확률

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 한국에서의 확률 개념
3. 확률의 해석
4. 주요 요소
5. 양자 역학과 확률
6. 응용
7. 비판 및 논쟁
참조

1. 개요

확률은 도박과 같은 분야에서 시작되어 수학적으로 발전한 개념으로, 사건의 가능성을 수치화하여 나타낸다. 16세기 지롤라모 카르다노는 승산 개념을 도입하여 확률의 기초를 다졌으며, 18세기 블레즈 파스칼과 피에르 드 페르마는 수학적 확률 계산의 기초를 정립했다. 야코프 베르누이, 아브라함 드무아브르, 라플라스 등은 확률론을 수학의 한 분야로 발전시켰으며, 아돌프 케틀레는 사회 현상에 확률 개념을 적용했다. 토머스 베이즈는 베이즈 정리를 통해 베이즈 확률론의 기초를 마련했고, 마르코프는 마르코프 확률 과정을 정의했다.

한국에서는 메이지 시대 일본을 통해 '확률'이라는 용어가 도입되었고, 1916년 후지사와 도시타로의 제안으로 공식 용어로 채택되었다. 확률의 해석은 객관주의적 해석과 주관주의적 해석으로 나뉘며, 주요 요소로는 사건, 독립 사건, 배반 사건, 표본 공간, 확률 공간, 확률 변수, 확률 분포, 기댓값, 확률의 합과 곱, 조건부 확률 등이 있다. 양자 역학에서는 모든 물리적 과정이 확률적으로 발생하며, 이는 20세기 초 물리학의 혁명적인 발견 중 하나였다. 확률론은 위험 평가, 통계 모델링, 보험, 금융, 생물학, 신뢰성 등 다양한 분야에 응용되며, 인간의 한계와 관련하여 철학적으로 다양한 견해가 존재한다.

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확률
확률 이론 개요
확률 이론의 표준 편차 다이어그램
확률의 기초
확률	확률
확률의 공리	확률 공리
결정론	시스템
비결정론	비결정론
무작위성	무작위성
확률 공간 및 사건
확률 공간	확률 공간
표본 공간	표본 공간
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2. 역사

확률은 도박과 같은 분야에서 이미 1천년대 무렵부터 개념이 정리되기 시작하였지만, 이를 수학적으로 접근한 것은 훨씬 후대의 일이다. 고대 로마에서 이루어진 주사위 게임은 결과를 사람의 의지로 어찌할 수 없기 때문에 운명의 여신 포르투나가 개입하는 하는 것으로 믿어졌는데, 이는 무작위에 대한 고대의 관념을 보여준다.^[77] 도박에서는 게임에서 이길 기회를 여전히 운명의 신이 개입하는 운에 따른 것으로 보았기 때문에 이를 과학적인 관찰 대상으로 여기지는 않았다. 그 때문에 무작위에 놓인 논리적 배경을 탐구하려는 시도는 늦춰질 수 밖에 없었다.^[78] 미국의 확률론 학자 리처드 제프리는 "17세기 중반 이전까지 오늘날 '확률'을 뜻하는 '가능한'을 가리키는 낱말 'probable'은 인정할 수 있는 것을 뜻하는 'approvable'을 의미하였다. 행동이나 의견이 '가능하다'는 것은 '타당하다'라는 의미였다."고 설명하였다.^[79]

16세기 이탈리아의 지롤라모 카르다노는 본업이 의사였지만 점성술, 철학, 수학 등에도 관심을 보인 박식가였다.^[80] 삼차방정식의 일반 해를 구하기도 한 수학자였던 카르다노는 도박에 빠진 도박 중독자이기도 하였다. 그는 《우연의 게임 지침서》(Liber de ludo aleae^it)에서 게임의 조건이 참여자 모두에게 공정할 때 일어날 경우의 수를 계산하여 확률의 개념을 수립하였다. 그러나 카르다노의 지침서는 여전히 수학이라기 보다는 도박에 더 중점을 둔 책이었기 때문에 각종 속임수와 같은 것들도 함께 설명하였다.^[81]

카르다노는 게임의 참가자가 이길 가능성을 따지는 승산을 정의하였다. 게임 참가자가 이길 확률이

p

라면 승산

Odds

는 아래와 같이 계산된다.

:

Odds = \frac{p}{1-p}

위 식에서 분모

1-p

는 모든 경우의 수가 일어날 확률 1에서 승리할 확률

p

를 뺀 게임에 질 확률을 의미한다.^[82] 도박은 이기는 것이 목적이기 때문에 승산은 이길 확률과 질 확률의 비율인 승산비로 나타낸다. 승산비는 오늘날 게임 이론에 기초한 연구에서 중요한 도구로 활용된다.^[83]

18세기 블레즈 파스칼과 피에르 드 페르마는 수학적 확률 계산의 기초를 정립하였다.^[84] 당시 파리의 유명한 도박사였던 앙트완 공보(Antoine Gombaud^[85])는 포인트라고 불리던 점수 내기 도박을 즐겼다. 어느 날 게임을 도중에 중단하게 된 공보는 파스칼에게 게임에 걸린 판돈을 공정하게 분배할 방법을 물었다. 파스칼은 문제의 해답을 구하면서 마랭 메르센을 통하여 페르마와 의견을 주고 받았다. 둘은 서로 다른 방법으로 공보의 문제에 대한 동일한 결론을 도출하였고 이는 모든 확률 문제를 해결할 수 있는 일반적 방법으로 발전하였다.^[86]

포인트는 판돈을 걸고 게임을 하여 특정한 점수에 먼저 도달한 사람이 이기는 주사위 게임이었다. 두 참가자 A와 B가 3점을 먼저 내는 사람이 이기는 것으로 하고 게임을 하다가 A는 2점 B는 1점을 낸 상태에서 게임을 중단하였다. 둘 모두가 앞으로 점수를 얻을 확률이 동일할 때 판돈은 아래와 같이 나눌 수 있다.^[87]

A는 한 번 만 더 이기면 게임에서 승리하고, B는 두 번을 연달아 이겨야 하므로 게임은 최대 2 번까지 더 할 수 있다. 따라서 두 변수의 제곱에 대한 이항정리로 나타내면,

:

(A+B)^2 = 1 \cdot A^2 + 2 \cdot AB + 1 \cdot B^2

위 식의 각 항 가운데

1 \cdot A^2

,

2 \cdot AB

는 A의 승리를 뜻하고, B가 연거푸 이기는 경우는

1 \cdot B^2

밖에 없기 때문에 모든 항의 계수를 더한 4를 분모로 하고 각자가 이길 경우를 분자로 한 확률에 따라 A가 전체 판돈의 3/4을, B가 1/4을 나누어 가지면 된다.

야코프 베르누이는 《추론술》(Ars Conjectandi^la, 1713년)을 통하여 확률론을 수학의 한 분야로 자리잡게 하였다.^[88] 아브라암 드무아브르는 《확률론》(The doctrine of chances^영어, 초판 1718, 2판 1738년)을 통하여 확률론의 수학적 기초를 세웠고 확률분포를 설명하였다. 특히 2판에서 정규분포를 언급하였다.^[89] 정규분포는 훗날 카를 프리드리히 가우스에 의해 엄밀하게 정의 되었다.^[90] 라플라스는 집합론을 도입하여 확률을 재정의 하였다. 또한 조건부 확률, 주변 분포와 같은 비독립적 사건을 포함하여 확률론을 일반화 하였다.^[91]

아돌프 케틀레는 자연 과학에 이용되던 확률 개념을 사회 과학으로 확장하였다. 케틀레는 1835년 《인간과 그 능력의 개발에 관한 논고: 사회물리학 시론》에서 사회 현상 역시 확률과 통계를 적용할 수 있다고 보았고 사회 현상을 대표할 수 있는 "평균적 인간"이라는 개념을 도입하였다.^[92]

토머스 베이즈는 모든 경우의 수의 집합인 S가 불명확할 때 확률을 계산하는 베이즈 정리를 통해 베이즈 확률론의 기초를 만들었다. 그는 선험적인 사전확률과 일정 기간을 통해 측정한 사후확률의 되먹임을 통해 여러 사회 현상에 유용한 확률 계산법을 고안하였다.^[93]

베이즈 확률론은 조건부 사건이 연속하여 발생하는 것을 전제로 한다. 그런데 앞서 일어난 일이 뒤에 일어날 일과 아무런 관련이 없는 경우도 있기 마련이다. 《한비자》 오두편의 수주대토(守株待兎)는 우연한 일이 반복되길 기다리는 어리석음을 비웃는 말이다.^[94] 1906년 안드레이 마르코프는 과거의 사건이 현재에는 조건부로 작용하지만 미래에는 영향을 주지 않는 마르코프 확률 과정을 정의하여 이러한 경우의 확률을 계산할 수 있도록 하였다.^[95]

2. 1. 한국에서의 확률 개념

한국에서 '확률'이라는 용어는 메이지 시대 일본에서 처음 사용되어 여러 번역어를 거쳐 정착되었다.^[46]^[54] 초기에는 '개연성', '공산', '확실성' 등 다양한 용어가 사용되었으나,^[46] 1916년 후지사와 도시타로의 제안으로 '확률'이 공식적인 용어로 채택되었다.^[57]

1875년 서주는 조셉 헤이븐의 「심리학」을 번역하면서 "'''개연'''(probable)"이라고 표기했다. 1881년 『철학자휘』에서는 probability의 번역어로 "개연성"이 실렸다. 1880년 오노 요이치는 『통계람요 초편』에서 프로바빌리티를 "'''근진법'''"으로 번역하였다.^[47]

1882년 육군 교재 『포병교육 4』에서 "'''공산(公算)'''"이라는 단어가 사용되었다.^[48] 1944년 영어-일본어 사전에는 probability의 번역에 "kōzan 公算"이라고 쓰여 있었다. "공산"이라는 단어의 유래는 불명확하지만, 화산이나 양산이라는 단어처럼 공평의 "공(公)"에 "산(算)"자를 붙여 육군 내에서 만들어졌다는 설이 있다. 1888년 육군사관학교에서 『공산학』이 저술되었다. 1891년에는 『공산학 사격학 교육』이 저술되었으며, 이 책에서는 "사건", "독립" 등의 용어가 사용되었다.^[49]

1883년 장택거메노스케(長澤亀之助)는 아이작 토드헌터(アイザック・トドハンター)의 저서를 번역하여 『대수학(代数学)』을 출판하고 probability를 「'''적우(適遇)'''」로 번역하였다.^[50] 해군에서는 오랫동안 확률을 「적우」라고 불렀다. 1889년 후지사와 도시타로는 probability를 「'''확실성(確からしさ)'''」으로 번역하였으나, 너무 길다는 비판을 받았다.^[52]

1908년 하야시 츠루이치와 카리야 타닌지로는 『공산론(확실성의 이론)(公算論（確カラシサノ理論）)』을 출판하고, 서문에서 '확률'이라는 용어를 처음으로 제안했다.^[54]^[55] 그러나 하야시 츠루이치는 '공산'이라는 용어를 계속 사용했다. 1915년 모리 쇼우자부로는 “'''개산(概算)'''”이라는 번역어를 제안했고,^[56] 사라라 쓰네오는 “'''확도(確度)'''”라는 단어를 제안했다.

1916년 후지사와 도시타로는 '확률'을 공식 용어로 결정하고 보험 분야에서도 사용하도록 제안했다. 1919년 와타나베 손이치로는 도호쿠 대학에서 확률론 연구로 이학박사 학위를 받았고, 후지사와의 권유로 '확률'을 보급하기 시작했다. 1922년 와타나베는 『신편 고등대수학』에서 '확률'이라는 장을 만들었다.^[58] 1926년에는 『확률론』을 출판했다.^[59]

1919년 가메다 토요지로는 논문에서 "확률"이라는 용어를 사용하기 시작했다. 1932년 가메다는 『확률론 및 그 응용』을 저술했다.^[60]

일제강점기에는 육군에서 '공산'이라는 용어를 사용하기도 하였으나, 해방 이후에는 '확률'이 보편적으로 사용되기 시작하였다. 현대 한국 사회에서는 로또, 스포츠 토토, 보험, 금융 상품 등 다양한 분야에서 확률 개념이 활용되고 있다.

3. 확률의 해석

확률에 대한 해석은 크게 두 가지 주요 범주로 나뉜다.

객관주의적 해석: 확률을 객관적이고 물리적인 속성으로 간주한다.
빈도주의 확률: 반복되는 실험에서 특정 결과가 나타나는 상대 빈도로 확률을 정의한다.^[4] 예를 들어, 동전을 두 번 던져 "앞면-앞면" 결과가 나올 확률은 1/4이다.
경향성 확률: 단일 실험에서도 특정 결과를 낳는 경향으로 확률을 해석한다.
주관주의적 해석: 확률을 주관적인 신념의 정도로 간주한다.^[5]
베이즈 확률: 전문가 지식(사전 확률 분포)과 실험 데이터(가능도 함수)를 결합하여 사후 확률 분포를 생성한다.^[8] 아우만의 합의 정리에 따르면, 사전 신념이 유사한 베이지안 에이전트는 유사한 사후 신념을 갖게 되지만, 충분히 다른 사전 신념은 다른 결론으로 이어질 수 있다.^[9]

확률론 및 그 응용 분야에서, 베이즈 규칙은 사전 확률과 사후 확률을 연관시킨다.

4. 주요 요소

일어날 수 있는 모든 경우의 수 가운데 선택된 각각의 경우를 사건이라고 하며, 더 이상 분해 될 수 없는 기본 사건과 이들이 결합한 복합 사건으로 구분된다. 또한 기본 사건은 그 성격에 따라 독립 사건과 종속 사건, 상호 배타 사건 등으로 구분된다.^[96]

일어나는 사건들이 서로 아무런 영향을 주지 않을 때 독립 사건이라고 한다.^[96] 반면에 둘 이상의 사건이 서로 영향을 미친다면 종속 사건이라고 한다. 정육면체 주사위 던지기에서 나오는 눈의 값은 서로 영향을 미치지 않기 때문에 독립 사건이지만, 흰 공과 검은 공이 섞여 있는 주머니에서 공을 꺼내는 사건의 확률은 종속적이다. 앞서 꺼낸 공 때문에 확률이 변하기 때문이다. 예를 들어 흰 공 5 개와 검은 공 5 개가 들어 있는 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 50% 이지만 처음 꺼낸 공이 흰 공이었을 때 두 번째 공도 흰 공일 확률은 4/9로 변하게 된다. 이미 흰 공 하나가 밖으로 나와 있기 때문이다.

배타 사건은 동시에 두 가지가 일어날 수 없는 경우를 가리킨다. 정육면체 주사위를 던졌을 때 홀수이면서 동시에 짝수일 수는 없기 때문에 두 사건은 서로 배타적이다.^[96] 반면에 두 사건이 동시에 고려되어야 한다면 결합 사건이라고 한다.^[97]

현대 수학에서 확률은 집합론과 함수에 의해 설명된다. 즉 확률은 어떤 일이 일어날 모든 경우의 수의 집합을 정의역인 표본 공간으로 하고 그것이 일어날 확률의 집합인 확률 공간을 치역으로 하며 함수인 확률 변수에 의해 정의역에서 치역으로 사상된다.

하나의 정육면체 주사위 던지기와 같은 기본 사건은 각각의 경우의 수가 나타날 확률이 균등하지만, 둘 이상이 되면 나타나 수 있는 확률의 분포가 동일하지 않다. 복합 사건에서 어떤 것은 보다 많이 나타날 가능성이 있고 어떤 것의 확률은 희박하다. 포커는 이러한 확률의 차이를 바탕에 둔 카드 게임이다. 확률 분포의 정도는 확률 질량 함수나 확률 밀도 함수를 통해 계산할 수 있으며 이렇게 계산된 정도에 따라 기대값을 생각할 수 있다.

덤프스터-셰이퍼 이론이나 가능성 이론과 같이 불확실성을 정량화하는 다른 방법들이 있지만, 이것들은 본질적으로 다르며 일반적으로 이해되는 확률 법칙과 호환되지 않는다.

4. 1. 표본 공간과 확률 공간

어떤 일이 일어날 확률은 일어날 수 있는 모든 경우의 수에 대한 선택된 일이 일어날 경우의 수의 비율로 정의할 수 있다. 예를 들어 정육면체 주사위를 한 번 던져 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이다.

이 가운데 짝수가 나올 경우는 2, 4, 6의 세 가지이므로, 정육면체 주사위를 한 번 던져 짝수가 나올 확률은 3/6 이고 약분 하면 1/2이 된다. 0.5 또는 50 % 로 표기할 수도 있다.

이 때 모든 경우의 수를 원소로 하는 집합을 표본 공간이라고 하고 일반적으로

\Omega

또는

S

로 표기한다.^[98] 한편 위의 예에서 짝수가 나오는 경우처럼 선택된 일이 일어나는 경우를 원소로 하는 집합을 사건이라고 하고 일반적으로

F

로 표기한다. 따라서 사건 F는 언제나 표본 공간 S의 부분 집합이다.^[98]

:

F \subseteq S

확률 공간은 표본 공간에서 사건이 일어날 범위를 측정하는 측도 공간이다. 사건 F가 아무런 원소도 갖지 않는 공집합이라면 확률은 0 이 되고 사건 F에 속하는 원소가 전체 집합인 표본 공간 S와 같다면 확률은 1이 된다.

정육면체 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 눈을 원소로 하는 표본 공간 S는 다음과 같다.

:

S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}

이때 짝수가 나오는 사건 F는 다음과 같은 부분 집합이다.

:

F = \{ 2, 4, 6 \}

표본 집합 S에 대한 사건 F의 확률은 다음과 같이 표현된다.

:

P(F) = \frac{F}{S} = \frac{1}{2}

한편 정육면체 주사위의 경우 짝수가 나오지 않으면 홀수이기 때문에 이 경우는 사건 F의 여 집합으로 생각할 수 있다.

확률을 공식화하려는 적어도 두 가지 성공적인 시도가 있었는데, 바로 콜모고로프 공식화와 콕스 공식화이다.^[28]^[29]^[30]^[31] 콜모고로프의 공식화에서는 집합이 사건으로, 확률은 집합의 클래스에 대한 측도로 해석된다. 콕스의 정리에서는 확률이 원시적인 것(즉, 더 이상 분석되지 않음)으로 간주되며, 확률 값을 명제에 일관되게 할당하는 데 중점을 둔다. 두 경우 모두 확률 법칙은 기술적인 세부 사항을 제외하고는 동일하다.

4. 2. 확률 변수

현대 수학에서 확률은 표본 공간에서 확률 공간으로 사상되는 함수로 취급된다.^[99] 표본 공간의 원소인 각각의 경우의 수를 일정한 확률로 계산할 수 있는 것은 확률 변수의 작용 때문이다.^[99] 표본 공간은 확률 함수의 정의 역으로 동전 던지기처럼 단 두 가지 경우를 원소로 할 수도 있고 실수 전체를 원소로 할 수도 있다. 그러나 확률 변수에 의해 사상 된 확률의 치역은 0과 1사이의 실수 값을 갖는다.^[99]

여러 결과를 생성할 수 있는 실험에서 모든 가능한 결과의 집합을 실험의 표본 공간(때로는 Ω로 표기)이라고 한다. 표본 공간의 멱집합은 가능한 모든 결과의 집합들을 고려하여 형성된다. 확률은 모든 사건에 0과 1 사이의 값을 할당하는 방법이며, 모든 가능한 결과로 구성된 사건에는 1의 값이 할당되어야 한다는 조건이 있다. 또한, 서로 배타적인 사건(공통된 결과가 없는 사건)의 집합에 대해 적어도 하나의 사건이 발생할 확률이 모든 개별 사건의 확률의 합으로 주어져야 한다.^[28] 사건 ''A''의 확률은

P(A)

,^[29]

p(A)

또는

\text{Pr}(A)

로 쓴다.^[30]

사건 ''A''의 ''반대'' 또는 여사건은 사건 [not ''A''](즉, ''A''가 발생하지 않는 사건)이며, 그 확률은 ''P''(not ''A'') = 1 − ''P''(''A'')로 주어진다.^[31] 두 사건 ''A''와 ''B''가 실험의 단일 수행에서 발생하는 경우, 이를 ''A''와 ''B''의 결합 확률이라고 하며,

P(A \cap B)

로 표기한다. 집합 Ω에서 확률은 그 Ω의 임의의 부분집합 x(사건)에 대해 1 이하의 양의 수를 부여하는 함수 P(x)이다. P(A)는 전사건 Ω 중 사건 A의 비율을 나타내며, P(A∩B)는 A이면서 B인 비율이다. 이를 P(B)로 나눈 것은 B 중에서 A를 만족하는 것의 비율이며, 조건부 확률이라고 불리고 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)로 쓴다.

4. 3. 확률 분포

확률 분포는 서로 다른 확률을 갖는 사건들의 분포를 나타낸다. 이산 확률 분포는 주사위 던지기나 동전 던지기와 같이 불연속적인 값을 갖는 확률 분포이고, 연속 확률 분포는 신입생의 키나 몸무게와 같이 연속적인 값을 갖는 확률 분포이다. 정규분포는 가장 널리 쓰이는 연속 확률 분포 가운데 하나이다.

4. 4. 확률 분포 함수

확률의 분포가 확률 변수에 따라 차이가 나는 점을 생각할 때 확률의 분포 자체를 표현하는 확률 분포 함수를 생각할 수 있다.^[100] 연속적이지 않은 이산형 확률 변수가 취할 수 있는 값은 확률 질량 함수이다.^[100] 반면에 연속적인 확률 변수의 경우 일정 구간의 확률을 넓이로 구할 수 있기 때문에 확률 밀도 함수라고 한다.^[100] 질량이나 밀도라는 명칭은 두 함수의 계산 법이 물리적 질량이나 밀도를 구하는 식과 같기 때문에 붙인 것이다.^[100] 빗물이 무작위로 쟁반 위에 떨어진다고 하자, 쟁반의 모양이 완전한 원반이라면 원의 중심에서 일정 반지름까지 빗방울이 떨어질 확률은 전체 원반 넓이에 대한 특정 반지름까지 원의 넓이 비율로 계산 될 것이다. 확률 밀도 함수는 이와 같이 표본 공간이 무한이 많은 경우로 이루어 질 때 확률의 분포를 표현하기 위해 쓰인다. 단, 확률 분포 함수는 확률 변수의 분포 만을 다룰 뿐 확률 자체를 나타내지는 않는다.^[100]

4. 5. 기댓값

기댓값은 확률 분포의 대표적인 중심 값으로 확률분포의 성격을 결정짓는 확률적 평균치이다. 기댓값은 산술적 평균이 아니며 확률의 예측에 따른 가중 평균이다.^[101]

예를 들어 정육면체 주사위 두 개를 동시에 던졌을 때 나올 수 있는 확률 변수 X에 대한 기댓값 E(X)는 다음과 같이 계산된다.^[102]

:

E(X) = \Sigma x_i P(X=x_i)

::

x_i

는

X

의

i

번째 원소,

P(x_i)

는 그 원소의 확률

:

= x_1 p_1 +x_2 p_2 + x_3p_3 + \cdots \cdots + x_{10}p_{10} + x_{11} p_{11}

:

= 2 \times \frac{1}{36} +  3 \times \frac{2}{36} + 4 \times \frac{3}{36} + 5 \times \frac{4}{36} + 6 \times \frac{5}{36} +

::

7 \times \frac{6}{36} +  8 \times \frac{5}{36} + 9 \times \frac{4}{36} + 10 \times \frac{3}{36} + 11 \times \frac{2}{36} + 12 \times \frac{1}{36}

:

= \frac{2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12}{36} = \frac{252}{36} = 7

집합 Ω를 생각할때, 확률은 Ω의 임의의 부분집합 x(사건)에 대해 1 이하의 양의 수를 부여하는 함수 P(x)이다. P(Ω) = 1이며, 가산성이 성립해야 한다. 즉, P(A)는 전사건 Ω 중 사건 A의 비율을 나타낸다. P(A∩B)는 A이면서 B인 비율이며, 이것을 P(B)로 나눈 것은 B 중에서 A를 만족하는 것의 비율이며, 조건부 확률이라고 불리며 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)로 쓴다.

4. 6. 확률의 합과 곱

두 사건의 합집합은 두 사건 가운데 적어도 하나가 일어날 확률을 나타낸다. 정육면체 주사위를 한 번 던져 2의 배수 이거나 3의 배수일 경우의 확률은 두 사건의 합집합으로 표현할 수 있으며, 이때 2의 배수이면서 3의 배수인 6은 교집합이므로 한 번 빼 줘야 한다.^[103]

:

P(F2 \cup F3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

두 사건의 교집합(곱사건)은 두 사건이 동시에 일어날 확률을 나타낸다. 정육면체 주사위를 두 번 던져 처음 나온 값은 2의 배수, 두 번째의 것은 3의 배수일 경우의 확률은 두 확률의 곱으로 나타낼 수 있다.

:

P(F2 \mbox{ and } F3) =  P(F2 \cap F3) = P(F2) P(F3)

:

P(F2) \times P(F3) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{6}= \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

.

두 사건 A와 B가 독립이라면, 결합 확률은 다음과 같다.^[29]

:

P(A \mbox{ and }B) =  P(A \cap B) = P(A) P(B).

예를 들어, 두 개의 동전을 던질 때, 두 동전 모두 앞면이 나올 확률은

\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}

이다.^[32]

생방송 행복드림 로또 6/45는 1에서 45개의 숫자 가운데 6 개를 맞추는 곱사건이고, 한 숫자를 맞출 때마다 골라야 하는 숫자와 고를 수 있는 숫자가 하나씩 줄어드는 종속 사건이기 때문에 6 개의 숫자 모두를 맞출 확률은 여섯 가지 확률을 곱하여 계산할 수 있다.

:

\frac{6!}{45^{\underline 6}} = \frac{6}{45} \times \frac{5}{44} \times \frac{4}{43} \times \frac{3}{42} \times \frac{2}{41} \times \frac{1}{40}

:

= \frac{720}{5,864,443,200} = \frac{1}{8,145,060}

사건들이 서로 배반적이지 않다면 다음과 같다.

P\left(A \hbox{ 또는 } B\right) = P(A \cup B) = P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A \mbox{ 그리고 } B\right).

다시 쓰면,

P\left( A\cup B\right)  =P\left( A\right)  +P\left( B\right)  -P\left( A\cap B\right)

이는 여러 사건으로 확장될 수 있다. 예를들어 카드 한 벌에서 한 장을 뽑을 때, 하트 또는 그림 카드(J, Q, K)를 뽑을 확률은 다음과 같다.

:

\tfrac{13}{52} + \tfrac{12}{52} - \tfrac{3}{52} = \tfrac{11}{26}

확률은 집합 Ω의 임의의 부분집합 x(사건)에 대해 1 이하의 양의 수를 부여하는 함수 P(x)이다. P(A)는 전사건 Ω 중 사건 A의 비율을 나타낸다. P(A∩B)는 A이면서 B인 비율이며, 이것을 P(B)로 나눈 것은 B 중에서 A를 만족하는 것의 비율이며, 조건부 확률이라고 불리며 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)로 쓴다.

4. 7. 조건부 확률

조건부 확률은 주어진 사건이 일어났다는 가정 하에 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다.^[104] 사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 조건부 확률은

P(B | A)

로 나타내고 A가 일어날 확률

P(A)

를 분모로 하고 두 사건이 동시에 일어날 곱사건의 확률

P(A \cap B)

를 분자로 하여 나타낼 수 있다.

:

P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

만약

P(B)=0

이라면, 이 식에 따르면

P(A \mid B)

는 수학적으로 정의되지 않는다.^[33] 이 경우

A

와

B

는 독립적이며,

P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0

이다. 하지만, 예를 들어 연속 확률 변수에서 발생하는 것과 같은 σ-대수를 이용하여 0확률 사건에 대한 조건부 확률을 정의하는 것이 가능하다.^[34]

조건부 확률의 널리 알려진 예시로는 몬티 홀 문제가 있다.^[105] 집합 Ω를 생각하자. 확률이란 그 Ω의 임의의 부분집합 x(사건이라고 부름)에 대해 1 이하의 양의 수를 부여하는 함수 P(x)이다. P(Ω) = 1이며, 가산성이 성립해야 한다. 즉, P(A)는 전사건 Ω 중 사건 A의 비율을 나타낸다. P(A∩B)는 A이면서 B인 비율이며, 이것을 P(B)로 나눈 것은 B 중에서 A를 만족하는 것의 비율이며, 조건부 확률이라고 불리며 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)로 쓴다.

5. 양자 역학과 확률

양자 역학에서 모든 물리적 과정은 확률적으로 발생하며, 이는 20세기 초 물리학의 혁명적인 발견 중 하나였다.^[36] 객관적인 파동 함수는 결정론적으로 진화하지만, 코펜하겐 해석에 따르면 관찰은 확률을 다루며, 관찰이 이루어질 때 파동 함수 붕괴에 의해 결과가 설명된다.^[36]

결정론적 우주는 뉴턴 역학적 개념에 기반하여 모든 조건이 알려져 있다면 확률이 없을 것이라고 보지만( 초기 조건에 대한 민감도가 측정 능력을 넘어서는 상황도 존재한다.), 양자 현상을 설명하기 위해서는 확률론이 필요하다.^[35]^[36]

양자론의 세계에서 사건이 확률적으로 결정되는 이유는 잘 알려져 있지 않다. 사건이 확률적으로 결정된다는 것은 실험 결과로 알게 된 사실이다. 알려진 것은 확률이 확률진폭의 제곱에 비례한다는 것뿐이며, 그것은 양자역학의 기본 원리 중 하나이다.

알베르트 아인슈타인은 막스 보른에게 보낸 편지에서 "나는 신이 주사위 놀이를 하지 않는다고 확신합니다."^[37]라고 말하며 결정론적 관점을 지지했다. 파동 함수를 발견한 에르빈 슈뢰딩거 역시 양자 역학이 근본적인 결정론적 현실의 통계적 근사라고 믿었다.^[38]

6. 응용

확률론은 일상생활에서 위험 평가와 모델링에 적용된다. 보험업계와 시장은 보험수리학을 이용하여 가격을 결정하고 거래 결정을 내린다. 정부는 환경 규제, 권리 분석 및 금융 규제에 확률적 방법을 적용한다.^[24]

주식 거래에서 광범위한 중동 분쟁의 인식된 확률은 원유 가격에 영향을 주고, 이는 다시 경제 전반에 영향을 준다. 상품 트레이더가 전쟁 가능성을 높게 평가하면 가격 변동이 발생하고, 이는 다른 트레이더들에게 해당 의견을 알리는 역할을 한다. 행동 재무학 이론은 가격, 정책, 평화 및 분쟁에 대한 집단 사고의 영향을 설명한다.^[24]

확률은 금융 평가 외에도 생물학(예: 질병 확산)과 생태학(예: 생물학적 퍼넷트 사각형)의 추세 분석에 사용 가능하다.^[25] 위험 평가는 원치 않는 사건 발생 가능성을 계산하는 통계적 도구로, 상황 회피 프로토콜 구현에 도움을 줄 수 있다. 확률은 도박 설계에도 사용되어 카지노의 이익을 보장하는 동시에 플레이어의 지속적인 플레이를 유도한다.^[26]

신뢰성은 확률론의 또 다른 중요한 응용 분야이다. 자동차와 가전제품 등 여러 소비자 제품은 제품 설계에 신뢰성 이론을 활용하여 고장 확률을 줄이고, 이는 제품 보증 결정에 영향을 준다.^[27]

캐시 언어 모델 및 자연어 처리에 사용되는 통계적 언어 모델도 확률론이 응용된 사례이다.

7. 비판 및 논쟁

확률 개념은 인간의 한계와 관련하여 철학적으로 다양한 견해가 존재한다.^[45] 양자론에서 양자 상태는 물리량 측정에 대해 측정값의 확률 분포를 제공하지만(본의 규칙), 고전역학처럼 측정값의 결정론적인 행동을 제공하지 않는다. 고전역학에서는 계의 행동이 결정론적이며, 이상 기체나 브라운 운동처럼 계가 확률적으로 행동하는 것은 관측자가 그 계에 대한 상세한 지식을 가지고 있지 않기 때문이라는 견해가 있었다. 알베르트 아인슈타인은 "신은 주사위를 굴리지 않는다"라고 말한 바 있다.^[45] 양자역학의 기초에 관하여, 고전론과 마찬가지로 계의 행동을 완전히 결정하는 숨은 변수 이론이 존재하는지에 대한 논의가 있다. 국소 실재론을 지지하는 숨은 변수 이론에 관하여 벨의 부등식이 성립하는 것으로 알려져 있지만, 아스페의 실험 등 여러 실험에 의해 벨 부등식이 깨지는 것이 검증되었고, 일련의 실험 결과는 숨은 변수 이론을 지지하지 않는다.

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