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구간의 분할

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목차

1. 개요

구간의 분할은 주어진 구간을 여러 개의 부분 구간으로 나누는 것을 의미하며, 세분, 공통 세분, 노름(메시), 태그된 분할 등의 개념을 포함한다. 분할의 노름은 부분 구간 길이의 최댓값이며, 태그된 분할은 각 부분 구간에서 점을 선택한 분할을 말한다. 이러한 분할 개념은 리만 적분, 리만-스틸체스 적분 등에서 사용되며, 분할을 세분화할수록 리만 합이 리만 적분 값에 수렴한다.

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구간의 분할

2. 분할의 정의

구간 [a, b]의 분할 에 대해, 다른 분할 가 의 모든 분점을 포함하면(다른 점이 추가되어도 좋다) 를 의 '''세분'''(refinement영어)이라고 하고, 가 보다 '''더 세밀하다'''고 한다.

2. 1. 순서 관계

구간 [a,b]의 분할 P와 Q에 대해, Q가 P의 모든 점을 포함할 때 Q를 P의 '''세분'''(refinement영어)이라 하고 Q가 P보다 섬세하다고 한다. 또 두 분할 P와 Q에 대하여 두 분할의 모든 점들로 구성된 분할을 '''공통세분'''이라 하고 P ∨ Q라 쓴다.[11] 어떤 분할이 다른 분할의 세분일 때, 더 섬세한 분할이 더 크다고 순서 관계를 정의하면 이는 부분 순서가 된다.

두 분할 P, Q에 대해, 그 '''공통 세분'''(common refinement) P ∨ Q를 P, Q의 모든 분점을 크기 순으로 재정렬하여 얻는 점열로 부여할 수 있다.

2. 2. 공통 세분

구간 [a, b]의 분할 , 가 주어졌을 때, 와 의 모든 점을 증가하는 순서로 구성하는 분할을 '''공통 세분'''이라고 하며, 로 표기한다.[1]

3. 분할의 노름(메시)

주어진 분할 ''x''0 < ''x''1 < ''x''2 < ... < ''x''''n''의 '''노름'''(norm영어) 또는 '''메시'''(mesh영어)는 각 부분구간들의 길이의 최댓값 max : ''i'' = 1, ... , ''n''이다.[12][13] 즉, 주어진 분할에서 가장 긴 부분 구간의 길이를 의미한다.[2][3]

다른 표현으로, 분할 ''x''0 < ''x''1 < ''x''2 < ... < ''x''''n''의 '''크기''' (norm) 또는 메시는, 거기에 속하는 가장 긴 소구간의 길이 max를 말한다.[7][8]

4. 태그된 분할

주어진 구간에 대해 태그된 분할(tagged partition영어)은[14] 각 부분구간에서 조건을 만족하는 점(태그)들을 선택하여 구성한 분할이다.

:

여기서 i는 선택된 점들(태그)을 나타내는 유한 수열이다.

다시 말해, 태그된 분할은 각 부분구간에 점(태그)을 하나씩 지정한 분할이며, 그 크기(노름)는 일반적인 분할과 동일하게 정의된다.

4. 1. 태그된 분할의 세분

주어진 구간의 태그된 분할(또는 점 붙임 분할)은 각 부분구간에서 점(태그)을 한 개씩 선택하여 함께 나타내는 분할이다.[14] tagged partition영어이라고도 한다.[1]

하나의 태그된 분할이 다른 태그된 분할의 세분(refinement of a partition영어)이라는 것은, 더 큰 분할이 더 작은 분할의 모든 점들과 각 부분구간에서 선택한 점(태그)들을 모두 포함하는 경우를 말한다. 이를 통해 모든 태그된 분할의 집합에 부분 순서를 정의할 수 있다.[5]

좀 더 자세히 설명하면, 구간의 두 태그된 분할 (태그 )과 (태그 )이 있을 때, 다음 조건을 만족하면 이 의 세분이라고 한다.

  • 모든 ()에 대해, 를 만족하는 정수 가 존재한다.
  • 를 만족하는 인 어떤 가 존재한다.


간단히 말해, 태그된 분할의 세분은 원래 분할에 분할점과 태그를 추가하여 더 세밀하게 만든 분할이다. (원래 있던 점이나 태그는 제거하지 않는다.)

5. 리만 합과 적분

구간의 분할은 리만 적분, 리만-스틸체스 적분, 규칙적분 등의 적분 이론에서 사용된다.

5. 1. 리만 합의 수렴

구간의 분할은 리만 적분과 리만-스틸체스 적분에서 사용된다. 주어진 구간의 분할이 더 섬세할수록 분할의 노름은 0에 가까워지고, 따라서 리만 합은 리만 적분값에 수렴한다.[15] 주어진 구간에 대해 분할의 크기를 0에 가깝게 할수록, 해당 구간에서 정의된 리만 합이 리만 적분에 가까워진다.[9]

참조

[1] 서적 A First Course in Mathematical Analysis https://books.google[...] Cambridge University Press
[2] 서적 Introduction to Calculus and Classical Analysis https://books.google[...] Springer
[3] 서적 Mathematical Analysis II https://books.google[...] Springer
[4] 서적 A Course in Calculus and Real Analysis https://books.google[...] Springer
[5] 서적 Concrete Functional Calculus https://books.google[...] Springer
[6] 서적 A First Course in Mathematical Analysis https://books.google[...] Cambridge University Press
[7] 서적 Introduction to Calculus and Classical Analysis https://books.google[...] Springer
[8] 서적 Mathematical Analysis II https://books.google[...] Springer
[9] 서적 A Course in Calculus and Real Analysis https://books.google[...] Springer
[10] 서적 Concrete Functional Calculus https://books.google[...] Springer
[11] 서적 A First Course in Mathematical Analysis https://books.google[...] Cambridge University Press
[12] 서적 Introduction to Calculus and Classical Analysis https://books.google[...] Springer
[13] 서적 Mathematical Analysis II https://books.google[...] Springer
[14] 서적 Concrete Functional Calculus https://books.google[...] Springer
[15] 서적 A Course in Calculus and Real Analysis https://books.google[...] Springer


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