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EXPSPACE

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목차

1. 개요

EXPSPACE는 DSPACE와 NSPACE의 관점에서 정의되는 복잡도 종류이다. 이는 \mathsf{EXPSPACE} = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \mathsf{DSPACE}\left(2^{n^k}\right) = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \mathsf{NSPACE}\left(2^{n^k}\right)로 표현된다. EXPSPACE-완전 문제의 예시로는 두 정규 표현식이 서로 다른 언어를 나타내는지 확인하는 문제, 선형 시간 논리의 유효성 문제, 페트리 네트의 커버 가능성 문제가 있다. EXPSPACE는 PSPACE, NP, P의 진정한 상위 집합이며, EXPTIME의 진정한 상위 집합일 것으로 추정되지만 아직 증명되지 않았다.

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2. 형식적 정의

EXPSPACE는 모든 k∈ℕ에 대해, 2nk 공간을 가지는 DSPACE와 NSPACE들의 합집합으로 정의된다.[1]

2. 1. DSPACE와 NSPACE

'''EXPSPACE'''는 결정론적 튜링 기계(DSPACE)와 비결정론적 튜링 기계(NSPACE)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\mathsf{EXPSPACE} = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \mathsf{DSPACE}\left(2^{n^k}\right) = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \mathsf{NSPACE}\left(2^{n^k}\right)

3. EXPSPACE-완전 문제의 예시

정규 표현식이 서로 다른 언어를 나타내는지 확인하는 문제, 선형 시간 논리를 시간(정수)으로 확장한 논리의 유효성 문제, 페트리 네트의 커버 가능성 문제 등은 EXPSPACE-완전 문제의 예시이다.[1][2][3]

3. 1. 정규 표현식 문제

두 개의 정규 표현식이 서로 다른 언어를 나타내는지 확인하는 문제는 EXPSPACE-완전 문제의 예시이다. 여기서 표현식은 합집합, 결합, 클레이니 스타(표현식의 0개 이상 복사), 제곱(표현식의 두 복사본)의 네 가지 연산자로 제한된다.[1]

3. 2. 선형 시간 논리 문제

알루어(Alur)와 헨징거(Henzinger)는 선형 시간 논리를 시간 (정수)으로 확장했고, 이들 논리의 유효성 문제가 EXPSPACE-완전임을 증명했다.[2]

3. 3. 페트리 네트 문제

페트리 네트의 커버 가능성 문제는 EXPSPACE-완전이다.[3] 도달 가능성 문제는 오랫동안 EXPSPACE-난해 문제로 알려져 있었지만,[4] 비기본 문제로 밝혀져 EXPSPACE에 속하지 않을 가능성이 높다.[5] 2022년에는 아커만 함수-완전 문제임이 밝혀졌다.[6][7]

4. 다른 복잡도 종류와의 관계

EXPSPACE는 PSPACE, NP, P의 진상위집합으로 알려져 있다. 또한 EXPTIME의 진상위집합일 것으로 추정되지만, 이는 아직 알려져 있지 않다.

4. 1. PSPACE, NP, P와의 관계

EXPSPACE는 PSPACE, NP, P의 진 상위 집합으로 알려져 있다. 또한 EXPTIME의 진 상위 집합일 것으로 추정되지만, 이는 아직 알려져 있지 않다.

4. 2. EXPTIME과의 관계

'''EXPSPACE'''는 PSPACE, NP, P의 진 상위 집합으로 알려져 있다. 또한 EXPTIME의 진 상위 집합일 것으로 추정되지만, 아직 증명되지 않았다.[1]

참조

[1] 간행물 The equivalence problem for regular expressions with squaring requires exponential space http://people.csail.[...] 13th IEEE Symposium on Switching and Automata Theory 1972-10
[2] 논문 A Really Temporal Logic 1994-01-01
[3] 논문 The covering and boundedness problems for vector addition systems 1978
[4] 논문 The Reachability Problem Requires Exponential Space http://citeseer.ist.[...] Yale University 1976
[5] 학회 The reachability problem for Petri nets is not elementary 2019
[6] 서적 2021 IEEE 62nd Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS) IEEE 2022-02
[7] 웹사이트 An Easy-Sounding Problem Yields Numbers Too Big for Our Universe https://www.quantama[...] 2023-12-04


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