합 규칙

1. 개요

합 규칙은 미분 가능한 두 함수의 합의 미분과 관련된 규칙이다. 두 함수 f와 g가 미분 가능할 때, f + g 역시 미분 가능하며, (f + g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀)이다. 이는 라이프니츠 표기법으로 d/dx(f+g)(x₀) = df/dx(x₀) + dg/dx(x₀)로 나타낼 수 있다. 또한, 유한 개의 함수 f₁, f₂, ..., fₙ의 합에 대한 합 규칙은 (f₁ + f₂ + ... + fₙ)'(x₀) = f₁'(x₀) + f₂'(x₀) + ... + fₙ'(x₀)이며, 라이프니츠 표기법으로는 d/dx(f₁+f₂+⋯+fₙ)(x₀)=df₁/dx(x₀)+df₂/dx(x₀)+⋯+dfₙ/dx(x₀)이다. 이 규칙은 미분의 정의와 극한의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

2. 정의

두 함수 또는 유한 개의 함수의 합으로 이루어진 함수를 미분하는 것은 각 함수의 미분을 합하는 것과 같다.

2.1. 두 함수의 합의 미분

두 함수 $f,g\backslash colon\; I\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $x\_0\backslash in\; I\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, $f+g$ 역시 $x\_0$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

:$(f+g)\text{'}(x\_0)=f\text{'}(x\_0)+g\text{'}(x\_0)$

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\; d\{dx\}(f+g)(x\_0)=\backslash frac\{df\}\{dx\}(x\_0)+\backslash frac\{dg\}\{dx\}(x\_0)$

보다 일반적으로, 유한 개의 함수 $f\_1,f\_2,\backslash dots,f\_n\backslash colon\; I\backslash mathbb\; R$에 대한 합 규칙은 다음과 같다.

:$(f\_1+f\_2+\backslash cdots+f\_n)\text{'}(x\_0)=f\_1\text{'}(x\_0)+f\_2\text{'}(x\_0)+\backslash cdots+f\_n\text{'}(x\_0)$

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\; d\{dx\}(f\_1+f\_2+\backslash cdots+f\_n)(x\_0)=\backslash frac\{df\_1\}\{dx\}(x\_0)+\backslash frac\{df\_2\}\{dx\}(x\_0)+\backslash cdots+\backslash frac\{df\_n\}\{dx\}(x\_0)$

2.2. 유한 개의 함수의 합의 미분

두 함수 $f,g\backslash colon\; I\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $x\_0\backslash in\; I\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, $f+g$ 역시 $x\_0$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

:$(f+g)\text{'}(x\_0)=f\text{'}(x\_0)+g\text{'}(x\_0)$

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\; d\{dx\}(f+g)(x\_0)=\backslash frac\{df\}\{dx\}(x\_0)+\backslash frac\{dg\}\{dx\}(x\_0)$

보다 일반적으로, 유한 개의 함수 $f\_1,f\_2,\backslash dots,f\_n\backslash colon\; I\backslash mathbb\; R$에 대한 합 규칙은 다음과 같다.

:$(f\_1+f\_2+\backslash cdots+f\_n)\text{'}(x\_0)=f\_1\text{'}(x\_0)+f\_2\text{'}(x\_0)+\backslash cdots+f\_n\text{'}(x\_0)$

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\; d\{dx\}(f\_1+f\_2+\backslash cdots+f\_n)(x\_0)=\backslash frac\{df\_1\}\{dx\}(x\_0)+\backslash frac\{df\_2\}\{dx\}(x\_0)+\backslash cdots+\backslash frac\{df\_n\}\{dx\}(x\_0)$

3. 증명

h(x)^영어 = f(x)^영어 + g(x)^영어이고, f^영어와 g^영어가 각각 x^영어에서 미분 가능하다고 가정하자. 미분의 정의와 극한의 성질을 이용하면 h^영어가 x^영어에서 미분 가능하고 h'(x)^영어 = f'(x)^영어 + g'(x)^영어라는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다.

:h'(x)^영어
:= lim^영어 h(x+Δx)-h(x)/Δx^영어
:= lim^영어 [f(x+Δx)+g(x+Δx)]-[f(x)+g(x)]/Δx^영어
:= lim^영어 f(x+Δx)-f(x)+g(x+Δx)-g(x)/Δx^영어
:= lim^영어 f(x+Δx)-f(x)/Δx^영어 + lim^영어 g(x+Δx)-g(x)/Δx^영어
:= f'(x)+g'(x)^영어