그린 함수

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1. 개요

그린 함수는 선형 미분 연산자 L에 대해 L G(x, s) = δ(x - s)를 만족하는 함수이며, 미분 방정식을 푸는 데 사용되는 중요한 수학적 도구이다. 그린 함수는 선형 미분 방정식의 해를 구하는 데 활용되며, 특히 비제차 경계값 문제를 해결하는 데 유용하다. 양자역학, 전자기학, 유체역학 등 다양한 분야에서 응용되며, 그린 연산자와 립만-슈윙거 방정식, 섭동론 등과 밀접한 관련을 맺고 있다.

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그린 함수
일반 정보
선형 시불변 시스템에 대한 임펄스 응답 그래프
주제	신호 처리, 시스템 이론
정의	이상적인 임펄스에 대한 시스템의 응답
기호	h(t)
관련 개념	전달 함수, 컨볼루션, 그린 함수
수학적 표현
시간 영역	h(t) = L {δ(t)}
주파수 영역	H(ω) = ∫ h(t)e^(-jωt) dt
응용
사용 분야	음향학 제어 시스템 통신 시스템

2. 정의와 기본 원리

그린 함수는 선형 미분 연산자 L과 디랙 델타 함수의 관계를 이용하여 정의된다. 선형 미분 연산자 $L=L(x)$ 와 함수 $f(x)$ 가 정의되어 있을 때, $L u(x) = f(x)$ 를 만족하는 $u(x)$ 를 찾는 문제를 풀 때 그린 함수 해법을 사용할 수 있다.^[6]

만약 $L$ 의 커널이 자명하지 않다면, 그린 함수는 유일하지 않다. 하지만 실제로, 대칭성, 경계 조건, 그리고/또는 기타 외부적으로 부과된 기준들의 조합은 유일한 그린 함수를 제공한다.

그린 함수는 만족하는 경계 조건의 유형에 따라 분류될 수 있으며, 이는 그린 함수 번호로 나타낸다. 또한, 그린 함수는 일반적으로 실변수의 함수가 아닌 분포이다.

그린 함수는 파동 방정식과 확산 방정식을 푸는 데 유용한 도구이다. 양자역학에서 해밀턴의 그린 함수는 상태 밀도 개념과 중요한 연관성을 갖는 핵심 개념이다.

물리학에서 사용되는 그린 함수는 보통 반대 부호로 정의된다. 즉,

: $L G(x,s) = \delta(x-s)\,$

이 정의는 디랙 델타 함수의 짝수성으로 인해 그린 함수의 어떤 속성도 크게 변경하지 않는다.

만약 연산자가 평행 이동 불변인 경우, 즉 $L$ 이 $x$ 에 관하여 상수 계수를 가지는 경우, 그린 함수는 컨볼루션 커널로 간주될 수 있으며, 즉,

: $G(x,s) = G(x-s)\,.$

이 경우, 그린 함수는 선형 시불변 시스템 이론의 임펄스 응답과 동일하다.

2. 1. 선형 미분 연산자와 디랙 델타 함수

선형 미분 연산자

L(x)

와 함수

f(x)

가 정의되어 있을 때, 다음 미분 방정식을 생각한다.

:

L u(x) = f(x)

f(x) \ne 0

이면 비제차 상미분 방정식이 되어 풀기가 어려워진다. 이때 그린 함수를 이용하면 해를 비교적 쉽게 구할 수 있다.

그린 함수

G(x,s)

는 다음 방정식을 만족한다.^[6]

:

L G(x,s) = \delta(x-s)

여기서

\delta(x-s)

는 디랙 델타 함수이다.

위 식 양변에

f(s)

를 곱하고 적분하면 다음과 같다.

:

\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s) f(s) ds = f(x) = L u(x)

L

은

x

에만 작용하는 선형 연산자이므로 적분 밖으로 정리하면 다음과 같다.

:

L \int G(x,s) f(s) ds = L u(x)

따라서, 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

:

u(x) = \int G(x,s) f(s) ds

즉, 주어진 선형 미분 연산자 L에 대해, 그린 함수 G(x, s)는 L G(x, s) = δ(x - s)를 만족한다.

2. 2. 그린 함수를 이용한 미분 방정식 해법

선형 미분 연산자

L=L(x)

와 함수

f(x)

가 정의되어 있을 때, 다음 미분방정식을 만족하는

u(x)

를 찾는 문제를 생각해 보자.

:

L u(x) = f(x) \qquad\qquad---\mbox{ (1)}

f(x)=0

이면 제차 상미분 방정식이 되어 해를 구하기 비교적 쉽지만,

f(x)\ne0

이면 비제차 상미분 방정식이 되므로 풀기가 어려워진다. 이때 그린 함수를 이용하면 해를 비교적 간단하게 구할 수 있다.

디랙 델타 함수

\delta

를 이용하여 다음과 같은 성질을 가진 그린 함수

G(x,s)

를 정의한다.

:

L G(x,s) = \delta(x-s) \qquad\qquad---\mbox{ (2)}

식 (2)의 양변에

f(s)

를 곱하고 적분하면 다음과 같다.

:

\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s) f(s) ds =f(x) = L u(x) \qquad---\mbox{ (3)}

L

은

x

에만 작용하는 선형연산자이므로 적분 밖으로 정리하면 다음과 같다.

:

L \int G(x,s) f(s) ds = L u(x) \qquad---\mbox{ (4)}

따라서 미분방정식의 해는 다음과 같이 표현된다.

:

u(x) = \int G(x,s) f(s) ds

이와 같이 해 u(x)를 구하는 방법을 미분방정식의 그린 함수 해법이라고 한다. 즉, 선형 미분 방정식의 해는 그린 함수와 소스 항의 적분으로 표현될 수 있다.

이것은 디랙 델타 함수 기저에 따른

f

의 전개로 생각할 수 있다. 다시 말해,

f

를

\delta(x - s)

에 대해 투영하고 각 사영에 대한 해를 중첩하는 것이다. 이러한 적분 방정식은 프레드홀름 적분 방정식으로 알려져 있으며, 그 연구는 프레드홀름 이론을 구성한다.

3. 그린 함수의 성질과 유형

그린 함수는 선형 연산자로 표현되는 미분 방정식을 푸는 데 사용되는 특별한 함수이다. 선형대수에서 연립 방정식의 해를 구하기 위해 역행렬을 사용하는 것처럼, 미분 방정식에서는 그린 연산자를 통해 해를 구할 수 있다. 이 그린 연산자를 행렬 표시했을 때 나타나는 행렬 요소를 그린 함수라고 부른다.

그린 함수를 추상적인 연산자로 다루면 다음과 같은 이점이 있다.

미분 연산자뿐만 아니라 이차 양자화와 같은 추상적인 연산자를 사용하는 이론에도 적용할 수 있다. 예를 들어, 정상 상태의 슈뢰딩거 방정식에서 해밀토니안을 이차 양자화 연산자로 생각할 수 있다.
복잡한 관계식을 간결하게 표현하고, 일반적인 성질에 대한 논의를 쉽게 할 수 있다.

예를 들어, 방정식 $(-\hat{H}_0 + E) | \phi \rangle = 0$의 그린 연산자 $\hat{G}^0$가 만족해야 하는 방정식은 $(-\hat{H}_0 + E) \hat{G}^0 = -1$이다. 이를 형식적으로 풀면 $\hat{G}^0 = - \frac{1}{E - \hat{H}_0}$이다.

이 그린 연산자를 구체적으로 계산하기 위해 $\hat{H}_0$의 고유 벡터를 사용하여 전개하면 다음과 같다.

:

\hat{G}_\pm^0 = \sum_n \frac{1}{E_0 -E \pm i \epsilon} |\phi_n \rangle \langle \phi_n |

여기서 $E = E_0$일 때 발생하는 발산을 피하기 위해 분모를 약간 허수 축 방향으로 이동시킨다.

$\hat{H}_0 = -\Delta$인 경우, 그린 함수의 행렬 요소는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

G_\pm^0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}')= \langle \boldsymbol{r} |\hat{G}_\pm^0 |\boldsymbol{r}' \rangle= \frac{1}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} e^{\pm ik|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}

여기서 $G_+^0$은 바깥쪽으로 향하는, $G_-^0$는 안쪽으로 향하는 구면파이며, 파동이 $\boldsymbol{r'}$에서 $\boldsymbol{r}$로 전파되는 모습을 나타낸다.

섭동론에서 그린 함수는 다음과 같이 정의된다. 계의 해밀토니안 $\hat{H}$가 무섭동항 $\hat{H}_0$과 섭동항 $\hat{V}$의 합으로 주어졌다고 할 때 ($\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V}$), 무섭동 해밀토니안 $\hat{H}_0$에 대해 고유치 방정식 $\hat{H}_0 \phi_i^{(0)} = E^{(0)}_i \phi_i^{(0)}$을 만족한다. $\omega - \hat{H}_0$을 미분 연산자로 생각하면 비섭동 그린 함수 $G^{(0)}(\omega)$는 다음과 같이 정의된다.

:

(\omega - \hat{H}_0) G^{(0)}(\omega) = -1

여기서 델타 함수 $\delta(x-x')$는 형식적으로 1로 한다.

섭동 해밀토니안 $\hat{V}$로 전개하면,

:

\begin{align}G(\omega) &= G^{(0)}(\omega) + G^{(0)}(\omega) \hat{V} G^{(0)}(\omega) + G^{(0)}(\omega) \hat{V} G^{(0)}(\omega) \hat{V} G^{(0)}(\omega) + \dotsb \\&= G^{(0)}(\omega) + G^{(0)}(\omega) \hat{V} G(\omega)\end{align}

이 식의 양변에 $\omega - \hat{H}_0$을 작용시켜 변형하면 섭동 그린 함수는 다음 관계를 만족한다.

:

(\omega - \hat{H}_0 - \hat{V}) G(\omega) = -1

또한, 이 섭동 그린 함수가 만족하는 관계식은 $\hat{H}_0 + \hat{V}) \psi_i = E_i \psi_i$에 대응하고 있다.

그린 함수는 균일 방정식의 임의의 해를 더해도 여전히 그린 함수가 되므로 유일하지 않다. 따라서, 어떤 경우에는 주어진 조건에 따라 0이 아닌 구간이 달라지는 지연 그린 함수와 선행 그린 함수를 찾을 수 있다. 지연 그린 함수는 과거의 근원에만 의존하여 인과율적이며, 선행 그린 함수는 미래의 근원에만 의존하여 비인과율적이다. 이러한 특성은 비균일 전자기파 방정식의 해를 분석하는 데 유용하게 사용된다.

3. 1. 대칭성

많은 경우, 그린 함수는 대칭성, 즉

G(x,s) = G(s,x)

를 만족한다. 이는 물리적 시스템에서 상호작용의 대칭성을 반영하는 경우가 많다.^[1]

3. 2. 경계 조건

G(x,s)

는 다음 조건을 만족하는 그린 함수이다.

1.

G(x,s)

는

x

와

s

에서 연속이다.

2.

x \ne s

에 대하여

LG(x,s) = 0

이다.

3.

s \ne 0

에 대하여

\mathbf{D}G(x,s) = \mathbf{0}

이다.

4. 도함수 "점프":

G'(s_{0+},s) - G'(s_{0-},s) = 1 / p(s)

이다.

5. 대칭성:

G(x,s) = G(s,x)

이다.

편미분 방정식의 (초깃값) 경곗값 문제를 예로 들어보자.

:

\begin{align}\mathrm{L}y(\boldsymbol{x}) &= -f(\boldsymbol{x}) & \boldsymbol{x} &\in \Omega \\y(\boldsymbol{x}) &= \bar{y_1} & \boldsymbol{x} &\in \Gamma_1 \\\frac{\partial y(\boldsymbol{x})}{\partial n} &= \bar{y_2} & \boldsymbol{x} &\in \Gamma_2\end{align}

여기서,

\mathrm{L}

는 미분 연산자,

\Omega

는 영역이며, 영역의 경계

\Gamma

는,

\bar{y_1}

가 규정되어 있는 경계

\Gamma_1

과,

\partial y/\partial n

가 규정되어 있는 경계

\Gamma_2

로 이루어져 있으며,

\Gamma_1\cup \Gamma_2 = \Gamma

,

\Gamma_1\cap \Gamma_2 = \phi

이다. 또한,

n

은 경계에서의 외향 법선 방향을 나타낸다.

위 문제에 대한 그린 함수

G( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x'})

란 다음 조건을 만족하는 함수를 말한다.

:

\begin{align}\mathrm{L}G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}') &= -\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}') & \boldsymbol{x} &\in \Omega \\G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}') &= 0 & \boldsymbol{x} &\in \Gamma_1 \\\frac{\partial G (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}')}{\partial n} &= 0 & \boldsymbol{x} &\in \Gamma_2\end{align}

여기서, '''''x'''′''는 소스점의 위치를 나타낸다.

무한 영역에서의 그린 함수를 '''기본 해'''라고 한다.

경계가 단순하지 않은 경우(무한 영역, 반무한 영역, 무한 평판 영역 등)에는 그린 함수를 해석적으로 구하는 것은 매우 어렵다.

3. 3. 지연 그린 함수와 선행 그린 함수

그린 함수는 균일 방정식의 임의의 해를 하나의 그린 함수에 더하면 또 다른 그린 함수가 되기 때문에 반드시 유일하지는 않다. 따라서 균일 방정식에 자명하지 않은 해가 존재하면 여러 그린 함수가 존재한다. 어떤 경우에는

s \leq x

에 대해서만 0이 아닌 그린 함수를 찾을 수 있는데, 이를 지연 그린 함수라고 하고,

s \geq x

에 대해서만 0이 아닌 다른 그린 함수를 찾을 수 있는데, 이를 선행 그린 함수라고 한다. 이러한 경우, 두 그린 함수의 임의의 선형 결합도 유효한 그린 함수이다. 지연과 선행이라는 용어는 변수 x가 시간에 해당될 때 특히 유용하다. 이러한 경우, 지연 그린 함수를 사용해 얻을 수 있는 해는 과거의 근원에만 의존하며 인과율적이고, 선행 그린 함수를 사용해 얻을 수 있는 해는 미래의 근원에만 의존하며 비인과율적이다. 이러한 문제에서, 인과율적 해가 물리적으로 중요한 해인 경우가 많다. 선행 및 지연 그린 함수의 사용은 비균일 전자기파 방정식의 해를 분석하는 데 특히 일반적이다.

4. 그린 함수 계산 방법

미분 연산자 $L$ 이 $L = L_1 L_2$ 로 인수분해될 수 있다면, $L$ 의 그린 함수는 $L_1$ 과 $L_2$ 의 그린 함수로부터 구성될 수 있다.

: $G(x, s) = \int G_2(x, s_1) \, G_1(s_1, s) \, ds_1.$

이 식은 $G(x, s)$ 를 $L$ 의 오른쪽 연산자 역의 표현으로 취하면 바로 얻을 수 있다. 이는 가역 선형 연산자 $C$ 가 $C = (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ 로 정의될 때 그 행렬 요소 $C_{i,j}$ 로 표현되는 것과 유사하다.

도함수의 스칼라 다항식인 미분 연산자에 대한 추가적인 항등식이 뒤따른다. 대수학의 기본 정리에 의해, $L = P_N(\partial_x)$ 에서 $\partial_x$ 가 자기 자신과 교환한다는 사실과 결합되어 다항식은 다음과 같이 인수분해될 수 있다.

: $L = \prod_{i=1}^N \left(\partial_x - z_i\right),$

여기서 $z_i$ 는 $P_N(z)$ 의 영점이다. $L G(x, s) = \delta(x - s)$ 의 푸리에 변환을 $x$ 와 $s$ 에 대해 취하면 다음을 얻는다.

: $\widehat{G}(k_x, k_s) = \frac{\delta(k_x - k_s)}{\prod_{i=1}^N (ik_x - z_i)}.$

그런 다음 분수를 부분 분수 분해를 사용하여 합으로 분해한 후 $x$ 와 $s$ 공간으로 푸리에 역변환한다. 이 과정은 그린 함수의 적분과 동일한 것들의 합을 관련시키는 항등식을 생성한다.

예를 들어, $L = \left(\partial_x + \gamma\right) \left(\partial_x + \alpha\right)^2$ 이면, 그 그린 함수의 한 형태는 다음과 같다.

: $\begin{align}G(x, s) & = \frac{1}{\left(\gamma - \alpha\right)^2}\Theta(x-s) e^{-\gamma(x-s)} - \frac{1}{\left(\gamma - \alpha\right)^2}\Theta(x-s) e^{-\alpha(x-s)} + \frac{1}{\gamma-\alpha} \Theta(x - s) \left(x - s\right) e^{-\alpha(x-s)} \\[1ex]& = \int \Theta(x - s_1) \left(x - s_1\right) e^{-\alpha(x-s_1)} \Theta(s_1 - s) e^{-\gamma (s_1 - s)} \, ds_1.\end{align}$

제시된 예는 해석적으로 다루기 쉽지만, 적분이 자명하지 않은 경우(예: $\nabla^2$ 가 다항식의 연산자인 경우) 작동하는 과정을 보여준다.

이 외에도 영상법, 변수 분리법, 라플라스 변환 등 다른 방법을 통해 그린 함수를 계산할 수 있다.^[1]

4. 1. 고유 함수 전개

미분 연산자 ''L''^영어이 완전한 고유 벡터 집합 Ψ_''n''(''x'')^영어(즉, Ψ_''n''^영어 함수 집합과 ''λ''_''n''^영어 스칼라 집합. 여기서 1=''L''Ψ_''n'' = ''λ''_''n'' Ψ_''n''^영어)을 허용한다면, 이러한 고유 벡터와 고유값으로부터 그린 함수를 구성하는 것이 가능하다.

"완전하다"는 것은 함수 집합 Ψ_''n''^영어이 다음의 완전성 관계를 만족한다는 의미이다.

:δ(x-x') = Σ(x) Ψ(x')}}

이 경우 다음이 성립한다.

:G(x, x') = Σ(x) Ψ(x')/λ}}

여기서 †^영어는 복소 켤레를 나타낸다.

이 방정식의 양변에 연산자 ''L''^영어을 적용하면, 가정했던 완전성 관계가 얻어진다.

위와 같은 형식으로 작성된 그린 함수의 일반적인 연구와 고유 벡터에 의해 형성된 함수 공간과의 관계는 프레드홀름 이론으로 알려져 있다.

그린 함수를 찾는 데에는 영상법, 변수 분리법, 라플라스 변환을 포함한 여러 가지 다른 방법이 있다.^[1]

4. 2. 푸리에 변환

푸리에 변환은 그린 함수를 계산하는 데 유용한 도구이다. 특히, 평행 이동 불변성을 가지는 연산자의 경우, 푸리에 변환을 통해 그린 함수를 비교적 쉽게 구할 수 있다.^[6]

전자기학에서의 푸아송 방정식 $\Delta \varphi(\boldsymbol{r})=-\rho(\boldsymbol{r})$의 해 $\varphi(\boldsymbol{r})$을 구하는 경우를 생각해 보자. 이 방정식의 해로서 적분 방정식 $\varphi(\boldsymbol{r})=\int G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'})\rho(\boldsymbol{r'})d\boldsymbol{r'}$을 가정하고, 푸아송 방정식에 대입하면 그린 함수 $G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'})$가 만족해야 할 식을 얻을 수 있다.

:$\Delta G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'}) = -\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'})$

이 식을 풀기 위해 양변을 푸리에 변환하면, $G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'})$의 푸리에 변환 $g(\boldsymbol{k},\boldsymbol{r'})=\frac{e^{-i\boldsymbol{k} \cdot r'}}}{\boldsymbol{k}^2}$이 얻어진다.^[6]

이것을 역 푸리에 변환하면 그린 함수 $G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'})$가 구해진다.

:$G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'})=\frac{1}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}|}$

따라서 푸아송 방정식의 해는 다음과 같이 구할 수 있다.

:$\varphi(\boldsymbol{r})=\int \frac{\rho(\boldsymbol{r'})}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}|}d\boldsymbol{r'}$

이상의 내용으로부터, 위치 $\boldsymbol{r}$의 점전하가 다른 위치 $\boldsymbol{r'}$에 만드는 정전 포텐셜을 나타낸 것이 그린 함수이며, 이것을 중첩한 것이 전하 분포 $\rho(\boldsymbol{r})$가 만드는 정전 포텐셜 $\varphi(\boldsymbol{r})$임을 알 수 있다.

5. 그린 함수의 응용

그린 함수는 다양한 분야에 널리 응용된다.

미분 방정식: 주어진 경계 조건 및 초기 조건을 만족하는 미분 방정식의 해를 구하는 데 사용된다. 선형 미분 연산자로 표현되는 미분 방정식에 대해, 그린 함수를 이용해 해를 표현할 수 있다.
양자역학: 해밀턴의 그린 함수는 상태 밀도와 밀접하게 연관되어 있다. 또한, 물리계 내 개별 상태 간 상관 함수를 나타내어, 특정 위치나 시간에서 다른 상태로 전파되는 특성을 보여준다. 이는 프로파게이터 또는 그린 함수 (다체 이론)에서 더 자세히 다룬다.
전자기학: 전위 및 전자기장 계산에 사용된다. 전하 밀도에 대한 전위의 표준 표현식을 얻을 수 있으며, 푸아송 방정식의 해를 적분 방정식 형태로 나타낼 수 있다.
파동 방정식 및 확산 방정식: 이들 방정식을 푸는 데 유용한 도구로 활용된다.^[4]

이처럼 그린 함수는 원래 미분 방정식의 경계값 문제에서 나타나는 함수이지만, 물리학, 특히 양자 물리학에서는 그 의미가 확장되어 사용된다.^[4]^[5]

5. 1. 비제차 미분 방정식 해법

선형 미분 연산자

L=L(x)

와 함수

f(x)

가 정의되어 있을 때, 다음 비제차 미분 방정식의 해를 구하는 데 그린 함수를 사용할 수 있다.

:

L u(x) = f(x) \qquad\qquad---\mbox{ (1)}

f(x)=0

이면 제차 상미분 방정식이 되어 해를 구하기 비교적 간단하지만,

f(x)\ne0

이면 비제차 상미분 방정식이 되므로 풀기가 어려워진다. 이때 그린 함수를 이용하면 이 방정식을 비교적 쉽게 풀 수 있다.

그린 함수

G(x,s)

는 다음 성질을 만족한다고 가정한다.

:

L G(x,s) = \delta(x-s) \qquad\qquad---\mbox{ (2)}

(단, 식 (2)에서

\delta

는 디랙 델타 함수)

식 (2)의 양변에

f

를 곱하고 적분하면,

:

\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s) f(s) ds \ =f(x) = L u(x) \qquad---\mbox{ (3)}

L

은

x

에만 작용하는 선형연산자이므로 적분 밖으로 정리하면

:

L \int G(x,s) f(s) ds = L u(x) \qquad---\mbox{ (4)}

따라서 미분방정식의 해는 다음과 같다.

:

u(x) = \int G(x,s) f(s) ds

이와 같이 해 u(x)를 구하는 방법을 미분방정식의 그린함수해법이라 한다.

5. 2. 경계값 문제 해결

그린 함수는 다양한 경계 조건을 가지는 경계값 문제를 해결하는 데 사용된다. 예를 들어 다음과 같은 형태의 편미분 방정식 경계값 문제를 생각해 볼 수 있다.^[3]

:

\begin{align}\mathrm{L}y(\boldsymbol{x}) &= -f(\boldsymbol{x}) & \boldsymbol{x} &\in \Omega \\y(\boldsymbol{x}) &= \bar{y_1} & \boldsymbol{x} &\in \Gamma_1 \\\frac{\partial y(\boldsymbol{x})}{\partial n} &= \bar{y_2} & \boldsymbol{x} &\in \Gamma_2\end{align}

여기서,

\mathrm{L}

는 미분 연산자,

\Omega

는 영역이며, 영역의 경계

\Gamma

는

\bar{y_1}

가 규정되어 있는 경계

\Gamma_1

과

\partial y/\partial n

가 규정되어 있는 경계

\Gamma_2

로 이루어져 있다. (

\Gamma_1\cup \Gamma_2 = \Gamma

,

\Gamma_1\cap \Gamma_2 = \phi

) 또한,

n

은 경계에서의 외향 법선 방향을 나타낸다.^[3]

위 문제에 대한 그린 함수

G( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x'})

는 다음 조건을 만족하는 함수이다.^[3]

:

\begin{align}\mathrm{L}G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}') &= -\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}') & \boldsymbol{x} &\in \Omega \\G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}') &= 0 & \boldsymbol{x} &\in \Gamma_1 \\\frac{\partial G (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}')}{\partial n} &= 0 & \boldsymbol{x} &\in \Gamma_2\end{align}

여기서, '''''x'''′''는 소스점의 위치를 나타낸다.^[3]

무한 영역에서의 그린 함수를 '''기본 해'''라고 한다. 경계가 단순하지 않은 경우(무한 영역, 반무한 영역, 무한 평판 영역 등)에는 그린 함수를 해석적으로 구하기 매우 어렵다.^[3]

선형 미분 연산자가 라플라시안 ∇²이고, 이에 대한 그린 함수

G

가 있다고 가정하면, 그린 함수의 정의는 다음과 같다.^[3]

:

L G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = \nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}').

그린의 항등식에서

\psi=G

를 대입하면 다음을 얻는다.

:

\int_V \left[ \varphi(\mathbf{x}') \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') - G(\mathbf{x},\mathbf{x}') \, {\nabla'}^2\,\varphi(\mathbf{x}')\right] d^3\mathbf{x}' = \int_S \left[\varphi(\mathbf{x}')\,{\nabla'} G(\mathbf{x},\mathbf{x}') - G(\mathbf{x},\mathbf{x}') \, {\nabla'}\varphi(\mathbf{x}')\right] \cdot d\hat\boldsymbol\sigma'.

이 식을 이용하면, 라플라스 방정식이나 푸아송 방정식을 노이만 경계 조건 또는 디리클레 경계 조건을 적용하여 풀 수 있다.

전기학에서

\varphi(\mathbf{x}')

는 전위,

\rho(\mathbf{x}')

는 전하 밀도로 해석되며, 법선 미분

\nabla\varphi(\mathbf{x}')\cdot d\hat\boldsymbol\sigma'

는 전기장의 법선 성분으로 해석된다.

디리클레 경계값 문제를 푸는 경우, 그린 함수는

\mathbf{x}

또는

\mathbf{x'}

가 경계 표면에 있을 때

G(\mathbf{x},\mathbf{x'})

가 0이 되도록 선택한다. 노이만 경계값 문제를 푸는 경우에는 그린 함수의 법선 미분 값이 경계 표면에서 0이 되도록 선택하는 것이 논리적으로 보일 수 있다. 그러나 그린 함수를 정의하는 미분 방정식에 가우스 정리를 적용하면

:

\int_S \nabla' G(\mathbf{x},\mathbf{x}') \cdot d\hat\boldsymbol\sigma'= \int_V \nabla'^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x}') \, d^3\mathbf{x}'= \int_V \delta (\mathbf{x}-\mathbf{x}')\, d^3\mathbf{x}'= 1 \,,

이므로,

G(\mathbf{x},\mathbf{x'})

의 법선 미분은 표면에서 적분하면 1이 되어야 하고, 따라서 표면에서 0이 될 수 없다.^[3]

경계 조건이 없는 경우, 라플라시안에 대한 그린 함수(세 변수 라플라스 방정식에 대한 그린 함수)는 다음과 같다.

:

G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = -\frac{1}{4 \pi \left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}.

5. 3. 양자역학

양자역학에서 그린 함수는 해밀턴의 그린 함수 형태로 나타나며, 이는 상태 밀도 개념과 중요한 관련이 있다.^[4] 물리학에서 그린 함수는 두 가지 의미로 사용되는데,^[5] 그중 하나는 양자 물리학에서 확장된 의미로 사용된다.

물리계를 구성하는 개별 상태 간의 상관 함수를 제공하며, 위치나 시간 등으로 지정된 상태에서 다른 상태로의 전달(전파) 특성을 나타낸다. 자세한 내용은 프로파게이터나 그린 함수 (다체 이론) 문서를 참조할 수 있다.

예를 들어, 다음 방정식

:

(-\hat{H}_0 + E) | \phi \rangle = 0

의 그린 연산자

\hat{G}^0

가 만족해야 하는 방정식은

:

(-\hat{H}_0 + E) \hat{G}^0 = -1

이다. 이를 형식적으로 풀면

:

\hat{G}^0 = - \frac{1}{E - \hat{H}_0}

이다. 이 그린 연산자를 구체적으로 계산하기 위해

\hat{H}_0

의 고유 벡터를 사용하여

:

\hat{G}^0 = - \sum_n \frac{1}{E - \hat{H}_0} | \phi_n \rangle \langle \phi_n | = - \sum_n \frac{1}{E - E_0} |\phi_n \rangle \langle \phi_n |

와 같이 전개한다. 단,

E = E_0

가 될 때는 발산하므로, 이 문제를 피하기 위해 분모를 약간 허수 축 방향으로 이동시킨다.

:

\hat{G}_\pm^0 = \sum_n \frac{1}{E_0 -E \pm i \epsilon} |\phi_n \rangle \langle \phi_n |

예를 들어

\hat{H}_0 = -\Delta

인 경우의 그린 연산자의 행렬 요소는, 고유값을

E = k^2

로 하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

G_\pm^0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}')= \langle \boldsymbol{r} |\hat{G}_\pm^0 |\boldsymbol{r}' \rangle= \frac{1}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} e^{\pm ik|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}

여기서

G_+^0

은 바깥쪽으로 향하는,

G_-^0

는 안쪽으로 향하는 구면파이며, 파동이

\boldsymbol{r}'

에서

\boldsymbol{r}

로 전파되는 모습을 나타낸다.

양자장론이나 물성물리에서는 슈뢰딩거 방정식에 대한 그린 함수가 아니라, 장 연산자에 대한 방정식과 관련된 것을 그린 함수라고 부르며 유효하게 사용하고 있다.^[7]

5. 4. 전자기학

전자기학에서 그린 함수는 전위, 전자기장 등을 계산하는 데 사용된다. 전기학에서 전위(φ('''x'''))는 전하 밀도(ρ('''x'''))로 해석되며, 법선 미분

\nabla\varphi(\mathbf{x}')\cdot d\hat\boldsymbol\sigma'

는 전기장의 법선 성분으로 해석된다.

경계 조건이 없을 때, 라플라시안에 대한 그린 함수(세 변수 라플라스 방정식에 대한 그린 함수)는 다음과 같다.

:

G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = -\frac{1}{4 \pi \left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}.

이를 통해 전하 밀도에 관한 전위에 대한 표준 표현식을 얻을 수 있다.

:

\varphi(\mathbf{x}) = \int_V \dfrac{\rho(\mathbf{x}')}{4 \pi \varepsilon \left|\mathbf{x} - \mathbf{x}'\right|} \, d^3\mathbf{x}' \, .

푸아송 방정식

\Delta \varphi(\boldsymbol{r})=-\rho(\boldsymbol{r})

의 해

\varphi(\boldsymbol{r})

는 적분 방정식

\varphi(\boldsymbol{r})=\int G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'})\rho(\boldsymbol{r'})d\boldsymbol{r'}

으로 나타낼 수 있다. 여기서 그린 함수

G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'})

는 다음 방정식을 만족한다.

:

\Delta G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'}) = -\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'})

이 식을 푸리에 변환과 역 푸리에 변환을 통해 풀면 그린 함수는 다음과 같다.

:

G(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r'})=\frac{1}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}|}

따라서 푸아송 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

:

\varphi(\boldsymbol{r})=\int \frac{\rho(\boldsymbol{r'})}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}|}d\boldsymbol{r'}

이는 위치 '''r'''의 점전하가 다른 위치 '''r'''′에 만드는 정전 포텐셜을 나타내는 그린 함수를 중첩하여 전하 분포 ρ('''r''')가 만드는 정전 포텐셜 φ('''r''')를 얻을 수 있음을 의미한다.

5. 5. 파동 방정식과 확산 방정식

그린 함수는 파동 방정식과 확산 방정식을 푸는 데 유용한 도구이다.^[4] 양자역학에서 해밀턴의 그린 함수는 상태 밀도 개념과 중요한 연관성을 갖는다.

5. 6. 기타 분야

그린 함수는 원래 미분 방정식의 경계값 문제에 나타나는 함수이다. 물리학에서도 미분 방정식을 풀기 위해 그린 함수를 사용하는 경우가 많지만, 양자 물리학에서는 이를 확장하여 사용하고 있다.^[4] 즉, 물리학에서 그린 함수는 다음 두 가지 의미로 다루어진다.^[5]

경계값 문제에서의 미분 방정식의 주요 해를 의미하며, 주어진 모든 경계 조건 및 초기 조건을 만족한다. 물리학에서는 미분 방정식을 직접 푸는 대신, 먼저 단순한 점원 문제의 해인 그린 함수를 구한 후, 중첩의 원리에 의해 미분 방정식의 해를 그린 함수를 사용하여 나타낸다.
어떤 물리계를 구성하는 개개의 상태 간의 상관 함수를 제공하는 함수로 사용되며, 위치나 시간 등으로 지정된 어떤 상태에서 다른 상태로의 전달(전파)의 특성을 나타낸다. 자세한 내용은 프로파게이터나 그린 함수 (다체 이론)을 참조.

6. 한국에서의 그린 함수 연구 및 응용

한국에서는 그린 함수를 활용한 다양한 연구가 활발하게 진행되고 있다.

7. 추가 논의: 그린 연산자와 형식론

그린 함수는 원래 미분 방정식의 경계값 문제에 나타나는 함수이다. 물리학에서도 미분 방정식을 풀기 위해 그린 함수를 사용하는 경우가 많지만, 양자 물리학에서는 이를 확장하여 사용하고 있다^[4]. 즉, 물리학에서 그린 함수는 두 가지 의미로 다루어진다^[5]

경계값 문제에서의 미분 방정식의 주요 해를 의미하며, 주어진 모든 경계 조건 · 초기 조건을 만족한다. 물리학에서는 미분 방정식을 직접 푸는 대신, 먼저 단순한 점원 문제의 해인 그린 함수를 구한 후, 중첩의 원리에 의해 미분 방정식의 해를 그린 함수를 사용하여 나타낸다.
어떤 물리계를 구성하는 개개의 상태 간의 상관 함수를 제공하는 함수로 사용되며, 위치나 시간 등으로 지정된 어떤 상태에서 다른 상태로의 전달(전파)의 특성을 나타낸다. 자세한 내용은 프로파게이터나 그린 함수 (다체 이론)을 참조한다.

예를 들어, 방정식

:

(-\hat{H}_0 + E) | \phi \rangle = 0

의 그린 연산자 가 만족해야 하는 방정식은

:

(-\hat{H}_0 + E) \hat{G}^0 = -1

이다. 이것을 형식적으로 풀면

:

\hat{G}^0 = - \frac{1}{E - \hat{H}_0}

이다. 이 그린 연산자를 구체적으로 계산하기 위해 의 고유 벡터를 사용하여

:

\hat{G}^0 = - \sum_n \frac{1}{E - \hat{H}_0} | \phi_n \rangle \langle \phi_n | = - \sum_n \frac{1}{E - E_0} |\phi_n \rangle \langle \phi_n |

와 같이 전개한다. 단, 가 될 때는 발산하는데, 이를 피하기 위해 분모를 약간 허수 축 방향으로 이동시킨다.

:

\hat{G}_\pm^0 = \sum_n \frac{1}{E_0 -E \pm i \epsilon} |\phi_n \rangle \langle \phi_n |

예를 들어 인 경우의 그린 연산자의 행렬 요소는, 고유값을 로 하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

G_\pm^0(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}')= \langle \boldsymbol{r} |\hat{G}_\pm^0 |\boldsymbol{r}' \rangle= \frac{1}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|} e^{\pm ik|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}

여기서

G_+^0

은 바깥쪽으로 향하는,

G_-^0

는 안쪽으로 향하는 구면파이며, 파동이 에서 로 전파되는 모습을 나타낸다.

양자장론이나 물성물리에서는 슈뢰딩거 방정식에 대한 그린 함수가 아니라, 오히려 장 연산자에 대한 방정식과 관련된 것을 그린 함수라고 명명하여 유효하게 사용하고 있다. 이러한 방정식들은 상호작용이 없는 경우, 예를 들어 스칼라장에 대해 클라인-고든 방정식이 되는 것처럼 이미 알려진 방정식과 동형이 되며, 그린 함수로도 동일한 것이 된다. 그러나 상호작용이 있는 경우에는 방정식이 비선형이 되어, 섭동론적인 처리를 제외하고는 고전적인 그린 함수 이론과의 대응을 잃는다.^[7]

7. 1. 그린 연산자

선형 연산자로 표현되는 미분 방정식을 풀 때, 일종의 역 연산자인

L^{-1}

을 구할 수 있다면, 미분 방정식을 적분 방정식 형태로 변환하여 해를 구할 수 있다. 이

L^{-1}

을 '''그린 연산자''' (Green's operator, Green operator)라고 한다. 그린 연산자를 행렬 표시했을 때의 행렬 요소를 '''그린 함수'''라고 한다.^[4]

그린 함수를 추상적인 연산자로 간주하면 다음과 같은 이점이 있다.^[5]

미분 연산자나 적분 연산자뿐만 아니라 이차 양자화와 같은 추상적인 연산자를 사용한 이론에도 적용할 수 있다. 예를 들어 정상 상태의 슈뢰딩거 방정식에서 해밀토니안을 이차 양자화에서의 연산자로 생각할 수 있다.
복잡한 관계식을 간결하게 표현할 수 있으며, 일반적인 성질에 대한 논의를 쉽게 할 수 있다.

7. 2. 립만-슈윙거 방정식

산란 이론에서 그린 함수는 기본 방정식에 포함되어 있으며, 이를 립만-슈윙거 방정식이라고 부른다.^[4]

:

| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi  \rangle +\hat{G_0}^\pm \hat{V} |\psi^{(\pm)} \rangle \,

7. 3. 섭동론

양자 물리학에서 슈뢰딩거 방정식을 엄밀하게 푸는 것은 일반적으로 매우 어렵지만, 섭동론을 통해 근사적으로 해를 구할 수 있다. 섭동론에서 그린 함수는 중요한 도구로 사용된다.

계의 해밀토니안 가 무섭동항 과 섭동항 의 합으로 주어졌다고 가정하자(). 무섭동 해밀토니안 에 대한 고유치 방정식은 다음과 같다.

:

\hat{H}_0 \phi_i^{(0)} = E^{(0)}_i \phi_i^{(0)}

(예: 하트리-폭 근사 등).

을 미분 연산자로 생각하면, 비섭동 그린 함수 는 다음과 같이 정의된다. 여기서 델타 함수 는 형식적으로 로 간주한다.

:

(\omega - \hat{H}_0) G^{(0)}(\omega) = -1

섭동 해밀토니안 로 전개하면 다음과 같다.

:

\begin{align}G(\omega) &= G^{(0)}(\omega) + G^{(0)}(\omega) \hat{V} G^{(0)}(\omega) + G^{(0)}(\omega) \hat{V} G^{(0)}(\omega) \hat{V} G^{(0)}(\omega) + \dotsb \\&= G^{(0)}(\omega) + G^{(0)}(\omega) \hat{V} G(\omega)\end{align}

이 식의 양변에 을 작용시켜 변형하면, 섭동 그린 함수는 다음 관계를 만족한다.

:

(\omega - \hat{H}_0 - \hat{V}) G(\omega) = -1

이 섭동 그린 함수가 만족하는 관계식은 다음 식에 대응한다.

:

(\hat{H}_0 + \hat{V}) \psi_i = E_i \psi_i

참조

_[1] 서적 Heat Conduction Using Green's Functions Taylor and Francis
_[2] 서적 Physik mit Bleistift: das analytische Handwerkszeug des Naturwissenschaftlers Deutsch 2001
_[3] 서적 Classical Electrodynamics John Wiley & Sons 1998-08-14
_[4] 서적 物理学辞典培風館
_[5] 서적 微分方程式と量子統計力学のグリーン関数＜講義・演習＞東海大学出版会
_[6] 문서
_[7] 서적 物理とグリーン関数岩波書店

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