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합 규칙

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목차

1. 개요

합 규칙은 미분 가능한 두 함수의 합의 미분과 관련된 규칙이다. 두 함수 f와 g가 미분 가능할 때, f + g 역시 미분 가능하며, (f + g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀)이다. 이는 라이프니츠 표기법으로 d/dx(f+g)(x₀) = df/dx(x₀) + dg/dx(x₀)로 나타낼 수 있다. 또한, 유한 개의 함수 f₁, f₂, ..., fₙ의 합에 대한 합 규칙은 (f₁ + f₂ + ... + fₙ)'(x₀) = f₁'(x₀) + f₂'(x₀) + ... + fₙ'(x₀)이며, 라이프니츠 표기법으로는 d/dx(f₁+f₂+⋯+fₙ)(x₀)=df₁/dx(x₀)+df₂/dx(x₀)+⋯+dfₙ/dx(x₀)이다. 이 규칙은 미분의 정의와 극한의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

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합 규칙
미분 규칙
이름합 규칙
분야미적분학
규칙
설명두 함수의 합의 도함수는 각 함수의 도함수의 합이다.
공식(f + g)' = f' + g'
변수f, g는 x의 함수
f', g'는 f, g의 도함수
예시
예시 1(x^2 + sin(x))' = 2x + cos(x)
예시 2(3x + e^x)' = 3 + e^x
일반화
상수 곱 규칙(cf)' = cf' (c는 상수)
차 규칙(f - g)' = f' - g'
선형성(af + bg)' = af' + bg' (a, b는 상수)
유한 합(f1 + f2 + ... + fn)' = f1' + f2' + ... + fn'

2. 정의

두 함수 또는 유한 개의 함수의 합으로 이루어진 함수를 미분하는 것은 각 함수의 미분을 합하는 것과 같다.

2. 1. 두 함수의 합의 미분

두 함수 f,g\colon I\to\mathbb R가 x_0\in I\subseteq\mathbb R에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, f+g 역시 x_0에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

:(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:\frac d{dx}(f+g)(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)+\frac{dg}{dx}(x_0)

보다 일반적으로, 유한 개의 함수 f_1,f_2,\dots,f_n\colon I\mathbb R에 대한 합 규칙은 다음과 같다.

:(f_1+f_2+\cdots+f_n)'(x_0)=f_1'(x_0)+f_2'(x_0)+\cdots+f_n'(x_0)

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:\frac d{dx}(f_1+f_2+\cdots+f_n)(x_0)=\frac{df_1}{dx}(x_0)+\frac{df_2}{dx}(x_0)+\cdots+\frac{df_n}{dx}(x_0)

2. 2. 유한 개의 함수의 합의 미분

두 함수 f,g\colon I\to\mathbb R가 x_0\in I\subseteq\mathbb R에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, f+g 역시 x_0에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

:(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:\frac d{dx}(f+g)(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)+\frac{dg}{dx}(x_0)

보다 일반적으로, 유한 개의 함수 f_1,f_2,\dots,f_n\colon I\mathbb R에 대한 합 규칙은 다음과 같다.

:(f_1+f_2+\cdots+f_n)'(x_0)=f_1'(x_0)+f_2'(x_0)+\cdots+f_n'(x_0)

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:\frac d{dx}(f_1+f_2+\cdots+f_n)(x_0)=\frac{df_1}{dx}(x_0)+\frac{df_2}{dx}(x_0)+\cdots+\frac{df_n}{dx}(x_0)

3. 증명

h(x)영어 = f(x)영어 + g(x)영어이고, f영어와 g영어가 각각 x영어에서 미분 가능하다고 가정하자. 미분의 정의와 극한의 성질을 이용하면 h영어가 x영어에서 미분 가능하고 h'(x)영어 = f'(x)영어 + g'(x)영어라는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다.

:h'(x)영어

:= lim|Δx→0영어 h(x+Δx)-h(x)/Δx영어

:= lim|Δx→0영어 [f(x+Δx)+g(x+Δx)]-[f(x)+g(x)]/Δx영어

:= lim|Δx→0영어 f(x+Δx)-f(x)+g(x+Δx)-g(x)/Δx영어

:= lim|Δx→0영어 f(x+Δx)-f(x)/Δx영어 + lim|Δx→0영어 g(x+Δx)-g(x)/Δx영어

:= f'(x)+g'(x)영어


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