호인의 방법

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1. 개요
2. 해설
3. 파생
4. 룽게-쿠타 방법
- 4.1. 개선된 오일러 방법 (Improved Euler Method)
- 4.2. 랄스톤의 방법 (Ralston's Method)
참조

1. 개요

호인의 방법은 미분방정식의 해를 구하는 데 사용되는 수치적 방법으로, 오일러 방법의 개선된 형태이다. 오일러 방법이 구간 시작점에서의 기울기만을 사용하는 것과 달리, 호인의 방법은 구간 양 끝점에서의 기울기를 모두 고려하여 평균 기울기를 계산함으로써 오차를 줄인다. 2차 룽게-쿠타 방법의 일종이며, 개선된 오일러 방법 또는 랄스톤의 방법이라고도 불린다.

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호인의 방법
개요
종류	수치해석
분야	상미분 방정식
명명 유래	카를 호인
설명
유형	명시적 방법
차수	2
공식
단계 크기	h
초기값 문제	y' = f(t, y), y(t₀) = y₀
호인 방법	k₁ = f(tᵢ, yᵢ) k₂ = f(tᵢ + h, yᵢ + hk₁) yᵢ₊₁ = yᵢ + h/2 * (k₁ + k₂)

2. 해설

호인의 방법은 오일러 방법을 개선한 것으로, 미분방정식의 해를 더 정확하게 구하는 데 사용된다. 오일러 방법은 구간 시작점에서의 접선을 사용하여 다음 점의 함수값을 추정하지만, 오차가 크다는 단점이 있다. 특히, 단계 크기(step size)가 클수록 오차는 더 커진다.

호인의 방법은 이러한 단점을 보완하기 위해 구간 양 끝점에서의 기울기를 모두 고려한다. 해 곡선이 위로 오목한 경우, 오일러 방법에서 사용하는 왼쪽 접선은 다음 점의 세로 좌표를 과소평가한다. 반대로 아래로 오목한 경우에는 과대평가한다.

호인의 방법은 이 문제를 해결하기 위해 양 끝점에서의 접선을 모두 고려하여 평균 기울기를 계산한다. 먼저 오일러 방법을 사용하여 다음 점의 값을 예측한다. 이 예측값을 사용하여 오른쪽 끝점에서의 기울기를 계산한다. 그리고 왼쪽 끝점에서의 기울기와 오른쪽 끝점에서의 기울기를 평균내어, 이 평균 기울기를 사용하여 다음 점의 값을 수정한다.^[9]^[10]

Heun's Method. — 호인의 방법을 사용하여 낮은 차수 오일러 방법에 비해 덜 오류가 있는 예측을 찾는 다이어그램

호인의 방법은 다음 순서로 요약할 수 있다.

1. 오일러 방법으로 예측: 오일러 방법을 사용하여 다음 점의 값을 예측한다.

2. 오른쪽 끝점 기울기 계산: 예측값을 사용하여 오른쪽 끝점에서의 기울기를 계산한다.

3. 평균 기울기 계산: 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점 기울기의 평균을 구한다.

4. 수정: 평균 기울기를 사용하여 다음 점의 값을 수정한다.^[3]^[4]

3. 파생

호인의 방법은 오일러 방법의 개선된 형태로, 함수의 값을 더 정확하게 예측한다. 오일러 방법이 구간 시작점에서의 기울기만 사용하는 반면, 호인의 방법은 구간 양 끝점에서의 기울기를 모두 고려하여 평균을 낸 후, 이 평균 기울기를 통해 다음 값을 예측한다.^[9]

호인의 방법은 다음 단계들을 통해 이루어진다.

1. 기울기 계산:

구간 시작점에서의 기울기 ( $\text{Slope}_{\text{left}}$ )를 계산한다.
오일러 방법을 이용해 예측한 다음 점에서의 기울기 ( $\text{Slope}_{\text{right}}$ )를 계산한다.

2. 평균 기울기 계산:

위에서 구한 두 기울기의 평균 ( $\text{Slope}_{\text{ideal}}$ )을 계산한다.

3. 다음 점 예측:

평균 기울기를 사용해 다음 점의 값을 예측한다.

이러한 과정을 수식으로 표현하면 다음과 같다.^[10]

:

\text{Slope}_{\text{left}} = f(x_i, y_i)

:

\text{Slope}_{\text{right}} = f(x_i + h, y_i + h f(x_i, y_i))

:

\text{Slope}_{\text{ideal}} = \frac{1}{2} (\text{Slope}_{\text{left}} + \text{Slope}_{\text{right}})

:

y_{i+1} = y_{i} + \frac{h}{2}(f(x_i, y_i) + f(x_i + h, y_i + hf(x_i, y_i)))

여기서

h

는 구간의 크기,

y_i

는 현재 값,

y_{i+1}

는 예측된 다음 값을 의미한다.

호인의 방법은 오일러 방법에 비해 정확도가 향상된 방법으로, 단계 크기가 줄어들 때 오차 감소가 2차적으로 이루어진다.^[11] 이는 오일러 방법이 선형적으로 개선되는 것과 비교했을 때 더 나은 성능을 보여준다. 호인의 방법은 예측자-수정자 방법의 일종으로, 오일러 방법을 예측자로, 사다리꼴 방법을 수정자로 사용한다.

4. 룽게-쿠타 방법

호인의 방법은 오일러 방법의 문제점을 개선한 방법이다. 오일러 방법은 구간의 시작점에서 함수의 접선을 사용하여 다음 점을 예측하는데, 이 접선은 실제 곡선의 기울기와 차이가 있을 수 있다. 특히 곡선이 위로 오목한 경우, 왼쪽 끝점에서의 접선은 구간 전체의 평균 기울기를 과소평가하게 된다. 반대로 오른쪽 끝점의 접선을 사용하면(오일러 방법으로 예측 가능) 기울기를 과대평가하게 된다.^[9]

호인의 방법은 이러한 문제를 해결하기 위해 솔루션 곡선의 양 끝점에서의 접선을 모두 고려한다. 한 접선은 실제 값보다 높은 수직좌표를, 다른 접선은 낮은 수직좌표를 예측하게 된다. 이상적인 예측선은 이 두 접선의 기울기를 평균하여 얻을 수 있다. 즉, 오일러 방법으로 예측한 점의 기울기와 시작점의 기울기를 평균하여 다음 점을 예측하는 것이다.^[10]

간단히 말해, 호인의 방법은 오일러 방법으로 대략적인 다음 점을 예측하고, 이 점에서의 기울기와 원래 점에서의 기울기를 평균하여 좀 더 정확한 예측값을 얻는 방법이다.

호인의 방법은 2차 룽게-쿠타 방법의 일종이다.

4. 1. 개선된 오일러 방법 (Improved Euler Method)

개선된 오일러 방법은 2단계 룽게-쿠타 방법이며, 존 C. 부처의 이름을 딴 부처 테이블을 사용하여 표현할 수 있다.


0
1	1
	1/2	1/2

호인의 방법(랄스톤의 방법이라고도 함)은 다음과 같은 부처 테이블을 갖는다.^[6]


0
2/3	2/3
	1/4	3/4

이 방법은 절단 오차를 최소화한다.

4. 2. 랄스톤의 방법 (Ralston's Method)

호인의 방법(Heun's Method)은 랄스톤의 방법(Ralston's Method)이라고도 알려져 있으며, 절단 오차를 최소화하는 2차 룽게-쿠타 방법이다.^[6] 랄스톤 방법의 부처 테이블은 다음과 같다.


0
2/3	2/3
	1/4	3/4

참조

_[1] 서적 An Introduction to Numerical Analysis Cambridge University Press
_[2] 서적 Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations Society for Industrial and Applied Mathematics
_[3] 웹사이트 Numerical Methods for Solving Differential Equations http://calculuslab.d[...] San Joaquin Delta College
_[4] 서적 Advanced Mathematics for Engineering and Science World Scientific
_[5] 웹사이트 The Euler-Heun Method http://livetoad.org/[...] LiveToad.org
_[6] 서적 Numerical Analysis and Scientific Computation Addison-Wesley
_[7] 서적 An Introduction to Numerical Analysis Cambridge University Press
_[8] 서적 Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations Society for Industrial and Applied Mathematics
_[9] 웹인용 Numerical Methods for Solving Differential Equations http://calculuslab.d[...] San Joaquin Delta College
_[10] 서적 Advanced Mathematics for Engineering and Science World Scientific
_[11] 웹인용 The Euler-Heun Method http://livetoad.org/[...] LiveToad.org 2017-09-05

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