부피

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1. 개요

부피는 3차원 공간의 측정값으로, 물체가 차지하는 공간의 양을 나타낸다. 고대 이집트와 메소포타미아에서 부피 계산이 시작되었으며, 유클리드와 아르키메데스 등의 수학자들이 부피 계산 공식을 발전시켰다. 부피는 정육면체, 직육면체, 원기둥, 구, 원뿔 등 다양한 도형에 대해 계산할 수 있으며, 적분법을 사용하여 불규칙한 도형의 부피도 구할 수 있다. 부피의 단위로는 세제곱미터(m³)가 국제 단위계에서 사용되며, 세제곱센티미터(cm³), 리터(L) 등도 널리 사용된다. 용적은 어떤 용기가 담을 수 있는 물체의 부피를 의미하며, 밀도, 비체적, 체적 유량, 체적 열용량 등과 관련이 있다.

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부피
개요
정의	3차원 공간의 양
단위	세제곱미터
다른 단위	리터 액량 온스 갤런 쿼트 파인트 티스푼 (tsp) 액량 드램 세제곱인치 (in³) 세제곱야드 (yd³) 배럴
기호	V
기본 단위	m³
차원	L³
종류	크기 성질
세기 성질	아님
보존량	고체 및 액체의 경우 보존, 기체의 경우 아님, 플라스마
변환	보존

2. 역사

폼페이의 ''mens ponderia''에서 가져온 6개의 부피 측정기. 이는 고대 무게 및 측정 관리를 위한 시립 기관이다.

고대 시대의 부피 측정 정확도는 일반적으로 10mL 범위이다.^[4] 부피 계산에 대한 초기 증거는 고대 이집트와 메소포타미아에서 수학 문제로 등장했으며, 직육면체, 원기둥, 잘린뿔, 원뿔과 같은 간단한 도형의 부피를 근사하는 문제였다. 이 수학 문제들은 모스크바 수학 파피루스(기원전 1820년경)에 기록되었다.^[5] 라이스너 파피루스에서 고대 이집트인들은 곡물과 액체의 구체적인 부피 단위를 기록했으며, 재료 블록의 길이, 너비, 깊이 및 부피의 표도 기록했다.^[4] 이집트인들은 큐빗, 손바닥, 손가락과 같은 길이 단위를 사용하여 부피 큐빗^[4] 또는 데니^[5](1 큐빗 × 1 큐빗 × 1 큐빗), 부피 손바닥(1 큐빗 × 1 큐빗 × 1 손바닥), 부피 손가락(1 큐빗 × 1 큐빗 × 1 손가락)과 같은 부피 단위를 만들었다.^[4]

유클리드의 '원론' 마지막 세 권은 기원전 300년경에 작성되었으며, 평행육면체, 원뿔, 피라미드, 원기둥 및 구의 부피를 계산하는 정확한 공식을 자세히 설명했다. 이 공식은 도형을 더 작고 간단한 조각으로 나누어 적분의 초기 형태를 사용하여 이전의 수학자들이 결정했다.^[5] 한 세기 후, 아르키메데스는 소진법 접근 방식을 사용하여 여러 도형의 근사 부피 공식을 고안했다. 이는 유사한 도형에서 이전의 알려진 공식으로부터 해를 도출하는 것을 의미한다. 도형의 원시적인 적분은 3세기 CE의 유휘, 5세기 CE의 조충지와 조굉지 부자, 중동 및 인도에 의해 독립적으로 발견되었다.^[5]

아르키메데스는 또한 불규칙한 물체의 부피를 계산하는 방법을 고안했는데, 물체를 물속에 담그고 초기와 최종 물 부피의 차이를 측정하는 방식이었다. 물 부피의 차이가 물체의 부피이다.^[5] 널리 알려진 것과는 달리, 아르키메데스는 관련된 극도의 정밀도 때문에 금관의 부피와 그 밀도 및 순도를 찾기 위해 금관을 물에 담그지 않았을 것이다.^[6] 대신, 그는 정수압 저울의 초기 형태를 고안했을 가능성이 높다. 여기서, 금관과 비슷한 무게의 순금 덩어리가 물속에 잠긴 저울의 양쪽에 놓여지며, 아르키메데스 원리에 따라 기울어질 것이다.^[7]

유체 드램 눈금이 있는 눈금 실린더를 사용하여 부피를 측정하는 방법을 보여주는 다이어그램, 1926

중세 시대에는 세스터, 앰버, 쿰, 심 등 부피를 측정하는 많은 단위가 만들어졌다. 이러한 단위의 양이 너무 많아 영국 왕들은 이를 표준화하도록 했고, 이는 1258년 잉글랜드의 헨리 3세에 의해 제정된 빵과 맥주의 평가 법령으로 절정에 달했다. 이 법령은 무게, 길이, 부피를 표준화하고 페니, 온스, 파운드, 갤런, 부셸을 도입했다.^[4] 1618년, ''런던 약전''(의약품 복합물 카탈로그)은 로마 갤런^[8] 또는 ''콩기우스''를 부피의 기본 단위로 채택하고 약제사 무게 단위에 대한 변환 표를 제공했다.^[8] 이 시기에 부피 측정은 더욱 정교해지고 불확실성은 1mL 사이로 좁혀졌다.^[4]

17세기 초, 보나벤투라 카발리에리는 현대적 적분법의 철학을 적용하여 모든 물체의 부피를 계산했다. 그는 카발리에리 원리를 고안했는데, 이 원리는 모양을 점점 더 얇은 조각으로 나누면 결과 부피가 점점 더 정확해진다는 것이다. 이 아이디어는 피에르 드 페르마, 존 왈리스, 아이작 배로, 제임스 그레고리, 아이작 뉴턴, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 및 마리아 가에타나 아그네시에 의해 17세기와 18세기에 걸쳐 확장되어 현대적 적분법을 형성했으며, 이는 21세기에도 여전히 사용되고 있다.^[5]

1795년 4월 7일, 미터법은 프랑스 법으로 6개의 단위를 사용하여 공식적으로 정의되었다. 이 중 세 개는 부피와 관련이 있다: 장작 부피를 위한 ''스테르''(1 m³), 액체 부피를 위한 ''리터''(1 dm³), 그리고 녹는 얼음의 온도에서 1세제곱 센티미터의 물의 질량으로 정의된 ''그램''이다.^[10] 30년 후인 1824년, 영국 갤런은 약 16.7°C에서 10파운드의 물이 차지하는 부피로 정의되었다.^[5] 이 정의는 1985년 도량형법까지 더욱 정교해졌으며, 이 법은 1 영국 갤런을 정확히 4.54609 리터로 정의하며 물을 사용하지 않는다.^[11]

1960년 국제 미터 원기에서 오렌지-레드 방출선의 크립톤-86 원자로 미터를 재정의하면서 미터, 세제곱 미터, 리터는 물리적 객체와 분리되었다. 이로 인해 미터와 미터에서 파생된 부피 단위는 국제 미터 원기의 변화에 탄력적으로 대응할 수 있게 되었다.^[12] 미터의 정의는 1983년에 광속과 초 (세슘 표준에서 파생됨)를 사용하여 다시 재정의되었고, 2019년 SI 개정에서 명확성을 위해 수정되었다.^[13]

3. 공식

여러 가지 도형의 부피 공식
도형	공식	비고
정육면체	$s^3$	$s$ 는 한 변의 길이
직육면체	$lwh$	$l$ , $w$ , $h$ 는 각각 가로, 세로, 높이
원기둥	$\pi r^2h$	$r$ 와 $h$ 는 각각 원기둥의 반지름과 높이
각기둥	$Ah$	$A$ 와 $h$ 는 각각 각기둥의 밑면과 높이
구	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$r$ 는 구의 반지름
반구	$\frac{2}{3}\pi r^3$	$r$ 는 반구의 반지름
각뿔	$\frac{1}{3}Ah$	$A$ 와 $h$ 는 각각 각뿔의 밑면과 높이
원뿔	$\frac{1}{3}\pi r^2h$	$r$ 와 $h$ 는 각각 원뿔의 반지름과 높이
원환체	$2\pi^2 r^2 R$	$r$ 은 원환체 튜브의 반지름, $R$ 은 원환체의 튜브 중심부터 원환체 중심까지의 거리

정육면체, 직육면체, 원기둥, 각기둥과 같이 밑면과 높이를 가지는 도형의 부피는 밑면의 넓이에 높이를 곱하여 계산하는 것이 일반적이다.

3. 1. 정육면체

한 변의 길이가

s

인 정육면체의 부피는

s^3

이다.^[26]

정육면체의 부피
도형	공식	비고
정육면체	$s^3$	$s$ 는 한 변의 길이

3. 2. 직육면체

직육면체의 가로, 세로, 높이가 각각

l

,

w

,

h

일 때, 부피는

lwh

이다.^[26]

3. 3. 원기둥

밑면의 반지름이

r

이고 높이가

h

인 원기둥의 부피는

\pi r^2 h

이다.^[26]

단어 없는 증명으로 원뿔의 부피가 동일한 지름과 높이를 가진 원기둥 부피의 3분의 1임을 보여준다.

3. 4. 각기둥

밑면의 넓이가

A

이고 높이가

h

인 각기둥의 부피는

Ah

이다.^[26]

3. 5. 구

반지름이

r

인 구의 부피는

\frac{4}{3}\pi r^3

이다.^[26] 여기서

r

은 구의 반지름이다.

도형
공식	비고
구	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$r$ 은 구의 반지름이다.

3. 6. 반구

반지름이

r

인 반구의 부피는

\frac{2}{3}\pi r^3

이다.^[26]

3. 7. 각뿔

밑면의 넓이가

A

이고 높이가

h

인 각뿔의 부피는

\frac{1}{3}Ah

이다.

각뿔의 부피 공식
도형	공식	비고
각뿔	$\frac{1}{3}Ah$	$A$ 와 $h$ 는 각각 각뿔의 밑면과 높이이다.

3. 8. 원뿔

밑면의 반지름이

r

이고 높이가

h

인 원뿔의 부피는

\frac{1}{3}\pi r^2h

이다.^[26] 단어 없는 증명을 통해 원뿔의 부피가 동일한 지름과 높이를 가진 원기둥 부피의 3분의 1임을 알 수 있다.

3. 9. 원환체

튜브의 반지름이

r

이고 튜브 중심부터 원환체 중심까지의 거리가

R

인 원환체의 부피는

2\pi^2 r^2 R

이다.^[26]

4. 정의

3차원 공간인 유클리드 공간의 측도로서, 부피는 길이와 면적과 마찬가지로 음수 값으로 물리적으로 측정될 수 없다. 모든 연속적인 단조 함수 (순서 보존) 측도와 마찬가지로, 물체의 부피는 서로 비교될 수 있으며 따라서 정렬될 수 있다. 부피는 또한 함께 더해질 수 있고 무한정 분해될 수 있다. 후자의 속성은 카발리에리 원리와 3차원 물체의 미적분학에 필수적이다.^[14]

3차원 구조(사물 등)의 공간적인 크기를 나타내는 양을 부피라고 하지만, 엄밀성이 요구되는 수학에서는 부피의 정의에 대한 설명이 복잡하다.

부피는 3차원 공간 내의 부분 집합(즉, 3차원의 도형)에 대해 정의할 수 있다. 이 3차원 도형은 정의 함수에 의해 지정(공간상의 위치나 형태를 결정)할 수 있다. 부피는 이 정의 함수를 3차원 좌표계 전체에 걸쳐 적분하여 얻어지는 값이다.^[25] 예를 들어, 유클리드 공간에서 직교 좌표계에서의 정의 함수 ''f''(''x'',''y'',''z'')를 사용하면, 이 함수로 표현되는 3차원 도형의 부피는 삼중 적분을 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

: $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) dxdydz$

이 정의에 따라, 0차원 개념인 점이나 1차원 개념인 선, 2차원 면과 같은 차원이 3 미만인 도형의 "부피"에 대해서는 각각 이 적분 값은 0이 된다.

5. 적분 계산

f(x)와 g(x)가 x축을 중심으로 회전함 — 회전체의 부피를 나타낸 그림으로, 회전된 g(x)의 부피에서 회전된 f(x)의 부피를 뺀 값입니다.

부피 계산은 적분 미적분학의 중요한 부분이다. 그 중 하나는 같은 평면상의 선을 중심으로 평면 곡선을 회전시켜 회전체의 부피를 계산하는 것이다. 회전체의 부피를 계산하는 방법에는 와셔 방법(원판 적분법)과 원통 껍질 적분법 등이 있다.

3차원 공간에서 ''D'' 영역의 부피는 영역에 대한 상수 함수

f(x,y,z) = 1

의 삼중 적분 또는 부피 적분으로 주어지며, 일반적으로 다음과 같이 나타낸다.^[20]

\iiint_D 1 \,dx\,dy\,dz.

원통 좌표계에서 부피 적분은 다음과 같다.

\iiint_D r\,dr\,d\theta\,dz,

구면 좌표계에서 (각도에 대한 규칙으로

\theta

는 방위각이고

\varphi

는 극축에서 측정됨; 규약 참조), 부피 적분은 다음과 같다.

\iiint_D \rho^2 \sin\varphi \,d\rho \,d\theta\, d\varphi .

5. 1. 와셔 방법 (원판 적분법)

와셔 또는 원판 적분법은 회전축과 평행한 축으로 적분할 때 사용된다. 일반적인 방정식은 다음과 같다.^[19]

:

V = \pi \int_a^b \left| f(x)^2 - g(x)^2\right|\,dx

:

f(x)

와

g(x)

는 평면 곡선 경계이다.

5. 2. 원통 껍질 적분법

원통 껍질 적분법은 회전축에 수직인 축으로 적분할 때 사용된다. 일반적인 방정식은 다음과 같다.^[19]

:

V = 2\pi \int_a^b x |f(x) - g(x)|\, dx

6. 기하학적 모델링

다각형 메쉬는 다각형을 사용하여 객체의 표면을 나타내며, 볼륨 메쉬는 볼륨과 표면 속성을 명시적으로 정의한다.

7. 단위

국제 단위계(SI)에서는 부피의 단위로 세제곱미터 (m³)를 사용한다. 세제곱미터는 한자로 입방미터(立方米)라고도 하며, 줄여서 입미라고도 한다. 이 외에도 세제곱센티미터 (cm³, cc^[31]나 mL과 같음), 리터 (L, 1,000 cm³)도 실용적인 부피 단위로 자주 사용된다.

부피는 3차원 공간에서 한 변의 길이가 1인 단위 정육면체가 차지하는 공간으로 정의된다. 미터(m)를 길이 단위로 사용하면, 해당 부피 단위는 세제곱미터(m³)가 되며, 이는 SI 유도 단위이다.^[16]

부피의 미터법 단위는 미터법 접두사를 사용하여 10의 거듭제곱으로 나타낸다. 세제곱 길이 단위에 주로 사용되는 접두사는 세제곱밀리미터(mm³), 세제곱센티미터(cm³), 세제곱데시미터(dm³), 세제곱미터(m³), 세제곱킬로미터(km³)이다. 미터법에서는 리터(L)도 부피 단위로 사용하며, 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ = 0.001 m³이다.^[18] 리터 단위에 주로 사용되는 접두사는 밀리리터(mL), 센티리터(cL), 리터(L)이다.

영국식 또는 미국 관습 부피 단위도 다양하게 사용된다.^[5]

7. 1. 한국의 전통 단위

척관법에서의 부피 단위는 석, 말, 되, 홉, 재 등이 있다.^[31]

한국의 전통 부피 단위
단위	값	설명
홉	180ml	곡식이나 액체의 부피를 재는 단위
되	1.8L	홉의 10배
말	18L	홉의 100배이자, 되의 10배
섬(석)	180L	곡식의 부피를 재는 단위

8. 측정

고대 시대의 부피 측정 정확도는 일반적으로 10mL 범위였다.^[4] 부피 계산에 대한 초기 증거는 고대 이집트와 메소포타미아의 수학 문제에서 나타났으며, 직육면체, 원기둥, 잘린뿔, 원뿔 같은 도형의 부피를 근사하는 문제였다. 이러한 문제는 모스크바 수학 파피루스(기원전 1820년경)에 기록되었다.^[5] 라이스너 파피루스에서 고대 이집트인들은 곡물과 액체의 부피 단위를 기록하고, 재료 블록의 길이, 너비, 깊이 및 부피의 표를 작성했다.^[4]

유클리드의 '원론' 마지막 세 권(기원전 300년경)에는 평행육면체, 원뿔, 피라미드, 원기둥, 구의 부피를 계산하는 공식이 상세히 설명되어 있다. 이 공식은 도형을 더 작고 간단한 조각으로 나누는 적분의 초기 형태를 사용하여 이전 수학자들이 결정했다.^[5] 아르키메데스는 소진법을 사용하여 여러 도형의 근사 부피 공식을 고안했다.^[5] 그는 불규칙한 물체의 부피를 계산하는 방법도 고안했는데, 물체를 물에 담그고 초기와 최종 물 부피의 차이를 측정하는 방식이었다. 이 차이가 물체의 부피이다.^[5]

중세 시대에는 세스터, 앰버, 쿰, 심 등 부피 측정 단위가 많이 만들어졌다. 1258년 잉글랜드의 헨리 3세는 빵과 맥주의 평가 법령을 제정하여 무게, 길이, 부피를 표준화하고 페니, 온스, 파운드, 갤런, 부셸을 도입했다.^[4] 1618년, ''런던 약전''은 로마 갤런 또는 ''콩기우스''를 부피의 기본 단위로 채택하고 약제사 무게 단위에 대한 변환 표를 제공했다.^[8] 이 시기에 부피 측정은 더욱 정교해지고 불확실성은 1mL 사이로 좁혀졌다.^[4]

17세기 초, 보나벤투라 카발리에리는 카발리에리 원리를 고안했는데, 모양을 점점 더 얇은 조각으로 나누면 결과 부피가 점점 더 정확해진다는 것이다. 이 아이디어는 17세기와 18세기에 걸쳐 확장되어 현대적 적분법을 형성했으며, 이는 21세기에도 여전히 사용되고 있다.^[5]

가장 오래된 부피 측정 방법은 손 크기, 집기 등을 이용하는 등 인체를 사용하는 것이었으나, 개체차가 커서 신뢰성이 매우 떨어졌다. 이후 박 종류, 양이나 돼지의 위, 방광 등 자연물을 용기로 사용하다가, 금속공학과 유리 제조 기술이 향상되면서 표준화된 인공 용기를 사용하게 되었다.^[5] 오늘날에는 계량컵, 계량 스푼, 눈금 실린더, 피펫, 부피 플라스크 등 다양한 측정 도구가 사용된다. 공기 변위 피펫은 생물학 및 생화학에서 미세한 규모의 액체 부피를 측정하는 데 사용된다.^[15] 석유 저장 탱크는 최대 1000000oilbbl의 유체를 담을 수 있으며, 저수지와 같이 훨씬 더 큰 부피는 모양으로 모델링되고 수학을 사용하여 계산된다.^[5]

8. 1. 화학 분석에서의 측정

화학 분석에서는 메스 플라스크, 홀 피펫, 메스 피펫, 뷰렛, 메스 실린더 등의 부피 측정 기기가 사용된다.^[32] 국제 표준화 기구(ISO)는 유리제 메스 플라스크의 구조, 사용 방법 등에 대한 규격을 정하고 있다.^[32]

부피 측정 기기는 용기 전체 눈금까지 액체를 채웠을 때 눈금 값이 부피를 나타내는 '용기'(To Contain, '''TC''', Einguss|아인구스^de로 표기)와, 피펫이나 뷰렛처럼 배출 팁에서 나온 액체의 양을 부피로 나타내는 '배출 기구'(To Deliver, '''TD''', Ausguss|아우스구스^de로 표기)로 분류된다.^[32]

9. 용적(Capacity)

용적(容積) 또는 용량(容量)은 어떤 용기가 담을 수 있는 물체의 최대 부피를 의미한다. 용적의 단위는 일반적으로 부피와 동일한 것을 사용한다.^[33] 일본에서는 계량법 체계에서 "용적"이라는 용어를 사용하지 않고, 모두 "부피" 또는 "내용 부피"로 표기한다. 식품 표시 기준에서도 식품의 내용량 표시 규제에 "용적"이 아닌 "부피" 또는 "내용 부피"를 사용한다.

10. 관련 물리량

밀도는 물질의 단위 부피당 질량으로, 총 질량을 총 부피로 나눈 값이다.^[21]
비체적은 총 부피를 질량으로 나눈 값 또는 밀도의 역수이다.^[22]
체적 유량 또는 방류량은 단위 시간당 주어진 표면을 통과하는 유체의 부피이다.
체적 열용량은 물질의 열용량을 부피로 나눈 값이다.

참조

_[1] 저널 SI Units - Volume https://www.nist.gov[...] 2022-04-13
_[2] 웹사이트 IEC 60050 — Details for IEV number 102-04-40: "volume" https://www.electrop[...] 2023-09-19
_[3] 웹사이트 IEC 60050 — Details for IEV number 102-04-39: "three-dimensional domain" https://www.electrop[...] 2023-09-19
_[4] 서적 Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History Princeton University Press 2016
_[5] 서적 History and Measurement of the Base and Derived Units Springer Science+Business Media 2018
_[6] 웹사이트 The Golden Crown http://www.math.nyu.[...] Drexel University 2009-03-24
_[7] 저널 Just what did Archimedes say about buoyancy? https://aapt.scitati[...] 2004
_[8] 웹사이트 Balances, Weights and Measures https://www.rpharms.[...] 2020-02-04
_[9] 서적 Scientific Unit Conversion: A Practical Guide to Metrication Springer Science+Business Media 2012-12-06
_[10] PhD thesis A History of the Metric System of Weights and Measures, with Emphasis on Campaigns for its Adoption in Great Britain, and in The United States Prior to 1914 Indiana University
_[11] 서적 Conversion Factors Oxford University Press 1991
_[12] 서적 Physics For Science and Engineering CBS College Publishing
_[13] 웹사이트 'Mise en pratique' for the definition of the metre in the SI https://www.bipm.org[...] Consultative Committee for Length 2019-05-20
_[14] 웹사이트 Volume - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...]
_[15] 웹사이트 Use of Micropipettes http://faculty.buffa[...]
_[16] 저널 Area and Volume https://www.nist.gov[...] 2022-02-25
_[17] 서적 A Student's Guide to Dimensional Analysis Cambridge University Press 2017-03-16
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_[19] 웹사이트 Volumes by Integration https://www.rit.edu/[...] 2014-09-22
_[20] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://archive.org/[...] Brooks Cole Cengage Learning 2008
_[21] 웹사이트 Gas Density https://www.grc.nasa[...] 2021-05-07
_[22] 서적 Thermodynamics: an engineering approach https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[23] 웹사이트 体積｜算数用語集 https://www.shinko-k[...] 2023-10-20
_[24] 백과사전 体積ブリタニカ国際大百科事典小項目事典
_[25] 백과사전 体積世界大百科事典第2版
_[26] 문서 직육면체의 부피 공식
_[27] 문서 수학 연산자 설명
_[28] 문서 삼중 적분과 부피
_[29] 문서 SI 접두어와 단위
_[30] 문서 SI 기본 단위: 미터
_[31] 문서 cc 단위 설명
_[32] 간행물 유리 체적계 기본 지식 https://www.climbing[...] クライミング 2020-04-15
_[33] 문서 용적 계산
_[34] 웹사이트 계량법 https://laws.e-gov.g[...] 총무성행정관리국
_[35] 웹사이트 계량단위령 https://laws.e-gov.g[...] 총무성행정관리국
_[36] 웹사이트 食品表示基準 https://laws.e-gov.g[...] 総務省行政管理局 2016-04-17
_[37] 웹인용 Your Dictionary entry for "volume" http://www.yourdicti[...] 2010-05-01

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