스핀 (물리학)

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1. 개요

스핀은 입자의 고유한 각운동량으로, 양자역학적 속성이다. 1920년대에 발견되었으며, 파울리 배타 원리, 페르미온과 보손의 구분, 자기 모멘트 등과 밀접한 관련이 있다. 스핀은 스핀 양자수에 따라 정수 또는 반정수 값을 가지며, 입자의 종류에 따라 결정된다. 스핀은 자기장과의 상호작용, 스핀-궤도 결합, 파울리 배타 원리 등 다양한 현상에 영향을 미치며, 핵자기 공명(NMR), 자기 공명 영상(MRI), 스핀트로닉스 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 역사

1924년 볼프강 파울리는 알칼리 금속의 방출 스펙트럼에서 나타나는 제이만 효과를 연구하면서 파울리 배타 원리를 발견했다. 이 원리에 따르면 두 전자는 같은 양자 상태에 있을 수 없지만, 실험 결과에서는 양자수가 같은 두 전자가 존재했다. 이에 파울리는 기존에 알려진 양자수 외에 +와 − 값을 가지는, 아직 알려지지 않은 또 다른 양자수가 있다고 예측했다.^[44]

1925년 조지 윌렌벅(George E. Uhlenbeck^nl)과 사뮈엘 하우드스밋(Samuel Goudsmit^nl)은 파울리가 가정한 이 미지의 양자수를 전자의 기본 각운동량으로 해석했다.^[45]

처음에 볼프강 파울리는 실험 결과를 설명하기 위해 도입한 "자유도"가 회전과 관련 있다는 생각을 "고전적으로 기술할 수 없는 이중값"이라 부르며 부정했다.^[36] 그러나 이후 각운동량과 관련이 있음을 인정하면서도, 스핀을 추상적인 성질로 간주했다.^[36] 이러한 접근으로 파울리는 파울리 배타 원리에 대한 증명을 개발했고, 이는 오늘날 스핀-통계 정리로 불린다.^[31] 현대 입자 물리학에서는 추상적인 양자적 성질이 대칭성에서 유도되며, 구체적인 해석은 부차적인 것이 되었다.^[36]

스핀은 알칼리 금속의 방출 스펙트럼에서 처음 발견되었다. 1910년대부터 여러 원자 실험을 통해 원자 에너지 준위에 대한 양자수를 포함하는 관계가 만들어졌고, 이는 보어 원자 모형에 요약되었다.^[30] 강한 자기장에서 나타나는 원자 스펙트럼의 변화, 즉 제만 효과에서 추가 정보를 얻을 수 있었다. 1924년 볼프강 파울리는 이러한 관찰 결과를 바탕으로 새로운 자유도를 제안하며, 가장 바깥쪽 전자껍질의 전자와 관련된 "고전적으로 설명할 수 없는 이중성"을 도입했다.^[31]^[32]

파울리의 "자유도"에 대한 물리적 해석은 처음에는 알려지지 않았다. 1925년 초 랄프 크로니히는 이것이 전자의 자전에 의해 생성된다고 제안했지만, 파울리는 전자의 회전 속도가 상대성 이론에 위배된다며 강하게 비판했다. 이 때문에 크로니히는 자신의 아이디어를 발표하지 않았다.^[33]

1925년 가을, 조르지 우렌베크와 사무엘 고드스미트는 라이덴 대학교에서 같은 생각을 떠올렸고, 파울 에렌페스트의 조언에 따라 연구 결과를 발표했다.^[34] 그러나 헨드릭 로렌츠와 베르너 하이젠베르크는 회전하는 전자 개념에 문제를 제기했다.^[35]

파울리는 이중 값 자유도를 계속 연구하여 파울리 배타 원리를 공식화했다.

1926년 2월, 르웰린 토마스는 수소 스펙트럼의 미세 구조에 대한 실험 결과와 우렌베크, 고드스미트(그리고 크로니히의 미발표) 모델 계산 간의 차이를 해결했다.^[2] 이 불일치는 토마스 세차 운동으로 알려진 상대론적 효과 때문이었다.^[31] 토마스의 결과로 파울리는 전자 스핀이 자신의 이중 값 자유도에 대한 올바른 해석임을 확신했지만, 고전적인 회전 전하 모델은 유효하지 않다고 주장했다.^[32]^[36]

1927년, 파울리는 에르빈 슈뢰딩거와 베르너 하이젠베르크의 양자 역학 이론을 사용하여 스핀 이론을 공식화했다. 그는 파울리 행렬을 스핀 연산자의 표현으로 사용하고, 2성분 스피너 파동 함수를 도입했다.

파울리의 스핀 이론은 비상대론적이었다. 1928년, 폴 디랙은 4성분 스피너(디랙 스피너)를 사용한 상대론적 전자 방정식을 발표했다. 1940년, 파울리는 스핀-통계 정리를 증명하여 페르미온은 반정수 스핀, 보손은 정수 스핀을 갖는다는 것을 밝혔다.^[31]

전자 스핀에 대한 최초의 직접적인 실험적 증거는 1922년 슈테른-게를라흐 실험이었지만, 1927년에야 올바른 설명이 제공되었다.^[37] 1927년 로널드 프레이저는 나트륨 원자가 등방성이며 궤도 각운동량이 없다는 것을 보여주었고, 관찰된 자기적 성질은 전자 스핀 때문이라고 제안했다.^[38] 같은 해 피프스와 테일러는 수소 원자에 슈테른-게를라흐 기술을 적용하여 수소의 바닥 상태는 각운동량이 0이지만, 두 개의 피크가 나타남을 확인했다.^[39]

“스핀”이라는 명칭은 입자의 “자전”과 같은 것으로 설명되었던 역사적 이유 때문이다. '''이러한 회전 해석은 현재는 지지되지 않는다.''' 현재의 표준 모형에서는 전자를 비롯한 입자의 질량이 “점상”으로 여겨지기 때문에 물체의 회전과 비교할 수 없으며, 고전적인 해석은 무의미하다. 다만, 자기회전효과를 통해 전자의 스핀과 물체의 회전 운동은 관련지어진다.

비상대론적인 양자역학에서는 스핀 각운동량이 다른 가측량과 다르게 행동하기 때문에 이론의 수정이 필요하다. 반면 상대론적 양자역학에서는 디랙 방정식 등에 스핀 개념이 자연스럽게 포함된다.

나트륨 스펙트럼 관측 실험에서 자기장에 놓인 D선이 2개로 갈라지는 제만 효과가 발견되었는데, 이는 전자가 알려지지 않은 2가지 값의 양자 자유도를 갖기 때문으로 생각되었다. 1925년 우렌베크와 고즈미트는 전자가 원자핵 주위 궤도 각운동량 외에 전자 자체의 자전에 의한 각운동량을 가지며, 그 크기가

\hbar/2

라고 가정했다. 이 가정에서 자전 방향 차이로 인해 에너지 준위가 2개로 갈라진다고 생각하면 실험 결과를 잘 설명할 수 있었다.

그러나 이 가정대로 스핀 각운동량이 전자의 자전에 기인한다고 생각하면, 전자가 광속을 초과하는 속도로 자전해야 하며, 이는 특수 상대성 이론과 모순된다. 따라서 1925년 랄프 크로니히가 제안했지만 파울리에 의해 부정되었다. 파울리는 자전 대신 일반적인 각운동량

\hbar \hat{\mathbf{J}}

의 고유값으로서 반정수 값을 허용하고, 이 반정수 고유값을 스핀 각운동량으로 했다.

이후 발전한 표준 모형에서도 전자는 크기 0의 질점으로 다루어져도 실험적으로 높은 정밀도로 모순이 없으며, 전자에 내부 구조가 있는지는 알려져 있지 않다.

3. 스핀 양자수

스핀은 각운동량 양자화의 수학적 법칙을 따른다. 스핀 각운동량의 특징은 다음과 같다.

스핀 양자수는 반정수 또는 정수 값을 가질 수 있다.
스핀의 방향은 바뀔 수 있지만, 기본 입자의 스핀 크기는 바꿀 수 없다.
하전 입자의 스핀은 자기 쌍극자 모멘트와 관련이 있으며, 1과 다른 -인자를 갖는다.^[10]

'''스핀 양자수'''의 일반적인 정의는

s = \frac{n}{2}

이며, 여기서

n

은 임의의 0이 아닌 정수일 수 있다. 따라서 허용되는

s

의 값은 0, ½, 1,

\frac{3}{2}

, 2 등이다. 기본 입자의

s

값은 입자의 종류에만 의존하며, 알려진 어떤 방법으로도 변경할 수 없다. 어떤 물리적 시스템의 스핀 각운동량

S

는 양자화된다. 허용되는

S

의 값은 다음과 같다.

:

S = \hbar \, \sqrt{s(s + 1)} = \frac{h}{2\pi} \, \sqrt{\frac{n}{2}\frac{(n + 2)}{2}} = \frac{h}{4\pi} \, \sqrt{n(n + 2)},

여기서

h

는 플랑크 상수이고,

\hbar = \frac{h}{2\pi}

는 환산 플랑크 상수이다. 반면, 궤도 각운동량은

s

의 정수 값, 즉

n

의 짝수 값만 가질 수 있다.

"스핀"이라는 명칭은 이 개념이 퍼지기 시작했을 당시, 입자의 "자전"과 같은 것으로 설명되었다는 역사적 이유 때문이다. '''이러한 회전이라는 해석은 현재는 지지되지 않는다.''' 현재의 표준 모형에서는 전자를 비롯한 입자의 질량이 "점상"으로 여겨지기 때문에, 회전하고 있다고 해도 물체의 회전과 비교할 수 있는 것이 아니며, 고전적인 해석을 덧붙일 필요는 없고 무의미하다. 다만, 자기회전효과에 의해 전자의 스핀과 물체의 회전 운동이 관련지어지는 것은 긍정되고 있다.

비상대론적인 양자역학에서는 스핀 각운동량이 다른 가측량과는 행동이 다르기 때문에 스핀 각운동량을 기술하기 위한 이론의 수정을 요구한다. 반면 상대론적 양자역학에서는, 예를 들어 디랙 방정식의 정의 자체에 스핀의 개념이 짜여져 있는 등, 보다 자연스러운 형태로 스핀이 공식화된다.

입자가 가지는 스핀 각운동량의 크기를 스핀 양자수라고 한다.

3. 1. 페르미온과 보손

1924년 볼프강 파울리는 알칼리 금속의 방출 스펙트럼의 제이만 효과를 연구하던 중 파울리 배타 원리를 발견하였다. 이 원리에 따르면 두 전자는 같은 양자 상태에 존재할 수 없다. 그러나 실험 결과에 따르면 양자수가 같은 두 개의 전자가 존재했으므로, 파울리는 기존에 알려진 양자수 이외에 +와 −의 값을 가지는 또 다른 양자수의 존재를 예측하였다.^[44] 1925년 조지 윌렌벅(George E. Uhlenbeck|조지 윌렌벅^nl)과 사뮈엘 하우드스밋(Samuel Goudsmit|사뮈엘 하우드스밋^nl)이 파울리가 가정한 미지의 양자수를 전자의 기본 각운동량으로 해석하였다.^[45]

스핀이 반정수(예: ½, ¾, 5/2 등)인 입자는 페르미온으로, 정수(예: 0, 1, 2 등)인 입자는 보손으로 알려져 있다. 이 두 종류의 입자는 서로 다른 규칙을 따르며, 우리 주변 세계에서도 크게 다른 역할을 한다. 두 종류의 입자 사이의 중요한 차이점은 페르미온이 파울리 배타 원리를 따른다는 것이다. 즉, 동일한 양자수(대략적으로 같은 위치, 속도, 스핀 방향을 의미)를 가진 두 개의 동일한 페르미온은 동시에 존재할 수 없다. 페르미온은 페르미-디랙 통계를 따른다. 반면에 보손은 보즈-아인슈타인 통계를 따르며 이러한 제한이 없으므로 동일한 상태에 "모여 있을" 수 있다. 또한, 복합 입자는 구성 입자와 다른 스핀을 가질 수 있다. 예를 들어, 기저 상태의 헬륨-4 원자는 스핀 0을 가지며 보손처럼 행동하지만, 그것을 구성하는 쿼크와 전자는 모두 페르미온이다.

이것은 몇 가지 심오한 결과를 가져온다.

고전적으로 물질로 알려진 것을 구성하는 쿼크와 렙톤(여기에는 전자와 중성미자가 포함됨)은 모두 스핀 ½인 페르미온이다. "물질은 공간을 차지한다"는 일반적인 생각은 실제로 이러한 입자에 작용하는 파울리 배타 원리에서 비롯되어 페르미온이 같은 양자 상태에 있지 못하게 한다. 더욱 압축하려면 전자가 같은 에너지 상태를 차지해야 하며, 따라서 일종의 압력(때로는 전자의 축퇴압으로 알려짐)이 페르미온이 지나치게 가까워지는 것을 막는다. 다른 스핀(¾, 5/2 등)을 가진 기본 페르미온은 존재하지 않는 것으로 알려져 있다.
힘을 매개하는 것으로 여겨지는 기본 입자는 모두 스핀 1인 보손이다. 여기에는 전자기력을 매개하는 광자, 강력을 매개하는 글루온, 그리고 약력을 매개하는 W 및 Z 보손이 포함된다. 보손이 같은 양자 상태를 점유할 수 있다는 능력은 같은 양자수(같은 방향과 주파수)를 갖는 많은 광자를 정렬하는 레이저, 헬륨-4 원자가 보손이기 때문에 발생하는 초유체 액체 헬륨, 그리고 전자쌍(개별적으로는 페르미온임)이 단일 복합 보손으로 작용하는 초전도성에 사용된다. 다른 스핀(0, 2, 3 등)을 가진 기본 보손은 역사적으로 존재하는 것으로 알려지지 않았지만, 이론적으로 상당한 논의가 있었고 각각의 주류 이론 내에서 잘 확립되어 있다. 특히, 이론가들은 스핀 2인 중력자(일부 양자 중력 이론에 의해 존재가 예측됨)와 스핀 0인 힉스 보손(전약 대칭 깨짐을 설명함)을 제안했다. 2013년 이후로 스핀 0인 힉스 보손은 존재하는 것으로 입증되었다.^[11] 이것은 자연계에 존재하는 것으로 알려진 최초의 스칼라 기본 입자(스핀 0)이다.
원자핵은 핵 스핀을 가지는데, 이는 반정수 또는 정수일 수 있으므로 핵은 페르미온 또는 보손일 수 있다.

스핀-통계 정리는 입자를 보손과 페르미온으로 나눈다. 보손은 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 페르미온은 페르미-디랙 통계를 따르며, 이는 파울리 배타 원리를 따른다는 것을 의미한다. 구체적으로 이 정리는 반정수 스핀을 가진 입자는 파울리 배타 원리를 따르지만, 정수 스핀을 가진 입자는 따르지 않아야 한다는 것을 요구한다. 예를 들어, 전자는 반정수 스핀을 가지며 파울리 배타 원리를 따르는 페르미온이지만, 광자는 정수 스핀을 가지며 그렇지 않다. 이 정리는 1940년 볼프강 파울리에 의해 유도되었으며, 양자역학과 특수 상대성 이론 모두에 의존한다. 파울리는 스핀과 통계 사이의 이러한 관계를 "특수 상대성 이론의 가장 중요한 응용 중 하나"라고 설명했다.^[12]

파울리 배타 원리는 스핀 s를 갖는 N개의 동일한 입자계에 대한 파동 함수

\psi(\mathbf r_1, \sigma_1, \dots, \mathbf r_N, \sigma_N)

는 N개 입자 중 어떤 두 입자를 교환할 때 다음과 같이 변해야 한다는 것을 말한다.

:

\psi(\dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots ) =(-1)^{2s} \psi(\dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots).

따라서 보손의 경우에는 계수 (−1)^2s이 +1로, 페르미온의 경우에는 −1로 축소된다. N 입자 상태 함수에 대한 이러한 치환 가정은 일상생활에서, 예를 들어 화학 원소의 주기율표에서 가장 중요한 결과를 낳는다.

스핀 양자수 s는 1/2를 단위로 취급되는 것이 일반적이며, 반정수 (1/2, 3/2, …)인 입자는 '''페르미온(페르미 입자)''', 정수 (0, 1, 2, …)인 입자는 '''보손(보즈 입자)'''으로 구분되며, 양자의 물리적 성질은 현저히 다르다.^[41]

2016년 현재 알려진 범위 내에서,

소립자에 대해서는 페르미온의 스핀 양자수는 모두 1/2이다.
마찬가지로 보손은 힉스 입자만 스핀 양자수가 0이며, 그 외는 1이다.
복합 입자의 스핀 양자수는 그 외의 값도 취할 수 있지만, 단순히 복합 입자를 구성하는 소립자의 스핀 양자수의 합계가 되는 것은 아니다. 예를 들어 헬륨 원자를 구성하는 소립자인 전자나 쿼크는 모두 페르미온이며, 따라서 그 스핀 양자수는 반정수이지만, 헬륨 원자의 스핀 양자수는 0이다.

s의 값과 통계적 성질 사이의 이러한 관계는 상대론적인 양자장론에 의해 설명할 수 있다.

4. 스핀-자기장 상호작용

볼프강 파울리는 입자의 스핀과 자기장 간의 상호작용을 설명하기 위해 해밀토니안에 다음과 같은 항을 도입하였다.^[46]

: $H_{int} = -\vec{\mu}\cdot\vec{B} = -\frac{q\hbar}{2mc}\mathbf{\vec{\sigma}}\cdot\vec{B}$

여기서 $\vec{\sigma}$ 는 파울리 행렬을 성분으로 갖는 파울리 벡터이다.

이 항은 다음과 같이 유도할 수 있다. $m\vec{v} = \vec{p} - \frac{q}{c}\vec{A}$ 와 함께, 감마 행렬 대신 파울리 행렬을 사용하여 디락 방정식과 유사한 형태로 해밀토니안을 세우면 다음과 같다.

: $H = \frac{(\vec{\sigma} \cdot (\vec{p} - \frac{q}{c}\vec{A}))^2}{2m} + qV$

파울리 행렬과 관련된 공식 $(\vec{\sigma} \cdot \vec{a})(\vec{\sigma} \cdot \vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + i\vec{\sigma}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})$ 을 이용해서 해밀토니안의 식을 풀면, 다음을 얻는다.

: $H = \frac{(\vec{p} - \frac{q}{c}\vec{A})^2}{2m} + qV - \frac{q\hbar}{2mc} \vec{\sigma}\cdot\vec{B}$

5. 모델

초기 전자 스핀 모델은 회전하는 대전된 질량을 상상했지만, 이 모델은 필요한 공간 분포가 전자 반지름의 한계와 일치하지 않고, 필요한 회전 속도가 빛의 속도를 초과하여 실패했다.^[10] 표준 모형에서 기본 입자는 모두 "점과 같은" 것으로 간주되며, 주변의 장을 통해 효과를 나타낸다.^[4]

스핀에 대한 최초의 고전적 모델은 축을 중심으로 회전하는 작은 강체 입자를 제안했다. 각운동량은 고전적인 장에서도 계산할 수 있다.^[5]^[9]

5. 1. 회전하는 대전된 질량

초기 전자 스핀 모델은 전자를 회전하는 대전된 질량으로 가정했다. 하지만 이 모델은 몇 가지 문제점을 안고 있었다. 우선, 필요한 공간 분포가 전자 반지름의 한계와 일치하지 않았다.^[10] 또한, 필요한 회전 속도는 광속을 초과했다.^[10] 표준 모형에서는 기본 입자를 모두 "점과 같은" 것으로 간주하며, 주변의 장을 통해 효과를 나타낸다.^[4] 따라서 질량 회전을 기반으로 한 스핀 모델은 표준 모형과 일관성이 있어야 했다.

볼프강 파울리는 처음에 실험 관측을 설명하기 위해 도입한 "자유도"가 회전과 관련이 있다는 생각을 거부하고, "고전적으로 기술할 수 없는 이중값"이라고 불렀다.^[36] 그러나 나중에 그는 이것이 각운동량과 관련이 있다는 것을 인정했지만, 스핀을 추상적인 성질로 간주했다.^[36]

5. 2. 파울리의 "고전적으로 기술할 수 없는 이중값"

볼프강 파울리는 처음에 실험 관측을 설명하기 위해 도입한 "자유도"가 회전과 관련이 있다는 생각을 거부하고, "고전적으로 기술할 수 없는 이중값"이라고 불렀다.^[36] 이후 파울리는 각운동량과 관련이 있다는 것을 인정했지만, 스핀을 추상적인 성질로 간주했다.^[36] 이러한 접근 방식을 통해 파울리는 파울리 배타 원리에 대한 증명을 개발할 수 있었는데, 이는 현재 스핀-통계 정리라고 불린다.^[31] 파울리의 이러한 관점과 증명 방식은 추상적인 양자적 성질이 대칭성에서 유도되는 현대 입자 물리학 시대의 시작을 알렸다. 구체적인 해석은 부차적이고 선택적인 것이 되었다.^[36]

1925년에 랄프 크로니히가 전자의 자전에 기반한 스핀 각운동량 모델을 제안했지만, 파울리는 전자가 광속을 초과하는 속도로 자전해야 한다는 점 때문에 이 모델을 부정했다. 파울리는 자전 자체를 생각해야 하는 고전적인 묘사를 버리고, 일반적인 각운동량의 고유값으로서 반정수의 값이 허용되는 것에 주목하여, 이 반정수의 고유값을 스핀 각운동량으로 했다.

5. 3. 고전적인 장의 순환

프레드릭 벨린판테의 장의 각운동량 계산 방식을 적용하여, 한스 C. 오하니안은 "스핀은 본질적으로 전자의 파장에서 순환하는 전하의 흐름에 의해 생성되는 파동의 성질이다"라고 보였다.^[6] 이와 같은 스핀 개념은 물의 중력파에도 적용할 수 있는데, "스핀은 물 입자의 파장보다 짧은 원운동에 의해 생성된다"라고 설명한다.^[7]

고전적인 파장 순환은 연속적인 각운동량 값을 허용하는 것과 달리, 양자 파장은 불연속적인 값만 허용한다.^[6] 따라서 스핀 상태로의 또는 스핀 상태로부터의 에너지 전달은 항상 고정된 양자 단계로 일어난다. 허용되는 단계는 몇 가지뿐이며, 많은 정성적인 목적을 위해 스핀 양자 파장의 복잡성은 무시하고, 양자수에서 논의된 바와 같이 "정수" 또는 "반정수" 스핀 모델의 관점에서 시스템 특성을 논의할 수 있다.

5. 4. 디랙의 상대론적 전자

전자의 스핀 특성을 정량적으로 계산하려면 디랙 상대론적 파동 방정식이 필요하다.^[31] 비상대론적인 양자역학에서는 스핀 각운동량이 다른 가측량과는 다르게 행동하기 때문에, 스핀 각운동량을 기술하기 위한 이론 수정이 필요하다. 반면 상대론적 양자역학에서는 디랙 방정식 정의 자체에 스핀 개념이 포함되어 있어, 스핀이 더 자연스러운 형태로 공식화된다.

6. 궤도 각운동량과의 관계

이름에서 알 수 있듯이, 스핀은 원래 입자가 어떤 축을 중심으로 회전하는 것으로 생각되었다. 역사적으로 궤도 각운동량은 입자 궤도와 관련이 있었다.^[8] 그러나 기본 입자는 점과 같기 때문에, 자체 회전은 잘 정의되지 않는다.

그럼에도 불구하고 스핀은 입자의 위상이 각도에 따라 $e^{i S \theta}$ (축을 스핀 에 평행하게 회전시켰을 때 각도 )로 의존한다는 것을 의미한다. 이것은 위치에서의 위상 의존성으로서의 운동량의 양자역학적 해석과 각 위치에서의 위상 의존성으로서의 궤도 각운동량과 동등하다.

페르미온의 경우, 에렌페스트 정리에 따르면, 각속도는 해밀토니안의 켤레 운동량에 대한 도함수와 같으며, 이는 총 각운동량 연산자 이다.

7. 양자수

스핀은 각운동량 양자화의 수학적 법칙을 따른다. 스핀 각운동량의 특징은 다음과 같다.

스핀 양자수는 반정수 또는 정수 값을 가질 수 있다.
스핀의 방향은 바뀔 수 있지만, 기본 입자의 스핀 크기는 바꿀 수 없다.
하전 입자의 스핀은 자기 쌍극자 모멘트와 관련이 있으며, 1과 다른 -인자를 갖는다.^[10]

스핀 양자수의 일반적인 정의는

s=\frac{n}{2}

이며, 여기서

n

은 임의의 0이 아닌 정수일 수 있다. 따라서 허용되는

s

의 값은 0, 1/2, 1, 3/2, 2 등이다. 기본 입자의

s

값은 입자의 종류에만 의존하며, 알려진 어떤 방법으로도 변경할 수 없다. 어떤 물리적 시스템의 스핀 각운동량

S

는 양자화된다. 허용되는

S

의 값은 다음과 같다.

S = \hbar \, \sqrt{s(s + 1)} = \frac{h}{2\pi} \, \sqrt{\frac{n}{2}\frac{(n + 2)}{2}} = \frac{h}{4\pi} \, \sqrt{n(n + 2)},

여기서

h

는 플랑크 상수이고,

\hbar = \frac{h}{2\pi}

는 환산 플랑크 상수이다. 반면, 궤도 각운동량은

s

의 정수 값, 즉

n

의 짝수 값만 가질 수 있다. 입자가 가지는 스핀 각운동량의 크기를 스핀 양자수라고 한다.

소립자의 스핀 양자수는 일정하며 방향만 변한다.
하전 입자의 스핀 양자수는 자기쌍극자 모멘트와 관련된다.

스핀 양자수

s

는 1/2를 단위로 취급되는 것이 일반적이며, 반정수 (1/2, 3/2, …)인 입자는 '''페르미온(페르미 입자)''', 정수 (0, 1, 2, …)인 입자는 '''보손(보즈 입자)'''으로 구분되며, 양자의 물리적 성질은 현저히 다르다.^[41]

2016년 현재 알려진 범위 내에서,

소립자에 대해서는 페르미온의 스핀 양자수는 모두 1/2이다.
마찬가지로 보손은 힉스 입자만 스핀 양자수가 0이며, 그 외는 1이다.
복합 입자의 스핀 양자수는 그 외의 값도 취할 수 있지만, 단순히 복합 입자를 구성하는 소립자의 스핀 양자수의 합계가 되는 것은 아니다. 예를 들어 헬륨 원자를 구성하는 소립자인 전자나 쿼크는 모두 페르미온이며, 따라서 그 스핀 양자수는 반정수이지만, 헬륨 원자의 스핀 양자수는 0이다.

8. 자기 모멘트

스핀-½ 입자는 회전하는 전하를 띤 물체처럼 고전 전자기학에서와 같이 자기 쌍극자 모멘트를 가질 수 있다. 이러한 자기 모멘트는 슈테른-게를라흐 실험 등을 통해 관찰할 수 있다. 스핀-½ 입자의 고유 자기 모멘트 (μ)는 전하 (q), 질량 (m), 스핀 각운동량 ('''S''')을 가질 때,^[13]

: $\boldsymbol{\mu} = \frac{g_\text{s} q}{2m} \mathbf{S},$

로 표현된다. 여기서 무차원량 ( $g_s$ )는 스핀 g-인자라고 한다.

전자는 기본 입자이면서 전하를 띠고 있으므로 0이 아닌 자기 모멘트를 갖는다. 양자 전기 역학 이론은 전자의 g-인자를 정확하게 예측했는데, 이는 양자 전기 역학의 가장 큰 성공 중 하나이다. 여기서 괄호 안의 숫자는 1표준 편차에서 마지막 두 자리의 측정 불확실성을 나타낸다. g-인자의 값 2는 디랙 방정식에서 유래하며, 2에서 벗어난 값은 전자와 주변 양자장과의 상호작용에서 비롯된다.^[14]

복합 입자 또한 스핀과 관련된 자기 모멘트를 갖는다. 중성자는 전기적으로 중성이지만 0이 아닌 자기 모멘트를 갖는데, 이는 중성자가 기본 입자가 아님을 보여주는 초기 증거였다. 중성자의 자기 모멘트는 구성 입자인 쿼크의 스핀과 궤도 운동에서 기인한다.

중성미자는 기본 입자이면서 전기적으로 중성이다. 0이 아닌 중성미자 질량을 고려하는, 최소한으로 확장된 표준 모형은 다음과 같은 중성미자 자기 모멘트를 예측한다.^[15]^[16]^[17]

: $\mu_\nu \approx 3 \times 10^{-19} \mu_\text{B} \frac{m_\nu c^2}{\text{eV}},$

여기서 ( $μ_ν$ )는 중성미자 자기 모멘트, ( $m_ν$ )는 중성미자 질량, ( $μ_B$ )는 보어 마그네톤이다. 중성미자 자기 모멘트의 측정은 활발한 연구 분야이며, 실험 결과는 중성미자 자기 모멘트가 전자 자기 모멘트의 $1.2 \times 10^{-10}$ 배 미만임을 보여주었다.

광자와 Z 보손은 스핀은 있지만 전하가 없으므로 자기 모멘트를 갖지 않는다.

9. 퀴리 온도와 정렬 손실

일반적인 물질에서는 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트가 서로 상쇄되어 전체 평균이 거의 0에 가깝다. 각 쌍극자가 무작위 방향을 가리키기 때문이다. 그러나 강자성체 물질은 퀴리 온도 이하에서 원자 쌍극자 모멘트가 자발적으로 국부 정렬되는 자기 도메인을 나타내어 도메인으로부터 거시적인 0이 아닌 자기장을 생성한다. 이것이 우리에게 친숙한 일반적인 "자석"이다.

상자성체 물질에서는 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트가 외부에서 가해지는 자기장과 부분적으로 정렬된다. 반면 반자성체 물질에서는 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트가 에너지가 필요하더라도 외부에서 가해지는 자기장과 반대 방향으로 정렬된다.

이러한 "스핀 모델"의 거동에 대한 연구는 응축 물질 물리학 분야에서 활발하게 진행되는 연구 분야이다. 예를 들어, 이징 모델은 위 또는 아래의 두 가지 상태만 가질 수 있는 스핀(쌍극자)을 설명하는 반면, 하이젠베르크 모델에서는 스핀 벡터가 어떤 방향으로든 향할 수 있다. 이러한 모델은 많은 흥미로운 특성을 가지고 있으며, 상전이 이론에서 흥미로운 결과를 가져왔다.

10. 방향

고전역학에서 입자의 각운동량은 크기뿐만 아니라 방향도 갖는다. 양자역학적 스핀 또한 방향에 대한 정보를 포함하지만, 더 미묘한 형태로 나타난다. 양자역학에 따르면, 스핀 s인 입자의 각운동량의 성분을 임의의 방향으로 측정하면 특정한 값만 취할 수 있다.^[19]

10. 1. 스핀 투영 양자수와 다중도

고전역학에서 입자의 각운동량은 크기뿐만 아니라 방향도 갖는다. 양자역학적 스핀 또한 방향에 대한 정보를 포함하지만, 더 미묘한 형태로 나타난다. 양자역학에 따르면, 스핀 s인 입자의 각운동량의 성분을 임의의 방향으로 측정하면 다음 값만 취할 수 있다.^[19]

:

S_i = \hbar s_i, \quad s_i \in \{ -s, -(s - 1), \dots, s - 1, s \},

여기서 는 축(, , 또는 )을 따라 측정한 스핀 성분이고, 는 축을 따른 스핀 투영 양자수이며, 는 주 스핀 양자수이다. 관례적으로 선택된 방향은 축이다.

:

S_z = \hbar s_z, \quad s_z \in \{ -s, -(s - 1), \dots, s - 1, s \},

여기서 는 축을 따른 스핀 성분이고, 는 축을 따른 스핀 투영 양자수이다.

의 가능한 값은 개 있다. ""은 스핀 계의 다중도이다. 예를 들어, 스핀- 입자의 경우 가능한 값은 두 개뿐이다. 와 이다. 이들은 각각 스핀 성분이 +''z'' 또는 −''z'' 방향으로 향하는 양자 상태에 해당하며, 종종 "스핀 업"과 "스핀 다운"으로 불린다. 델타 중입자와 같이 스핀- 입자의 경우 가능한 값은 , , , 이다.

10. 2. 벡터

주어진 양자 상태에 대해, 각 축을 따라 스핀 성분의 기댓값인 스핀 벡터

\lang S \rang

를 생각할 수 있다. 즉,

\lang S \rang = [\lang S_x \rang, \lang S_y \rang, \lang S_z \rang]

이다. 이 벡터는 스핀이 가리키는 "방향"을 설명하며, 고전적인 회전축 개념에 해당한다.

스핀 벡터는 직접 측정할 수 없기 때문에 실제 양자역학적 계산에는 별로 유용하지 않다.

s_x

,

s_y

및

s_z

는 서로 간의 양자 불확정성 관계 때문에 동시에 명확한 값을 가질 수 없다. 그러나 슈테른-게를라흐 장치를 사용하는 등 동일한 순수 양자 상태에 놓인 입자들의 통계적으로 많은 집합의 경우, 스핀 벡터는 잘 정의된 실험적 의미를 갖는다. 즉, 집합 내 모든 입자를 검출할 최대 확률(100%)을 얻기 위해 후속 검출기를 배향해야 하는 일반 공간의 방향을 지정한다. 스핀-1/2 입자의 경우, 스핀 벡터와 검출기 사이의 각도가 증가함에 따라 이 확률은 부드럽게 감소하여 180° 각도—즉, 스핀 벡터와 반대 방향으로 배향된 검출기의 경우—에서 집합으로부터 입자를 검출할 기댓값은 0%의 최솟값에 도달한다.

정성적 개념으로서 스핀 벡터는 고전적으로 상상하기 쉬워 유용한 경우가 많다. 예를 들어, 양자역학적 스핀은 고전적인 자이로스코프 효과와 유사한 현상을 보일 수 있다. 예를 들어, 자기장에 전자를 놓음으로써 전자에 일종의 "토크"를 가할 수 있다(자기장은 전자의 고유 자기 쌍극자 모멘트에 작용한다). 그 결과 스핀 벡터는 고전적인 자이로스코프와 마찬가지로 세차 운동을 한다. 이 현상을 전자 스핀 공명(ESR)이라고 한다. 원자핵 내 양성자의 동등한 거동은 핵자기 공명(NMR) 분광법 및 이미징에 사용된다.

수학적으로 양자역학적 스핀 상태는 스피너라고 알려진 벡터와 유사한 객체로 설명된다. 좌표 회전하에서 스피너와 벡터의 거동에는 미묘한 차이가 있다. 예를 들어, 스핀-1/2 입자를 360° 회전시켜도 같은 양자 상태로 돌아오지 않고 반대 양자 위상을 가진 상태로 돌아온다. 이것은 원칙적으로 간섭 실험으로 검출할 수 있다. 입자를 정확히 원래 상태로 되돌리려면 720° 회전이 필요하다. (접시 트릭과 뫼비우스 띠는 비양자적 유추를 제공한다.) 스핀 0 입자는 토크를 가한 후에도 단일 양자 상태만 가질 수 있다. 스핀 2 입자를 180° 회전시키면 같은 양자 상태로 돌아올 수 있으며, 스핀 4 입자는 같은 양자 상태로 돌아오려면 90° 회전해야 한다. 스핀 2 입자는 180° 회전한 후에도 같은 모양으로 보이는 막대기와 유사하며, 스핀 0 입자는 어떤 각도로 회전하더라도 같은 모양으로 보이는 구로 생각할 수 있다.

11. 수학적 공식화

이 절에서는 비상대론적 양자역학에서 스핀 개념을 설명한다. 우선 회전군과 유니터리군을 소개하고, 이를 바탕으로 궤도각운동량을 회전 대칭성의 관점에서 공식화한다. 이후 스핀각운동량 개념을 공식화할 때 궤도각운동량의 정의를 참고할 것이므로, 궤도각운동량 개념을 여기서 복습한다.

11. 1. 연산자

스핀은 궤도 각운동량의 관계와 유사한 교환 관계^[20]를 따른다.

:

\left[\hat S_j, \hat S_k\right] = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat S_l,

여기서

\varepsilon_{jkl}

은 레비-치비타 기호이다. 각운동량의 경우와 마찬가지로

\hat S^2

와

\hat S_z

의 고유벡터(전체 기저에서 켓으로 표현)는^[2]

:

\begin{align}\hat S^2 |s, m_s\rangle &= \hbar^2 s(s + 1) |s, m_s\rangle, \\\hat S_z |s, m_s\rangle &= \hbar m_s |s, m_s\rangle.\end{align}

이러한 고유벡터에 작용하는 스핀 생성 및 소멸 연산자는 다음과 같다.

:

\hat S_\pm |s, m_s\rangle = \hbar \sqrt{s(s + 1) - m_s(m_s \pm 1)} |s, m_s \pm 1\rangle,

여기서

\hat S_\pm = \hat S_x \pm i \hat S_y

이다.^[2]

하지만 궤도 각운동량과 달리, 고유벡터는 구면 조화 함수가 아니다.

\theta

와

\varphi

의 함수가 아니다. 또한

s

와

m_s

의 반정수 값을 배제할 이유가 없다.

11. 2. 파울리 행렬

스핀-1/2 물리량과 관련된 양자역학적 연산자는 다음과 같다.^[46]

:

\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma},

여기서 데카르트 좌표 성분은 다음과 같다.

:

S_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad S_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z.

스핀-1/2 입자의 특별한 경우,

\sigma_x

,

\sigma_y

및

\sigma_z

는 세 개의 파울리 행렬이다.

:

\sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix},\quad\sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i\\i & 0\end{pmatrix},\quad\sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}.

\hat{S}_{\mathbf{n}}

는

\mathbf{n}

에 관계없이 항상 고유값

\frac{\hbar}{2}

와

-\frac{\hbar}{2}

을 갖는다. 각각의 정규화된 고유 벡터는 다음과 같다.

:

\begin{align}&|s_{x,+}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, & &|s_{x,-}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\&|s_{y,+}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, & &|s_{y,-}\rangle = \frac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \\&|s_{z,+}\rangle =                  &\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, & &|s_{z,-}\rangle =                  &\begin{pmatrix} 0 \\  1 \end{pmatrix}\end{align}

11. 3. 파울리 배타 원리

파울리 배타 원리는 동일한 페르미온이 같은 양자 상태를 가질 수 없다는 원리이다. 볼프강 파울리가 1924년에 알칼리 금속의 방출 스펙트럼의 제이만 효과를 연구하던 중 발견하였다.^[44]

스핀-통계 정리에 따르면, 반정수 스핀을 가진 입자는 파울리 배타 원리를 따르는 페르미온이고, 정수 스핀을 가진 입자는 파울리 배타 원리를 따르지 않는 보손이다. 예를 들어, 전자는 반정수 스핀을 가지며 파울리 배타 원리를 따르는 페르미온이지만, 광자는 정수 스핀을 가지며 그렇지 않다.^[12]

N개의 동일한 입자계의 파동 함수

\psi(\mathbf r_1, \sigma_1, \dots, \mathbf r_N, \sigma_N)

는 N개의 입자 중 어떤 두 입자를 교환할 때 다음과 같이 변한다.

\psi(\dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots ) =(-1)^{2s} \psi(\dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots).

보손의 경우에는 계수 (−1)^2s이 +1로, 페르미온의 경우에는 −1로 축소된다. 이러한 결과는 화학 원소의 주기율표에서 중요한 결과를 낳는다.

"물질은 공간을 차지한다"는 일반적인 생각은 쿼크와 렙톤 등 물질을 구성하는 입자에 작용하는 파울리 배타 원리에서 비롯된다. 이 원리로 인해 페르미온이 같은 양자 상태에 있지 못하게 되고, 압축하려면 전자가 같은 에너지 상태를 차지해야 하므로 일종의 압력 (전자의 축퇴압)이 작용하여 페르미온이 지나치게 가까워지는 것을 막는다.

11. 4. 회전

양자역학에서 스핀은 주어진 축에 대한 고유 각운동량의 투영 값을 찾을 확률 진폭에 해당하는 복소수 집합으로 기술된다. 스핀 $s$를 갖는 일반적인 입자의 경우, $2s + 1$개의 매개변수가 필요하다.

스핀 상태는 회전에 따라 변환되며, 이는 회전군 SO(3)의 유니터리 투영 표현으로 나타낼 수 있다. 각 회전은 행렬로 표현될 수 있고, 회전 A와 B에 해당하는 두 변환 행렬의 곱은 (위상을 고려하여) 회전 AB를 나타내는 행렬과 같다. 또한, 회전은 양자역학적 내적을 보존한다.^[21]

수학적으로, 이러한 행렬은 회전군 SO(3)의 유니터리 투영 표현을 제공한다. 이러한 각 표현은 SO(3)의 덮개군인 SU(2)의 표현에 해당한다. 법선 벡터

\hat{\boldsymbol{\theta}}

를 갖는 평면에서 각도 $\theta$ 만큼 회전하는 경우,

U = e^{-\frac{i}{\hbar} \boldsymbol{\theta} \cdot \mathbf{S}},

여기서

\boldsymbol{\theta} = \theta \hat{\boldsymbol{\theta}}

이고, $\mathbf{S}$는 스핀 연산자 벡터이다.

3차원 공간의 일반적인 회전은 오일러 각을 사용하여 이러한 유형의 연산자를 합성하여 구성할 수 있다.

\mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma) = e^{-i\alpha S_x} e^{-i\beta S_y} e^{-i\gamma S_z}.

이 연산자 군의 기약 표현은 위그너 D-행렬에 의해 제공된다.

D^s_{m'm}(\alpha, \beta, \gamma) \equiv\langle sm' | \mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma) | sm \rangle =e^{-im'\alpha} d^s_{m'm}(\beta)e^{-i m\gamma},

여기서

d^s_{m'm}(\beta) = \langle sm' | e^{-i\beta s_y} | sm \rangle

는 위그너의 소 d-행렬이다.

$s$가 반정수이면, $2\pi$만큼 회전하면 상태는 마이너스 부호를 얻게 된다. 이 사실은 스핀-통계 정리의 증명에 있어 중요한 요소이다.

궤도 각운동량 연산자가 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 위의 “무한소 회전에 대한 연산자”로 정의될 수 있었던 것과 마찬가지로, 스핀 각운동량 연산자는 $V_s$에 대한 무한소 회전에 대한 연산자로 정의할 수 있다.

$\mathbf{n}$을 회전축으로 하는 단일 입자의 궤도각운동량은

:

\hat{L}_{\mathbf{n}}=i\hbar\lambda_*(F_{\mathsf{n}})=i\hbar\lambda_*\circ(\Phi_3)_*(X_{\mathsf{n}})\in\{L^2(\mathbf{R}^3)

위의 유니터리 연산자

\}

로 나타낼 수 있다. 단일 입자의 스핀각운동량도

:

\hat{S}_{\mathbf {n} }=i\hbar\cdot (\pi_s)_* (X_{\mathbf {n} })\in \{V_s

위의 비대칭 에르미트 연산자

\}

로 정의되었다.

$\mathbf{n}$을 회전축으로 하는 단일 입자의 '''전각운동량 연산자''' $\hat{J}_{\mathbf{n}}$은

:

\hat{J}_{\mathbf {n}}=\hat{L}_{\mathbf {n}}\otimes \mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes\hat{S}_{\mathbf {n}}\in\{L^2(\mathbf{R}^3)\otimes V_s

위의 비대칭 에르미트 연산자

\}

로 정의되며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

\hat{J}_{\mathbf{n}}=i\hbar(\lambda_*\circ(\Phi_3)_*\otimes\mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes(\pi_s)_*)(X_{\mathsf{n}})

Spin(3)의 유니터리 표현의 구체적인 형태를 특정할 수 있다면, (단일 입자 또는 다입자에 대한) 궤도각운동량, 스핀각운동량, 전각운동량을 구체적으로 기술할 수 있다.

11. 5. 로렌츠 변환

일반적인 로렌츠 변환 하에서 스핀의 거동을 결정하는 것은 쉽지 않다. SO(3)와 달리, 로렌츠 변환의 군 SO(3,1)은 비컴팩트이며, 따라서 충실하고 유니터리하며 유한 차원인 표현을 가지고 있지 않다.

스핀-1/2 입자의 경우, 유한 차원 표현과 이 표현에 의해 보존되는 스칼라 곱을 모두 포함하는 구성을 찾을 수 있다. 각 입자에 4성분 디랙 스피너 ψ를 연관시킨다. 이러한 스피너는 다음 법칙에 따라 로렌츠 변환 하에서 변환된다.

:

\psi' = \exp{\left(\tfrac{1}{8} \omega_{\mu\nu} [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]\right)} \psi,

여기서 γ_ν는 감마 행렬이고, ω_μν는 변환을 매개변수화하는 반대칭 4 × 4 행렬이다. 스칼라 곱

:

\langle\psi|\phi\rangle = \bar{\psi}\phi = \psi^\dagger \gamma_0 \phi

은 보존된다. 그러나 이 곱은 양의 정부호가 아니므로, 이 표현은 유니터리가 아니다.

11. 6. x, y, z 축을 따른 스핀 측정

고전역학에서 입자의 각운동량은 크기와 방향(입자의 회전축에서 위 또는 아래)을 모두 갖는다. 양자역학적 스핀 또한 방향 정보를 포함하지만, 더 미묘한 방식으로 나타난다. 양자역학에 따르면, 임의의 방향으로 스핀 s인 입자의 각운동량 성분을 측정하면 다음과 같은 값만 가질 수 있다.^[19]

:

S_i = \hbar s_i, \quad s_i \in \{ -s, -(s - 1), \dots, s - 1, s \},

여기서

S_i

는

i

축(

x

,

y

, 또는

z

)을 따라 측정한 스핀 성분이고,

s_i

는

i

축을 따른 스핀 투영 양자수이며,

s

는 주 스핀 양자수이다. 관례적으로 선택되는 방향은

z

축이다.

:

S_z = \hbar s_z, \quad s_z \in \{ -s, -(s - 1), \dots, s - 1, s \},

여기서

S_z

는

z

축을 따른 스핀 성분이고,

s_z

는

z

축을 따른 스핀 투영 양자수이다.

s_z

의 가능한 값은

2s + 1

개이며, 이는 스핀 계의 다중도를 나타낸다. 예를 들어, 스핀-½ 입자는

s_z = +½

와

s_z = -½

두 가지 값을 가질 수 있으며, 각각 "스핀 업"과 "스핀 다운"으로 불리는 양자 상태에 해당한다. 델타 중입자와 같이 스핀-½ 입자의 경우 가능한 값은 +½, +½, -½, -½이다.

스핀-1/2 입자의 경우, 각 축에 대한 파울리 행렬은 +1과 -1 두 개의 고유값을 가지며, 대응하는 정규화된 고유벡터는 다음과 같다.

\begin{array}{lclc}\psi_{x+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_x =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix},  &\psi_{x-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_x =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}, \\\psi_{y+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_y =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix},  &\psi_{y-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_y =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}, \\\psi_{z+} = \left|\frac{1}{2}, \frac{+1}{2}\right\rangle_z =                          &\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, &\psi_{z-} = \left|\frac{1}{2}, \frac{-1}{2}\right\rangle_z =                          &\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\end{array}

양자역학의 가정에 따르면,

x

,

y

, 또는

z

축에서 전자 스핀을 측정하는 실험은 해당 축에 대한 스핀 연산자의 고유값(

\frac{\hbar}{2}

또는

-\frac{\hbar}{2}

)만을 결과로 얻을 수 있다. 측정 후, 입자의 스핀 상태는 대응하는 고유 상태로 붕괴한다.

파울리 행렬은 교환 법칙을 따르지 않기 때문에, 서로 다른 축을 따라 측정한 스핀 값은 서로 양립할 수 없다. 예를 들어, x축을 따라 스핀을 측정한 후 y축을 따라 스핀을 측정하면 x축 방향 스핀에 대한 이전 정보는 무효화된다. 이는 다음의 고유벡터 성질에서 확인할 수 있다.

\big| \langle \psi_{x\pm} | \psi_{y\pm} \rangle \big|^2 =\big| \langle \psi_{x\pm} | \psi_{z\pm} \rangle \big|^2 =\big| \langle \psi_{y\pm} | \psi_{z\pm} \rangle \big|^2 = \tfrac{1}{2}.

즉, x축에서 스핀을

\frac{\hbar}{2}

로 측정하여

|\psi_{x+}\rangle

상태가 된 입자는, 이후 y축에서 측정하면 ½ 확률로

|\psi_{y+}\rangle

또는

|\psi_{y-}\rangle

상태로 붕괴한다. 다시 x축에서 측정하면, 이전의 x축 측정값은 무효화되고

\frac{\hbar}{2}

또는

-\frac{\hbar}{2}

를 각각 ½ 확률로 얻게 된다.

11. 7. 임의의 축을 따른 스핀 측정

임의의 축 방향을 따라 스핀을 측정하는 연산자는 파울리 스핀 행렬에서 쉽게 얻을 수 있다.

u = (u_x, u_y, u_z)

를 임의의 단위 벡터라고 하면, 이 방향의 스핀에 대한 연산자는 다음과 같다.

:

S_u = \frac{\hbar}{2} (u_x \sigma_x + u_y \sigma_y + u_z \sigma_z).

연산자

S_u

는 일반적인 스핀 행렬과 마찬가지로

\pm \frac{\hbar}{2}

의 고윳값을 갖는다. 임의의 방향에서 스핀에 대한 연산자를 찾는 이 방법은 더 높은 스핀 상태로 일반화할 수 있는데, 세 개의

x

-,

y

-,

z

-축 방향에 대한 세 개의 연산자 벡터와 방향의 내적을 취하는 것이다.

(u_x, u_y, u_z)

방향의 스핀-½에 대한 정규화된 스피너(스핀 다운을 제외한 모든 스핀 상태에서 작동하며, 스핀 다운인 경우

\frac{0}{0}

을 제공)는 다음과 같다.

:

\frac{1}{\sqrt{2 + 2u_z}} \begin{pmatrix} 1 + u_z \\ u_x + iu_y \end{pmatrix}.

위의 스피너는

\sigma_u

행렬을 대각화하고 고윳값에 해당하는 고유 상태를 찾는 일반적인 방법으로 얻어진다. 양자역학에서 벡터는 정규화 인자를 곱하여 길이가 1이 되도록 할 때 "정규화된" 것으로 간주된다.

11. 8. 스핀 측정의 양립성

파울리 행렬은 교환 법칙을 따르지 않으므로, 서로 다른 축을 따라 측정한 스핀 값은 서로 양립할 수 없다. 예를 들어, x축을 따라 스핀을 알고 있다면, y축을 따라 스핀을 측정하는 순간 x축 방향 스핀에 대한 이전 정보는 무효화된다. 이는 파울리 행렬의 고유벡터(즉, 고유 상태)의 다음 성질에서 확인할 수 있다.

:

\big| \langle \psi_{x\pm} | \psi_{y\pm} \rangle \big|^2 =\big| \langle \psi_{x\pm} | \psi_{z\pm} \rangle \big|^2 =\big| \langle \psi_{y\pm} | \psi_{z\pm} \rangle \big|^2 = \tfrac{1}{2}.

따라서 물리학자들이 입자의 스핀을 x축 방향으로 측정하여 예를 들어 ħ/2를 얻었다면, 입자의 스핀 상태는 붕괴하여

|\psi_{x+}\rangle

고유 상태가 된다. 이후 y축 방향으로 입자의 스핀을 측정하면 스핀 상태는

|\psi_{y+}\rangle

또는

|\psi_{y-}\rangle

중 하나로 붕괴되며, 각각의 확률은 1/2이다. 예를 들어, -ħ/2를 측정했다고 가정해 보자. 이제 다시 x축 방향으로 입자의 스핀을 측정하면 ħ/2 또는 -ħ/2를 측정할 확률은 각각 1/2이다 (즉,

\big| \langle \psi_{x+} | \psi_{y-} \rangle \big|^2

와

\big| \langle \psi_{x-} | \psi_{y-} \rangle \big|^2

이다). 이는 x축 방향 스핀의 원래 측정값이 더 이상 유효하지 않음을 의미한다. x축 방향 스핀은 이제 어느 고유값도 동일한 확률로 측정될 것이기 때문이다.

11. 9. 더 높은 스핀

스핀-½ 연산자는 SU(2)의 기본 표현을 형성한다. 이 표현을 자신과 반복적으로 크로네커 곱하여 모든 더 높은 기약 표현을 구성할 수 있다. 즉, 3차원 공간에서 더 높은 스핀 시스템에 대한 결과 스핀 연산자는 이 스핀 연산자와 사다리 연산자를 사용하여 임의로 큰 s 에 대해 계산할 수 있다. 예를 들어, 두 개의 스핀-½의 크로네커 곱을 취하면 4차원 표현이 생성되며, 이는 3차원 스핀-1(삼중항 상태)과 1차원 스핀-0 표현(일중항 상태)으로 분리할 수 있다.^[20]

결과 기약 표현은 z-기저에서 다음 스핀 행렬과 고유값을 생성한다.

스핀	식	고유벡터
스핀 1


스핀 3/2


스핀 5/2

임의의 스핀 s에 대한 이러한 행렬의 일반화는 다음과 같다.^[20]

$\begin{align}\left(S_x\right)_{ab} & = \frac{\hbar}{2} \left(\delta_{a,b+1} + \delta_{a+1,b}\right) \sqrt{(s + 1)(a + b - 1) - ab}, \\\left(S_y\right)_{ab} & = \frac{i\hbar}{2} \left(\delta_{a,b+1} - \delta_{a+1,b}\right) \sqrt{(s + 1)(a + b - 1) - ab}, \\\left(S_z\right)_{ab} & = \hbar (s + 1 - a) \delta_{a,b} = \hbar (s + 1 - b) \delta_{a,b},\end{align}$

여기서 지수 a, b는 다음과 같은 정수이다.

$1 \le a \le 2s + 1, \quad 1 \le b \le 2s + 1.$

다체계의 양자역학에서도 유용하게 사용되는 일반적인 파울리 군은 모든 n중 텐서 곱의 파울리 행렬로 구성된다.

12. 파리티

핵이나 입자의 스핀 양자수 표에서 스핀 뒤에는 "+" 또는 "−"가 종종 따라온다.^[31] 이것은 파리티를 나타내며, "+"는 짝수 파리티(공간 반전에 의해 파동 함수가 변하지 않음)를, "−"는 홀수 파리티(공간 반전에 의해 파동 함수가 부호가 바뀜)를 의미한다. 예를 들어, 비스무트의 동위원소를 보면, 동위원소 목록에 핵 스핀과 파리티 열이 포함되어 있다. 가장 수명이 긴 동위원소인 Bi-209의 경우, 9/2-는 핵 스핀이 9/2이고 파리티가 홀수임을 의미한다.

13. 스핀 측정

원자의 핵 스핀은 불균일 자기장 내에서 단일 에너지(분자선)가 각각의 가능한 스핀 양자 상태를 나타내는 빔으로 분리되는 현상을 이용하여 결정할 수 있다.^[24] 전자 스핀 과 핵 스핀 을 갖는 원자의 경우, 개의 스핀 상태가 존재한다. 예를 들어 인 중성 나트륨 원자는 일련의 불균일 자기장을 통과하면 두 가지 전자 스핀 상태 중 하나를 선택하고 핵 스핀 상태를 분리하여 네 개의 빔이 관찰된다. 따라서 ²³Na 원자의 핵 스핀은 인 것으로 밝혀졌다.^[25]^[26]

파이온(pion)의 스핀은 양성자 충돌을 통해 하전된 파이온과 중수소를 생성하는 반응에 상세 균형 원리를 적용하여 결정할 수 있다.

: $p + p \rightarrow \pi_- +d$

양성자와 중수소의 스핀 값을 통해 충돌 단면적을 분석하면 $\pi_-$ 의 스핀이 $s_\pi = 0$ 임을 알 수 있다. 중성 파이온의 경우에는 붕괴 과정에서 스핀이 1인 두 개의 감마선 광자가 생성된다.

: $\pi_0 \rightarrow 2\gamma$

이 결과와 추가 분석을 통해 중성 파이온 역시 스핀이 0이라는 결론을 얻을 수 있다.^[27]

14. 응용

스핀은 다음과 같은 다양한 분야에 직접적으로 응용된다.

화학 분야의 핵자기 공명(NMR) 분광법
화학 및 물리학 분야의 전자 스핀 공명(ESR 또는 EPR) 분광법
의학 분야의 자기 공명 영상(MRI) (응용 NMR의 한 종류) – 양성자 스핀 밀도에 의존함
현대 하드 디스크의 거대 자기 저항(GMR) 드라이브 헤드 기술

전자 스핀은 자기에서 중요한 역할을 하며, 컴퓨터 메모리 등에 응용된다. 라디오파를 이용한 핵 스핀 조작(핵자기 공명)은 화학 분광법과 의료 영상에서 중요하다.

스핀-궤도 결합은 원자 스펙트럼의 미세 구조를 생성하며, 이는 원자 시계와 초의 현대적 정의에 사용된다. 전자의 g-인자에 대한 정밀 측정은 양자 전기 역학의 개발과 검증에 중요한 역할을 했다. 광자 스핀은 빛의 편광(광자 편광)과 관련이 있다.

스핀의 새로운 응용 분야는 스핀 트랜지스터에서 2진 정보 운반체로 사용하는 것이다. 1990년에 제안된 원래 개념은 Datta–Das 스핀 트랜지스터로 알려져 있다.^[28] 스핀 트랜지스터를 기반으로 하는 전자 공학은 스핀트로닉스라고 한다. 희석 자성 반도체 재료(예: 금속 도핑된 ZnO 또는 TiO₂)에서 스핀 조작은 자유도를 더 높이고 더 효율적인 전자 제품 제작을 용이하게 할 수 있다.^[29]

파울리 배타 원리와 관련된 스핀의 간접적인 응용 및 발현은 화학의 주기율표부터 시작하여 매우 많다.

참조

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