귀무 가설

3. 용어

단순 가설: 모집단 분포를 완전히 명시하는 가설이다. 이러한 가설의 경우, 임의의 통계량에 대한 표본 분포는 표본 크기의 함수이다.
복합 가설: 모집단 분포를 완전히 명시하지 '않는' 가설이다.^[3] 예시: 지정된 평균과 지정되지 않은 분산을 갖는 정규 분포를 명시하는 가설.

단순/복합 구분은 네이만과 피어슨에 의해 이루어졌다.^[25]
정확 가설: 정확한 매개변수 값을 명시하는 가설이다.^[4] 예시: μ = 100. 동의어: '''점 가설'''.
부정확 가설: 매개변수 범위 또는 구간을 명시하는 가설이다. 예시: μ ≤ 100; 95 ≤ μ ≤ 105.

피셔는 검정을 위해 정확한 귀무 가설을 요구했다.

단측 가설(단측 검정을 사용하여 검정)^[15]은 다음과 같이 매개변수 값이 지정된 부정확 가설이다.

• 특정 값 이상이거나 같음.
• 특정 값 이하이거나 같음.

4. 귀무가설과 대립가설 설정

연구는 검정해야 할 가설을 필요로 하는데, 일반적으로 연구에서 검정하는 가설을 귀무가설이라 하고, 귀무가설과 반대되는 가설을 대립가설이라고 한다.^[37] 대립가설은 연구자가 연구를 통해 입증되기를 기대하는 예상이나 주장하는 내용이다.^[37]

귀무가설 및 대립가설 설정 절차는 다음과 같다.

# 귀무가설을 만든다. (기호는 ''H''₀)

#* 예시: 남성과 여성의 보수는 같다.

# 대립가설을 만든다. (기호 ''H''_a 또는 ''H''₁)

#* 예시: 남성은 여성보다 보수가 더 많다.

# 검정 통계를 만들고 측정한다.

#* 검정 통계는 랜덤 값이다.

# 의사결정을 한다.

#* ''H''₁에 대한 증거가 충분하다면 ''H''₀를 기각하고 ''H''₁을 받아들인다.

#* ''H''₁에 대한 증거가 불충분한 경우 ''H''₀를 기각하지 않는다.

귀무 가설은 측정하려는 수량이 0(무효)이라는 기본 가설이다. 일반적으로 측정하려는 수량은 두 상황 간의 차이이다. 예를 들어, 어떤 효과가 발생했거나 샘플이 서로 다른 배치에서 나왔다는 긍정적인 증거가 있는지 확인하려고 시도하는 것이다.^[5][6]

귀무 가설은 일반적으로 참일 가능성이 있는 것으로 가정한다. 이 가설이 기각되거나 배제되어야 하는지를 보여주기 위해 여러 분석을 수행할 수 있다. 예를 들어, 높은 신뢰 수준을 갖는 경우 통계적으로 유의미한 차이를 입증한다. 이는 0이 측정의 지정된 신뢰 구간의 양쪽 바깥에 있음을 보여줌으로써 입증된다.^[6]

비-귀무 가설은 저자에 따라 다음과 같은 의미를 가질 수 있다. a) 0이 아닌 값을 사용함, b) 0이 아닌 어떤 여유를 사용함, 그리고 c) "대립" 가설.^[7][8]

귀무 가설을 검정(배제 또는 배제 실패)하는 것은 두 현상 사이에 통계적으로 충분한 근거가 있어 관계가 있다고 믿을 수 있는지 (또는 없는지)에 대한 증거를 제공한다 (예: 잠재적 치료법이 어떤 방식으로든 0이 아닌 효과를 갖는지 여부). 귀무 가설 검정은 현대 과학의 실천에서 통계적 가설 검정의 중심적인 과제이다. 특정 신뢰 수준에서 귀무 가설을 배제하거나 배제하지 않기 위한 정확한 기준이 있다. 신뢰 수준은 더 많고 더 나은 데이터가 동일한 면에서 귀무 가설을 여전히 배제할 수 있을 가능성을 나타내야 한다.^[6]

귀무 가설의 개념은 통계적 추론에 대한 두 가지 접근 방식에서 다르게 사용된다. 로널드 피셔의 유의성 검정 접근 방식에서 귀무 가설은 관찰된 데이터가 귀무 가설이 참일 경우 발생할 가능성이 유의하게 낮을 경우 기각된다. 이 경우 귀무 가설은 기각되고 그 자리에 대립 가설이 받아들여진다.

제르지 네이만과 에곤 피어슨의 가설 검정 접근 방식에서 귀무 가설은 대립 가설과 대조되며, 두 가설은 특정 오류율을 가지고 데이터를 기반으로 구분된다. 이는 연구에서 답변을 공식화하는 데 사용된다.

귀무 가설 없이, 각 후보 가설에 해당하는 통계 모형을 지정하고, 가장 적절한 모형을 선택하기 위해 모형 선택 기법을 사용하여 통계적 추론을 수행할 수 있다.^[9] (가장 일반적인 선택 기술은 아카이케 정보 기준 또는 베이즈 요인에 기반한다.)

"귀무 가설"과 "대립 가설"은 통계 검정에서 사용되는 추측이다. 통계 검정은 데이터를 기반으로 결론에 도달하거나 결정을 내리기 위한 형식적 기법이다. 귀무 가설과 대립 가설은 모집단의 통계 모델에 관한 추측이며, 모집단의 표본에 기초한다. 검정은 통계적 추론의 핵심적인 요소이며, 과학 실험 데이터의 해석에 빈번하게 사용된다.

유의 검정에서 조사되는 의견을 귀무 가설이라고 부른다. 유의성 검정은 귀무 가설에 대한 반증의 강도를 검증하기 위해 설계된다. 대개 귀무 가설은 "효과가 없다" 또는 "차이가 없다"는 것을 언급한다^[30] . 기호 ''H''₀으로 표시되는 경우가 많다.

귀무 가설과 배반적인 가설을 대립 가설이라고 부르며^[30], ''H''₁ 또는 ''H''_a로 표시된다.

두 개의 무작위 표본(하나는 남성, 다른 하나는 여성)의 시험 점수를 생각해 보자. 두 그룹은 서로 다를까? 가능한 귀무 가설은 남성의 평균 점수가 여성의 평균 점수와 동일하다는 것이다.

: ''H''₀: ''μ''₁ = ''μ''₂

위 식에서,

: ''H''₀ = 귀무 가설

: ''μ''₁ = 모집단 1의 평균

: ''μ''₂ = 모집단 2의 평균

더 강력한 귀무 가설은 두 표본이 분포의 분산과 모양이 동일한 동일한 모집단에서 추출되었다는 것이다.

• 단순 가설
• : 모집단 분포를 완전히 규정하는 가설. 이러한 가설에서는 어떤 통계량의 표본 분포도 표본 크기만의 함수이다.
• 복합 가설
• : 모집단 분포를 완전히 규정하지 않는 가설^[31]。 예: 특정된 평균과 특정되지 않은 분산을 갖는 정규 분포를 규정하는 가설.

• 정확한 가설
• : 정확한 파라미터 값을 규정하는 가설^[33]。 예: 모집단 평균 μ = 100. 동의어는 '''점 가설'''。
• 부정확한 가설
• : 파라미터의 범위 또는 간격을 규정하는 가설. 예: μ ≤ 100; 95 ≤ μ ≤ 105.

• 특정 값 이상, 또는
• 특정 값 이하

5. 오류

연구에서 검정하는 가설을 귀무가설이라 하고, 귀무가설과 반대되는 가설을 대립가설이라고 한다.^[37] 귀무가설과 관련된 오류는 다음과 같다.

• 1종 오류: 귀무가설이 참인데도 기각하는 경우이다.^[38]
• 2종 오류: 귀무가설이 거짓인데도 기각하지 않는 경우이다.^[38]

6. 귀무가설 검정의 원리

귀무가설 검정은 통계적 추론에서 중요한 단계로, 관찰된 데이터가 우연에 의한 것인지 아니면 실제 효과가 있는지를 판단하는 데 사용된다.

기본적으로 귀무가설은 참으로 추정되며, 이를 기각하려면 충분한 증거가 필요하다. 예를 들어 남학생과 여학생의 성적을 비교할 때, 귀무가설은 "남학생들의 평균 성적과 여학생들의 평균 성적이 같다"는 것이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

: ''H''₀ : μ₁ = μ₂

여기서,

: ''H''₀ = 귀무가설

: μ₁ = 남학생 집단의 평균

: μ₂ = 여학생 집단의 평균

귀무가설은 두 표본이 같은 모집단에서 추출되었다고 가정하므로, 평균뿐만 아니라 분산과 분포도 같다고 가정한다.

가설 검정은 우연이나 무작위 과정만으로 결과가 발생했을 경우 데이터가 어떻게 보일지에 대한 통계 모델을 구성하는 것을 필요로 한다.^[10] 귀무 가설은 모집단에서 표본을 선택할 때 변수 간에 관계가 없다고 가정한다.^[11] 획득된 결과는 귀무가설 하의 분포와 비교되며, 획득된 결과를 찾을 가능성이 결정된다.^[10]

데이터가 귀무가설에 반하지 않는다면, 약한 결론만 내릴 수 있다. 즉, 관찰된 데이터 집합이 귀무가설에 반대하는 충분한 증거를 제공하지 못한다는 것이다.^[10]

로널드 피셔의 유의성 검정 접근 방식에서 귀무 가설은 관찰된 데이터가 귀무 가설이 참일 경우 발생할 가능성이 유의하게 낮을 경우 기각된다. 이 경우 귀무 가설은 기각되고 그 자리에 대립 가설이 받아들여진다. 데이터가 통계적으로 귀무 가설과 일치할 가능성이 있는 경우, 귀무 가설은 기각되지 않는다. 어느 경우에도 귀무 가설이나 그 대립 가설이 증명되지 않는다.^[6]

제르지 네이만과 에곤 피어슨의 가설 검정 접근 방식에서 귀무 가설은 대립 가설과 대조되며, 두 가설은 특정 오류율을 가지고 데이터를 기반으로 구분된다.

7. 귀무가설 검정의 목표

귀무 가설 검정에는 적어도 네 가지 목표가 있다.

• 기술적 귀무 가설: 통계적 가정을 검증하는 데 사용된다. 예를 들어, 데이터와 통계 모델 간의 잔차(residual)는 무작위 노이즈와 구별할 수 없다.^[9] 참이라면, 모델을 복잡하게 만들 필요가 없다.
• 과학적 귀무 가설: 이론을 직접 발전시키는 데 사용된다. 예를 들어, 우주의 각운동량은 0이다.^[9] 만약 이 가설이 틀리다면, 초기 우주 이론을 수정해야 할 수도 있다.
• 동질성의 귀무 가설: 여러 실험이 일관된 결과를 내는지 확인하는 데 사용된다. 예를 들어, 노인에 대한 약물의 효과는 일반 성인 인구의 효과와 같다.^[9] 만약 이 가설이 참이라면, 일반적인 효과에 대한 결론을 강화하고 약물 사용 권장 사항을 단순화할 수 있다.
• 두 개 이상의 대안적 치료법(예: 약물과 위약) 효과의 동일성을 주장하는 귀무 가설: 통계적 노이즈에 기반한 과학적 주장을 줄이는 데 사용된다.^[9] 이는 가장 많이 사용되는 귀무 가설 유형이며, 많은 유의성 검정 관련 설명에서 이 유형의 귀무 가설을 가정한다.

8. 귀무가설의 선택

귀무가설의 선택은 여러 요인에 따라 달라지며 복잡할 수 있다. 일반적으로 과학적 가설에서 시작하여 통계적 대립가설로 변환하고, 원하는 효과가 존재하지 않는다는 명제로 귀무가설을 설정한다.^[15] 예를 들어, 남성과 여성의 보수가 같다는 가설을 귀무가설(''H''₀)로 설정하고, 남성이 여성보다 보수가 더 많다는 가설을 대립가설(''H''_a 또는 ''H''₁)로 설정할 수 있다.

데이비드 콕스는 "주어진 문제에서 통계적 모델로의 변환이 어떻게 이루어지는지가 분석의 가장 중요한 부분인 경우가 많다"라고 언급했다.^[14]

복잡한 사례의 경우, 귀무가설의 선택은 실험의 윤리성, 실험자의 동기 등과 관련하여 중요한 철학적 문제를 제기할 수 있다.^[16] 예를 들어, 무작위 위약 대조 이중 맹검 임상 시험에서 심각한 질병에 대해 새로운 약물을 위약과 비교하는 것은 비윤리적일 수 있다. 새로운 약물을 더 오래된 의학적으로 효과적인 약물과 비교하는 것은 검정의 목표와 실험자의 동기에 관한 철학적 문제를 제기한다.

피셔는 귀무가설이 정확해야 하며, 모호함이 없어야 한다고 언급했다.^[17] 이는 귀무가설이 수치적으로 정확해야 함을 의미한다. 고전 과학에서는 일반적으로 특정 처치에 영향이 없다는 진술이며, 관찰에서는 특정 측정 변수의 값과 예측 값 사이에 차이가 없다는 것이다.

대부분의 통계학자들은 방향성을 귀무가설의 일부로, 또는 귀무가설/대립가설 쌍의 일부로 진술하는 것이 타당하다고 믿는다.^[18] 예를 들어, 새로운 처치의 모집단 평균이 기존 처치보다 개선되었다고 주장하는 경우, 단측 대립가설은 새로운 처치의 평균이 10보다 크다는 것이다. 그러나 검정 결과는 실험의 모든 결과를 설명하는 것이 아니라, 특정 목적에 맞게 조정된 단일 결과일 뿐이다.

가설의 방향성이 항상 명확한 것은 아니다. 피셔의 홍차 감별 부인 예시에서 명시적인 귀무가설은 그 부인이 그러한 능력이 없다는 것이었고, 이는 대칭 확률 분포로 이어졌다. 검정의 단측성은 단측 대립가설에서 비롯되었다.

단측 가설 사용에 관한 조언은 일관성이 없으며, 허용되는 관행은 분야에 따라 다르다.^[19] 단측 가설에 대한 가장 큰 반대는 잠재적인 주관성이다.

9. 방향성

귀무 가설(''H''₀)의 선택과 방향성 고려(단측 검정 참조)는 매우 중요하다.

동전을 던져서 공정한지(즉, 평균적으로 앞면이 나올 확률이 50%인지)에 대한 질문과 동전을 5번 던지는 실험을 생각해 보자. 여기서 고려하는 실험의 가능한 결과는 5번 모두 앞면이 나오는 것이다. 확률이 0.05의 유의 수준보다 낮은 경우, 가정한 분포에 대해 결과가 예상보다 낮다고 간주한다.

단측 검정을 암시하는 잠재적인 귀무 가설은 "이 동전은 앞면에 편향되지 않았다"이다. 이 맥락에서 "단측"이라는 용어는 임계 영역(또는 "기각 영역")이 확률 분포의 한쪽 면에만 있는 귀무 가설을 검정하는 특정 방식을 의미한다.^[15]

실제로, 공정한 동전의 경우 이 실험 결과의 확률은 1/2⁵ = 0.031이며, 동전이 뒷면에 유리하게 편향된 경우 더 낮아진다. 따라서, 관찰 결과가 귀무 가설을 유지하기에 충분히 가능성이 없으며, 검정 결과는 귀무 가설을 기각한다. 동전이 표면적으로 공정하지도 않고 뒷면에 편향되지도 않았으므로, 실험의 결론은 동전이 앞면에 편향되었다는 것이다.

또는 양측 검정을 암시하는 귀무 가설은 "이 동전은 공정하다"이다. 이 하나의 귀무 가설은 실험에서 너무 많은 뒷면 또는 너무 많은 앞면을 찾는 것으로 검사할 수 있다. 이 귀무 가설을 기각하는 경향이 있는 결과는 앞면이 많거나 뒷면이 많은 경우이며, 5번의 앞면이 나오는 실험 결과는 이러한 부류에 속하는 것으로 보인다.

그러나 동일한 종류의 5번 던지기의 확률은 이것이 앞면이든 뒷면이든, 5번 앞면이 나오는 경우의 확률의 두 배이다. 따라서, 이 양측 귀무 가설 하에서 관찰 결과는 0.063의 확률 값을 받는다. 다시 말해, 단측 검정에 사용된 것과 동일한 유의 수준(0.05)으로, 동일한 결과는 통계적으로 유의하지 않다.

따라서, 양측 귀무 가설은 이 경우 유지되며, 동전이 앞면에 편향되었다는 단측 귀무 가설로 도달한 결론을 뒷받침하지 않는다. 이 예는 통계 검정에서 얻은 결론이 귀무 및 대립 가설의 정확한 공식에 따라 달라질 수 있음을 보여준다.

10. 통계적 검정의 역사

• 19세기 말: 통계적 유의성이 정의되었다.^[23][24]
• 20세기 초: 중요한 확률 분포가 정의되었다. 고셋과 피어슨은 유의성 검정의 특정 사례에 대해 연구했다.^[23][24]
• 1925년: 피셔는 ''연구자를 위한 통계적 방법''의 초판을 출판하여 통계적 유의성 검정을 정의하고, 이를 실험 과학의 주요 분석 방법으로 만들었다.^[23][24]
• 1933년: 네이만과 피어슨은 1928년부터 10년간 출판된 일련의 논문을 통해 피셔의 검정을 개선한 통계적 가설 검정을 정의했다. 이 논문들은 관찰 데이터를 사용하여 검정할 가설로서의 ''대립 가설'' 및 H₀을 포함한 통계적 검정에 대한 많은 용어를 제공했다(H₁, H₂...는 대안).^[25]
• 1935년: 피셔는 ''실험계획법''의 초판을 출판하여 (정의가 아닌 예시를 통해) 귀무 가설을 소개하고, 실험 결과 해석의 맥락에서 유의성 검정의 근거를 신중하게 설명했다.^[26]
• 피셔와 네이만은 1962년 피셔가 사망할 때까지 서로의 경쟁적인 공식의 상대적 장점에 대해 논쟁했다. 네이만과 피어슨의 협력 관계는 직업 변화와 제2차 세계 대전으로 인해 종료되었다. 두 사람의 기여 없이 상대적으로 익명의 교과서 저자, 실험자(저널 편집자) 및 수학적 통계학자들이 이 공식들을 통합했다.^[23] 오늘날 이 분야는 네이만과 피어슨의 많은 용어와 설명력을 피셔가 제공한 과학적 철학과 계산과 결합한다. 통계적 유의미성은 많은 과학 저널에서 실험 결과의 출판에 대한 엄격하게 정의되고 강제된 기준으로 자리 잡았다.^[27]

참조

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