미분방정식

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1. 개요

미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식으로, 미적분학의 발명과 함께 등장했다. 미분 방정식은 포함된 도함수의 계수에 따라 분류되며, 상미분 방정식과 편미분 방정식으로 나뉜다. 선형 미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수에 대해 선형인 방정식이며, 비선형 미분 방정식은 비선형 항을 포함한다. 미분 방정식의 차수는 미분 방정식에 나타나는 미지 함수의 가장 높은 계수이다. 미분 방정식은 물리학, 공학, 생물학, 경제학 등 다양한 분야에서 널리 활용되며, 실생활의 다양한 현상을 모델링하는 데 사용된다. 미분 방정식의 해는 해석적 해법, 수치적 해법 등을 통해 구할 수 있으며, 해의 존재성과 유일성도 중요한 관심사이다.

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미분방정식
지도
명칭
영어	Differential equation
한자	微分方程式
일본어	微分方程式
정의
설명	미분방정식은 수학에서 미지의 함수와 그 함수의 도함수를 포함하는 방정식이다. 이 방정식은 함수의 변화율과 그 함수 자체 사이의 관계를 나타낸다.
유형	상미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE) 편미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE)
용도
설명	미분방정식은 자연과학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 현상을 모델링하고 분석하는 데 사용된다.
분류
선형성	선형 미분방정식 비선형 미분방정식
계수	상수 계수 미분방정식 변수 계수 미분방정식
차수	1계 미분방정식 2계 미분방정식 고계 미분방정식
주요 개념
해	미분방정식을 만족하는 함수
초기 조건	해를 특정하기 위한 추가 조건
경계 조건	특정 범위에서 해를 구하기 위한 조건
풀이법
일반적인 방법	분리변수법 치환법 적분인자 멱급수해법
선형 상미분방정식	상수계수 선형 상미분방정식 라플라스 변환
편미분방정식	푸리에 해석 특성 곡선
예시
상미분방정식 예시	감쇠 진동 인구 성장 모델
편미분방정식 예시	열 방정식 파동 방정식 라플라스 방정식
참고 문헌
참고자료	미분방정식 - 위키백과 (한국어) Differential equation - Wikipedia (영어) 微分方程式 - Wikipedia (일본어)

2. 미분 방정식의 종류

미분 방정식은 포함된 도함수의 '''계수'''^[23]에 따라 분류되며, 가장 높은 계수가 차인 경우, 그 미분방정식을 계 미분방정식^[24]이라고 한다.^[22]

상미분 방정식(ODE)은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다. 간단한 형태로는 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다.^[22] 미지 함수는 일반적으로 변수(주로 ''y''로 표기)로 표현되며, ''x''에 의존한다. 따라서 ''x''는 방정식의 독립 변수라고 불린다. 상미분 방정식은 하나 이상의 독립 변수에 대한 편미분 방정식과 구별된다.

선형 미분방정식은 미지 함수와 그 도함수에 대해 선형인 미분방정식이다. 물리학에서 접하는 대부분의 상미분방정식은 선형이며, 대부분의 특수 함수는 선형 미분방정식의 해로 정의될 수 있다. 일반적으로 미분방정식의 해를 닫힌 형식의 표현식으로 표현할 수 없으므로, 컴퓨터에서 미분방정식을 풀기 위해 수치적 방법이 일반적으로 사용된다.

상미분방정식의 예시는 다음과 같다.

: $\frac{\mathrm d}{\mathrm {d}x}\!f(x) - f(x) = 0$

: $\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm {d}x^2}\!f(x) - 2\frac{\mathrm d}{\mathrm {d}x}\!f(x) + f(x) = \sin(x)$

편미분 방정식(PDE)는 미지의 다변수 함수와 그 편도함수를 포함하는 미분 방정식이다.^[22] 상미분 방정식이 단일 변수 함수와 그 도함수를 다루는 것과 대조적이다. 편미분 방정식은 여러 변수의 함수를 포함하는 문제를 공식화하는 데 사용되며, 소리, 열, 정전기, 전자기학, 유체 역학, 탄성 또는 양자 역학과 같이 자연계의 다양한 현상을 설명하는 데 사용될 수 있다. 상미분 방정식이 종종 1차원 동역학계를 모델링하는 것처럼, 편미분 방정식은 종종 다차원 계를 모델링한다.

편미분방정식의 예시는 다음과 같다.

: $\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right) f(x,y) = 0$

: $\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) f(x,y) = \alpha x + \beta y$

미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식으로, 크게 선형과 비선형으로 나뉜다.
선형 미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수들에 대해 선형인 방정식이다.^[25] 즉, 미지 함수와 그 도함수들이 1차 결합으로 표현되는 형태이다. 예를 들어, ''g''(''x'')를 ''f''(''x'')를 포함하지 않는 함수라고 할 때,

: $\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x} + \alpha\right)f(x) = g(x)$

는 선형 미분 방정식이다. 선형 미분 방정식은 해의 중첩 원리가 성립하며, 해석적인 해법이 비교적 잘 알려져 있다. 또한, 고계 선형 미분 방정식은 1계 선형 미분 방정식의 형태로 변환하여 풀 수 있다. 이는 벡터와 행렬을 이용하여 표현할 수 있다.
비선형 미분 방정식은 선형이 아닌 미분 방정식이다.^[25] 즉, 미지 함수나 그 도함수들에 대해 비선형 항을 포함하는 방정식이다.^[11] 예를 들어,

: $\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)f(x) = g(x)$

는 비선형 미분 방정식이다. y도함수 앞의 계수가 변수일수도 있다. 나비에-스토크스 방정식이 대표적인 예시이며 이 방정식에서는 y도함수 앞의 계수가 유체의 성질을 나타내는 매개변수이다. 비선형 미분 방정식은 해의 중첩 원리가 성립하지 않으며, 해석적인 해를 구하기 어려운 경우가 많다. 또한, 장시간에 걸쳐 매우 복잡한 거동을 보일 수 있으며, 이는 카오스의 특징이다.^[11] 비선형 미분 방정식의 해를 구하는 방법은 매우 적으며, 알려진 방법은 방정식이 특정 대칭성을 갖는 경우에 의존한다.^[11]

선형 미분 방정식은 종종 비선형 방정식에 대한 근사로 나타나며, 이러한 근사는 제한된 조건에서만 유효하다.

미분 방정식의 차수는 미분 방정식에 나타나는 미지 함수의 가장 높은 계수이다.^[12]^[13] 예를 들어, 1계 미분만 포함하는 방정식은 1계 미분 방정식이고, 2계 미분을 포함하는 방정식은 2계 미분 방정식이다.

미지 함수와 그 도함수에 대한 다항 방정식으로 작성될 때, 미분 방정식의 차수는 문맥에 따라 미지 함수의 최고차 도함수의 다항식 차수^[14] 또는 미지 함수와 그 도함수에 대한 전체 차수이다. 특히, 선형 미분 방정식은 두 의미 모두에서 차수가 1이지만, 비선형 미분 방정식 $y'+y^2=0$ 는 첫 번째 의미에서는 차수가 1이지만 두 번째 의미에서는 그렇지 않다.

자연 현상을 설명하는 미분 방정식에는 거의 항상 1계 및 2계 도함수만 포함되지만, 박막 방정식과 같이 4계 편미분 방정식인 예외도 있다.

모든 항이 미지 함수를 포함하거나 0인 선형 미분 방정식을 선형 동차 미분 방정식^[26]이라고 하고, 동차가 아닌 선형 미분 방정식을 선형 비동차 미분 방정식^[27]이라고 한다. 동차 방정식을 간단히 동차 방정식이라고 부르기도 한다.

예를 들어,

: $\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\!f(x)+f(x)=0$

는 동차 방정식이고, 우변에 α를 더한

: $\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\!f(x)+f(x) = \alpha$

는 비동차 방정식이다.

일반적인 선형 상미분 방정식

: $\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)f(x) = g_0(x), \quad g_{n+1}(x) = 1$

에서 우변의 함수 g₀(x)가 0이면 이 방정식은 동차이다.

동차 방정식의 해 s(x)가 있을 때, 그 정수배 cs(x)도 해가 되며, 동차 방정식 해의 선형 결합도 그 동차 방정식의 해가 된다.

비동차 방정식의 해 s_in(x)가 얻어졌을 때, 원래 방정식을 동차 형태로 만들었을 때의 해 s_hom(x)를 사용하여 비동차 방정식의 새로운 해 s_in(x) + s_hom(x)를 만들 수 있다. 이는 다음을 통해 확인할 수 있다.

: $\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}\right)\left(s_\mathrm{in}(x)+s_\mathrm{hom}(x)\right) = g_0(x)$

일 때, s_in(x)와 s_hom(x)는 각각

: $\begin{align}\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)s_\mathrm{hom}(x) &= 0\\\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)s_\mathrm{in}(x) &= g_0(x)\end{align}$

를 만족하므로, s_in(x) + s_hom(x)는 원래 방정식의 해가 된다.

어떤 경우든 미지 함수는 하나로 제한되지 않으며, 연립하는 여러 개의 미분방정식을 동시에 만족하는 함수를 해로 하는 연립방정식의 형태를 취하는 경우도 있다.^[22] 이것은 연립 계 미분방정식 등으로 불린다.

지연 미분 방정식(DDE)은 일반적으로 '시간'이라고 하는 단일 변수의 함수에 대한 방정식으로, 특정 시간에서 함수의 도함수가 이전 시간의 함수 값으로 주어진다. 시간 지연을 갖는 미분방정식은 수리생물학 모델 등에 나타난다.

적분 방정식은 미분 방정식과 유사하게 볼 수 있지만, 도함수를 포함하는 방정식 대신 적분을 포함한다. 적분-미분 방정식(IDE)은 미분 방정식과 적분 방정식의 측면을 결합한 방정식이다.

방정식에 포함된 기지함수가 확률변수에 의해 기술되는 미분방정식을 '''확률미분방정식'''이라고 부른다. 확률상미분방정식이나 확률편미분방정식은 영어 약자를 따서 “SODE^영어”, “SPDE^영어”로 약칭하기도 한다. 대표적인 예로는 물리학의 랑주뱅 방정식과 금융공학의 블랙-숄즈 방정식이 있다. 확률미분방정식의 기지함수는 그 자신의 기댓값과 상관함수에 의해 특징지어진다. 확률 편미분 방정식(SPDE)은 양자장론과 통계역학에 응용되는 공간-시간 잡음 과정을 포함하도록 SDE를 일반화한 방정식이다.

초계량 유사 미분 방정식은 초계량 공간에 p-adic 수를 포함하는 방정식이다. 초계량 유사 미분 방정식을 포함하는 수학적 모델은 미분 연산자 대신 유사 미분 연산자를 사용한다.

미분 대수 방정식(DAE)은 암시적 형태로 주어진 미분 항과 대수 항으로 구성된 미분 방정식이다. 미지 함수와 그 도함수의 관계식이 미지 함수나 도함수를 변수로 보았을 때 해석함수를 계수로 하는 다항식인 경우, '''대수적 미분 방정식'''이라고 한다.

2. 1. 상미분 방정식과 편미분 방정식

상미분 방정식(ODE)은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다. 간단한 형태로는 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다.^[22] 미지 함수는 일반적으로 변수(주로 ''y''로 표기)로 표현되며, ''x''에 의존한다. 따라서 ''x''는 방정식의 독립 변수라고 불린다. 상미분 방정식은 하나 이상의 독립 변수에 대한 편미분 방정식과 구별된다.

선형 미분방정식은 미지 함수와 그 도함수에 대해 선형인 미분방정식이다. 물리학에서 접하는 대부분의 상미분방정식은 선형이며, 대부분의 특수 함수는 선형 미분방정식의 해로 정의될 수 있다. 일반적으로 미분방정식의 해를 닫힌 형식의 표현식으로 표현할 수 없으므로, 컴퓨터에서 미분방정식을 풀기 위해 수치적 방법이 일반적으로 사용된다.

상미분방정식의 예시는 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm {d}x}\!f(x) - f(x) = 0

:

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm {d}x^2}\!f(x) - 2\frac{\mathrm d}{\mathrm {d}x}\!f(x) + f(x) = \sin(x)

편미분 방정식(PDE)는 미지의 다변수 함수와 그 편도함수를 포함하는 미분 방정식이다.^[22] 상미분 방정식이 단일 변수 함수와 그 도함수를 다루는 것과 대조적이다. 편미분 방정식은 여러 변수의 함수를 포함하는 문제를 공식화하는 데 사용되며, 소리, 열, 정전기, 전자기학, 유체 역학, 탄성 또는 양자 역학과 같이 자연계의 다양한 현상을 설명하는 데 사용될 수 있다. 상미분 방정식이 종종 1차원 동역학계를 모델링하는 것처럼, 편미분 방정식은 종종 다차원 계를 모델링한다.

편미분방정식의 예시는 다음과 같다.

:

\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right) f(x,y) = 0

:

\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) f(x,y) = \alpha x + \beta y

2. 2. 선형과 비선형

미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식으로, 크게 선형과 비선형으로 나뉜다.
선형 미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수들에 대해 선형인 방정식이다.^[25] 즉, 미지 함수와 그 도함수들이 1차 결합으로 표현되는 형태이다. 예를 들어, ''g''(''x'')를 ''f''(''x'')를 포함하지 않는 함수라고 할 때,

:

\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x} + \alpha\right)f(x) = g(x)

는 선형 미분 방정식이다. 선형 미분 방정식은 해의 중첩 원리가 성립하며, 해석적인 해법이 비교적 잘 알려져 있다. 또한, 고계 선형 미분 방정식은 1계 선형 미분 방정식의 형태로 변환하여 풀 수 있다. 이는 벡터와 행렬을 이용하여 표현할 수 있다.
비선형 미분 방정식은 선형이 아닌 미분 방정식이다.^[25] 즉, 미지 함수나 그 도함수들에 대해 비선형 항을 포함하는 방정식이다.^[11] 예를 들어,

:

\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)f(x) = g(x)

는 비선형 미분 방정식이다. y도함수 앞의 계수가 변수일수도 있다. 나비에-스토크스 방정식이 대표적인 예시이며 이 방정식에서는 y도함수 앞의 계수가 유체의 성질을 나타내는 매개변수이다. 비선형 미분 방정식은 해의 중첩 원리가 성립하지 않으며, 해석적인 해를 구하기 어려운 경우가 많다. 또한, 장시간에 걸쳐 매우 복잡한 거동을 보일 수 있으며, 이는 카오스의 특징이다.^[11] 비선형 미분 방정식의 해를 구하는 방법은 매우 적으며, 알려진 방법은 방정식이 특정 대칭성을 갖는 경우에 의존한다.^[11]

선형 미분 방정식은 종종 비선형 방정식에 대한 근사로 나타나며, 이러한 근사는 제한된 조건에서만 유효하다.

2. 3. 계수

미분 방정식의 차수는 미분 방정식에 나타나는 미지 함수의 가장 높은 계수이다.^[12]^[13] 예를 들어, 1계 미분만 포함하는 방정식은 1계 미분 방정식이고, 2계 미분을 포함하는 방정식은 2계 미분 방정식이다.

미지 함수와 그 도함수에 대한 다항 방정식으로 작성될 때, 미분 방정식의 차수는 문맥에 따라 미지 함수의 최고차 도함수의 다항식 차수^[14] 또는 미지 함수와 그 도함수에 대한 전체 차수이다. 특히, 선형 미분 방정식은 두 의미 모두에서 차수가 1이지만, 비선형 미분 방정식

y'+y^2=0

는 첫 번째 의미에서는 차수가 1이지만 두 번째 의미에서는 그렇지 않다.

자연 현상을 설명하는 미분 방정식에는 거의 항상 1계 및 2계 도함수만 포함되지만, 박막 방정식과 같이 4계 편미분 방정식인 예외도 있다.

2. 4. 동차 방정식과 비동차 방정식

모든 항이 미지 함수를 포함하거나 0인 선형 미분 방정식을 선형 동차 미분 방정식^[26]이라고 하고, 동차가 아닌 선형 미분 방정식을 선형 비동차 미분 방정식^[27]이라고 한다. 동차 방정식을 간단히 동차 방정식이라고 부르기도 한다.

예를 들어,

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\!f(x)+f(x)=0

는 동차 방정식이고, 우변에 α를 더한

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\!f(x)+f(x) = \alpha

는 비동차 방정식이다.

일반적인 선형 상미분 방정식

:

\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)f(x) = g_0(x), \quad g_{n+1}(x) = 1

에서 우변의 함수 g₀(x)가 0이면 이 방정식은 동차이다.

동차 방정식의 해 s(x)가 있을 때, 그 정수배 cs(x)도 해가 되며, 동차 방정식 해의 선형 결합도 그 동차 방정식의 해가 된다.

비동차 방정식의 해 s_in(x)가 얻어졌을 때, 원래 방정식을 동차 형태로 만들었을 때의 해 s_hom(x)를 사용하여 비동차 방정식의 새로운 해 s_in(x) + s_hom(x)를 만들 수 있다. 이는 다음을 통해 확인할 수 있다.

:

\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}\right)\left(s_\mathrm{in}(x)+s_\mathrm{hom}(x)\right) = g_0(x)

일 때, s_in(x)와 s_hom(x)는 각각

:

\begin{align}\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)s_\mathrm{hom}(x) &= 0\\\left(\sum_{k=0}^n g_{k+1}(x)\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)s_\mathrm{in}(x) &= g_0(x)\end{align}

를 만족하므로, s_in(x) + s_hom(x)는 원래 방정식의 해가 된다.

2. 5. 기타 분류

지연 미분 방정식(DDE)은 일반적으로 '시간'이라고 하는 단일 변수의 함수에 대한 방정식으로, 특정 시간에서 함수의 도함수가 이전 시간의 함수 값으로 주어진다. 시간 지연을 갖는 미분방정식은 수리생물학 모델 등에 나타난다.

적분 방정식은 미분 방정식과 유사하게 볼 수 있지만, 도함수를 포함하는 방정식 대신 적분을 포함한다. 적분-미분 방정식(IDE)은 미분 방정식과 적분 방정식의 측면을 결합한 방정식이다.

방정식에 포함된 기지함수가 확률변수에 의해 기술되는 미분방정식을 '''확률미분방정식'''이라고 부른다. 확률상미분방정식이나 확률편미분방정식은 영어 약자를 따서 “SODE^영어”, “SPDE^영어”로 약칭하기도 한다. 대표적인 예로는 물리학의 랑주뱅 방정식과 금융공학의 블랙-숄즈 방정식이 있다. 확률미분방정식의 기지함수는 그 자신의 기댓값과 상관함수에 의해 특징지어진다. 확률 편미분 방정식(SPDE)은 양자장론과 통계역학에 응용되는 공간-시간 잡음 과정을 포함하도록 SDE를 일반화한 방정식이다.

초계량 유사 미분 방정식은 초계량 공간에 p-adic 수를 포함하는 방정식이다. 초계량 유사 미분 방정식을 포함하는 수학적 모델은 미분 연산자 대신 유사 미분 연산자를 사용한다.

미분 대수 방정식(DAE)은 암시적 형태로 주어진 미분 항과 대수 항으로 구성된 미분 방정식이다. 미지 함수와 그 도함수의 관계식이 미지 함수나 도함수를 변수로 보았을 때 해석함수를 계수로 하는 다항식인 경우, '''대수적 미분 방정식'''이라고 한다.

3. 미분 방정식의 역사

미적분학의 발명과 함께 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 미분 방정식이 등장하였다. 뉴턴은 1671년 저서 ''Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum''의 2장에서 여러 종류의 미분 방정식을 제시하였다.^[2] 그는 무한급수를 사용하여 해를 구하고 해의 유일성이 아닌 점을 논의하였다.

야코프 베르누이는 1695년에 베르누이 미분 방정식을 제안하였다.^[3] 다음 해 라이프니츠는 이 방정식을 단순화하여 해를 구하였다.^[4]

악기의 현과 같은 진동하는 현의 문제는 장 르 론 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 조제프루이 라그랑주에 의해 연구되었다.^[5]^[6]^[7]^[8] 1746년, 달랑베르는 1차원 파동 방정식을 발견하였고, 10년 이내에 오일러는 3차원 파동 방정식을 발견하였다.^[9]

오일러-라그랑주 방정식은 1750년대에 오일러와 라그랑주가 등시곡선 문제를 연구하면서 개발되었다. 라그랑주는 1755년 이 문제를 해결하고 그 해를 오일러에게 보냈다. 두 사람 모두 라그랑주의 방법을 더욱 발전시켜 역학에 적용하여 라그랑주 역학을 공식화하였다.

1822년, 푸리에는 그의 저서 ''Théorie analytique de la chaleur'' (열의 해석적 이론)^[10]에서 열 흐름에 대한 연구 결과를 발표했는데, 여기서 그는 뉴턴의 냉각 법칙에 근거하여 추론을 전개하였다. 이 책에는 전도에 의한 열 확산에 대한 푸리에의 열 방정식 제안이 포함되어 있다.

대한민국에서는 20세기 후반부터 본격적인 미분 방정식 연구가 시작되었으며, 현재는 다양한 분야에서 활발한 연구가 진행되고 있다.

4. 미분 방정식의 해법

미분방정식은 항상 정확한 해를 얻을 수 있는 것은 아니다. 따라서 대부분의 경우 섭동 등의 방법을 사용하여 근사적인 값을 구하거나, 룽게-쿠타 방법, SOR 방법, 유한요소법과 같은 수치 해법으로 구체적인 해를 얻게 된다. 그러나 몇몇 기본적인 미분방정식의 경우에는 정확한 해를 얻거나, 형식적으로 해를 나타낼 수 있다.

미분방정식의 구체적인 해법으로는 대표적인 것으로, 균질 방정식(斉次方程式)의 해를 이용하여 푸는 상수변이법, 그린 함수를 이용한 해법, 차분 방정식을 이용한 해법, 라플라스 변환과 역라플라스 변환을 이용한 해법 등이 알려져 있다.

4. 1. 해석적 해법

1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 <math>\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} + f(x) y = 0,</math>이며, 여기서 <math>f(x)</math>는 알려진 함수이다. 이 방정식은 변수를 분리하여 <math>\frac{\mathrm d y}{y} = -f(x)\, \mathrm d x</math>로 놓고 풀 수 있다. 식을 적분하면 <math>\ln y = -F(x) + C </math> 를 얻고, 양변에 e를 취하면 <math>y = A e^{-F(x)} </math>를 얻는다. 여기서 <math>A = e^C</math>, <math>F(x) = \int f(x)\,\mathrm d x.</math>이고, <math>A</math>는 임의의 상수이다.

1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 변수 분리가 불가능하며, 이러한 방정식을 풀기 위해서는 적분인자를 사용해야 한다. 1차 상미분 방정식의 일반적인 형태 <math>\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} + p(x)y = q(x)</math>에서 적분 인자 <math>\mu = e^{\int_{}^{} p(x)\, \mathrm d x}</math>를 양변에 곱하여 정리하면, <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}{(\mu{y})} = \mu{q(x)}</math>로 변형된다. 양변을 적분하고 <math>y</math>에 대해 풀면, <math>y = \frac{\left(\int\mu q(x)\, \mathrm d x\right) + C}{\mu}</math>를 얻는다.

1계 선형 동차 상미분 방정식 <math>\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = y(x)</math>의 해는 지수 함수 <math>y(x) = C\mathrm{e}^x</math>이다.^[30] 이때, 자연로그의 적분 공식을 이용하면 해를 구할 수 있다.^[31]^[32]

계수가 상수인 동차 방정식 <math>\left(\sum_{k=0}^n c_{k+1}\frac{\mathrm{d}^k}{{\mathrm{d}x}^k}\right)f(x) = 0, \quad c_{n+1} = 1</math>의 해는 지수 함수 형태로 치환하여 <math>\sum_{k=0}^n c_{k+1}\lambda^k = 0</math>와 같은 대수 방정식을 풀어 구할 수 있다.^[33] 중근이 없다면 방정식의 해가 <math>n</math>개 구해지고, 동차 방정식의 일반해는 그것들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

일반적인 1계 선형 상미분 방정식 <math>\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} + P(x)y(x) = Q(x)</math>은 일반해가 구적법으로 풀 수 있다. 먼저 동차 방정식 <math>\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} + P(x)y(x) = 0</math>의 일반해 <math>y(x) = A\exp\left(-\int P(x')\,\mathrm{d}x'\right)</math>를 구한 뒤, 상수변이법을 이용하여 <math>A</math>를 <math>x</math>의 함수로 간주하여 일반해를 구할 수 있다.^[34]

2계 선형 상미분 방정식 <math>\frac{\mathrm{d}^2y(x)}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=R(x)</math>은 이 형태 그대로는 구적법을 이용하여 일반해를 나타낼 수 없다. 하지만, 동차 방정식의 특수해 <math>y=y_1</math>가 존재한다면, <math> y(x)=y_1(x)z(x)</math>로 치환하여 <math>z</math>에 관한 1계 선형 상미분 방정식으로 변환하여 풀 수 있다.

다음은 구적법으로 풀 수 있는 방정식의 예시이다.^[38]

구적법으로 풀 수 있는 방정식의 예^[35]
방정식	일반해^[35]
<math>\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-xP(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0</math>	<math>y=x \Bigl\{C_1 +C_2 \int \frac{1}{\,x^2 \,}\exp \Bigl( \int\! x P(x) \,dx \Bigr)\, dx \Bigr\}</math>
<math>\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-a(a+P(x))y=0</math>	<math>y=e^{ax}\Bigl\{C_1 +C_2\! \int \exp \Bigl(\! -2ax -\!\! \int\! P(x)\,dx \Bigr)\, dx \Bigr\}</math>
<math>P(x)\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}+(a+bx)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-by=0</math>	<math>y= C_1\!\! \int \! \! \int \!\! \frac{1}{\,P(x)\,}\exp \Bigl(\! -\!\! \int \! \frac{\,a+bx\,}{P(x)}\,dx \Bigr)\, dx\, dx +C_2\Bigl(x+\frac{a}{\,b\,}\Bigr)</math>
<math>\frac{\mathrm{d}^2y\,}{\mathrm{d}x^2}-\left(\frac{1}{2P(x)}\cdot\frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0</math>	<math>y=C_1\sin\left(\int\sqrt{P(x)}\,\mathrm{d}x\right)+C_2\cos\left(\int\sqrt{P(x)}\,\mathrm{d}x\right)</math>
<math>\frac{\mathrm{d}^2y\,}{\mathrm{d}x^2}-\left(\frac{1}{P(x)}\cdot\frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\left(P(x)\right)^2 y=0</math>	<math>y=C_1\exp\left(\int P(x)\,\mathrm{d}x\right)+C_2\exp\left(-\int P(x)\,\mathrm{d}x\right)</math>
<math>x\frac{\mathrm{d}^2 y\,}{\mathrm{d}x^2}+(\alpha + \beta x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\beta y = 0.</math>	<math>y=x^{1-\alpha}e^{-\beta x} \left( C_1 \int{}x^{\alpha-2} e^{\beta x}\,\mathrm{d}x + C_2 \right)</math>

4. 2. 수치적 해법

5. 해의 존재성과 유일성

풀이는 대수 방정식 풀이와 다르다. 해가 종종 불분명할 뿐만 아니라, 해가 유일한지 또는 존재하는지 여부도 중요한 관심사이다.

1계 초기값 문제의 경우, 페아노 존재 정리는 해가 존재하는 조건을 제시한다. xy 평면의 임의의 점 $(a, b)$ 에 대해, $Z = [l, m]\times[n, p]$ 와 같이 $(a, b)$ 가 $Z$ 의 내부에 있는 직사각형 영역 $Z$ 를 정의한다. 미분 방정식 $\frac{dy}{dx} = g(x, y)$ 와 $x = a$ 일 때 $y = b$ 라는 조건이 주어지면, $g(x, y)$ 와 $\frac{\partial g}{\partial x}$ 가 모두 $Z$ 에서 연속이면 이 문제에 대한 해가 국소적으로 존재한다. 이 해는 $a$ 를 중심으로 하는 어떤 구간에서 존재한다. 그러나 해는 유일하지 않을 수 있다.

그러나 이것은 1계 초기값 문제에만 도움이 된다. n계 선형 초기값 문제를 생각해보자.

: $f_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{d y}{dx} + f_{0}(x)y = g(x)$

다음과 같이

: $\begin{align}y(x_{0}) &= y_{0}, &y'(x_{0}) &= y'_{0}, &y''(x_{0}) &= y''_{0}, &\ldots\end{align}$

0이 아닌 임의의 $f_{n}(x)$ 에 대해, $\{f_{0},f_{1},\ldots\}$ 와 $g$ 가 $x_{0}$ 를 포함하는 어떤 구간에서 연속이면, $y$ 는 존재하고 유일하다.^[15]

6. 미분 방정식의 응용

미분방정식의 연구는 순수수학과 응용수학, 물리학, 공학 분야에서 광범위한 영역을 차지한다. 이 모든 학문 분야는 다양한 유형의 미분방정식의 특성에 관심을 갖는다. 순수수학은 해의 존재와 유일성에 초점을 맞추는 반면, 응용수학은 해를 근사하는 방법의 엄밀한 정당화를 강조한다. 미분방정식은 천체 운동부터 교량 설계, 뉴런 간의 상호작용에 이르기까지 사실상 모든 물리적, 기술적 또는 생물학적 과정을 모델링하는 데 중요한 역할을 한다. 실생활 문제를 해결하는 데 사용되는 것과 같은 미분방정식은 반드시 직접 풀 수 있는 것은 아니다. 즉, 폐쇄형 해를 갖지 않을 수 있다. 대신, 수치적 방법을 사용하여 해를 근사할 수 있다.

많은 기본적인 물리학 및 화학 법칙은 미분방정식으로 공식화될 수 있다. 생물학과 경제학에서 미분방정식은 복잡계의 행동을 모델링하는 데 사용된다. 미분방정식의 수학적 이론은 처음에는 방정식이 발생하고 결과가 적용된 과학과 함께 발전했다. 그러나 때로는 상당히 다른 과학 분야에서 유래한 다양한 문제가 동일한 미분방정식을 발생시킬 수 있다. 이러한 경우 방정식의 수학적 이론은 다양한 현상 뒤에 있는 통일 원리로 간주될 수 있다. 예를 들어, 대기 중의 빛과 소리의 전파와 연못 표면의 파동을 생각해 보자. 이 모든 것은 동일한 2계 편미분방정식인 파동방정식으로 설명될 수 있으며, 이를 통해 빛과 소리를 물속의 친숙한 파동과 같은 파동의 형태로 생각할 수 있다. 조제프 푸리에가 개발한 열전도 이론은 또 다른 2계 편미분방정식인 열방정식에 의해 지배된다. 겉보기에는 다르지만 많은 확산 과정이 동일한 방정식으로 설명된다는 사실이 밝혀졌다. 예를 들어, 금융의 블랙-숄즈 방정식은 열방정식과 관련이 있다.

다양한 과학 분야에서 이름이 붙여진 미분방정식의 수는 이 주제의 중요성을 보여준다. 명명된 미분방정식 목록 참조.

6. 1. 물리학

미분방정식은 물리학, 공학, 생물학, 경제학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히, 많은 물리 법칙들이 미분방정식으로 표현된다.
고전 역학에서 뉴턴의 운동 법칙은 물체의 운동을 미분 방정식으로 나타낸다. 전자기학에서 맥스웰 방정식은 전자기 현상을 설명하는 편미분 방정식이다. 양자 역학에서 슈뢰딩거 방정식은 양자 시스템의 시간 변화를 기술하는 편미분 방정식이다. 유체 역학에서 나비에-스토크스 방정식은 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. 열역학에서 열 방정식은 열의 전달을 설명하는 편미분 방정식이다.

이처럼 다양한 현상들이 동일한 형태의 미분방정식으로 설명될 수 있다는 점은 미분방정식 이론이 여러 과학 분야를 연결하는 통일된 원리로 작용함을 보여준다. 예를 들어 빛, 소리, 파동은 모두 파동 방정식으로, 열전도와 확산 과정은 열 방정식으로 설명 가능하다.

6. 2. 공학

미분방정식은 물리학, 공학, 생물학, 경제학 등 다양한 분야에서 복잡한 시스템의 행동을 모델링하고 예측하는 데 필수적인 도구로 사용된다. 특히 공학 분야에서는 다음과 같은 세부 분야에서 핵심적인 역할을 수행한다.

기계 공학: 진동, 열 전달, 유체 흐름 등 다양한 물리적 현상을 모델링하여 기계 시스템의 설계 및 해석에 활용된다.
전기 공학: 회로이론, 전자기장 해석 등을 통해 전기 회로 및 전자기 시스템의 동작을 예측하고 분석하는 데 사용된다.
화학 공학: 화학 반응 속도론, 물질 전달 현상 등을 모델링하여 화학 공정의 최적화 및 제어에 기여한다.
토목 공학: 구조물의 진동, 지반 침하, 수리 수문학적 현상 등을 분석하여 구조물의 안전성 및 성능을 평가하는 데 사용된다.

이처럼 미분방정식은 다양한 공학 분야에서 핵심적인 역할을 수행하며, 푸리에가 개발한 열 방정식이나 블랙-숄즈 방정식과 같이 서로 다른 현상을 설명하는 데 동일한 방정식이 사용되기도 한다. 명명된 미분방정식 목록을 통해 다양한 분야에서 활용되는 미분방정식의 중요성을 확인할 수 있다.

6. 3. 생물학

미분방정식은 생물학과 경제학에서 복잡계의 행동을 모델링하는 데 사용된다. 생물학 분야에서 미분방정식은 개체군 동태, 전염병 확산, 신경 세포의 활동 등을 설명하는데 사용된다.
개체군 동태론: 로지스틱 방정식은 생물 개체군의 성장 모델을 설명한다.
전염병 모델: SIR 모델은 전염병의 확산을 예측하는 데 사용된다.
신경 과학: 호지킨-헉슬리 모델은 신경 세포의 활동 전위를 설명하는 미분 방정식이다.

6. 4. 경제학

경제학에서 미분방정식은 복잡계의 행동을 모델링하는 데 사용된다. 예를 들어 솔로우-스완 모델은 경제 성장을 설명하는 미분 방정식이며, 금융 공학에서 블랙-숄즈 방정식은 옵션 가격 결정을 위한 편미분 방정식으로, 열방정식과 관련이 있다.

6. 5. 기타

미분방정식의 연구는 순수수학과 응용수학, 물리학, 공학 등 광범위한 영역에 걸쳐있다. 각 학문 분야는 다양한 유형의 미분방정식 특성에 관심을 가지며, 순수수학은 해의 존재와 유일성에, 응용수학은 해를 근사하는 방법의 엄밀한 정당화를 강조한다. 미분방정식은 천체 운동, 교량 설계, 뉴런 간 상호작용 등 물리, 기술, 생물학적 과정을 모델링하는 데 중요한 역할을 한다.

물리학 및 화학 법칙은 미분방정식으로 공식화될 수 있으며, 생물학과 경제학에서도 복잡계 행동 모델링에 사용된다. 겉보기에는 다른 과학 분야의 문제들이 동일한 미분방정식으로 이어지기도 하는데, 이는 방정식의 수학적 이론이 다양한 현상 뒤의 통일 원리로 간주될 수 있음을 보여준다. 예를 들어 대기 중 빛과 소리 전파, 연못 표면 파동은 모두 파동방정식으로 설명 가능하다. 조제프 푸리에가 개발한 열전도 이론은 열방정식으로, 금융의 블랙-숄즈 방정식도 이와 관련 있다.
인공지능 분야에서 딥러닝 모델 학습은 미분 방정식을 푸는 과정으로 해석될 수 있으며, 빅데이터 분야에서는 데이터 분석 및 예측 모델링에 미분 방정식이 활용될 수 있다.

다양한 과학 분야에서 이름 붙여진 미분방정식의 수는 이 주제의 중요성을 보여준다. 명명된 미분방정식 목록을 참조하라.

7. 대한민국의 미분 방정식 연구

8. 소프트웨어

미분 방정식을 풀기 위한 다양한 CAS 소프트웨어가 존재한다.^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21] 주요 프로그램과 명령어는 다음과 같다.

메이플: `dsolve`
매스매티카: `DSolve[]`
맥시마: `ode2(equation, y, x)`
세이지매스: `desolve()`
심파이: `sympy.solvers.ode.dsolve(equation)`
엑스캐스: `desolve(y'=k*y,y)`

참조

_[1] 서적 A First Course in Differential Equations with Modeling Applications https://books.google[...] Cengage Learning 2012-03-15
_[2] 논문 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series) Opuscula 1736
_[3] 간행물 Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis
_[4] 서적 Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems Springer-Verlag
_[5] 논문 Review of ''The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742'', by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky http://homes.chass.u[...] 1983-07
_[6] 논문 The Vibrating String Controversy
_[7] 웹사이트 First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings http://www.lynge.com[...] Herman HJ Lynge and Son 2012-11-13
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_[31] 문서 미분방정식의 근사적 풀이 방법
_[32] 문서 지수함수와 로그함수의 관계
_[33] 문서 미분방정식의 해를 구하는 과정
_[34] 문서 미분방정식 해의 일반적인 형태
_[35] 서적 常微分方程式80余例とその厳密解近代文芸社
_[36] 서적 常微分方程式134例とその解丸善出版サービスセンター 1982-05
_[37] 서적 常微分方程式80余例と求積法による解法 https://researchmap.[...] 2018-12
_[38] 문서
_[39] 서적 미분과 적분에 대한 이야기 진영사 2003

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