자연수

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 페아노 공리계
4. 성질
5. 수론적 성질
6. 표기법
7. 현대적 응용
참조

1. 개요

자연수는 수를 세는 데 사용되는 가장 기본적인 수로, 1, 2, 3, ... 과 같이 1부터 시작하거나 0, 1, 2, 3, ... 과 같이 0부터 시작하는 경우도 있다. 손가락 셈과 눈금 표시와 같은 원시적인 방법에서 시작하여 기수법을 사용한 숫자 표기, 0의 개념 발전 등을 거쳐왔다. 자연수는 덧셈, 곱셈 연산에 대해 닫혀 있으며, 교환, 결합, 분배 법칙을 만족한다. 페아노 공리계를 통해 정의되며, 수학적 귀납법과 무한 강하법을 사용하여 명제를 증명하는 데 활용된다. 또한 약수와 배수, 소수와 합성수와 같은 수론적 성질을 가지며, 완전수, 쌍둥이 소수 등 특수한 자연수도 존재한다. 자연수의 집합은 N 또는 ℕ으로 표기하며, 0을 포함하는지 여부에 따라 N+ 또는 N0과 같이 구분하여 사용하기도 한다. 자연수는 기수와 서수로 일반화될 수 있으며, 유한 정렬 집합에서는 서수와 기수가 일대일 대응된다.

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자연수

2. 역사

자연수의 개념은 인류가 사물의 개수를 세고 순서를 나타내는 과정에서 자연스럽게 발생하였다. 손가락 셈이나 눈금 표시와 같이, 각 객체에 대응하는 표시를 하는 방법은 자연수를 나타내는 원시적인 방법이었다.

추상화의 첫 번째 주요 발전은 숫자를 나타내기 위해 숫자를 사용하는 것이었다. 고대 이집트인들은 1, 10, 그리고 10의 거듭제곱을 100만 이상까지 나타내는 독특한 상형 문자를 사용하여 강력한 숫자 체계를 개발했다.^[10] 바빌로니아인들은 1과 10의 숫자를 기반으로 하는 자리 값 시스템을 사용했으며, 밑이 60이었다.^[10]

0의 개념은 이후에 발전하였다. 바빌로니아인들은 기원전 700년경부터 다른 숫자 내에서 자리값 표기법에서 0 자릿수를 사용하기 시작했다.^[11] 올멕과 마야 문명은 기원전 1세기경부터 0을 별도의 숫자로 사용했지만, 메소아메리카를 넘어 확산되지는 않았다.^[12]^[13] 현대 시대에 숫자 0을 사용한 것은 628년 인도의 수학자 브라마굽타에서 시작되었다.

숫자를 추상적인 개념으로 체계적으로 연구한 것은 고대 그리스 철학자 피타고라스와 아르키메데스에 의해 이루어졌다. 일부 그리스 수학자들은 숫자 1을 다른 숫자와 다르게 취급하거나, 숫자로 취급하지 않기도 했다. 예를 들어 유클리드는 단위를 정의하고, 그 다음에는 여러 단위로 숫자를 정의했으므로, 그의 정의에 따르면 단위는 숫자가 아니며 고유한 숫자는 없다고 보았다.^[16]

19세기에는 자연수의 집합론적인 정의가 내려졌다.

3. 정의

현대 수학에서 자연수는 보통 집합론을 사용하여 정의된다. 가장 널리 사용되는 정의는 폰 노이만의 정의로, 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

0을 공집합 {}으로 정의한다.
모든 집합 a의 ''후계자'' S(a)를 a ∪ {a}로 정의한다.
무한 공리에 의해, 0을 포함하고 후계자 함수에 대해 닫혀 있는 집합이 존재한다. 이러한 집합을 ''귀납적''이라고 한다. 모든 귀납적 집합의 교집합은 여전히 귀납적 집합이다.
이 교집합이 ''자연수'' 집합이다.

이 정의에 따르면, 각 자연수는 그보다 작은 모든 자연수의 집합과 같다. 예를 들어:

0 = {}
1 = {0} = {}
2 = {0, 1} = { {}, {} }
3 = {0, 1, 2} = { {}, {}, { {}, {} } }
n = {0, 1, ..., n-1}

이 정의를 사용하면, 자연수 n이 주어졌을 때, "집합 S는 n개의 원소를 갖는다"는 문장은 "n에서 S로의 전단사가 존재한다"로 공식적으로 정의될 수 있다. 또한, n ≤ m은 n이 m의 부분 집합일 경우에만 해당한다. 즉, 집합 포함 관계는 자연수에 대한 전순서를 정의한다.

에른스트 체르멜로는 0을 공집합으로 정의하고 S(a) = {a}로 정의하는 구성을 제시하기도 했지만, 현재는 역사적인 관심사로만 다루어진다.^[58]

3. 1. 페아노 공리계

페아노 공리계는 자연수를 정의하는 방법 중 하나로, 다음 다섯 가지 공리로 구성된다.^[56]

# 0은 자연수이다.

# 모든 자연수는 또한 자연수인 후속자를 갖는다.

# 0은 어떤 자연수의 후속자도 아니다.

# 만약

x

의 후속자가

y

의 후속자와 같다면,

x

는

y

와 같다.

# 귀납법 공리: 어떤 명제가 0에 대해 참이고, 그 명제가 어떤 수에 대해 참인 것이 그 수의 후속자에 대해 참임을 의미한다면, 그 명제는 모든 자연수에 대해 참이다.

이 공리들은 주세페 페아노가 제시한 원래의 공리는 아니지만, 그의 이름을 따서 명명되었다. 페아노 공리의 일부 형태는 0 대신 1을 사용한다. 일반적인 산술에서,

x

의 후속자는

x + 1

이다.

1891년 주세페 페아노는 자연수를 처음으로 엄밀하게 정의 가능한 공리로 제시하였는데, 내용은 다음과 같다.

자연수 1이 존재한다.
임의의 자연수 a에는 그 다음 수(successor)인 자연수 suc(a)가 존재한다(suc(a)는 a + 1의 의미).
서로 다른 자연수는 서로 다른 다음 수를 가진다. 즉, a ≠ b일 때 suc(a) ≠ suc(b)가 된다.(일종의 단사성)
1은 어떤 자연수의 다음 수도 아니다(1보다 앞의 자연수는 존재하지 않는다).
1이 어떤 성질을 만족하고, a가 어떤 성질을 만족하면 그 다음 수 suc(a)도 그 성질을 만족할 때, 모든 자연수는 그 성질을 만족한다.

마지막 공리는 수학적 귀납법을 정당화한다. 또한, 위의 공리에 나타나는 숫자는 1뿐이며, 자연수 1로부터 모든 자연수가 만들어진다는 것을 의미한다. 한편, 이 공리의 "1"을 "0"으로 바꾸면 자연수 0, 1, 2, 3, …을 만들어낼 수 있다.

페아노의 원전에서는 위와는 조금 다른 형식으로 공리계가 언급되었으며, 페아노 자신은 자연수 그 자체를 정의하려고 했던 것은 아니었다.

집합론에서 표준으로 되어 있는 자연수의 구성은 다음과 같다.

공집합을 0으로 정의한다.
: $0 := \emptyset = \{\}.$
임의의 집합 a의 다음 수는 a와 {a}의 합집합으로 정의된다.
: $\mathrm{suc}(a) := a \cup \{a\}.$
0을 포함하고 다음 수 함수에 대해 닫혀 있는 집합 중 하나를 M으로 한다.
자연수는 "다음 수 함수에 대해 닫혀 있고, 0을 포함하는 M의 부분집합의 교집합"으로 정의된다.

무한 집합의 공리에 의해 집합 M이 존재한다는 것을 알 수 있으며, 이와 같이 정의된 집합이 페아노 공리를 만족하는 것이 증명된다. 이때, 각각의 자연수는 그 수보다 작은 자연수 전부를 요소로 하는 수의 집합이 된다.

0 := {}
1 := suc(0) = {0} =
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, , { {}, } }

등등이다^[61]。

이와 같이 정의된 집합 n은 정확히(통상의 의미로) n개의 원소를 포함하게 된다. 또한, 이것은 유한 순서수의 구성이며, (통상의 의미로) n ≤ m이 성립하는 것과 n이 m의 부분집합인 것은 동치이다.

이상의 구성은 자연수를 나타내는 데 유용하고 편리해 보이는 정의를 선택한 하나의 결과이며, 그 외에도 자연수의 정의는 무한히 할 수 있다. 이는 페아노 공리를 만족하는 다음 수 함수 suc(a)와 최소값의 정의를 무한히 선택할 수 있기 때문이다.

예를 들어, 0 := {}, suc(a) := {a}로 정의했다면,

0 := {}
1 := {0} =
2 := {1} = }
3 := {2} =

와 같이 매우 단순한 자연수가 된다. 또한, 0 := , suc(a) := a ∪ {a}로 정의했다면,

0 :=
1 := }
2 := , } }
3 := , }, ,}} }

와 같은 다소 복잡한 자연수가 된다.

4. 성질

자연수의 집합은 가환 순서 반환을 이룬다.

4. 1. 연산

자연수 집합은 덧셈과 곱셈 연산에 대해 닫혀 있다. 즉, 두 자연수를 더하거나 곱한 결과는 항상 자연수이다.^[52]

덧셈:
모든 자연수 `a`에 대해, `a + 0 = a`
모든 자연수 `a`, `b`에 대해, `a + S(b) = S(a + b)` (여기서 `S(b)`는 `b`의 다음 수)
곱셈:
모든 자연수 `a`에 대해, `a × 0 = 0`
모든 자연수 `a`, `b`에 대해, `a × S(b) = (a × b) + a`

1을 `S(0)`으로 정의하면, `S(b) = b + 1`이 된다. 즉, `b`의 다음 수는 `b + 1`이다.

덧셈과 곱셈은 다음과 같은 성질을 만족한다.^[53]^[54]

성질	설명
결합 법칙	`(a + b) + c = a + (b + c)` `(a × b) × c = a × (b × c)`
교환 법칙	`a + b = b + a` `a × b = b × a`
분배 법칙	`a × (b + c) = (a × b) + (a × c)`
항등원	덧셈에 대한 항등원은 0 (a + 0 = a) 곱셈에 대한 항등원은 1 (a × 1 = a)

관례적으로, `a × b`는 `ab`로 축약되며, 곱셈은 덧셈보다 먼저 계산된다. 예를 들어 `a + bc`는 `a + (b × c)`를 의미한다.

4. 2. 순서 관계

자연수는 전순서로, ''a'' ≤ ''b'' 일 때, 다른 자연수 ''c''가 존재하여 ''a'' + ''c'' = ''b'' 로 정의된다. 이 순서는 산술 연산과 호환된다. 만약 ''a'', ''b'', ''c''가 자연수이고 ''a'' ≤ ''b''이면, ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''이고 ''ac'' ≤ ''bc''이다.^[51]

자연수의 중요한 특징은 정렬 집합이라는 것이다. 즉, 모든 비어 있지 않은 자연수의 집합은 최소 원소를 갖는다.

4. 3. 수학적 귀납법

페아노 공리계의 다섯 번째 공리(수학적 귀납법)는 자연수에 대한 명제를 증명하는 강력한 도구이다. 수학적 귀납법은 어떤 명제가 0에 대해 성립하고, 어떤 자연수 n에 대해 성립하면 n+1에 대해서도 성립함을 보이면 모든 자연수에 대해 그 명제가 성립함을 증명하는 방법이다.

수학적 귀납법으로 다음과 같은 명제를 증명할 수 있다.

임의의 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $n$ 은 성질 $S$ 를 만족시킨다.

여기서

S

는 주어진 성질이며, 자연수 부분 집합

S\subseteq\mathbb N

으로 간주할 수 있다. 이 명제를 증명하려면 다음 두 가지를 증명해야 한다.

$0\in S$ . 즉, 0은 이 성질을 만족시킨다.
만약 $n\in S$ 라면, $n+1\in S$ . 즉, 어떤 자연수가 이 성질을 만족시키면, 뒤따르는 자연수도 이를 만족시킨다.

자연수의 집합 위의 초한 귀납법에 따르면, 다음 한 가지를 증명하는 것으로 대신할 수도 있다.

만약 $0,1,2,\dotsc,n-1\in S$ 라면, $n\in S$ . 즉, 어떤 자연수보다 작은 자연수가 모두 이 성질을 만족시키면, 그 자연수 역시 이를 만족시킨다.

특히,

n=0

인 경우 이 조건이 뜻하는 바는 단순히

0\in S

인데, 이는 이 조건의 전제가 항상 참이기 때문이다.

4. 4. 무한 강하법

자연수의 집합은 정렬 집합이다. 즉, 공집합이 아닌 자연수 부분 집합은 항상 최소 원소를 갖는다.

자연수의 집합 위에서 무한 강하법이 성립한다. 즉, 자연수의 감소 무한 수열은 존재하지 않는다. 이는 위에서 증명한 자연수의 정렬성을 통해 엄밀하게 증명할 수 있다. 만약 자연수의 감소 무한 수열이 존재한다면, 그 수열의 항들의 집합은 자연수의 부분 집합인데, 이는 공집합이 아니면서 최소 원소를 갖지도 않으므로 모순이다. 무한 강하법을 사용하여 다음과 같은 꼴의 명제를 증명할 수 있다.

성질 $S\subseteq\mathbb N$ 을 만족시키는 자연수 $n\in\mathbb N$ 은 존재하지 않는다.

이를 증명하려면 다음을 증명하면 된다.

만약 $n\in S$ 라면, $n'\in S$ 인 자연수 $n'\in\{0,1,2,\dotsc,n-1\}$ 가 존재한다.

5. 수론적 성질

자연수는 수론적 성질을 가진다. 곱셈식 $ab=c$ 에서 $a,b$ 는 $c$ 의 약수이며, $c$ 는 $a,b$ 의 배수이다. 자연수는 항상 1과 자기 자신을 약수로 가지는데, 이들만 약수로 갖는 수를 소수, 그렇지 않은 수를 합성수라 한다. 단, 1은 소수도 합성수도 아니다.^[1] 산술의 기본 정리에 따르면, 모든 합성수는 유한 개의 소수들의 곱으로 유일하게 표현된다.^[1]

소수는 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수이며, 유클리드의 『원론』에는 소수가 무한히 존재한다는 증명이 있다.^[55] 완전수는 자기 자신을 제외한 약수의 합이 자기 자신과 같은 수이다. 짝수 완전수는 메르센 소수와 관련이 있으며, 알려진 완전수는 모두 짝수이다. 홀수 완전수는 없을 것으로 예상되나, 무한히 존재하는지와 함께 미해결 문제이다. 우애수(친화수)는 서로 다른 두 자연수 쌍으로, 자신을 제외한 약수의 합이 서로 상대방과 같아지는 수이다. 쌍둥이 소수는 차이가 2인 소수의 쌍을 말하며, "쌍둥이 소수 추측"은 아직 미해결 문제이다.

5. 1. 약수와 배수

자연수에 대한 곱셈식

ab=c

이 성립할 때,

a,b

가

c

의 약수라고 하며, 반대로

c

를

a,b

의 배수라고 한다. 항등식

1a=a

에 따라, 자연수는 항상 1과 자기 자신을 약수로 가지는데, 약수가 이들뿐인 자연수를 소수라고 하며, 그렇지 않은 자연수를 합성수라고 한다. 다만, 1은 소수도 합성수도 아니다.^[1] 산술의 기본 정리에 따르면, 모든 합성수는 유한 개의 소수들의 곱으로 표현 가능하며, 이러한 표현은 소수들을 곱하는 순서를 무시하면 유일하다.^[1]

5. 2. 소수와 합성수

소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수이다. 유클리드의 『원론』에는 소수가 무한히 존재한다는 증명이 실려있다.^[55] 작은 수부터 나열하면 다음과 같다.

:2, 3, 5, 7, 11, 13, …

산술의 기본 정리에 따르면, 모든 합성수는 유일한 소수들의 곱으로 표현될 수 있다.

5. 3. 특수한 자연수

완전수는 자기 자신을 제외한 약수의 합이 자기 자신과 같은 자연수이다. 작은 수부터 나열하면 다음과 같다.

: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, …

짝수 완전수는 메르센 소수와 깊은 관련이 있다. 알려진 완전수는 모두 짝수이며, 홀수 완전수는 존재하지 않을 것으로 예상된다. 또한, 무한히 존재할 것으로도 예상하지만, 둘 다 미해결 문제이다. 유사한 개념으로 우애수, 사교수 등이 있다.

우애수(친화수라고도 한다)는 서로 다른 두 개의 자연수 쌍으로, 자기 자신을 제외한 약수의 합이 서로 상대방과 같아지는 수를 말한다. 220과 284, 1184와 1210 등이 예시로 꼽힌다.

쌍둥이 소수는 차이가 2인 소수의 쌍을 말한다. 예를 들어 3과 5, 41과 43 등은 쌍둥이 소수이다. 쌍둥이 소수가 무한히 존재하는지에 대한 "쌍둥이 소수 추측"은 아직 해결되지 않았다. 유사한 개념으로 세 쌍둥이 소수, 사촌 소수, 섹시 소수 등이 있다.

6. 표기법

모든 집합은 표준적으로 N 또는 $\mathbb N$ 으로 표기한다.^[1]^[46] 이전에는 이 집합의 기호로 *J*를 사용하는 경우도 있었다.^[47]

자연수는 0을 포함하거나 포함하지 않을 수 있으므로, 어떤 버전을 언급하는지 아는 것이 중요할 수 있다. 이는 종종 문맥에 의해 지정되지만, 첨자 또는 위첨자를 사용하여 표기할 수도 있다.^[50]^[48]

0을 제외한 자연수: $\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1$
0을 포함한 자연수: $\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}$

또는, 자연수는 자연스럽게 정수의 부분 집합을 형성하므로(종종

\mathbb Z

로 표기), 각각 양의 정수 또는 음이 아닌 정수로 언급될 수 있다.^[49] 0이 포함되는지 여부에 대해 모호성을 없애기 위해, 전자의 경우 위첨자 "

*

" 또는 "+"를 사용하고, 후자의 경우 아래첨자(또는 위첨자) "0"을 사용하기도 한다.^[50]

:

\{1, 2, 3,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x > 0\}=\mathbb Z^+= \mathbb{Z}_{>0}

:

\{0, 1, 2,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x \ge 0\}=\mathbb Z^{+}_{0}=\mathbb{Z}_ {\ge 0}

자연수 표기법은 다음과 같이 정리할 수 있다.

구분	표기법
0을 포함하지 않는 자연수 (양의 정수)	$\mathbb{N}^*$ , $\mathbb{N}^+$ , $\mathbb{N}_1$ , $\mathbb{Z}^+$ , $\mathbb{Z}_{>0}$
0을 포함하는 자연수 (음이 아닌 정수)	$\mathbb{N}_0$ , $\mathbb{N}^0$ , $\mathbb{Z}^{+}_{0}$ , $\mathbb{Z}_{\geq0}$

7. 현대적 응용

컴퓨터 과학에서 자연수는 데이터 인덱싱, 반복문 제어, 알고리즘 복잡도 분석 등 다양한 분야에서 활용된다. 암호학에서 소수는 RSA 암호화 알고리즘과 같이 공개키 암호 시스템의 핵심적인 역할을 한다. 자연수는 이산 수학, 조합론, 그래프 이론 등 다양한 수학 분야의 기초적인 개념으로 사용된다.

참조

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