극한

1. 개요

극한은 수열이나 함수의 값이 특정 값에 한없이 가까워지는 현상을 의미하며, 미적분학, 해석학, 위상수학 등 다양한 분야에서 중요한 개념으로 사용된다. 수열의 극한은 수열의 항이 특정 값에 한없이 가까워지는 것이며, 수렴, 발산, 진동으로 구분된다. 함수의 극한은 독립 변수가 특정 값에 접근할 때 함수 값이 특정 값에 가까워지는 것이며, ε-δ 논법을 통해 엄밀하게 정의된다. 극한은 미분, 적분, 함수의 연속성 정의에 활용되며, 그물, 필터와 같은 일반적인 개념으로 확장되어 위상 공간에서의 수렴을 정의하는 데 기여한다.

2. 정의

극한은 수열, 함수, 그물, 필터 등 다양한 대상에 대해 정의될 수 있다.

* 필터 기저의 극한: 위상 공간 $X$의 부분 집합들의 필터 기저 $\backslash mathcal\; B$와 점 $x\backslash in\; X$에 대해, 임의의 근방 $U\backslash ni\; x$에 대하여 $B\backslash subset\; U$인 $B\backslash in\backslash mathcal\; B$가 존재하면, $\backslash mathcal\; B$는 $x$로 수렴한다고 하며, $x$를 $\backslash mathcal\; B$의 극한이라고 한다.
* 그물의 극한: 위상 공간 $X$와 그물 $(x\_i)\_\{i\backslash in(I,\backslash lesssim\_I)\}\backslash subset\; X$, 점 $x\backslash in\; X$에 대해, 임의의 근방 $U\backslash ni\; x$에 대하여 $\backslash forall\; i\backslash gtrsim\_Ii\_0\backslash colon\; x\_i\backslash in\; U$인 $i\_0\backslash in\; I$가 존재하면, 그물 $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$는 $x$로 수렴한다고 하며, $x$를 $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$의 극한이라고 한다.
* 함수의 극한: 위상 공간 $X$, $Y$와 함수 $f\backslash colon\; X\backslash setminus\backslash \{x\_0\backslash \}\backslash to\; Y$, 점 $x\_0\backslash in\; X$, $y\_0\backslash in\; Y$에 대해, $x\_0$의 빠진 근방들의 집합족의 상 $f(\backslash mathcal\; D\_\{x\_0\})$가 $y\_0$으로 수렴하면, 함수 $f$는 $x\_0$에서 $y\_0$로 수렴한다고 하며, $y\_0$을 $f$의 $x\_0$에서의 극한이라고 한다.

필터 기저의 극한, 그물의 극한, 함수의 극한은 서로 밀접하게 연관되어 있으며, 점렬은 그물의 특수한 경우이고, 그물의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우이다.

2.1. 수열

0. 999...는 수열 0.9, 0.99, 0.999...의 극한으로 해석되며, 이 수열의 극한은 1로 엄밀하게 증명할 수 있다.

수열의 극한과 함수의 극한은 밀접하게 관련되어 있다. 수열 의 이 무한대로 갈 때의 극한은 자연수 에서 정의된 함수 의 무한대에서의 극한이다. 또한, X가 함수 의 정의역이고, 가 X − x₀에 있는 임의의 점들의 수열이며 로 수렴한다면, 의 이 무한대로 갈 때의 극한이 일 때, 가 에 접근할 때 함수 의 극한은 과 같다. 이러한 수열의 한 예는 이다.

유한한 값 $L$이 아닌, "무한대로 향하는" 극한 개념도 있다. 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}$은 각 실수 $M\; >\; 0$ (경계값)에 대해, 각 $n>N$에 대해 $a\_n>M$이 되는 정수 $N$이 존재할 때 "무한대로 향한다"고 한다. 즉, 모든 가능한 경계값에 대해 수열은 결국 그 경계값을 초과하며, $\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; \backslash infty$ 또는 $a\_n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$로 표기한다.

$\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; |a\_n|\; =\; \backslash infty$인 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}$를 무한수열이라고 하며, 이 정의는 복소수 또는 임의의 거리 공간의 수열에도 동일하게 적용된다. 무한대로 향하지 않는 수열은 유계수열이라고 한다. 양의 무한대로 향하지 않는 수열은 상극한이 유계인 수열, 음의 무한대로 향하지 않는 수열을 하극한이 유계인 수열이라고 한다.

부등식을 (단, )으로 변경하여 음의 무한대로 향하는, $\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; -\backslash infty$의 개념도 있다.

위에서 논의된 수열은 실수 수열에 대한 것이다. 극한의 개념은 거리 공간과 같이 더 추상적인 공간에서 값을 가지는 수열에도 정의될 수 있다. 거리 함수 $d$를 갖는 거리 공간 $M$과 $M$ 안의 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 0\}$이 주어지면, 수열의 극한(존재하는 경우)은 다음을 만족하는 원소 $a\backslash in\; M$이다. 임의의 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해, 모든 $n\; >\; N$에 대해 이 되도록 하는 $N$이 존재한다. 이는 실수 수열 $d(a,\; a\_n)\; \backslash rightarrow\; 0$일 때 $a\_n\; \backslash rightarrow\; a$라는 것과 동치이다.

어떤 의미에서 극한을 정의할 수 있는 가장 추상적인 공간은 위상 공간이다. $X$가 위상 $\backslash tau$를 갖는 위상 공간이고, $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 0\}$이 $X$의 수열이면, 수열의 극한(존재하는 경우)은 $a$의 (열린) 근방 $U\backslash in\; \backslash tau$가 주어지면, 모든 $n\; >\; N$에 대해
$$a\_n\; \backslash in\; U$$
를 만족하는 $N$이 존재하는 점 $a\backslash in\; X$이다. 이 경우, 극한(존재하는 경우)은 유일하지 않을 수 있다. 그러나 $X$가 하우스도르프 공간이라면 유일해야 한다.

함수 해석학 분야는 부분적으로 함수 공간에서의 수렴에 대한 유용한 개념을 식별하려고 한다. 예를 들어, 일반적인 집합 $E$에서 $\backslash mathbb\{R\}$로의 함수 공간을 생각해 보자. 각각 $f\_n:\; E\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$인 함수열 $\backslash \{f\_n\backslash \}\_\{n\; >\; 0\}$이 주어졌다고 가정하고, 각 $x\; \backslash in\; E$에 대해 다음을 만족하는 함수가 존재한다고 가정한다.
$$f\_n(x)\; \backslash rightarrow\; f(x)\; \backslash text\{\; 또는\; 동등하게\; \}\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}f\_n(x)\; =\; f(x).$$

그러면 함수열 $f\_n$은 $f$로 점별 수렴한다고 한다. 그러나 이러한 수열은 예상치 못한 거동을 보일 수 있다. 예를 들어, 불연속인 점별 극한을 갖는 연속 함수의 수열을 구성할 수 있다.

수렴의 또 다른 개념은 균등 수렴이다. 두 함수 $f,g:\; E\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ 사이의 균등 거리는 인수 $x\; \backslash in\; E$가 변함에 따라 두 함수 사이의 최대 차이이다. 즉,
$$d(f,g)\; =\; \backslash max\_\{x\; \backslash in\; E\}|f(x)\; -\; g(x)|.$$
그러면 함수열 $f\_n$이 이 거리에 대해 $f\_n\; \backslash rightarrow\; f$인 경우, $f\_n$은 $f$로 균등 수렴하거나 $f$를 균등 극한으로 갖는다고 한다. 균등 극한은 점별 극한보다 "더 좋은" 성질을 가지고 있다. 예를 들어, 연속 함수의 수열의 균등 극한은 연속이다.

함수 공간에서 많은 다양한 수렴 개념을 정의할 수 있다. 이것은 때때로 공간의 정칙성에 따라 달라진다. 어떤 수렴 개념을 갖는 함수 공간의 대표적인 예로는 L^p 공간과 소볼레프 공간이 있다.

위상 공간 X에서 정의된 수열 {aₙ}ₙ>₀을 생각하자. 구체적으로 X는 ℝ로 생각할 수 있지만, 정의는 더 일반적으로 적용된다. 극한점 집합은 다음과 같은 점들의 집합이다. 수렴하는 부분 수열 {aₙₖ}ₖ>₀가 존재하고 aₙₖ → a 이면, a는 극한점 집합에 속한다. 이러한 문맥에서, 이러한 a를 때때로 극한점이라고 한다.

이 개념은 진동하는 수열의 "장기적인 거동"을 특징짓는 데 사용된다. 예를 들어, 수열 aₙ = (-1)ⁿ을 고려하자. n=1부터 시작하면 이 수열의 처음 몇 항은 -1, +1, -1, +1, …이다. 이 수열은 진동하며 극한값이 없지만, 극한점 { -1, +1 }을 가짐을 확인할 수 있다.

이 개념은 동역학계에서 궤적의 극한을 연구하는 데 사용된다. 궤적을 함수 $\backslash gamma:\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash rightarrow\; X$로 정의하면, 점 $\backslash gamma(t)$는 "시간" $t$에서 궤적의 "위치"로 간주된다. 궤적의 극한 집합은 다음과 같이 정의된다. 증가하는 시간의 수열 $\backslash \{t\_n\backslash \}$에 대해, 연관된 위치의 수열 $\backslash \{x\_n\backslash \}\; =\; \backslash \{\backslash gamma(t\_n)\backslash \}$이 있다. 만약 증가하는 시간의 임의의 수열에 대해 수열 $\backslash \{x\_n\backslash \}$의 극한 집합이 $x$이면, $x$는 궤적의 극한 집합이다.

기술적으로 이것은 $\backslash omega$-극한 집합이다. 감소하는 시간의 수열에 대한 해당 극한 집합을 $\backslash alpha$-극한 집합이라고 한다.

원형 궤적: $\backslash gamma(t)\; =\; (\backslash cos(t),\; \backslash sin(t))$가 좋은 예이다. 이 궤적은 고유한 극한을 가지지 않지만, 각 $\backslash theta\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$에 대해, 시간 수열 $t\_n\; =\; \backslash theta\; +\; 2\backslash pi\; n$에 의해 주어지는 점 $(\backslash cos(\backslash theta),\; \backslash sin(\backslash theta))$는 극한점이다. 그러나 극한점은 궤적에서 달성될 필요는 없다. 궤적 $\backslash gamma(t)\; =\; t/(1\; +\; t)(\backslash cos(t),\; \backslash sin(t))$ 또한 단위원을 극한 집합으로 갖는다.

2.1.1. 실수열

실수의 수열이 수렴한다(converge^영어)는 것은, 번호가 진행됨에 따라 그 수열의 항이 어떤 하나의 값에 한없이 가까워져 간다는 것을 의미한다. 이때 확정되는 값을 그 수열의 극한값이라고 한다. 수렴하지 않는 수열은 발산한다(diverge^영어)고 하며, 극한을 갖는 것과 갖지 않는 것으로 나뉜다. 발산하는 수열 중 극한을 갖는 것에는 양의 무한대로 발산하는 것과 음의 무한대로 발산하는 것이 있으며, 극한이 확정되지 않는 것은 진동한다(oscillate^영어)고 한다.

카를 바이어슈트라스는 “한없이 가까워진다”라는 애매한 표현을 사용하지 않고, ε-δ 논법을 사용하여 엄밀하게 수렴을 정의했다. 수열 {a_n}이 어떤 일정한 값 α에 수렴한다는 것은 ε-N 논법에 따르면 다음과 같다.

:
:(아무리 작은 양의 수 ε를 가져와도, 그 ε에 대해 적절한 번호 n₀을 충분히 크게 정하면, n₀보다 큰 번호 n에 대한 a_n은 α에서 ε만큼 벗어나지 않는 범위에 모두 들어가도록 할 수 있다)

형식적으로, a₁, a₂, ...가 실수들의 수열이라고 하자. 수열의 극한이 존재할 때, 실수 L이 이 수열의 극한이 되는 것은 모든 실수 ε > 0에 대해, 모든 n > N에 대해 |a_n − L| < ε이 되도록 하는 자연수 N이 존재하는 경우이고 그 경우에만 성립한다. 일반적인 표기법
$$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; L$$
은 다음과 같이 읽는다.
:"a_n의 극한값이 n이 무한대로 갈 때 L이 된다" 또는 "n이 무한대로 갈 때 a_n의 극한값은 L이다".

이 정의는 직관적으로, 절댓값 |a_n − L|이 a_n과 L 사이의 거리이기 때문에, 결국 수열의 모든 원소가 극한값에 임의로 가까워짐을 의미한다.

모든 수열이 극한값을 가지는 것은 아니다. 극한값을 가지는 수열을 수렴한다고 하고, 그렇지 않은 수열을 발산한다고 한다. 수렴하는 수열은 극한값이 하나뿐임을 보일 수 있다.

수열이 발산하지만 무한대로 향하지 않는 경우도 있는데, 이러한 수열을 진동하는 수열이라고 한다. 진동하는 수열의 예로는 a_n = (-1)ⁿ이 있다.

* 수열이 수렴할 때, 그 극한값은 단 하나로 정해진다.
*: $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\backslash alpha,\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\backslash beta\; \backslash Longrightarrow\; \backslash alpha=\backslash beta$
* 수렴하는 수열에서 유한 개의 항을 제거해도, 얻어진 수열은 같은 값에 수렴한다.
* 수렴하는 수열은 수의 집합으로서 유계이다.
*:
* $\backslash forall\; n\backslash ;\; a\_n\; \backslash le\; b\_n,\backslash ;\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\backslash alpha,\backslash ;\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n=\backslash beta\; \backslash Longrightarrow\; \backslash alpha\; \backslash le\; \backslash beta$

수열이 수렴하지 않을 때, 그 수열은 발산한다고 한다. 수열이 수렴하지 않고, 또한 양의 무한대에도 음의 무한대에도 발산하지 않는 경우, 그 수열은 진동한다고 하며, 진동도 발산의 일종이다.

2.1.2. 점렬

유클리드 공간과 같이 거리 함수가 정의된 공간에서의 점들의 수열에 대한 수렴은 실수열의 수렴 개념을 확장하여 정의한다. 즉, 점들의 수열 이 점 에 수렴한다는 것은, 양의 실수들의 수열 이 에 수렴하는 것을 의미한다. 이 개념을 더욱 일반화하여, 자연수에 의해 열거된다고 한정되지 않는 "수열"과 그 수렴성을 일반적인 위상 공간에 대해 공식화할 수 있다. (#위상 공간 참조)

거리 에 관한 극한임을 명시하기 위해 lim 대신에 d-lim 등으로 쓰기도 한다.

2.2. 함수

함수의 극한은 독립 변수가 특정 값에 접근할 때, 함수 값이 특정 값에 무한히 가까워지는 현상을 의미한다. 함수의 극한은 ε-δ 논법을 사용하여 엄밀하게 정의된다.

주어진 위상 공간 $X$, $Y$와 $x\_0\backslash in\; X$, 함수 $f\backslash colon\; X\backslash setminus\backslash \{x\_0\backslash \}\backslash to\; Y$, $y\_0\backslash in\; Y$에 대해, $x\_0$의 빠진 근방들의 집합족
:$\backslash mathcal\; D\_\{x\_0\}=\backslash \{U\backslash setminus\backslash \{x\_0\backslash \}\backslash colon\; U\backslash in\backslash mathcal\; N\_\{x\_0\}\backslash \}$은 $X\backslash setminus\backslash \{x\_0\backslash \}$의 부분 집합들의 필터를 이루며, 따라서 그 상 $f(\backslash mathcal\; D\_\{x\_0\})$은 $Y$의 부분 집합들의 필터 기저를 이룬다.

만약 $f(\backslash mathcal\; D\_\{x\_0\})$가 $y\_0$으로 수렴하면, 즉 임의의 근방 $V\backslash ni\; y\_0$에 대하여 $f(U\backslash setminus\backslash \{x\_0\backslash \})\backslash subset\; V$인 근방 $U\backslash ni\; x\_0$이 존재하면, 함수 $f$가 점 $x\_0$에서 점 $y\_0$로 수렴한다(the map $f$ converges to the point $y\_0$ at the point $x\_0$^영어)고 하며, $y\_0$을 $f$의 $x\_0$에서의 극한이라고 한다. 이는
:$f(x)\backslash to\; y\_0\backslash qquad(x\backslash to\; x\_0)$
라고 쓴다.

특히, 실함수 $f\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash \{x\_0\backslash \}\backslash to\backslash mathbb\; R$의 경우, 이 조건은 ε-δ 논법을 통해 정의가 가능하다. $X=\backslash mathbb\; R$가 실수선일 때, $\backslash mathcal\; D\_\{x\_0\}$ 대신
:$\backslash mathcal\; D\_\{x\_0\}^-=\backslash \{U\backslash cap(-\backslash infty,x\_0)\backslash colon\; U\backslash in\backslash mathcal\; N\_\{x\_0\}\backslash \}$
:$\backslash mathcal\; D\_\{x\_0\}^+=\backslash \{U\backslash cap(x\_0,\backslash infty)\backslash colon\; U\backslash in\backslash mathcal\; N\_\{x\_0\}\backslash \}$
을 사용하면 $f$의 $x\_0$에서의 좌극한·우극한의 개념을 얻는다.

함수의 극한은 보통 다음과 같이 표기한다.
:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}\; f(x)\; =\; L,$
이는 "x가 c에 접근할 때 f(x)의 극한은 L이다"라고 읽는다. 이는 x를 c에 충분히 가깝게 선택함으로써 함수 f(x)의 값을 L에 임의로 가깝게 만들 수 있음을 의미한다. 다른 표현으로는
:$f(x)\; \backslash to\; L\; \backslash text\{\; as\; \}\; x\; \backslash to\; c,$
가 있으며, 이는 "x가 c에 접근할 때 f(x)는 L에 접근한다"라고 읽는다.

함수 해석학에서 함수 공간의 수렴은 중요한 개념이다. 일반적인 집합 $E$에서 $\backslash mathbb\{R\}$로의 함수 공간에서, 함수열 $\backslash \{f\_n\backslash \}\_\{n\; >\; 0\}$ ($f\_n:\; E\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$)이 주어지고, 각 $x\; \backslash in\; E$에 대해 $f\_n(x)\; \backslash rightarrow\; f(x)$ (또는 $\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}f\_n(x)\; =\; f(x)$)를 만족하는 함수 $f$가 존재하면, 함수열 $f\_n$은 $f$로 점별 수렴한다고 한다. 그러나 이러한 수열은 불연속적인 점별 극한을 가질 수 있다.

균등 수렴은 두 함수 $f,g:\; E\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ 사이의 균등 거리, 즉 $d(f,g)\; =\; \backslash max\_\{x\; \backslash in\; E\}|f(x)\; -\; g(x)|$를 이용하여 정의한다. 함수열 $f\_n$이 이 거리에 대해 $f\_n\; \backslash rightarrow\; f$이면, $f\_n$은 $f$로 균등 수렴하거나 $f$를 균등 극한으로 갖는다고 한다. 균등 극한은 연속 함수의 수열의 극한이 연속이라는 점에서 점별 극한보다 더 나은 성질을 가진다.

함수 공간에서는 정칙성에 따라 다양한 수렴 개념이 정의될 수 있으며, L^p 공간과 소볼레프 공간이 대표적인 예이다.

2.2.1. 실함수

Real-valued function^영어 f가 실수이고, c가 실수라고 가정했을 때, 다음 식은

:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; c\}f(x)\; =\; L$

x를 c에 충분히 가깝게 함으로써 f(x)를 L에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있음을 의미한다. 이 경우 위 식은 "x가 c에 접근할 때 f(x)의 극한값은 L이다"라고 해석할 수 있다.

이것은 ε-δ 논법에 의해 다음과 같이 엄밀하게 정의된다.

:

이때, 이 극한과 함수 f(x)의 x = c에서의 값은 무관하며, f(c) ≠ L일 수도 있고, f가 c에서 정의되어 있을 필요도 없다.

이해를 돕기 위해 다음 예를 들 수 있다.

x가 2에 가까워질 때 f(x) = x/(x² + 1)의 값을 생각해 보자. 이 경우, f(x)는 x가 2일 때 정의되며, 값은 0.4이다.

x가 2에 가까워짐에 따라 f(x)가 0.4에 가까워진다. 따라서, $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 2\}f(x)=0.4$이다. 이와 같이 $f(c)\; =\; \backslash lim\_\{x\backslash to\; c\}\; f(x)$일 때, f(x)는 x = c에서 연속이라고 한다. 그러나, 이러한 일이 항상 성립하는 것은 아니다.

예를 들어,

:$g(x)=\backslash begin\{cases\}$
\dfrac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\
0, & \mbox{if }x=2
\end{cases}

를 생각해 보자. x가 2에 가까워질 때 g(x)의 극한은 0.4이지만, $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 2\}g(x)\backslash neq\; g(2)$이다. 이때 g(x)는 x = 2에서 연속이 아니라고 한다.

또, x → c일 때, f(x)의 값이 한없이 커지는 것을 “x가 c에 한없이 가까워질 때 함수 f(x)는 양의 무한대로 발산한다”고 하며,

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; c\}f(x)=\backslash infty$

또는,

:$f(x)\backslash to\; \backslash infty\backslash quad\; (x\backslash to\; c)$

로 표시한다. 이것은 다음과 같이 엄밀하게 정의된다.

:

반대로, x → c일 때, f(x)의 값이 한없이 작아지는 것을 “x가 c에 한없이 가까워질 때 함수 f(x)는 음의 무한대로 발산한다”고 하며,

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; c\}f(x)=-\backslash infty$

또는,

:$f(x)\backslash to\; -\backslash infty\backslash quad\; (x\backslash to\; c)$

로 표시한다. 이것은 다음과 같이 엄밀하게 정의된다.

:

연속인 실함수 f(x)가 x → c인 극한에서 발산한다면, f(x)는 x = c에서 정의될 수 없다. 왜냐하면, 정의되어 있었다면 x = c는 불연속점이 되기 때문이다.

2.2.2. 무한대에서의 극한

함수의 극한은 독립 변수가 무한대로 갈 때 함수 값의 변화를 나타내는 데 사용될 수 있다. 이는 함수의 점근적 거동을 분석하는 데 유용하다.

일반적으로 x가 어떤 유한한 값에 가까워질 때를 고려하는 경우가 많지만, x가 양 또는 음의 무한대에 가까워질 때의 함수의 극한을 정의할 수도 있다.

어떤 무한 구간 (a, ∞)에서 정의되는 함수 f(x)에서, x가 한없이 커질 때 함수 f(x)의 값이 어떤 값 L에 가까워질 때, "x가 한없이 커질 때 f(x)는 L에 수렴한다"고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}f(x)=L$ 또는 $f(x)\backslash rightarrow\; L\backslash quad\; (x\backslash rightarrow\backslash infty)$

이는 다음과 같이 정의된다.

:

예를 들어, $f(x)=\backslash frac\{2x\}\{x+1\}$을 생각해보자.

* $f(100)\; =\; 1.9802$
* $f(1000)\; =\; 1.9980$
* $f(10000)\; =\; 1.9998$

x가 충분히 커짐에 따라 f(x)는 2에 가까워진다. 이때 $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; f(x)\; =\; 2$로 나타낸다.

또, 어떤 무한 구간 (-∞, a)에서 정의되는 함수 f(x)에서, x가 한없이 작아질 때 함수 f(x)의 값이 어떤 값 L에 가까워질 때, "x가 한없이 작아질 때 f(x)는 L에 수렴한다"고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; -\backslash infty\}f(x)=L$ 또는 $f(x)\backslash rightarrow\; L\backslash quad\; (x\backslash rightarrow\; -\backslash infty)$

이는 다음과 같이 정의된다.

:

함수의 무한대에서의 극한에서도, 함수의 발산을 생각할 수 있다.

어떤 무한 구간 (a,∞)에서 정의되는 함수 f(x)에서, x가 한없이 커질 때 함수 f(x)의 값도 한없이 커질 때, "x가 한없이 커질 때 f(x)는 양의 무한대로 발산한다"고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$ 또는 $f(x)\backslash rightarrow\; \backslash infty\; \backslash quad\; (x\backslash rightarrow\backslash infty)$

이는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash forall\; K\; >0,\; \backslash exist\; X>0;\; \backslash forall\; x\; \backslash ;\; \backslash bigg[x>X\; \backslash Longrightarrow\; f(x)>K\; \backslash bigg]$

또, 어떤 무한 구간 (-∞,a)에서 정의되는 함수 f(x)에서, x가 한없이 작아질 때 함수 f(x)의 값이 한없이 커질 때, “x가 한없이 작아질 때 f(x)는 양의 무한대로 발산한다”고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; -\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$ 또는 $f(x)\backslash rightarrow\; \backslash infty\; \backslash quad\; (x\backslash rightarrow\; -\backslash infty)$

이는 다음과 같이 정의된다.

:

마찬가지로, $x\backslash rightarrow\; \backslash infty$ 와 $x\backslash rightarrow\; -\backslash infty$ 에서의 음의 무한대에 대한 발산을 정의할 수 있다.

$x\backslash rightarrow\; \backslash infty$ 와 $x\backslash rightarrow\; -\backslash infty$ 에서 함수 f(x)가 수렴하지도 않고, 양의 무한대에도 음의 무한대에도 발산하지 않는 경우, 그 함수는 수열과 마찬가지로 진동한다고 한다.

2.3. 그물 (Net)

그물은 수열의 개념을 일반화한 것으로, 위상 공간에서 점의 수렴을 정의하는 데 사용된다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 $X$
* 그물 $(x\_i)\_\{i\backslash in(I,\backslash lesssim\_I)\}\backslash subset\; X$
* $x\backslash in\; X$

만약 다음 조건이 성립한다면, 그물 $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$가 점 $x$로 수렴한다(the net $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$ converges to the point $x$^영어)고 하며, $x$를 $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$의 극한이라고 한다. 이를 $x\_i\backslash to\; x$라고 쓴다.

* 임의의 근방 $U\backslash ni\; x$에 대하여, $\backslash forall\; i\backslash gtrsim\_Ii\_0\backslash colon\; x\_i\backslash in\; U$인 $i\_0\backslash in\; I$가 존재한다.

특히, 실수열 $(x\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash subset\backslash mathbb\; R$의 경우 이 조건은 다음과 같다.

* 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여, 인 자연수 $n\_0\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재한다.

다음 세 조건은 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $x$가 $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$의 집적점이라고 한다.

* 임의의 근방 $U\backslash ni\; x$에 대하여, $\backslash \{i\backslash in\; I\backslash colon\; x\_i\backslash in\; U\backslash \}$는 공종 집합이다.
* $x\_\{i(j)\}\backslash to\; x$인 상향 원순서 집합 $(J,\backslash lesssim\_J)$ 및 단조 공종 함수 $i\backslash colon\; J\backslash to\; I$가 존재한다.
* $x\_\{i(j)\}\backslash to\; x$이며 $\backslash forall\; i\_0\backslash in\; I\backslash exists\; j\_0\backslash in\; J\backslash forall\; j\backslash in\; j\_0\backslash colon\; i(j)\backslash gtrsim\; i\_0$인 상향 원순서 집합 $(J,\backslash lesssim\_J)$ 및 함수 $i\backslash colon\; J\backslash to\; I$가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

그물 $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저

:$\backslash \{\backslash \{x\_i\backslash colon\; i\backslash gtrsim\; i\_0\backslash \}\backslash colon\; i\_0\backslash in\; I\backslash \}$

의 극한·집적점과 일치한다.

그물의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물 $(x\_i)\_\{i\backslash in(I,\backslash lesssim\_I)\}$은 $I\backslash to\; X$ 꼴의 함수다. $I$에 한 점을 추가한 집합 $I\backslash cup\backslash \{\backslash infty\backslash \}$ 위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든 $i\backslash in\; I$는 고립점이며, $\backslash infty$의 열린 근방은 ($\backslash infty$와) $\backslash \{i\backslash in\; I\backslash colon\; i\backslash gtrsim\_I\; i\_0\backslash \}$ 꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우,

:$\backslash mathcal\; D\_\backslash infty=\backslash mathop\backslash uparrow\backslash \{\backslash \{i\backslash in\; I\backslash colon\; i\backslash gtrsim\_I\; i\_0\backslash \}\backslash colon\; i\_0\backslash in\; I\backslash \}$

이며, 그 그물에 대한 상

:$\backslash \{\backslash \{x\_i\backslash colon\; i\backslash in\; D\backslash \}\backslash colon\; D\backslash in\backslash mathcal\; D\_\backslash infty\backslash \}$

은 그물로 유도되는 필터 기저와 같은 필터를 생성한다. 따라서, $(x\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$의 $\backslash infty$에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다.

$\backslash mathbb\; N$ 위의 전순서에 의하여, 점렬은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 극한·집적점은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 경우, 부분 점렬의 극한은 항상 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

2.4. 필터 (Filter)

필터는 위상 공간에서 수렴을 정의하는 또 다른 방법으로, 그물보다 더 일반적인 개념이다. 필터 기저의 극한과 집적점은 그물과 점렬의 극한, 집적점과 밀접하게 관련되어 있다.

위상 공간 $X$의 부분 집합들의 필터 기저 $\backslash mathcal\; B\backslash subset\backslash mathcal\; P(X)$와 $x\backslash in\; X$가 주어졌을 때, 다음 조건이 성립하면 필터 기저 $\backslash mathcal\; B$가 점 $x$로 수렴한다(the filter base $\backslash mathcal\; F$ converges to the point $x$^영어)고 하며, $x$를 $\backslash mathcal\; B$의 극한이라고 한다. 이를 $\backslash mathcal\; B\backslash to\; x$라고 쓴다.

* $\backslash mathcal\; N\_x\backslash subset\backslash mathop\backslash uparrow\backslash mathcal\; B$. 즉, 임의의 근방 $U\backslash ni\; x$에 대하여, $B\backslash subset\; U$인 $B\backslash in\backslash mathcal\; B$가 존재한다. (여기서 $\backslash mathcal\; N\_x$는 $x$의 근방 필터이며, $\backslash mathop\backslash uparrow\backslash mathcal\; B$는 $\backslash mathcal\; B$의 상폐포다.)

다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $x$가 $\backslash mathcal\; B$의 집적점(集積點, cluster point^영어)이라고 한다.

* $\backslash textstyle\; x\backslash in\backslash bigcap\_\{B\backslash in\backslash mathcal\; B\}\backslash operatorname\{cl\}B$. (여기서 $\backslash operatorname\{cl\}B$는 $B$의 폐포다.)
* $\backslash mathcal\; B\text{'}\backslash to\; x$이며 $\backslash mathop\backslash uparrow\backslash mathcal\; B\backslash subset\backslash mathop\backslash uparrow\backslash mathcal\; B\text{'}$인 필터 기저 $\backslash mathcal\; B\text{'}\backslash subset\backslash mathcal\; P(X)$가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

필터 기저 $\backslash mathcal\; B$의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물
:$\backslash \{(b,B)\backslash colon\; b\backslash in\; B\backslash in\backslash mathcal\; B\backslash \}\backslash to\; X$
:$(b,B)\backslash mapsto\; b$
의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다.
:$(b,B)\backslash lesssim(b\text{'},B\text{'})\backslash iff\; B\backslash supset\; B\text{'}$

3. 성질

* 수열이 수렴할 때, 그 극한값은 단 하나로 정해진다.
*: $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\backslash alpha,\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\backslash beta\; \backslash Longrightarrow\; \backslash alpha=\backslash beta$
* 수렴하는 수열에서 유한 개의 항을 제거해도, 얻어진 수열은 같은 값에 수렴한다.
* 수렴하는 수열은 수의 집합으로서 유계이다.
*:
* $\backslash forall\; n\backslash ;\; a\_n\; \backslash le\; b\_n,\backslash ;\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\backslash alpha,\backslash ;\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n=\backslash beta\; \backslash Longrightarrow\; \backslash alpha\; \backslash le\; \backslash beta$
유클리드 공간과 같이 거리 함수가 정의된 공간에서의 점들의 수열에 대한 수렴 개념은 실수의 수열에 대한 수렴 개념을 확장하여 정의할 수 있다. 즉, 점들의 수열 $(x\_n)$이 점 $y$에 수렴한다는 것은, 양의 실수들의 수열 $(d(x\_n,\; y))$이 $0$에 수렴하는 것을 의미한다.

거리에 관한 극한임을 명시하기 위해 lim 대신에 d-lim 등으로 쓰기도 한다.

3.1. 존재성과 유일성

콤팩트 공간에서는 모든 필터가 집적점을 가지며, 모든 그물은 수렴하는 부분 그물을 갖는다. 하우스도르프 공간에서는 수렴하는 필터의 극한이 유일하다. 한국의 수학계에서는 하우스도르프 공간을 T₂ 공간으로 지칭하는 경우가 많은데, 이는 독일 수학의 영향을 받은 것이다.

3.2. 시작 위상

시작 위상은 주어진 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 시작 위상에서의 수렴은 원래 공간에서의 수렴과 동치이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 집합 $X$
* 위상 공간들의 족 $(Y\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$
* 함수족 $(f\_i\backslash colon\; X\backslash to\; Y\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$
* $X$의 부분 집합들의 필터 기저 $\backslash mathcal\; B\backslash subset\backslash mathcal\; P(X)$
* $x\backslash in\; X$

그렇다면, 다음 두 조건은 서로 동치다.

* $X$ 위에 모든 $f\_i$들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 시작 위상을 부여하였을 때, $\backslash mathcal\; B\backslash to\; x$
* 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, $f\_i(\backslash mathcal\; B)\backslash to\; f\_i(x)$

어떤 의미에서 극한을 정의할 수 있는 가장 추상적인 공간은 위상 공간이다. $X$가 위상 $\backslash tau$를 갖는 위상 공간이고, $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 0\}$이 $X$의 수열이면, 수열의 극한(존재하는 경우)은 $a$의 (열린) 근방 $U\backslash in\; \backslash tau$가 주어지면, 모든 $n\; >\; N$에 대해

$$a\_n\; \backslash in\; U$$

를 만족하는 $N$이 존재하는 점 $a\backslash in\; X$이다. 이 경우, 극한(존재하는 경우)은 유일하지 않을 수 있다. 그러나 $X$가 하우스도르프 공간이라면 유일해야 한다.

점열의 수렴 개념은 일반적인 위상 공간에서도 수렴점의 근방계를 이용하여 공식화된다. 그러나 일반적인 위상 공간의 위상 구조는 어떤 점열이 수렴하는가 하는 조건으로 특징지을 수 있는 것은 아니다. 따라서 유향점족이나 필터와 같이 점열을 확장한 구성과 그 수렴 개념이 필요하게 된다. 임의의 위상 공간 X에 대해, X 위에서 수렴하는 (수렴점의 정보를 포함한) 필터의 전체 CN(X) 또는 수렴하는 필터의 전체 CF(X)를 생각하면, 이들로부터 X의 위상을 복원할 수 있다.

3.2.1. 부분 공간

위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\backslash subset\; X$와 $Y$의 부분 집합들의 필터 기저 $\backslash mathcal\; B\backslash subset\backslash mathcal\; P(Y)$, 그리고 $y\backslash in\; Y$가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $\backslash mathcal\; B\backslash to\; y$
* $X$에서 $\backslash mathcal\; B\backslash to\; y$

즉, 부분 집합에서의 수렴은 원래 공간에서의 수렴과 같다.

3.2.2. 곱공간

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 위상 공간들의 집합 $(X\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$. $\backslash textstyle\; X=\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$가 그 곱공간, $\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i$가 사영 함수들이라고 하자.
* $X$의 부분 집합들의 필터 기저 $\backslash mathcal\; B\backslash subset\backslash mathcal\; P(X)$
* $x\backslash in\; X$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

* $\backslash mathcal\; B\backslash to\; x$
* 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, $\backslash pi\_i(\backslash mathcal\; B)\backslash to\; x\_i$

즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.

3.3. 이중 극한

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 $X\_1$, $X\_2$
* 정칙 하우스도르프 공간 $Y$
* 함수 $f\backslash colon\; X\_1\backslash times\; X\_2\backslash to\; Y$
* $a\_i\backslash in\; X\_i$ ($i=1,2$)

이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* 극한 $\backslash lim\_\{(x\_1,x\_2)\backslash to(a\_1,a\_2)\}f(x\_1,x\_2)$이 존재한다.
* 임의의 $x\_1\backslash in\; X\_1$에 대하여, 극한 $\backslash lim\_\{x\_2\backslash to\; a\_2\}f(x\_1,x\_2)$이 존재한다.

그렇다면, 이중 극한

:$\backslash lim\_\{x\_1\backslash to\; a\_1\}\backslash lim\_\{x\_2\backslash to\; a\_2\}f(x\_1,x\_2)$

이 존재하며, 다음이 성립한다.

:$\backslash lim\_\{x\_1\backslash to\; a\_1\}\backslash lim\_\{x\_2\backslash to\; a\_2\}f(x\_1,x\_2)=\backslash lim\_\{(x\_1,x\_2)\backslash to(a\_1,a\_2)\}f(x\_1,x\_2)$

4. 표기법

함수의 극한은 보통 ${\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=L}$과 같이 표기하며, "x가 c에 접근할 때 f(x)의 극한은 L이다"라고 읽는다. 이는 x를 c에 충분히 가깝게 선택함으로써 함수 f(x)의 값을 L에 임의로 가깝게 만들 수 있음을 의미한다.

수열의 극한은 ${\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_{n}=L}$과 같이 표기하며, "n이 무한대로 갈 때 ${\displaystyle a_{n}}$의 극한값은 L이다"와 같이 읽는다.

0.999...는 수열 0.9, 0.99, 0.999...의 극한으로 해석되며, 이 수열의 극한은 1이다.

5. 역사

극한의 개념은 고대 그리스 시대부터 착안되었으나, 엄밀한 정의는 19세기에 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스에 의해 정립되었다.

헤르만 한켈(Hermann Hankel)에 따르면 (1871년), 현대적인 극한의 개념은 유클리드의 원론 명제 X.1에서 유래하며, 이는 에우독소스와 아르키메데스에서 발견되는 착거법(Method of exhaustion)의 기초를 형성한다.

그레고리 드 생뱅상(Grégoire de Saint-Vincent)은 그의 저서 Opus Geometricum(1647)에서 기하급수(geometric series)의 극한(terminus)에 대한 최초의 정의를 제시했다. "급수의 terminus는 급수의 끝이며, 아무리 급수를 무한히 계속하더라도 도달할 수 없지만, 주어진 선분보다 더 가까이 접근할 수 있는 점이다."

베르나르 볼차노(Bernard Bolzano)는 1817년에 연속 함수를 정의하기 위한 ε-δ 기법의 기초를 개발했지만, 그의 업적은 사후 30년이 지나서야 다른 수학자들에게 알려지게 되었다.

오귀스탱 루이 코시는 1821년에 함수의 극한을 정의하였고, 이어 카를 바이어슈트라스가 (ε, δ)-극한으로 알려진 함수의 극한에 대한 정의를 공식화했다.

극한 기호 아래에 화살표를 놓는 현대적인 표기법은 G. H. 하디(G. H. Hardy)가 1908년 그의 저서 순수수학 강의(A Course of Pure Mathematics)에서 도입한 것이다.

5.1. 착거법

헤르만 한켈(Hermann Hankel)에 따르면(1871년), 현대적인 극한의 개념은 유클리드의 원론(Euclid's Elements) 명제 X.1에서 유래하며, 이는 에우독소스와 아르키메데스에서 발견되는 착거법(Method of exhaustion)의 기초를 형성한다. 착거법은 "두 개의 부등한 크기가 주어졌을 때, 더 큰 크기에서 그 절반보다 큰 크기를 빼고, 남은 크기에서 그 절반보다 큰 크기를 빼는 과정을 계속 반복하면, 처음에 주어진 더 작은 크기보다 작은 크기가 남게 된다"는 것이다.

5.2. ε-δ 논법

오귀스탱 루이 코시는 ε-δ 논법을 사용하여 함수의 극한을 엄밀하게 정의했다. 그는 1821년에 함수의 극한에 대한 정의를 공식화했으며, 이는 (ε, δ)-극한의 정의로 알려지게 되었다. 이후 카를 바이어슈트라스는 이를 더욱 발전시켜 현대적인 극한의 정의를 확립했다.

함수의 극한에 대한 현대적 정의는 다음과 같다.

함수 f(x)에서 x가 c에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한이 L이라는 것은 다음을 의미한다.

:

이는 "임의의 양수 ε에 대해, 적당한 양수 δ가 존재하여, 0 < |x - c| < δ를 만족하는 모든 x에 대해 |f(x) - L| < ε이 성립한다"는 의미이다.

6. 응용

극한은 미적분학의 기초 개념으로, 도함수, 적분, 급수 등을 정의하고 함수의 성질을 분석하는 데 사용된다.

* 미적분학: 도함수는 극한을 통해 정의된다. 예를 들어, 실수 함수 f(x)에서 x점에서의 도함수는 다음과 같은 극한으로 표현된다.
:$$\backslash lim\_\{h\; \backslash rightarrow\; 0\}\; \backslash frac\{f(x+h)\; -\; f(x)\}\{h\}$$
* 급수: 무한급수는 부분합의 극한으로 정의된다. 예를 들어, $a\_n\; =\; 1/n^2$인 바젤 문제에서 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$이다.
* 연속성: 함수의 연속성은 극한으로 정의된다. 예를 들어 $$f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 1\}\{x\; -\; 1\}$$ 와 같이, x가 1에 가까워질 때, f(x)는 2에 가까워진다.
* 해석학 및 위상수학: 위상 공간에서 수열의 극한은 근방을 사용하여 정의할 수 있다. 하우스도르프 공간에서는 극한이 유일하게 존재한다. 극한점은 닫힌집합을 특징짓는 데 사용된다.

6.1. 미적분학

도함수는 극한으로 정의된다. 실해석학에서, 실수 집합의 부분집합 $E\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$ 위에서 정의된 실함수 $f$에 대해, $x\; \backslash in\; E$에서의 도함수는 다음 극한으로 정의된다.

:$$\backslash lim\_\{h\; \backslash rightarrow\; 0\}\; \backslash frac\{f(x+h)\; -\; f(x)\}\{h\}$$

이는 다음과 같은 극한과 같다.

:$$\backslash lim\_\{y\; \backslash rightarrow\; x\}\; \backslash frac\{f(y)\; -\; f(x)\}\{y-x\}$$

도함수가 존재하면 보통 $f\text{'}(x)$로 쓴다.

자연수의 역수로 이루어진 수열 $1,\; \backslash frac\{1\}\{2\},\; \backslash frac\{1\}\{3\},\; \backslash dots,\; \backslash frac\{1\}\{n\},\; \backslash dots$ 에서 $n$을 매우 크게 하면, 일반항 $\backslash frac\{1\}\{n\}$은 $0$에 한없이 가까워진다. 이때 이 수열은 $0$에 수렴한다고 하며, 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; =\; 0$

또는

:$\backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash to\; 0\; \backslash quad\; (n\backslash to\backslash infty)$

카를 바이어슈트라스는 "한없이 가까워진다"는 표현 대신, ε-δ 논법을 사용하여 수렴을 엄밀하게 정의했다. 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}$이 어떤 값 $\backslash alpha$에 수렴한다는 것은 다음을 만족하는 것이다 (이 경우를 ε-N 논법이라고도 한다).

:

(아무리 작은 양수 $\backslash varepsilon$를 가져와도, 충분히 큰 번호 $n\_0$을 정하면, $n\_0$보다 큰 번호 $n$에 대한 $a\_n$은 $\backslash alpha$에서 $\backslash varepsilon$만큼 벗어나지 않는 범위에 모두 들어가도록 할 수 있다.)

이를 사용하면, $\backslash frac\{1\}\{n\}$의 극한값이 $0$임을 보일 수 있다.

(증명) 자연수는 위로 유계가 아니므로(아르키메데스의 원리), $\backslash forall\; \backslash varepsilon\; >0,\; \backslash exist\; n\_0;\; \backslash forall\; n\; \backslash left[n>n\_0\backslash Longrightarrow\; n>\backslash frac\{1\}\{\backslash varepsilon\}\backslash right]$ . 따라서

6.2. 급수

무한급수는 무한히 많은 항의 합을 나타내는 개념으로, 부분합의 극한으로 정의된다. 실수 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}$이 주어지면, 부분합 $s\_n\; =\; \backslash sum\_\{i\; =\; 1\}^n\; a\_i$ 의 수열 $\backslash \{s\_n\backslash \}$의 극한이 존재하면, $\backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; a\_n$ 의 값은 그 극한으로 정의된다. 그렇지 않으면, 급수는 발산한다고 한다.

고전적인 예로 $a\_n\; =\; 1/n^2$인 바젤 문제가 있다. 이 경우, $\backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$ 이다.

모든 순서에 대해 수렴하는 급수를 절대수렴이라고 한다. $\backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; |a\_n|$이 잘 정의되면 급수는 절대 수렴하며, 모든 가능한 순서 배열은 동일한 값을 갖는다. 그렇지 않으면, 급수는 조건 수렴이다. 조건 수렴 급수에 대한 놀라운 결과는 리만급수정리인데, 순서에 따라 부분합은 임의의 실수와 $\backslash pm\; \backslash infty$로 수렴하도록 만들 수 있다.

멱급수는 다음 형태의 급수이다.
$$f(z)\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; c\_n\; z^n.$$
$z$는 종종 복소수로 생각되며, 급수의 합이 수렴하는 $z\backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$ 값들의 집합은 원이며, 그 반지름은 수렴반지름으로 알려져 있다.

6.3. 연속성

함수의 연속성은 극한을 통해 정의된다. $x\; \backslash rightarrow\; c$일 때 $f(x)\; \backslash rightarrow\; f(c)$이면, 또는 수열의 관점에서 $x\_n\; \backslash rightarrow\; c$이면 $f(x\_n)\; \backslash rightarrow\; f(c)$이면 함수는 $c$에서 연속이다.

예를 들어 함수 $$f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 1\}\{x\; -\; 1\}$$을 생각해 보자. $f(1)$은 정의되지 않지만, $x$가 1에 가까워짐에 따라 $f(x)$는 2에 가까워진다.

즉, $\backslash frac\{x^2-1\}\{x-1\}\; =\; \backslash frac\{(x+1)(x-1)\}\{x-1\}\; =\; x+1$ ($x\; \backslash neq\; 1$) 이므로,
$$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 1\}\; \backslash frac\{x^2-1\}\{x-1\}\; =\; 1+1\; =\; 2.$$이다.

연속 함수는 극한을 '보존'하는 함수이다. 즉, $f$가 연속 함수이고 $a\_n\; \backslash rightarrow\; a$이면, 극한 $f(a\_n)$이 존재하고 $f(a)$이다.

6.4. 해석학 및 위상수학

어떤 의미에서 극한을 정의할 수 있는 가장 추상적인 공간은 위상 공간이다. $X$가 위상 $\backslash tau$를 갖는 위상 공간이고, $\backslash \{a\_n\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 0\}$이 $X$의 수열이면, 수열의 극한(존재하는 경우)은 $a$의 (열린) 근방 $U\backslash in\; \backslash tau$가 주어지면, 모든 $n\; >\; N$에 대해
$$a\_n\; \backslash in\; U$$
를 만족하는 $N$이 존재하는 점 $a\backslash in\; X$이다. 이 경우, 극한(존재하는 경우)은 유일하지 않을 수 있다. 그러나 $X$가 하우스도르프 공간이라면 유일해야 한다.

위상 공간 X에서 정의된 수열 {aₙ}ₙ>₀을 생각할때, X는 ℝ로 생각할 수 있지만, 정의는 더 일반적으로 적용된다. 극한점 집합은 다음과 같은 점들의 집합이다. 수렴하는 부분 수열 {aₙₖ}ₖ>₀가 존재하고 aₙₖ → a 이면, a는 극한점 집합에 속한다. 이러한 문맥에서, 이러한 a를 때때로 극한점이라고 한다.

이 개념은 진동하는 수열의 "장기적인 거동"을 특징짓는 데 사용된다. 예를 들어, 수열 aₙ = (-1)ⁿ을 고려하면, n=1부터 시작하여 이 수열의 처음 몇 항은 -1, +1, -1, +1, …이다. 이 수열은 진동하며 극한값이 없지만, 극한점 { -1, +1 }을 가짐을 확인할 수 있다.

이 개념은 동역학계에서 궤적의 극한을 연구하는 데 사용된다. 궤적을 함수 $\backslash gamma:\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash rightarrow\; X$로 정의하면, 점 $\backslash gamma(t)$는 "시간" $t$에서 궤적의 "위치"로 간주된다. 궤적의 극한 집합은 다음과 같이 정의된다. 증가하는 시간의 수열 $\backslash \{t\_n\backslash \}$에 대해, 연관된 위치의 수열 $\backslash \{x\_n\backslash \}\; =\; \backslash \{\backslash gamma(t\_n)\backslash \}$이 존재한다. 만약 증가하는 시간의 임의의 수열에 대해 수열 $\backslash \{x\_n\backslash \}$의 극한 집합이 $x$이면, $x$는 궤적의 극한 집합이다.

기술적으로 이것은 $\backslash omega$-극한 집합이다. 감소하는 시간의 수열에 대한 해당 극한 집합을 $\backslash alpha$-극한 집합이라고 한다.

원형 궤적: $\backslash gamma(t)\; =\; (\backslash cos(t),\; \backslash sin(t))$가 좋은 예이다. 이 궤적은 고유한 극한을 가지지 않지만, 각 $\backslash theta\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$에 대해, 시간 수열 $t\_n\; =\; \backslash theta\; +\; 2\backslash pi\; n$에 의해 주어지는 점 $(\backslash cos(\backslash theta),\; \backslash sin(\backslash theta))$는 극한점이다. 그러나 극한점은 궤적에서 달성될 필요는 없다. 궤적 $\backslash gamma(t)\; =\; t/(1\; +\; t)(\backslash cos(t),\; \backslash sin(t))$ 또한 단위원을 극한 집합으로 갖는다.

위상수학에서 극한은 극한점을 정의하는 데 사용되며, 이는 닫힌집합을 유용하게 특징짓는 데 사용된다.

위상 공간 $X$에서 부분집합 $S$를 생각할때, 점 $a$가 $S\backslash backslash\backslash \{a\backslash \}$에 있는 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}$이 존재하여 $a\_n\; \backslash rightarrow\; a$인 경우, $a$를 극한점이라고 한다.

$\backslash \{a\_n\backslash \}$이 $S$가 아닌 $S\backslash backslash\backslash \{a\backslash \}$에 있다고 정의하는 이유는 다음 예시로 설명할 수 있다. $X\; =\; \backslash mathbb\{R\}$이고 $S\; =\; [0,1]\; \backslash cup\; \backslash \{2\backslash \}$라고 하면, $2\; \backslash in\; S$이며, 따라서 상수 수열 $2,\; 2,\; \backslash cdots$의 극한이다. 그러나 $2$는 $S$의 극한점이 아니다.

열린 집합의 여집합으로 정의되는 닫힌 집합은 그 극한점을 모두 포함하는 집합 $C$와 같다.

점열의 수렴 개념은 일반적인 위상 공간에서도 수렴점의 근방계를 이용하여 공식화된다. 그러나 일반적인 위상 공간의 위상 구조는 어떤 점열이 수렴하는가 하는 조건으로 특징지을 수 있는 것은 아니다. 따라서 유향점족이나 필터와 같이 점열을 확장한 구성과 그 수렴 개념이 필요하게 된다. 임의의 위상 공간 X에 대해, X 위에서 수렴하는 (수렴점의 정보를 포함한) 필터의 전체 CN(X) 또는 수렴하는 필터의 전체 CF(X)를 생각하면, 이들로부터 X의 위상을 복원할 수 있다.