반완전수
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1. 개요
반완전수는 자신의 진약수의 합으로 나타낼 수 있는 수이다. 준완전수의 배수는 모두 준완전수이며, 2mp 형태의 수는 준완전수이다. 2m(2m+1 − 1) 형태의 수는 준완전수이며, 2m+1 − 1이 메르센 소수이면 완전수이다. 원시 반완전수는 진부분수 중 반완전수가 없는 반완전수이며, 6, 20, 28, 88, 104 등이 있다. 홀수인 원시 반완전수도 무한히 많으며, 모든 반완전수는 원시 반완전수의 배수이다.
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| 반완전수 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 정의 | 어떤 수의 자신을 제외한 약수들의 합으로 표현될 수 있는 자연수를 말한다. |
| 예시 | |
| 예시 | 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30 |
| 수열 | |
| OEIS | A005835 |
| OEIS 이름 | 준완전수 (또는 반완전수) |
| 언어별 명칭 | |
| 영어 | Semiperfect number, pseudoperfect number |
2. 성질
- 준완전수의 배수는 준완전수이다.[1] 어떤 더 작은 준완전수로도 나누어 떨어지지 않는 준완전수는 '원시적'이라고 불린다.
- 자연수 ''m''과 ''p'' < 2''m''+1인 홀수 소수 ''p''에 대해, 2''m''''p'' 형태의 모든 수는 준완전수이다.
- 특히, 2''m''(2''m''+1 − 1) 형태의 모든 수는 준완전수이며, 2''m''+1 − 1이 메르센 소수이면 완전수이다.
- 가장 작은 홀수인 준완전수는 945이다.
- 준완전수는 반드시 완전수이거나 과잉수이다. 준완전수가 아닌 과잉수는 기묘수라고 불린다.
- 2를 제외한 모든 제1 의사 완전수는 준완전수이다.
- 실용수 중 2의 거듭제곱이 아닌 모든 수는 준완전수이다.
- 준완전수의 집합의 자연 밀도가 존재한다.[2]
3. 원시 반완전수
'''원시 반완전수''' (또는 ''원시 유사 완전수'', ''기약 반완전수'' 또는 ''기약 유사 완전수'')는 진부분수 중 반완전수가 없는 반완전수이다.[2]
가장 작은 몇 개의 원시 반완전수는 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350 등이다.
그러한 수는 무한히 많다. 2''m''''p'' 형태의 모든 수는, 여기서 ''p''는 2''m''과 2''m''+1 사이의 소수이며, 원시 반완전수이지만 이것이 유일한 형태는 아니다. 예를 들어 770이 있다.[1][2] 폴 에르되시의 결과에 따르면, 홀수인 원시 반완전수도 무한히 많으며, 가장 작은 값은 945이다.[2] 조화 약수 수가 아닌 원시 반완전수도 무한히 많다.[1]
모든 반완전수는 원시 반완전수의 배수이다.
4. 기타 반완전수 관련 사항
완전수의 약수는 모두 부족수이다. 90은 유사 완전수이지만, 자신의 약수 중 부족수만을 더하여 자기 자신이 되는 수이다.[5] 예를 들어, σ(a) - 2a = 1 (σ는 약수 함수)을 만족하는 자연수는 유사 완전수라고 불린다. 하지만 실제로, 그 해가 -1, 0, 1을 만족하는 자연수 a가 존재하는지는 불분명하며, 현재 수학에서는 밝혀지지 않았다.
참조
[1]
논문
Zachariou+Zachariou
1972
[2]
서적
Guy
2004
[3]
OEIS
A005835
[4]
OEIS
A006036
[5]
OEIS
A125310
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