Friedman test http://timo.gnambs.a[...] 2010-02-22
_[11] 웹사이트 Post hoc analysis for Friedman's Test (R code) https://www.r-statis[...] 2010-02-22
_[12] 웹사이트 PMCMRplus: Calculate Pairwise Multiple Comparisons of Mean Rank Sums Extended https://cran.r-proje[...] 2022-08-17
_[13] 논문 The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance https://archive.org/[...] 1937-12
_[14] 논문 A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance https://archive.org/[...] 1939-03
_[15] 논문 A comparison of alternative tests of significance for the problem of ''m'' rankings https://archive.org/[...] 1940-03

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