프리드먼 검정

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1. 개요

프리드먼 검정은 무작위 블록 설계에서 여러 처리(treatment)의 효과가 동일한지 확인하는 데 사용되는 비모수 통계 검정이다. 각 블록 내에서 순위를 매기고, 동점 값에는 평균 순위를 할당하여 데이터를 순위 행렬로 변환한다. 검정 통계량 Q를 계산하여 처리 간의 차이를 평가하며, Q 값은 블록 수와 처리 수에 따라 카이제곱 분포로 근사될 수 있다. 사후 분석을 통해 유의미한 차이가 있는 그룹을 파악할 수 있으며, 관련 검정으로는 코크란 Q 검정, 부호 검정, 켄달의 W 등이 있다.

프리드먼 검정

개요

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반복 측정 설계의 예

종류	비모수 검정
개발자	밀턴 프리드먼
발표 시기	1937년
목적	여러 관련 표본에서 중앙값의 동일성 검정
통계량	프리드먼 통계량
관련 검정	윌콕슨 부호 순위 검정 크루스칼-왈리스 검정 분산 분석

활용

활용 분야	반복 측정 데이터 블록 설계

추가 정보

다른 이름	프리드먼 순위합 검정

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1. 개요
2. 방법
- 2.1. 검정 통계량 계산
- 2.2. 유의성 검정
3. 관련 검정
4. 사후 분석

2. 방법

프리드먼 검정은 무작위 블록 설계에서 k개의 처리(treatment)가 동일한 효과를 가지는지 확인하는 데 사용된다. 주어진 데이터는 n개의 행(블록)과 k개의 열(처리)을 가진 행렬 형태로 구성되며, 각 블록과 처리의 교차점에는 하나의 관측값이 존재한다.

이 검정에서는 먼저 각 블록 내에서 관측값들의 순위를 계산한다. 만약 동점 값이 존재하면, 동점이 없을 때 할당될 순위의 평균을 부여한다. 이렇게 순위로 변환된 데이터는 새로운 행렬을 구성하며, 이 행렬의 각 항목은 해당 블록 내에서의 순위를 나타낸다.

2.1. 검정 통계량 계산

각 블록 내에서 순위를 계산한다. 동점 값이 있는 경우, 동점이 없을 경우 할당되었을 순위의 평균을 할당한다. 데이터를 새로운 행렬 $\{r_{ij}\}_{n \times k}$ 로 대체하는데, 여기서 항목 $r_{ij}$ 는 블록 $i$ 내에서 $x_{ij}$ 의 순위이다.

$\bar{r}_{\cdot j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {r_{ij}}$ 값을 구한다.

검정 통계량은 $Q = \frac{12n}{k(k+1)} \sum_{j=1}^k \left(\bar{r}_{\cdot j}-\frac{k+1}{2}\right)^2$ 로 주어진다. 데이터의 동점 값에 대해 $Q$ 값을 조정할 필요가 있다.

2.2. 유의성 검정

n 또는 k가 클 경우 (n > 15 또는 k > 4), Q의 확률 분포는 자유도가 k-1인 카이제곱 분포로 근사할 수 있다. p-값은 $\mathbf{P}(\chi^2_{k-1} \ge Q)$ 로 계산된다. n 또는 k가 작으면 카이제곱 근사는 부정확하므로, 프리드먼 검정을 위해 특별히 준비된 Q 분포표를 사용해야 한다. p-값이 유의 수준보다 작으면 귀무가설을 기각하고, 처리 간에 유의미한 차이가 있다고 결론 내린다.

3. 관련 검정

* 이진 응답에 대한 설계에는 코크란 Q 검정을 사용한다.
* 부호 검정(양측 대립 가설 포함)은 두 그룹에 대한 프리드먼 검정과 동일하다.
* 켄달의 W는 프리드먼 통계량을 0과 1 사이로 정규화한 것이다.
* 윌콕슨 부호 순위 검정은 두 그룹에서만 비독립적인 데이터에 대한 비모수 검정이다.
* 스킬링스-맥 검정은 임의의 결측 데이터 구조를 가진 거의 모든 블록 설계에 사용할 수 있다.
* 비트코우스키 검정은 스킬링스-맥 검정과 유사하며, 결측값이 없는 경우 프리드먼 검정과 동일한 결과를 제공한다.

4. 사후 분석

사후 검정은 샤이히(Schaich)와 해멀(Hamerle) (1984), 코노버(Conover) (1971, 1980)가 제안했으며, 그룹 간 평균 순위 차이를 기반으로 어느 그룹이 유의미하게 다른지 결정한다. 이 절차는 보츠(Bortz), 리너트(Lienert), 뵌케(Boehnke) (2000, p. 275)에 자세히 설명되어 있다. 아이징아(Eisinga), 헤스케스(Heskes), 펠저(Pelzer), 테 흐로텐하위스(Te Grotenhuis) (2017)는 R에서 구현된 프리드먼 순위 합의 쌍별 비교에 대한 정확한 검정을 제공한다. Eisinga c.s. 정확 검정은 특히 그룹 수( $k$ )가 크고 블록 수( $n$ )가 작은 경우 사용 가능한 근사 검정에 비해 상당한 개선을 제공한다.

모든 통계 패키지가 프리드먼 검정에 대한 사후 분석을 지원하는 것은 아니지만, SPSS, R 등에서 사용자 기여 코드를 통해 이 기능을 사용할 수 있다. 또한, R에서는 프리드먼 검정 이후 사후 분석을 위한 다양한 비모수적 방법을 포함하는 전문 패키지가 제공된다.