반마방진

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1. 개요
2. 예시
- 2.1. 4차 반마방진
- 2.2. 5차 반마방진
3. 일반화
참조

1. 개요

반마방진은 각 행, 열 및 대각선의 합이 연속적인 정수 집합을 이루는 정사각 행렬이다. 희소 반마방진(SAM)은 음이 아닌 정수로 구성된 행렬로, 0이 아닌 항목은 1부터 m까지의 연속된 정수이며, 행과 열의 합이 연속적인 정수 집합을 이룬다. 대각선 합이 연속적인 정수 집합에 포함되면 희소 완전 반마방진(STAM)이라고 한다. 이형 정사각은 1부터 n²까지의 숫자로 채워진 n × n 정사각 행렬로, 행, 열, 대각선의 합이 모두 다른 값을 갖도록 하는 구조이다.

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반마방진
정의
설명	반마방진은 모든 행, 열, 대각선의 합이 서로 다른 값을 가지는 마방진이다.
특징
차수	3차 이상의 정사각 행렬에 대해 정의된다.
합	각 행, 열, 대각선의 합이 모두 다르다.
구성	1부터 n^2까지의 숫자를 사용하여 구성된다 (n은 행렬의 차수).
예시
3x3 반마방진	예: Wolfram MathWorld 예시
관련 개념
마방진	모든 행, 열, 대각선의 합이 동일한 경우.
준마방진	마방진의 변형된 형태.

2. 예시

2. 1. 4차 반마방진

다음은 4차 반마방진의 예시이다.

{| class="wikitable"

|+ 4차 반마방진

|-

|

2	15	5	13
16	3	7	12
9	8	14	1
6	4	11	10

||

1	13	3	12
15	9	4	10
7	2	16	8
14	6	11	5

|}

이 두 4차 반마방진에서 각 행, 열, 대각선의 합은 29에서 38까지 연속적인 10개의 자연수이다.^[7]^[2]

{| class="wikitable"

|+ 4차 반마방진의 합

|-

|

	↓33	↓30	↓37	↓36	↘29
↙34	2	15	5	13	→ 35
16	3	7	12	→ 38
9	8	14	1	→ 32
6	4	11	10	→ 31

||

	↓37	↓30	↓34	↓35	↘31
↙32	1	13	3	12	→ 29
15	9	4	10	→ 38
7	2	16	8	→ 33
14	6	11	5	→ 36

|}

오른쪽 반마방진에서 각 가로줄, 세로줄, 대각선에 있는 수들의 합이 59에서 70이 된다.^[6]

2. 2. 5차 반마방진

wikitable

{| class="wikitable"

|+ 5차 반마방진의 예시

|-

|

5	8	20	9	22
19	23	13	10	2
21	6	3	15	25
11	18	7	24	1
12	14	17	4	16

||

21	18	6	17	4
7	3	13	16	24
5	20	23	11	1
15	8	19	2	25
14	12	9	22	10

|}

```

왼쪽에 있는 5차 반마방진에서 행, 열 및 대각선의 합은 60에서 71 사이의 숫자이다.^[2] 오른쪽에 있는 반마방진에서 행, 열 및 대각선의 합은 59–70 범위의 숫자이다.^[1]

3. 일반화

'''희소 반마방진'''(SAM)은 음이 아닌 정수로 이루어진 크기 ''n'' × ''n'' 정사각 행렬로, 영이 아닌 항목은 1부터 m까지의 연속된 정수이며, 여기서 m ≤ n²이고, 행의 합과 열의 합은 연속된 정수 집합을 구성한다.^[3] 대각선이 연속된 정수 집합에 포함되면, 이 배열을 '''희소 완전 반마방진'''(STAM)이라고 한다.^[3] STAM은 반드시 SAM일 필요는 없고, 그 반대도 마찬가지이다.^[3]

''n'' × ''n'' 정사각 행렬을 1부터 ''n''²까지의 숫자로 채우고, 행, 열, 대각선이 모두 다른 값으로 합산되도록 한 것을 ''이형 정사각''이라고 한다.^[4] (따라서 행, 열, 대각선 합에 특정 값이 필요하지 않은 완화된 형태이다.) 2차 이형 정사각은 없지만, 모든 차수 ''n'' ≥ 3에 대해 이형 정사각이 존재한다. ''n''이 홀수이면, 정사각을 나선형 패턴으로 채우면 이형 정사각이 생성되고,^[5] ''n''이 짝수이면, 1부터 ''n''²까지의 숫자를 순서대로 쓰고 1과 2를 교환하면 이형 정사각이 생성된다. 3차 이형 정사각은 본질적으로 다른 3120개가 있을 것으로 추정된다.^[5]

3. 1. 희소 반마방진

희소 반마방진(Sparse antimagic square, SAM)은 음이 아닌 정수로 이루어진 n × n 크기의 정사각 행렬이다.^[3] 영이 아닌 항목은 1부터 m까지의 연속된 정수이며, 여기서 m ≤ n²이다.^[3] 행의 합과 열의 합은 연속된 정수 집합을 구성한다.^[3] 대각선이 연속된 정수 집합에 포함되면, 이 배열을 희소 완전 반마방진(STAM)이라고 한다.^[3] STAM은 반드시 SAM일 필요는 없고, 그 반대도 마찬가지이다.^[3]

1부터 ''n''²까지의 숫자로 채우고, 행, 열, 대각선이 모두 다른 값으로 합산되도록 한 것을 ''이형 정사각''이라고 한다.^[4] 2차 이형 정사각은 없지만, 모든 차수 ''n'' ≥ 3에 대해 이형 정사각이 존재한다. ''n''이 홀수이면, 정사각을 나선형 패턴으로 채우면 이형 정사각이 생성되고,^[5] ''n''이 짝수이면, 1부터 ''n''²까지의 숫자를 순서대로 쓰고 1과 2를 교환하면 이형 정사각이 생성된다. 3차 이형 정사각은 본질적으로 다른 3120개가 있을 것으로 추정된다.^[5]

3. 2. 희소 완전 반마방진

3. 3. 이형 정사각

이형 정사각은 히테로스퀘어/heterosquare^영어 ''n'' × ''n'' 정사각 행렬을 1부터 ''n''²까지의 숫자로 채우되, 행, 열, 대각선의 합이 모두 다른 값을 가지도록 하는 구조이다.^[4] 반마방진의 완화된 형태로 볼 수 있다. (행, 열, 대각선 합에 특정 값이 필요하지 않다.)^[4]

2차 이형 정사각은 존재하지 않지만, 모든 차수 ''n'' ≥ 3에 대해 이형 정사각이 존재한다. ''n''이 홀수이면, 정사각을 나선형 패턴으로 채우면 이형 정사각이 생성되고,^[5] ''n''이 짝수이면, 1부터 ''n''²까지의 숫자를 순서대로 쓰고 1과 2를 교환하면 이형 정사각이 생성된다. 3차 이형 정사각은 본질적으로 다른 3120개가 있을 것으로 추정된다.^[5]

참조

_[1] 웹사이트 Antimagic Square http://mathworld.wol[...] 2016-12-03
_[2] 웹사이트 Anti-magic Squares http://www.magic-squ[...] 2016-12-03
_[3] 간행물 Sparse anti-magic squares and vertex-magic labelings of bipartite graphs
_[4] MathWorld Heterosquare
_[5] 웹사이트 Peter Bartsch's Heterosquares http://www.magic-squ[...]
_[6] 웹인용 Antimagic Square http://mathworld.wol[...] 2016-12-03
_[7] 웹인용 Anti-magic Squares http://www.magic-squ[...] 2016-12-03

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