가법 함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 가법 함수
- 2.2. 완전 가법 함수
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 완전 가법 함수
- 4.2. 가법 함수 (완전 가법 함수는 아님)
5. 곱셈적 함수와의 관계
6. 합산 함수
참조

1. 개요

가법 함수는 정수론에서 사용되는 함수로, 서로소인 두 양의 정수의 곱에 대한 함숫값이 각 함숫값의 합과 같은 함수를 의미한다. 완전 가법 함수는 임의의 두 양의 정수의 곱에 대해 함숫값의 합이 성립하는 함수이다. 모든 완전 가법 함수는 가법 함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 가법 함수는 곱셈적 함수와 관련이 있으며, 합산 함수를 통해 분석할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

수론적 함수 - 디리클레 합성곱
디리클레 합성곱은 두 수론적 함수를 이용하여 새로운 수론적 함수를 생성하는 연산으로, n의 모든 양의 약수에 대한 함수값의 곱의 합으로 정의되며, 교환, 결합, 분배 법칙을 만족하고 곱셈적 함수의 곱셈성을 보존하며, 디리클레 급수 연구에 활용된다.
수론적 함수 - 체비쇼프 함수
체비쇼프 함수는 소수 분포 연구에 쓰이는 두 종류의 함수로, 제1종 체비쇼프 함수 $\vartheta(x)$ 는 $x$ 이하 소수 $p$ 에 대한 $\log p$ 의 합, 제2종 체비쇼프 함수 $\psi(x)$ 는 $x$ 이하 소수 거듭제곱수 $p^k$ 에 대한 $\log p$ 의 합으로 정의되며, 소수 정리와 리만 제타 함수를 통한 소수 분포 분석에 활용된다.

가법 함수
개요
정의	수론적 함수 정수론적 함수
성질	곱셈적 성질을 가짐 약수 합 함수와 관련됨
정의
가법 함수 (정의-additive_function-number_theory)	임의의 서로소인 두 정수 a, b에 대해 f(ab) = f(a) + f(b)를 만족하는 함수 f
완전 가법 함수	임의의 두 정수 a, b에 대해 f(ab) = f(a) + f(b)를 만족하는 함수 f f(1) = 0
예시	정수의 소인수 개수를 세는 함수 로그 함수 (정수의 소인수분해를 이용)
성질
완전 가법 함수	f(1) = 0

2. 정의

함수 $f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C$ 가 주어졌다고 하자.

임의의 서로소인 두 양의 정수 $m,n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $\gcd\{m,n\}=1$ 일 때 $f(mn)=f(m)+f(n)$ 이면, $f$ 를 '''가법 함수'''라고 한다.^[3]
임의의 두 양의 정수 $m,n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $f(mn)=f(m)+f(n)$ 이면, $f$ 를 '''완전 가법 함수'''라고 한다.

가법 함수와 완전 가법 함수는 비슷한 성질을 가지지만, 가법 함수는 서로소인 두 수에 대해서만 위 조건이 성립하는 반면, 완전 가법 함수는 모든 두 수에 대해 성립한다는 차이점이 있다.

2. 1. 가법 함수

함수

f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C

가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소인 두 양의 정수

m,n\in\mathbb Z^+

에 대하여,

\gcd\{m,n\}=1

일 때

f(mn)=f(m)+f(n)

이면,

f

를 '''가법 함수'''라고 한다.^[3]

2. 2. 완전 가법 함수

함수

f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C

가 주어졌다고 하자. 임의의 두 양의 정수

m,n\in\mathbb Z^+

에 대하여,

f(mn)=f(m)+f(n)

이 성립하면

f

를 '''완전 가법 함수'''라고 한다.^[3] ''f''(''n'')가 '''완전 가법적'''이라고 말하려면

f(a b) = f(a) + f(b)

가 서로소일 필요 없이 ''모든'' 양의 정수 ''a''와 ''b''에 대해 성립해야 한다. '''완전 가법적'''이라는 표현은 완전 곱셈적 함수와 유사하게 이 의미로도 사용된다. 만약 ''f''가 완전 가법 함수라면, ''f''(1) = 0이다.

모든 완전 가법 함수는 가법 함수이지만, 그 반대는 성립하지 않는다.

3. 성질

만약 $f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C$ 가 가법 함수라면, $f(1)=0$ 이다.^[3]

만약 $f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C$ 가 가법 함수이고 $n\in\mathbb Z^+$ 의 소인수 분해가

: $n=\prod_pp^{n_p}$

라면, 다음이 성립한다.^[3]

: $f(n)=\sum_pf(p^{n_p})$

$f(a b) = f(a) + f(b)$ 가 서로소일 필요 없이 ''모든'' 양의 정수 ''a''와 ''b''에 대해 성립하면 가법 함수 ''f''(''n'')는 '''완전 가법적'''이다. '''완전 가법적'''이라는 표현은 완전 곱셈적 함수와 유사하게 이 의미로도 사용된다. 만약 ''f''가 완전 가법 함수라면, ''f''(1) = 0이다.

모든 완전 가법 함수는 가법 함수이지만, 그 반대는 성립하지 않는다.

4. 예시

가법 함수에는 완전 가법 함수와 그렇지 않은 가법 함수가 있다.

완전 가법 함수는 모든 자연수에 대해 가법성을 만족하는 함수를 말한다. 예를 들어, 양의 정수로 제한된 로그 함수, 중복도를 고려한 소인수의 개수( $\Omega(n)$ ), 중복도를 고려한 소인수의 합( $\operatorname{sopfr}(n)$ ) 등이 있다.

가법 함수이지만 완전 가법 함수가 아닌 경우, 서로 다른 소인수의 개수( $\omega(n)$ )나 서로 다른 소인수의 합( $\operatorname{sopf}(n)$ )과 같이 소인수의 중복을 고려하지 않는 함수들이 있다.

4. 1. 완전 가법 함수

양의 정수로 제한된 로그 함수
중복도를 고려한 소인수의 개수 Ω(n)
중복도를 고려한 소인수의 합 sopfr(n)

예시는 다음과 같다.

함수	설명	예시
a₀(n)	n을 나누는 소수의 합(중복도 포함). sopfr(n), n의 거듭제곱 또는 n의 정수 로그라고도 한다.
Ω(n)	n의 소인수의 총 개수. 중복된 인수를 여러 번 계산하며 "빅 오메가 함수"라고도 한다.

4. 2. 가법 함수 (완전 가법 함수는 아님)

서로 다른 소인수의 개수 $n\mapsto\omega(n)$
서로 다른 소인수의 합 $n\mapsto\operatorname{sopf}(n)$

예시는 다음과 같다.

ω(''n'')은 ''n''의 서로 다른 소인수의 총 개수를 정의한다. 예를 들면 다음과 같다.

ω(n)	설명
ω(4) = 1	4의 소인수는 2 하나뿐이다.
ω(16) = ω(2⁴) = 1	16의 소인수는 2 하나뿐이다.
ω(20) = ω(2² · 5) = 2	20의 소인수는 2와 5, 두 개이다.
ω(27) = ω(3³) = 1	27의 소인수는 3 하나뿐이다.
ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = 2	144의 소인수는 2와 3, 두 개이다.
ω(2000) = ω(2⁴ · 5³) = 2	2000의 소인수는 2와 5, 두 개이다.
ω(2001) = 3	2001의 소인수는 3, 23, 29, 세 개이다.
ω(2002) = 4	2002의 소인수는 2, 7, 11, 13, 네 개이다.
ω(2003) = 1	2003은 소수이다.
ω(54,032,858,972,279) = 3	54,032,858,972,279의 소인수는 11, 1993, 1236661, 세 개이다.
ω(54,032,858,972,302) = 5	54,032,858,972,302의 소인수는 2, 7, 149, 2081, 1778171, 다섯 개이다.
ω(20,802,650,704,327,415) = 5	20,802,650,704,327,415의 소인수는 5, 7, 11, 1993, 1236661, 다섯 개이다.

''a''₁(''n'') - ''n''을 나누는 서로 다른 소수의 합, sopf(''n'')이라고도 한다. 예를 들면 다음과 같다.

a₁(n)	설명
a₁(1) = 0	1은 소인수를 가지지 않는다.
a₁(4) = 2	4의 소인수는 2 하나뿐이며, 그 합은 2이다.
a₁(20) = 2 + 5 = 7	20의 소인수는 2와 5이고, 그 합은 7이다.
a₁(27) = 3	27의 소인수는 3 하나뿐이며, 그 합은 3이다.
a₁(144) = 2 + 3 = 5	144의 소인수는 2와 3이고, 그 합은 5이다.
a₁(2000) = 2 + 5 = 7	2000의 소인수는 2와 5이고, 그 합은 7이다.
a₁(2001) = 55	2001의 소인수는 3, 23, 29이고, 그 합은 55이다.
a₁(2002) = 33	2002의 소인수는 2, 7, 11, 13이고, 그 합은 33이다.
a₁(2003) = 2003	2003은 소수이다.
a₁(54,032,858,972,279) = 1238665	54,032,858,972,279의 소인수는 11, 1993, 1236661이고, 그 합은 1238665이다.
a₁(54,032,858,972,302) = 1780410	54,032,858,972,302의 소인수는 2, 7, 149, 2081, 1778171이고, 그 합은 1780410이다.
a₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677	20,802,650,704,327,415의 소인수는 5, 7, 11, 1993, 1236661이고, 그 합은 1238677이다.

5. 곱셈적 함수와의 관계

모든 가법 함수 $f(n)$으로부터 관련된 곱셈적 함수 $g(n)$를 만들 수 있다. 곱셈적 함수는 $a$와 $b$가 서로소일 때 다음 성질을 갖는다.

:$g(ab) = g(a) \times g(b)$

이러한 예시 중 하나는 $g(n) = 2^{f(n)}$이다. 마찬가지로 만약 $f(n)$이 완전 가법적이라면, $g(n) = 2^{f(n)}$은 완전 곱셈적이다. 좀 더 일반적으로는, $c$가 0이 아닌 실수 상수일 때, 함수 $g(n) = c^{f(n)}$을 고려할 수 있다.^[1]

임의의 가법 함수 $f(n)$를 사용하여, 서로소인 $a$와 $b$에 대해 $g(ab) = g(a) \times g(b)$를 만족하는 곱셈적 함수 $g(n)$를 만드는 것은 간단하다. 예를 들어, $g(n) = 2^{f(n)}$로 놓으면 된다.^[1]

6. 합산 함수

가법 함수 $f$ 의 합산 함수는 $\mathcal{M}_f(x) := \sum_{n \leq x} f(n)$ 으로 정의된다. $f$ 의 평균은 다음과 같이 주어진다.

$\mathcal{M}_f(x) = \sum_{p^{\alpha} \leq x} f(p^{\alpha}) \left(\left\lfloor \frac{x}{p^{\alpha}} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{p^{\alpha+1}} \right\rfloor\right).$

$f$ 에 대한 합산 함수는 $\mathcal{M}_f(x) = x E(x) + O(\sqrt{x} \cdot D(x))$ 로 확장될 수 있으며, 여기서

$\begin{align}E(x) & = \sum_{p^{\alpha} \leq x} f(p^{\alpha}) p^{-\alpha} (1-p^{-1}) \\D^2(x) & = \sum_{p^{\alpha} \leq x} |f(p^{\alpha})|^2 p^{-\alpha}.\end{align}$

함수 $f^2$ 의 평균 또한 이러한 함수로 표현된다.

$\mathcal{M}_{f^2}(x) = x E^2(x) + O(x D^2(x)).$

모든 자연수 $x \geq 1$ 에 대해 항상 절대 상수 $C_f > 0$ 가 존재하여

$\sum_{n \leq x} |f(n) - E(x)|^2 \leq C_f \cdot x D^2(x).$

다음과 같이 정의한다.

$\nu(x; z) := \frac{1}{x} \#\!\left\{n \leq x: \frac{f(n)-A(x)}{B(x)} \leq z\right\}\!.$

$f$ 가 $-1 \leq f(p^{\alpha}) = f(p) \leq 1$ 인 가법 함수라고 가정하고, $x \rightarrow \infty$ 일 때,

$B(x) = \sum_{p \leq x} f^2(p) / p \rightarrow \infty.$

그러면 $\nu(x; z) \sim G(z)$ 이며, 여기서 $G(z)$ 는 가우스 분포 함수이다.

$G(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} dt.$

이 결과의 예시로, 소수 오메가 함수와 이동된 소수의 소인수 개수와 관련된 예시는 다음과 같다. 여기서 $z \in \R$ 에 대해 고정되어 있으며, 관계는 $x \gg 1$ 에 대해 유효하다.

$\#\{n \leq x: \omega(n) - \log\log x \leq z (\log\log x)^{1/2}\} \sim x G(z),$

$\#\{p \leq x: \omega(p+1) - \log\log x \leq z (\log\log x)^{1/2}\} \sim \pi(x) G(z).$

참조

_[1] 논문 On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions https://www.ncbi.nlm[...] 1939-04
_[2] 논문 On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions http://www.ncbi.nlm.[...] 1939-04
_[3] 저널 A Class of Additive Functions 1968-03

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com