늘린 오각뿔

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1. 개요
2. 공식
3. 성질
4. 쌍대 다면체
5. 관련 다면체
참조

1. 개요

늘린 오각뿔은 11개의 면, 20개의 모서리, 11개의 꼭짓점을 가지는 다면체이다. 모든 면이 정다각형이고 변의 길이가 L일 때, 높이, 겉넓이, 부피를 구할 수 있다. 늘린 오각뿔의 쌍대 다면체는 11개의 면으로 이루어져 있으며, 5개의 삼각형, 1개의 오각형, 5개의 사다리꼴로 구성된다. 정오각기둥의 한 밑면에 정오각뿔을 붙이면 늘린 오각뿔이 된다.

2. 공식

모든 면이 정다각형이고 변의 길이가 $L$ 일 때, 높이( $H$ ), 겉넓이( $A$ ), 부피( $V$ )를 구하는 공식은 다음과 같다:^[2]

: $H = L\cdot \left( 1 + \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}\right) \approx L\cdot 1.525731112$

: $A = L^2 \cdot \frac{20 + 5\sqrt{3} + \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{4} \approx L^2\cdot 8.88554091$

: $V = L^3 \cdot \left( \frac{5 + \sqrt{5} + 6\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{24} \right) \approx L^3\cdot 2.021980233$

한 변의 길이를 $a$ 라고 할 때, 겉넓이와 부피는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

겉넓이: $S=}\over{4}}}a^2$
부피: $V=}\over{24}}}a^3$

3. 성질

늘린 오각뿔은 11개의 면, 20개의 모서리, 11개의 꼭짓점을 가진다.^[2] 겉넓이와 부피는 다음과 같다.

겉넓이: 한 변의 길이를 $a$ 라고 하면, $S=\frac{20+5\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a^2$
부피: 한 변의 길이를 $a$ 라고 하면, $V=\frac{5+\sqrt{5}+6\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{24}a^3$

4. 쌍대 다면체

늘린 오각뿔의 쌍대 다면체는 11개의 면을 가지며, 5개의 삼각형, 1개의 오각형, 5개의 사다리꼴로 이루어져 있다. 이는 위상적으로 존슨의 다면체와 동일하다.

쌍대 늘린 오각뿔	전개도

5. 관련 다면체

정오각기둥의 한 밑면에 정오각뿔을 붙이면 늘린 오각뿔이 된다. 정오각뿔의 밑면을 늘려 정오각기둥을 만들고, 그 위에 다시 정오각뿔을 붙이면 쌍오각뿔기둥이 된다. 정오각뿔의 밑면을 36° 비틀어 붙이면 정오각뿔반기둥이 된다. 정사각뿔기둥은 늘린 오각뿔에서 뿔의 모서리 수를 줄인 형태이고, 정삼각뿔기둥은 뿔의 모서리 수를 더 줄인 형태이다.

그림	이름	설명
	정오각기둥	정오각뿔을 제거
	정오각뿔	정오각기둥을 제거
	정사각뿔기둥	뿔의 모서리 수를 줄임
	정삼각뿔기둥	뿔의 모서리 수를 더 줄임
	쌍오각뿔기둥	정오각뿔을 추가
	정오각뿔반기둥	36° 비틀기

참조

_[1] 논문 Convex polyhedra with regular faces
_[2] 간행물 Area and volume of the Johnson solid J₉ https://www.problema[...] 2020-08-30
_[3] 논문 Convex polyhedra with regular faces

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