균등분포 정리

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 주요 발전 과정
3. 바일의 판정법
4. 현대적 연구
- 4.1. 보편적으로 좋은 평균 수열과 나쁜 평균 수열
참조

1. 개요

균등분포 정리는 수론과 역학계에서 중요한 개념으로, 수열의 균등 분포에 대한 이론을 다룬다. 1909년에서 1910년 사이에 헤르만 바일, 바츠와프 시에르핀스키, 피어스 볼에 의해 처음 증명되었다. 이후 헤르만 바일은 제곱수 수열의 균등 분포를 증명했고, 이반 비노그라도프는 소수 수열의 균등 분포를 증명했다. 조지 비르크호프와 알렉산드르 힌친은 일반화된 등분포 정리를 증명했으며, 힌친은 특정 등식을 통해 이를 표현했다. 현대에는 조셉 M. 로젠블라트와 마테 웨이드, 엘리아스 M. 스타인과 라미 샤카르치 등이 이 정리에 대한 연구를 진행했다.

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균등분포 정리

2. 역사

헤르만 바일, 바츠와프 시에르핀스키, 피어스 볼이 1909년과 1910년에 이 정리를 처음 증명했다. 1916년 바일은 제곱수의 무리수 배수로 이루어진 수열이 균등 분포를 이룬다는 것을 증명했고, 1937년 이반 비노그라도프는 소수의 무리수 배수로 이루어진 수열이 균등 분포를 이룬다는 것을 증명했다. 비노그라도프의 연구는 골드바흐의 홀수 추측과 관련이 있다.

1931년 조지 비르크호프, 1933년 알렉산드르 힌친은 일반화된 등분포 정리를 증명했다. 1988년에는 장 부르갱이 바일과 비노그라도프 결과의 일반화를 증명했다.

2. 1. 주요 발전 과정

헤르만 바일, 바츠와프 시에르핀스키, 피어스 볼은 1909년과 1910년에 각각 균등분포 정리를 증명했다. 이 정리의 변형은 오늘날까지 연구되고 있다.

1916년, 바일은 수열 ''a'', 2²''a'', 3²''a'', ... mod 1이 단위 구간에서 균등 분포를 이룬다는 것을 증명했다. 1937년, 이반 비노그라도프는 ''p''_''n''이 ''n''번째 소수일 때, 수열 ''p''_''n'' ''a'' mod 1이 균등 분포를 이룬다는 것을 증명했다. 비노그라도프의 증명은 모든 충분히 큰 홀수는 세 개의 소수의 합이라는 골드바흐의 홀수 추측의 부산물이었다.

조지 비르크호프는 1931년에, 알렉산드르 힌친은 1933년에, 일반화된 ''x'' + ''na''가 거의 모든 ''x''에 대해 단위 구간의 임의의 르베그 가측 부분 집합에서 등분포된다는 것을 증명했다. 바일과 비노그라도프 결과에 대한 해당 일반화는 1988년 장 부르갱에 의해 증명되었다.

특히, 힌친은 다음 등식이 성립한다는 것을 보였다.

:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^nf( (x+ka) \bmod 1 ) = \int_0^1 f(y)\,dy

는 거의 모든 ''x''와 임의의 르베그 적분 가능 함수 ƒ에 대해 성립한다. 현대적 공식에서는 주어진 일반적인 수열 ''b''_''k''에 대해 다음 등식이

:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^nf( (x+b_ka) \bmod 1 ) = \int_0^1 f(y)\,dy

어떤 조건에서 성립할 수 있는지 묻는다.

주목할 만한 결과 중 하나는 수열 2^''k''''a'' mod 1이 거의 모든 무리수 ''a''에 대해 균등 분포를 이룬다는 것이다. 마찬가지로, 모든 무리수 ''a''에 대해 수열 ''b''_''k'' = 2^''k''a와 거의 모든 ''x''에 대해 합이 발산하는 함수 ƒ가 존재한다. 이러한 의미에서 이 수열은 '''보편적으로 나쁜 평균 수열'''로 간주되는 반면, ''b''_''k'' = ''k''는 후자의 단점을 갖지 않기 때문에 '''보편적으로 좋은 평균 수열'''이라고 불린다.

강력한 일반 결과는 바일의 판정법인데, 이는 등분포가 수열을 지수로 하는 지수 합에 대한 비자명한 추정을 갖는 것과 동등하다는 것을 보여준다. ''a''의 배수의 경우, 바일의 판정법은 문제를 유한 기하 급수의 합으로 축소시킨다.

3. 바일의 판정법

바일의 판정법은 등분포가 수열을 지수로 하는 지수 합에 대한 비자명한 추정을 갖는 것과 동등하다는 것을 보여준다. ''a''의 배수의 경우, 바일의 판정법은 문제를 유한 기하 급수의 합으로 축소시킨다. 푸리에 해석을 이용한 증명 방법도 존재한다.

4. 현대적 연구

조셉 M. 로젠블라트와 마테 웨이드는 시프트 맵의 균등분포 정리 일반화에 대한 에르고딕 성질을 광범위하게 조사했다. 이들은 특히 장 부르갱이 개발한 방법을 집중적으로 연구했다.

4. 1. 보편적으로 좋은 평균 수열과 나쁜 평균 수열

조지 비르크호프는 1931년에, 알렉산드르 힌친은 1933년에, 일반화된 ''x'' + ''na''가 거의 모든 ''x''에 대해 단위 구간의 임의의 르베그 가측 부분 집합에서 등분포된다는 것을 증명했다. 힌친은 다음 등식이 거의 모든 ''x''와 임의의 르베그 적분 가능 함수 ƒ에 대해 성립한다는 것을 보였다.

:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^nf( (x+ka) \bmod 1 ) = \int_0^1 f(y)\,dy

현대적 공식에서는 주어진 일반적인 수열 ''b''_''k''에 대해 다음 등식이 어떤 조건에서 성립할 수 있는지 묻는다.

:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^nf( (x+b_ka) \bmod 1 ) = \int_0^1 f(y)\,dy

주목할 만한 결과 중 하나는 수열 2^''k''''a'' mod 1이 거의 모든 무리수 ''a''에 대해 균등 분포를 이룬다는 것이다. 마찬가지로, 모든 무리수 ''a''에 대해 수열 ''b''_''k'' = 2^''k''''a''와 거의 모든 ''x''에 대해 합이 발산하는 함수 ƒ가 존재한다. 이러한 의미에서 이 수열은 '''보편적으로 나쁜 평균 수열'''로 간주되는 반면, ''b''_''k'' = ''k''는 후자의 단점을 갖지 않기 때문에 '''보편적으로 좋은 평균 수열'''이라고 불린다.

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