달랑베르 연산자

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다른 표기법
3. 응용
- 3.1. 파동 방정식
- 3.2. 클라인-고든 방정식
4. 그린 함수
- 4.1. 지연 그린 함수
참조

1. 개요

달랑베르 연산자는 민코프스키 공간에서 정의되는 미분 연산자이며, 시간 미분과 공간 미분을 결합하여 파동 방정식을 표현하는 데 사용된다. 일반적으로 $\Box$ 기호로 표시되며, 로렌츠 불변성을 가지므로 관성 좌표계에 관계없이 유효하다. 이 연산자는 클라인-고든 방정식, 전자기학의 파동 방정식, 그리고 일반적인 파동 방정식 등 다양한 물리적 현상을 묘사하는 데 응용된다. 또한, 달랑베르 연산자에 대한 그린 함수는 파동의 전파를 분석하는 데 중요한 역할을 한다.

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달랑베르 연산자
일반 정보
학문 분야	수학, 물리학
종류	미분 연산자
기호	□, ∂²
정의
정의	$\displaystyle \square = {\partial^2 \over \partial t^2} - {\partial^2 \over \partial x^2} - {\partial^2 \over \partial y^2} - {\partial^2 \over \partial z^2} = {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 = \partial_t^2 - \partial_i \partial^i$
설명	여기서 ∇²는 라플라스 연산자 ∂_i∂ⁱ는 아인슈타인 표기법을 사용한 축약식.

2. 정의

민코프스키 공간 $(t,x,y,z)$ 에서 달랑베르 연산자는 다음과 같이 정의된다.

: $\begin{align}\Box & = \partial_\mu \partial^\mu = g_{\mu\nu} \partial^\nu \partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\& = {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 = {\partial^2 \over \partial t^2} - \Delta\end{align}$

여기서 $g_{\mu\nu}$ 는 민코프스키 계량으로, $g_{00} = 1$ , $g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1$ , $\mu \neq \nu$ 일 때 $g_{\mu\nu} = 0$ 이다. $\mu$ 와 $\nu$ 는 아인슈타인 표기법에 따른 총합 첨자이며, 0, 1, 2, 3 중 하나의 값을 갖는다. $\nabla^2$ 와 $\Delta$ 는 라플라스 연산자이다.

표준 좌표계 $(ct, x, y, z)$ 에서 달랑베르 연산자는 다음과 같이 표현된다.

: $\begin{align}\Box & = \frac{\partial^2}{\partial (ct)^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\& = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2} - \nabla^2=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta\end{align}$

계량 부호수가 $(- + + +)$ 인 경우, 즉 $\eta_{00} = -1,\; \eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = 1$ 인 경우 부호를 반전시켜 다음과 같이 정의한다.

: $\Box = \Delta - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 }{\partial t^2}$

자연 단위계에서는 광속 $c$ 를 1로 치환하여 사용한다.

: $\frac{1 }{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\longrightarrow \frac{\partial^2}{\partial t^2}$

파동 방정식 등에서는 광속 $c$ 대신 일반적인 파동의 전파 속도 $s$ 를 사용하기도 한다.

로렌츠 변환은 민코프스키 계량을 불변으로 유지하므로, 달랑베르 연산자는 로렌츠 스칼라이다. 따라서 앞서 사용한 좌표 표현은 모든 관성 좌표계에 대해 유효하다.

2. 1. 다른 표기법

달랑베르 연산자에는 다양한 표기법이 있다. 가장 일반적인 표기법은 시공간의 네 차원을 나타내는 '상자' 기호

\Box

와, 제곱 항을 통해 스칼라 속성을 강조하는 '상자 제곱' 기호

\Box^2

( 라플라시안과 유사)이다. 라플라시안의 삼각형 표기법에 따라, 때때로

\Delta_M

이 사용되기도 한다.

평탄한 표준 좌표에서 달랑베르 연산자를 쓰는 또 다른 방법은

\partial^2

이다. 이 표기법은 부분 미분이 일반적으로 인덱스화되는 양자장론에서 광범위하게 사용된다.

때때로 상자 기호는 4차원 레비-치비타 공변 미분을 나타내는 데 사용된다. 이때 기호

\nabla

는 공간 미분을 나타내는 데 사용되지만, 이는 좌표계에 따라 달라진다.

3. 응용

달랑베르 연산자는 클라인-고든 방정식과 파동방정식 등에 응용된다.

클라인-고든 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $(\Box + \mu^2) \psi = 0$

진공에서 전자기장의 파동방정식은 다음과 같다.

: $\Box A^{\mu} = 0$

여기서 $A^{\mu}$ 는 민코프스키 공간에서의 전자기 퍼텐셜이다.

소진동에 대한 파동 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

: $\Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0~,$

여기서 u(x, t)|u(x, t)^영어는 변위를 나타낸다.

3. 1. 파동 방정식

달랑베르 연산자를 사용하여 나타낸 파동 방정식은 다음과 같다.

진공에서 전자기장의 파동방정식

:

\Box A^{\mu} = 0

: 여기서

A^{\mu}

는 민코프스키 공간에서의 전자기 퍼텐셜이다.

소진동에 대한 파동 방정식

:

\Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0~,

: 여기서 u(x, t)|u(x, t)|^영어는 변위를 나타낸다.

클라인-고든 방정식

:

\left(\Box + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right) \psi = 0~.

3. 2. 클라인-고든 방정식

클라인-고든 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]

:

(\Box + \mu^2)\psi = 0.

여기서

\mu

는

:

\mu =\frac{mc}{\hbar}

로 정의되는 상수이다.^[1]

클라인-고든 방정식은 다음 형태를 갖는다.^[2]

:

\left(\Box + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right) \psi = 0~.

4. 그린 함수

그린 함수는 달랑베르 연산자를 적용했을 때 디랙 델타 함수가 되는 함수이다. 민코프스키 공간에서 정의되며, 시간과 공간 변수에 대한 함수로 표현된다.

달랑베르 연산자에 관한 그린 함수는 다음 방정식을 만족한다.^[2]

: $\begin{align}\Box G(x-x')& = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \delta(ct-ct') \\& =: \delta^{(4)} (x-x').\end{align}$

여기서 $\delta^{(4)} (x-x')$ 는 민코프스키 공간에서의 디랙 델타 함수이며, $x = (ct, \mathbf{x})$ 와 $x' = (ct', \mathbf{x}')$ 는 민코프스키 공간에서의 두 점이다.

이 방정식을 만족하는 특별한 해로, 과거에서 미래로 신호가 전파되는 형태를 나타내는 '''지연 그린 함수'''와, 미래에서 과거로 신호가 전파되는 형태를 나타내는 '''전진 그린 함수'''가 있다.

'''전진 그린 함수'''는 다음과 같이 표현된다.

: $\begin{align}D_{\text{adv}}(x-x') & = \frac{1}{4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}' |}\delta (ct- ct' + |\mathbf{x} - \mathbf{x} |) \\& = \frac{1}{(2\pi)^4} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ik(x-x')} }{\mathbf{k}^2 - (k_0 - i \epsilon)^2} d^{4}k\end{align}$

단,

: $\begin{align}k(x-x')&:=\mathbf{k} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{x}')- k_0(x_0 -x_0 ')\\&=\mathbf{k} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{x}')- ck_0(t -t ')\end{align}$

이다.

전진 그린 함수 $D_{\text{adv}}$ 는,

: $t-t'= -\frac{1}{c} |\mathbf{x}-\mathbf{x}'| \leq 0$

이외에는 0의 값을 갖는다.

4. 1. 지연 그린 함수

그린 함수

G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)

는 다음과 같은 식으로 정의된다.

:

\Box G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right) = \delta\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)

여기서

\delta\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)

는 다차원 디랙 델타 함수이며,

\tilde{x}

와

\tilde{x}'

는 민코프스키 공간의 두 점이다.

특별한 해로는 시간상으로만 신호 전파에 해당하는 "지연 그린 함수"가 있다.^[2]

:

G\left(\vec{r}, t\right) = \frac{1}{4\pi r} \Theta(t) \delta\left(t - \frac{r}{c}\right)

여기서

\Theta

는 헤비사이드 계단 함수이다.

달랑베르 연산자에 관한 그린 함수 는 다음 방정식을 만족하는 것으로 정의된다.

:

\begin{align}\Box G(x-x')& = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \delta(ct-ct') \\& =: \delta^{(4)} (x-x').\end{align}

여기서

\delta^{(4)} (x-x')

는 민코프스키 공간에서의 디랙 델타 함수이며,

x = (ct, \mathbf{x})

와

x' = (ct', \mathbf{x}')

는 민코프스키 공간에서의 두 점이다.

위 식을 만족하는 그린 함수로서, '''지연 그린 함수'''

:

\begin{align}D_{\text{ret}}(x-x') & = \frac{1}{4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{x}' |}\delta (ct- ct' - |\mathbf{x} - \mathbf{x} |) \\& = \frac{1}{(2\pi)^4} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{ e^{ik(x-x')} }{\mathbf{k}^2 - (k_0 + i \epsilon)^2} d^{4}k\end{align}

을 취할 수 있다.

:

\begin{align}k(x-x')&:=\mathbf{k} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{x}')- k_0(x_0 -x_0 ')\\&=\mathbf{k} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{x}')- ck_0(t -t ')\end{align}

이다.

지연 그린 함수

D_{\text{ret}}

는,

:

t-t'= \frac{1}{c} |\mathbf{x}-\mathbf{x}'| \geq 0

이외에는 0의 값을 갖는 성질을 갖는다.

참조

_[1] 서적 Theoretische Physik https://www.worldcat[...] 2015
_[2] 웹사이트 The causal Green's function for the wave equation https://web.archive.[...] 2013-01-02

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