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추측

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목차

1. 개요

추측은 과학, 수학, 사회과학 등 다양한 분야에서 가설, 예상, 또는 미지의 문제에 대한 잠정적인 결론을 의미한다. 수학에서는 증명되지 않은 예상이 반례를 통해 부정될 수 있으며, 증명이 완료되면 정리가 된다. 과학에서는 칼 포퍼가 추측의 역할을 강조했으며, 사회과학에서도 사회 현상에 대한 추측이 이루어진다. 추측은 증명과 반증 과정을 거치며, 페르마의 마지막 정리, 4색 정리, 푸앵카레 추측, 리만 가설, P 대 NP 문제 등이 주요 사례로 꼽힌다.

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추측
수학적 추측
정의증명되지 않았지만 참으로 여겨지는 수학적 서술
관련 개념정리, 공리
예시
골드바흐 추측모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 추측
리만 가설리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 해는 실수부가 1/2이라는 추측
페르마의 마지막 정리n > 2일 때, x^n + y^n = z^n을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다는 추측 (현재는 정리로 증명됨)
쌍둥이 소수 추측쌍둥이 소수 (두 소수의 차이가 2인 소수 쌍)는 무한히 많다는 추측

2. 추측의 정의와 역할

칼 포퍼는 과학철학에서 "추측"이라는 용어 사용을 개척했다.[24] 과학에서 가설은 시험 가능한 추측을 의미하며, 추측은 가설과 관련이 있다.

2. 1. 수학에서의 추측

수학에서 추측은 증명되지 않은 명제를 의미한다. 형식 과학으로서의 수학은 '''증명 가능한''' 사실에 기반한다. 아무리 많은 예시를 통해 예상이 성립하더라도, 그것만으로는 전칭 명제를 증명할 수 없다. 반면에, 하나의 반례가 발견되면, 그 예상은 부정된다.[29]

예를 들어, 어떤 규칙에 따른 정수의 수열이 반드시 유한 항으로 끝나는지 여부인 콜라츠 추측의 경우, 1.2조 (1조가 넘는)까지의 모든 정수에 대해 확인되었다. 하지만, 광범위한 탐색 후에도 반례가 발견되지 않는다고 해서, 그것이 예상의 증명이 되는 것은 아니다. 예상이 거짓이며, 그 최소의 반례가 매우 클 가능성이 있기 때문이다.[29]

수학자는, 설령 예상이 증명되지 않았더라도, 증거에 의해 강하게 뒷받침된다고 간주하는 경우가 있다. 여기서의 증거란, 결과의 검증이나 기존 결과와의 강한 상관 관계 등이다.[29]

오류일 가능성이 없다고 표시되어야 비로소 예상은 증명되었다고 간주된다. 증명에는 다양한 방법이 있다.

경우가 유한 개밖에 없는 경우에는, 전수 조사를 통해 증명이 가능하다. 이 방법에서는, 있을 수 있는 모든 경우를 검토하고, 반례가 존재하지 않음을 보인다. 경우의 수가 매우 많은 경우, 컴퓨터에 의한 전수 조사가 필요하다. 1976년과 1997년의, 컴퓨터에 의한 사색 정리의 증명은, 처음에는 확실성이 의문시되었지만, 2005년에 정리 증명 시스템에 의한 증명이 이루어졌다.

예상이 증명되면, 그것은 더 이상 예상이 아니라 정리가 된다. 기하화 추측(푸앵카레 추측을 해결한)이나 페르마의 마지막 정리와 같은 정리도 과거에는 예상이었다.

반례에 의해 반증된 추측은 false conjecture|폴스 컨젝처영어라고도 불린다. 포르야 추측이나 오일러 추측 등이 이에 해당한다.

2. 2. 과학에서의 추측

칼 포퍼는 과학철학에서 "추측"이라는 용어 사용을 개척했다.[24] 과학에서 가설은 시험 가능한 추측을 의미하며, 추측은 가설과 관련이 있다.

3. 추측의 증명과 반증

형식 과학으로서의 수학은 '''증명 가능한''' 사실에 기반한다. 수학에서 예상은 오류일 가능성이 없다고 증명되어야 비로소 증명되었다고 간주된다.

반례를 통해 반증된 추측은 false conjecture|거짓 추측영어이라고도 불린다. 폴리아 추측이나 오일러 거듭제곱 합 추측 등이 이에 해당한다. 오일러 거듭제곱 합 추측의 경우, n=4일 때 처음 발견된 반례는 수백만 단위의 숫자였지만, 이후 최소 반례는 더 작다는 것이 밝혀졌다.

모든 추측이 참이나 거짓으로 증명되는 것은 아니다. 무한 집합의 상대적인 기수를 확인하려는 연속체 가설은 체르멜로-프렝켈 공리계에서 독립적인 것으로 밝혀졌다.

3. 1. 수학적 증명

수학에서, 아무리 많은 경우라도 보편 양화 추측을 뒷받침하는 사례만으로는 추측이 참임을 확립하기에 불충분하다. 왜냐하면 단 하나의 반례가 즉시 추측을 무너뜨릴 수 있기 때문이다. 수학 저널은 때때로 이전에 수행한 것보다 더 멀리 반례를 검색한 연구팀의 사소한 결과를 출판하기도 한다.[5] 예를 들어, 콜라츠 추측은 1.2조까지의 모든 정수에 대해 테스트되었지만, 광범위한 검색 후에도 반례를 찾지 못했다고 해서 추측이 참이라는 증거가 되는 것은 아니다. 왜냐하면 추측이 거짓일 수 있지만 최소 반례가 매우 클 수 있기 때문이다.

그럼에도 불구하고 수학자들은 아직 증명되지 않았더라도 추측이 증거에 의해 강력하게 뒷받침된다고 생각하는 경우가 많다. 그 증거는 그것의 결과의 검증 또는 알려진 결과와의 강력한 상호 연결과 같은 다양한 종류일 수 있다.[5]

추측은 거짓이 될 논리적으로 불가능하다는 것이 입증되었을 때만 증명된 것으로 간주된다. 그렇게 하는 다양한 방법이 있으며, 자세한 내용은 수학적 증명 방법을 참조하면 된다.

반례로 이어질 수 있는 유한한 수의 경우만 있을 때 적용할 수 있는 증명 방법 중 하나는 "무차별 대입"이다. 이 접근 방식에서는 가능한 모든 경우를 고려하고 반례를 제공하지 않는 것으로 나타난다. 경우에 따라 경우의 수가 상당히 많으므로 무차별 대입 증명은 실제로 모든 경우를 확인하기 위해 컴퓨터 알고리즘을 사용해야 할 수 있다. 예를 들어, 컴퓨터를 사용한 1976년 및 1997년 사색 정리에 대한 무차별 대입 증명의 유효성은 처음에는 의심스러웠지만, 결국 2005년에 정리 증명 소프트웨어에 의해 확인되었다.

추측이 증명되면 더 이상 추측이 아니라 정리가 된다. 푸앵카레 추측을 해결한 기하학 정리, 페르마의 마지막 정리 등과 같은 많은 중요한 정리들은 한때 추측이었다.

3. 2. 반례를 통한 반증

수학에서, 아무리 많은 예시로 보편 양화 추측이 성립하더라도, 그것만으로는 추측의 진실성을 확립할 수 없다. 왜냐하면 단 하나의 반례가 발견되면 즉시 추측이 무너지기 때문이다. 수학 저널은 때때로 이전에 수행한 것보다 더 멀리 반례를 검색한 연구팀의 사소한 결과를 출판하기도 한다.[5]

예를 들어, 특정 수열의 정수가 종료되는지 여부에 관한 콜라츠 추측은 1.2조까지의 모든 정수에 대해 테스트되었다. 그러나 광범위한 검색 후 반례를 찾지 못한다고 해서 추측이 참이라는 증거가 되는 것은 아니다. 왜냐하면 추측이 거짓일 수 있지만 최소 반례가 매우 클 수 있기 때문이다.[5]

반례를 통해 반증된 추측은 때때로 ''거짓 추측''이라고 불린다. (예: 폴리아 추측과 오일러 거듭제곱 합 추측)[5]

3. 3. 독립적인 추측

모든 추측이 참이나 거짓으로 증명되는 것은 아니다. 연속체 가설은 무한 집합의 상대적인 기수를 확인하려는 시도였으나, 결국 일반적으로 받아들여지는 집합론의 체르멜로-프렝켈 공리계에서 독립적인 것으로 밝혀졌다.[29] 따라서 이 명제 또는 그 부정을 일관된 방식으로 새로운 공리로 채택하는 것이 가능하다. 이는 유클리드의 평행선 공준이 기하학의 공리적 시스템에서 참 또는 거짓으로 간주될 수 있는 것과 마찬가지이다.[29]

이 경우, 만약 증명에서 이 명제를 사용한다면, 연구자들은 종종 그 가설을 ''필요로 하지 않는'' 새로운 증명을 찾는다. 예를 들어 유클리드 기하학의 명제가 중립 기하학의 공리만 사용하여, 즉 평행선 공준 없이 증명되는 것이 바람직한 것과 같은 방식이다.[29] 실제적으로 이에 대한 한 가지 주요 예외는 선택 공리인데, 대부분의 연구자들은 결과가 그것을 필요로 하는지 여부에 대해 일반적으로 걱정하지 않는다. 단, 그들이 특히 이 공리를 연구하고 있는 경우는 제외한다.[29]

4. 조건부 증명

다른 추측(예: 리만 가설)의 참 또는 거짓 여부에 따라 결론이 달라지는 증명을 '''조건부 증명'''이라고 한다. 예를 들어 리만 가설은 소수의 분포에 대한 예측을 하는 수론의 추측인데, 참이라고 가정하고 추가 증명을 개발하기도 한다.

하지만, 이러한 "증명"은 가설이 거짓으로 밝혀지면 무너지기 때문에, 추측의 진실 또는 거짓을 확인하는 것이 매우 중요하다.

5. 주요 추측 사례

5. 1. 페르마의 마지막 정리

수론에서 페르마의 마지막 정리(오래된 문헌에서는 '페르마의 추측'이라고도 함)는 an + bn = cn (a, b, c는 양의 정수, n은 2보다 큰 정수) 방정식을 만족하는 해가 없다는 정리이다.[6]

이 정리는 1637년 피에르 드 페르마가 ''산술'' 책의 여백에 "나는 이 명제에 대한 놀라운 증명을 발견했지만, 여백이 부족하여 여기에 적지는 않겠다"라고 쓴 것에서 유래한다. 358년 동안 수많은 수학자들이 이 정리를 증명하기 위해 노력했지만 실패했다. 1994년 앤드루 와일스가 이 정리를 증명하는 데 성공했고, 1995년에 그 증명이 공식적으로 출판되었다.[7] 이 문제는 19세기 대수적 수론의 발전을 이끌었고, 20세기 모듈성 정리 증명의 계기가 되었다. 페르마의 마지막 정리는 수학사에서 가장 주목할 만한 정리 중 하나이며, 증명되기 전에는 "가장 어려운 수학 문제"로 ''기네스 세계 기록''에 등재되기도 했다.

5. 2. 4색 정리

수학에서 4색 정리 또는 4색 지도 정리는 평면을 인접 지역으로 분할하여 '지도'라고 하는 도형을 만들 때, 지도의 모든 인접한 지역이 서로 다른 색을 가지도록 칠하는 데 네 가지 색깔 이상이 필요하지 않다는 것을 말한다. 두 지역이 모서리가 아닌 공통 경계를 공유하면 '인접'하다고 한다.[8] 여기서 모서리는 세 개 이상의 지역이 공유하는 점이다.

이 추측은 1852년 10월 23일에 처음 제안되었는데,[10] 프랜시스 거스리가 영국의 카운티 지도를 색칠하려다 네 가지 다른 색상만 필요하다는 것을 발견했다. 간단한 증명을 가진 오색 정리는 19세기 말에 증명되었으며, 지도에 다섯 가지 색으로 칠하는 것으로 충분하다고 명시한다;[11] 그러나 네 가지 색으로 충분하다는 것을 증명하는 것은 훨씬 더 어려웠다. 1852년에 4색 정리가 처음 언급된 이후로 수많은 잘못된 증명과 잘못된 반례가 등장했다.

4색 정리는 1976년 케네스 아펠과 볼프강 하켄에 의해 최종적으로 증명되었다. 이는 컴퓨터를 사용하여 증명된 최초의 주요 정리였다. 아펠과 하켄의 접근 방식은 4색 정리의 가장 작은 크기의 반례의 일부가 될 수 없는 1,936개의 특정 지도 세트가 있다는 것을 보여주는 것으로 시작했다(즉, 이 지도들이 나타나면 더 작은 반례를 만들 수 있다). 아펠과 하켄은 특수 목적의 컴퓨터 프로그램을 사용하여 이러한 각 지도가 이 속성을 가지고 있는지 확인했다. 또한 반례가 될 수 있는 모든 지도는 이 1,936개의 지도 중 하나와 유사한 부분을 가져야 한다. 수백 페이지의 수작업 분석을 통해 이를 보여주면서, 아펠과 하켄은 가장 작은 반례는 존재하지 않는다고 결론 내렸다. 왜냐하면 모든 반례는 이 1,936개의 지도 중 하나를 포함해야 하지만 포함하지 않기 때문이다. 이 모순은 반례가 전혀 없으며 따라서 정리가 참임을 의미한다. 처음에 그들의 증명은 컴퓨터 보조 증명이 사람이 손으로 확인할 수 없었기 때문에 수학자들에 의해 전혀 받아들여지지 않았다.[12] 그러나 그 이후로 이 증명은 더 넓은 수용을 받았지만, 의문은 여전히 남아 있다.[13]

경우가 유한 개밖에 없는 경우에는, 전수 조사를 통해 증명이 가능하다. 이 방법에서는, 있을 수 있는 모든 경우를 검토하고, 반례가 존재하지 않음을 보인다. 경우의 수가 매우 많은 경우, 컴퓨터에 의한 전수 조사가 필요하다. 1976년과 1997년의 컴퓨터에 의한 4색 정리 증명은 처음에는 확실성이 의문시되었지만, 2005년에 정리 증명 시스템에 의한 증명이 이루어졌다.

5. 3. 푸앵카레 추측

수학에서 푸앵카레 추측은 4차원 공간에서 단위 구를 경계로 하는 초구인 3-구의 특성에 관한 정리이다. 이 추측은 다음과 같다.

: 모든 단순 연결, 닫힌 3-다양체는 3-구와 위상 동형이다.

이는 3-다양체가 3-구와 호모토피 동치이면 반드시 3-구와 위상 동형이라는 의미이다.

1904년 앙리 푸앵카레가 처음 제기한 이 추측은, 국소적으로는 일반적인 3차원 공간처럼 보이지만 연결되어 있고 크기가 유한하며 경계가 없는 공간(닫힌 3-다양체)에 관한 것이다. 푸앵카레 추측은 이러한 공간에서 각 고리가 점으로 지속적으로 줄어들 수 있다면, 그 공간은 반드시 3차원 구라고 주장한다. 더 높은 차원에서는 유사한 결과가 이미 알려져 있었다.

거의 한 세기 동안 수학자들이 노력한 끝에, 그리고리 페렐만은 2002년과 2003년에 arXiv에 발표한 세 편의 논문에서 이 추측에 대한 증명을 제시했다. 이 증명은 리처드 S. 해밀턴의 리치 흐름을 사용하여 문제를 해결하려는 방법을 따랐다. 해밀턴은 이후 특이 영역이 발생할 때 제어된 방식으로 제거하는 '수술이 있는 리치 흐름'을 도입했지만, 이 방법이 3차원에서 "수렴"한다는 것을 증명할 수는 없었다.[17] 페렐만은 이 부분의 증명을 완성했다. 여러 수학자 팀이 페렐만의 증명이 정확함을 확인했다.

푸앵카레 추측은 증명되기 전까지 위상수학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나였다.

5. 4. 리만 가설

수학에서 리만이 1859년에 제안한 리만 가설은 리만 제타 함수의 비자명한 영점이 모두 실수부 1/2를 갖는다는 추측이다.[18] 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설과 같은 몇 가지 밀접하게 관련된 유사 개념에도 이 이름이 사용된다.

리만 가설은 소수의 분포에 대한 결과를 함축한다. 일부 수학자들은 적절한 일반화와 함께, 그것을 순수 수학에서 가장 중요한 미해결 문제로 간주한다.[18] 리만 가설은 골드바흐 추측과 함께 다비트 힐베르트가 제시한 23개의 미해결 문제 목록에 포함된 힐베르트의 여덟 번째 문제의 일부이며, 클레이 수학 연구소의 밀레니엄 문제 중 하나이기도 하다.

5. 5. P 대 NP 문제

P 대 NP 문제는 컴퓨터로 답을 빠르게 검증할 수 있는 모든 문제를, 컴퓨터로도 빠르게 해결할 수 있는지 묻는 문제이다. 많은 사람들은 그렇지 않을 것이라고 추측한다. 이 문제는 1956년 쿠르트 괴델이 존 폰 노이만에게 보낸 편지에서 처음 언급되었다.[19] 괴델은 어떤 NP-완전 문제를 2차 시간 또는 선형 시간 안에 풀 수 있는지 질문했다. 1971년 스티븐 쿡이 "정리 증명 절차의 복잡성"이라는 논문에서 P=NP 문제의 정확한 형태를 제시했고,[20] 이 문제는 이 분야에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나로 여겨진다.[21] 클레이 수학 연구소는 이 문제의 정확한 해답을 처음으로 제시하는 사람에게 100만달러의 상금을 주기로 한 밀레니엄 문제 중 하나로 선정했다.

6. 한국 사회와 추측

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참조

[1] 웹사이트 Definition of CONJECTURE https://www.merriam-[...] 2019-11-12
[2] 서적 Oxford Dictionary of English
[3] 서적 Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics. https://books.google[...] Oxford University Press 1995
[4] 웹사이트 Fermat's Last Theorem http://mathworld.wol[...] 2019-11-12
[5] 간행물 Logical probability and the strength of mathematical conjectures https://web.maths.un[...] 2021-06-30
[6] 서적 Number Theory and Its History https://archive.org/[...] Dover
[7] 서적 The Guinness Book of World Records Guinness Publishing Ltd.
[8] 간행물 Formal Proof—The Four-Color Theorem 2008-12
[9] 문서 The Four Color Theorem Macmillan, New York
[10] 문서 Mechanizing Proof: Computing, Risk, and Trust MIT Press
[11] 간행물 Map-Colour Theorems 1890
[12] 간행물 The Philosophical Implications of the Four-Color Problem 1980
[13] 서적 Four colors suffice : how the map problem was solved Princeton University Press
[14] 웹사이트 Triangulation and the Hauptvermutung https://www.maths.ed[...] 2019-11-12
[15] 간행물 Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct
[16] 서적 Geometric Topology in Dimensions 2 and 3 New York : Springer-Verlag
[17] 간행물 Four-manifolds with positive isotropic curvature
[18] 웹사이트 The Riemann Hypothesis – official problem description http://www.claymath.[...] 2019-11-12
[19] 문서 Gödel, von Neumann, and the P = NP problem http://ecommons.libr[...] Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science
[20] 서적 Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing
[21] 문서 The status of the P versus NP problem https://wayback.arch[...]
[22] 간행물 On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes
[23] 문서 Letter to Prof. Weil http://publications.[...]
[24] 서적 Conjectures and refutations : the growth of scientific knowledge Routledge
[25] 웹사이트 Definition of CONJECTURE https://www.merriam-[...] 2019-11-12
[26] 서적 Oxford Dictionary of English
[27] 서적 Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics. https://books.google[...] Oxford University Press 1995
[28] 웹사이트 Fermat's Last Theorem http://mathworld.wol[...] 2019-11-12
[29] 간행물 Logical probability and the strength of mathematical conjectures https://web.maths.un[...] 2021-06-30


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