T 점수

3. t-통계량의 특징 및 분포

t-통계량은 가정된 값에서 표준 오차에 대한 모수 추정값 이탈의 비율이다. 기본적으로 통계 패키지는 ''β''₀ = 0 인 ''t''-통계량을 보고하는데, 이는 해당 회귀 변수의 유의성을 검정하는 데 사용된다. 그러나 ''H''₀: ''β'' = ''β''₀ 형태의 가설을 검정하기 위해 ''t''-통계량이 필요한 경우, 0이 아닌 ''β''₀를 사용할 수 있다.

$\backslash hat\backslash beta$가 고전적인 선형 회귀 모형(즉, 정규 분포를 따르고 등분산성 오차항을 갖는)에서의 최소제곱법 추정량이고, 모수 ''β''의 실제 값이 ''β''₀와 같다면, ''t''-통계량의 표본 분포는 자유도가 (''n'' − ''k'')인 스튜던트 t-분포가 된다. 여기서 ''n''은 관측치 수이고, ''k''는 회귀 변수의 수이다(절편 포함).

대부분의 모형에서, 추정량 $\backslash hat\backslash beta$는 ''β''에 대해 일치 추정량이며 점근적 정규성을 따른다. 만약 모수 ''β''의 실제 값이 ''β''₀와 같고, 양 $\backslash operatorname\{s.e.\}(\backslash hat\backslash beta)$이 이 추정량의 점근 분산을 정확하게 추정한다면, ''t''-통계량은 점근적으로 표준 정규 분포를 갖게 된다.

어떤 모형에서는 ''t''-통계량의 분포가 정규 분포와 다르며, 심지어 점근적으로도 다르다. 예를 들어, 단위근을 가진 시계열을 확장된 디키-풀러 검정에서 회귀할 때, 검정 ''t''-통계량은 점근적으로 디키-풀러 분포 중 하나를 갖게 된다(검정 설정에 따라 다름).

4. t-통계량의 사용

t-통계량은 스튜던트 t-검정과 같은 통계적 가설 검정과 특정 신뢰 구간 계산에 사용된다. t-검정에서는 귀무 가설을 지지할지 기각할지 여부를 결정하는 데 사용된다. z점수(z score)와 매우 유사하지만, 표본 크기가 작거나 모집단 표준 편차를 알 수 없는 경우에 t-통계량이 사용된다는 차이점이 있다.

t-통계량은 피벗 수량이라는 핵심 속성을 가진다. 즉, 표본 평균으로 정의되지만, 표본 분포는 모집단 매개변수에 의존하지 않으므로 이러한 매개변수에 관계없이 사용할 수 있다.

또한 잔차를 표본 표준 편차로 나누어 계산할 수 있다.

:$g(x,X)\; =\; \backslash frac\{x\; -\; \backslash overline\{X\}\}\{s\}$

이는 주어진 표본이 평균으로부터 얼마나 많은 표준 편차 떨어져 있는지에 대한 추정값을 계산하기 위한 것으로, z-점수의 표본 버전이다. z-점수는 모집단 매개변수를 필요로 한다.

알 수 없는 평균과 분산을 가진 정규 분포 $N(\backslash mu,\; \backslash sigma^2)$가 주어졌을 때, n번의 관측을 한 후의 미래 관측값 $X\_\{n+1\}$의 t-통계량은 보조 통계량이며, 이는 통계량(관측값으로부터 계산됨)인 피벗 수량(μ와 σ²의 값에 의존하지 않음)이다. 이를 통해 t-분포를 이용하여 빈도론적 예측 구간(예측 신뢰 구간)을 계산할 수 있다.

:$\backslash frac\{X\_\{n+1\}\; -\; \backslash overline\{X\}\_n\}\{s\_n\; \backslash sqrt\{1\; +\; n^\{-1\}\}\}\; \backslash sim\; T^\{n-1\}.$

$X\_\{n+1\}$에 대해 풀면 예측 분포를 얻을 수 있고, 이를 통해 예측 신뢰 구간을 계산할 수 있다.

5. 역사

"t 통계량"이라는 용어는 "가설 검정 통계량"에서 축약된 것이다.^[1] 통계학에서 t-분포는 1876년 헬메르트^[2][3][4]와 뤼로트^[5][6][7]에 의해 처음 사후 분포로 유도되었다. t-분포는 또한 칼 피어슨의 1895년 논문에서 피어슨 타입 IV 분포의 보다 일반적인 형태로 나타났다.^[8] 그러나, Student's T 분포라고도 알려진 T-분포는 1908년 Biometrika에 "The Probable Error of a Mean" 논문을 "Student"라는 필명으로 발표한 윌리엄 시리 고셋의 이름을 따서 명명되었다.^[9][10] 고셋의 고용주는 과학 논문을 출판할 때 본명 대신 필명을 사용하는 것을 선호했기 때문에, 그는 자신의 신분을 숨기기 위해 "Student"라는 이름을 사용했다.^[11] 고셋은 아일랜드 더블린의 기네스 양조장에서 일했으며, 작은 표본의 문제에 관심이 있었다. "Student"라는 용어는 윌리엄 고셋의 필명이었지만, 이 분포가 "Student's distribution"^[12][13]과 "Student's t-test"로 잘 알려지게 된 것은 실제로 로널드 피셔의 연구를 통해서였다.

6. 관련 개념

• ''z''-점수 (표준화): 모집단 모수를 알고 있다면, t-통계량을 계산하는 대신 z-점수를 계산할 수 있다. 유사하게 ''t''-검정을 사용하는 대신 ''z''-검정을 사용한다. 이는 표준화된 시험 외에서는 드물다.
• 스튜던트화 잔차: 회귀 분석에서, 서로 다른 데이터 지점에서의 추정치의 표준 오차는 다르다(단순 선형 회귀의 중간 지점과 끝점을 비교). 따라서 서로 다른 잔차를 오차에 대한 다른 추정치로 나누어 스튜던트화 잔차라고 한다.

참조

_[1] 서적 The Microbiome in Health and Disease https://books.google[...] Academic Press 2020-05-29
_[2] 서적 Einführung in die Technische Mechanik Springer Berlin Heidelberg 2003
_[3] 간행물 Untersuchungen über den anastomotischen Kanal zwischen der Arteria coeliaca und mesenterica superior und damit in Zusammenhang stehende Fragen 1937-10
_[4] 간행물 Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit https://zenodo.org/r[...] 1876
_[5] 간행물 Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers https://zenodo.org/r[...] 1876
_[6] 간행물 Studies in the history of probability and statistics XLIV. A forerunner of the t-distribution
_[7] 간행물 Helmert's work in the theory of errors 1995
_[8] 간행물 X. Contributions to the mathematical theory of evolution.—II. Skew variation in homogeneous material
_[9] 간행물 The Probable Error of a Mean
_[10] 웹사이트 T Table History of T Table, Etymology, one-tail T Table, two-tail T Table and T-statistic https://www.tdistrib[...]
_[11] 간행물 Pseudonymous fame
_[12] 간행물 Subgroup Analysis of Topical Tranexamic Acid in Total Knee Arthroplasty
_[13] 서적 Probability & statistics for engineers & scientists Pearson 2006