약수 함수

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1. 개요

약수 함수는 자연수 n과 복소수 a에 대해 n의 양의 약수들의 a제곱의 합으로 정의되는 함수이다. a=0일 때는 약수의 개수를, a=1일 때는 모든 약수의 합을 나타낸다. 약수 함수는 곱셈적 함수이지만 완전 곱셈적 함수는 아니며, 소수 p에 대해 σ(p) = p+1이다. 약수 함수는 소인수 분해를 통해 계산할 수 있으며, 오일러는 약수 함수에 대한 재귀적 표현을 발견했다. 약수 함수는 진약수의 합, 완전수, 과잉수, 부족수 등과 관련이 있으며, 디리클레 급수, 람베르트 급수, 라마누잔 등식 등으로 표현될 수 있다. 약수 함수의 증가율과 관련된 여러 공식과 정리들이 있으며, 홀수 완전수, 준완전수, 유사완전수, 초완전수, 우애수, 약혼수 등과 관련된 미해결 문제들이 존재한다.

약수 함수

개요

유형	산술 함수
연구 분야	정수론

정의

기호	σk(n)
정의	n의 양의 약수의 k 거듭제곱의 합
공식	σk(n) = ∑d\|n dk

예시

σ0(n)	d(n) (n의 약수의 수)
σ1(n)	σ(n) (n의 약수의 합)

성질

승법적 성질	m과 n이 서로소이면 σk(mn) = σk(m)σk(n)이다.
소수의 거듭제곱	σk(pe) = 1 + pk + p2k + ... + pek
디리클레 생성 함수	ζ(s)ζ(s − k)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 관련 함수 및 개념
5. 계산 예시
6. 급수 표현
7. 증가율
8. 기타 공식
9. 관련 미해결 문제

2. 정의

자연수 $n$ 과 복소수 $a$ 에 대하여, 약수 함수 $\sigma_a(n)$ 는 $n$ 의 모든 양의 약수들의 $a$ 제곱의 합으로 정의된다.

: $\sigma_a(n)=\sum_{d\mid n}d^a$

여기서 $\textstyle \displaystyle \sum_{d\mid n}$ 은 $n$ 의 양의 약수들에 대한 합이며, 1과 $n$ 자신을 포함한다.

$a=0$ 일 때, $\sigma_0(n)$ 은 $d(n)$ 또는 $\tau(n)$ 으로도 표기하며, $n$ 의 약수의 개수를 나타낸다.

: $\sigma_0(n)=\#\{d\in\mathbb Z^+\colon d\mid m\}$

$a=1$ 일 때, $\sigma_1(n)$ 은 시그마 함수 $\sigma(n)$ 라고도 하며, $n$ 의 모든 양의 약수의 합을 나타낸다.

: $\sigma(n)=\sigma_{1}(n)=\sum_{d\mid n}d$

$s(n) = \sigma(n) - n$ 은 $n$ 자신을 제외한 양의 약수의 합을 나타내며, 진약수의 합이라고도 한다.

3. 성질

소수 p에 대해,

: $\sigma_1(p) = p+1$

이 성립한다. 소수의 양의 약수는 1과 자기 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이지만, 완전 곱셈적은 아니다. 즉, 서로소인 두 자연수 $m,n$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\gcd(a, b)=1 \Longrightarrow \sigma_x(ab)=\sigma_x(a)\sigma_x(b).$

만약 $n$ 이 다음과 같이 소인수 분해된다면,

: $n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i}$

다음이 성립한다.

: $\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}.$

x = 0일 때, $\sigma_0(n)$ 은 다음과 같다.

: $\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r (a_i+1).$

오일러는 다음과 같은 재귀식을 증명했다.

: $\begin{align}\sigma_1(n) &= \sigma_1(n-1)+\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+\sigma_1(n-12)+\sigma_1(n-15)+ \cdots \\[12mu]&= \sum_{i\in\N} (-1)^{i+1}\left( \sigma_1 \left( n-\frac{1}{2} \left( 3i^2-i \right) \right) + \sigma_1 \left( n-\frac{1}{2} \left( 3i^2+i \right) \right) \right),\end{align}$

여기서 $\sigma_1(0)=n$ 이며, $x < 0$ 에 대해 $\sigma_1(x)=0$ 이고, $\tfrac{1}{2} \left( 3i^2 \mp i \right)$ 는 일반화된 오각수의 연속된 쌍이다.

제곱수가 아닌 정수 n에 대해, n의 모든 약수 d는 n/d와 짝을 이루며, $\sigma_{0}(n)$ 은 짝수이다. 제곱수인 경우, 하나의 약수(즉, $\sqrt n$ )는 다른 약수와 짝을 이루지 않으므로 $\sigma_{0}(n)$ 은 홀수이다. 이와 유사하게, $\sigma_{1}(n)$ 은 n이 제곱수이거나 제곱수의 두 배일 경우에만 홀수이다.

4. 관련 함수 및 개념

자연수 n의 진약수의 합 s(n)은 σ(n) - n으로 표현되며, n에서 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합이다. 이와 관련하여 다음과 같은 수와 개념들이 있다.

* 완전수: s(n) = n인 수이다. 예를 들어 6, 28, 496 등이 있다.
* 과잉수: s(n) > n인 수이다.
* 부족수: s(n) < n인 수이다.
* 준완전수: σ(n) = 2n - 1인 수이다. 예를 들어 2의 거듭제곱이 이에 해당한다.
* 유사완전수: σ(n) = 2n + 1인 수이다. 이 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았다.
* k-과잉 완전수: σ(n) = kn인 수이다.
* 초완전수: σ(σ(n)) = 2n인 수이다.
* 우애수: σ(n) = σ(m) = n + m을 만족하는 서로 다른 두 수 n, m이다.
* 약혼수: σ(n) = σ(m) = n + m + 1을 만족하는 서로 다른 두 수 n, m이다.
* 풍요 지수: σ_-1(n)이다.

5. 계산 예시

σ₀^영어(12)는 12의 약수의 개수이다.

: $\begin{align}\sigma_0(12) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 4^0 + 6^0 + 12^0 \\& = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6,\end{align}$

반면에 σ₁^영어(12)는 모든 약수의 합이다.

: $\begin{align}\sigma_1(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 + 12^1 \\& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28,\end{align}$

그리고 진약수의 합 s(12)는 다음과 같다.

: $\begin{align}s(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 \\& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.\end{align}$

σ_-1^영어(n)는 때때로 n의 풍요 지수라고 불리며, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\sigma_{-1}(12) & = 1^{-1} + 2^{-1} + 3^{-1} + 4^{-1} + 6^{-1} + 12^{-1} \\[6pt]& = \tfrac11 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac16 + \tfrac1{12} \\[6pt]& = \tfrac{12}{12} + \tfrac6{12} + \tfrac4{12} + \tfrac3{12} + \tfrac2{12} + \tfrac1{12} \\[6pt]& = \tfrac{12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1}{12} = \tfrac{28}{12} = \tfrac73 = \tfrac{\sigma_1(12)}{12}\end{align}$

예를 들어, n = 15인 경우,

:d(15) = σ₀^영어(15) = 1⁰ + 3⁰ + 5⁰ + 15⁰ = 4,
:σ^영어(15) = σ₁^영어(15) = 1¹ + 3¹ + 5¹ + 15¹ = 24,
:σ₂^영어(15) = 1² + 3² + 5² + 15² = 260

6. 급수 표현

디리클레 급수:

: $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)\quad\text{for}\quad s>1,s>a+1,$

여기서 $\zeta$ 는 리만 제타 함수이다. d(n) = σ;₀(n)에 대한 급수는 다음과 같다.

: $\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s)\quad\text{for}\quad s>1,$

라마누잔 등식

: $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)},$

이는 랭킨-셀버그 컨볼루션의 특수한 경우이다.

람베르트 급수:

: $\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty n^a q^{j\,n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}$

임의의 복소수 |q| ≤ 1 및 a에 대해. 이 합산은 아이젠슈타인 급수의 푸리에 급수와 바이어슈트라스 타원 함수의 불변량으로도 나타난다.

라마누잔 합을 이용한 표현:

$k>0$ 에 대해, 라마누잔 합 $c_m(n)$ 을 사용하여 명시적인 급수 표현이 있다.

: $\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k\sum_{m=1}^\infty \frac {c_m(n)}{m^{k+1}}.$

$c_m(n)$ 의 첫 번째 항을 계산하면 "평균 값" $\zeta(k+1)n^k$ 주변의 진동이 나타난다.

: $\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k \left[ 1 + \frac{(-1)^n}{2^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {2\pi n}{3}}{3^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {\pi n}{2}}{4^{k+1}} + \cdots\right]$

7. 증가율

약수 함수의 증가율에 대한 여러 가지 결과가 있다.

작은 o 표기법으로 나타낸 약수 함수는 다음 부등식을 만족한다.
: $d(n) = o(n^\varepsilon)$ (모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해)

세베린 비게르트는 다음을 보였다.
: $\limsup_{n\to\infty}\frac{\log d(n)}{\log n/\log\log n}=\log2.$

반면, 소수는 무한히 많으므로 다음이 성립한다.
: $\liminf_{n\to\infty} d(n)=2.$

페터 구스타프 르줴네 디리클레는 빅 오 표기법에서 약수 함수의 평균적 차수가 다음 부등식을 만족한다는 것을 보였다.
: $\mbox{모든 } x\geq1에 대해, \sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}),$
여기서 $\gamma$ 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 공식에서 경계 $O(\sqrt{x})$ 를 개선하는 문제는 디리클레의 약수 문제로 알려져 있다.

시그마 함수의 점근적 성장률은 다음과 같이 표현될 수 있다.
: $\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\,\log \log n}=e^\gamma,$
여기서 상한은 상극한이다. 이 결과는 1913년에 발표된 그뢴월의 정리이다.

1984년, 가이 로빈은 리만 가설이 참일 필요충분조건으로 다음 부등식
: $\ \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n$ (여기서 γ는 오일러-마스케로니 상수이다)
이 모든 n > 5040에 대해 참임을 증명했다. 이것이 로빈의 정리이다.

제프리 라가리아스는 2002년에 리만 가설이 다음 명제와 동치임을 증명했다.
: $\sigma(n) < H_n + e^{H_n}\log(H_n)$
모든 자연수 n > 1에 대해, 여기서 $H_n$ 는 n번째 조화수이다.

8. 기타 공식

오일러는 약수 함수를 다음과 같이 표현했다.

: $\begin{align}\sigma_1(n) &=\sigma_1(n-1) +\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+\sigma_1(n-12)+\sigma_1(n-15) - ... \\&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}}\left(\sigma_1\left(n-\frac{1}{2}(3i^2-i)\right)+\sigma_1\left(n-\frac{1}{2}(3i^2+i)\right)\right)\end{align}$

이 수식에서 $n<0$ 일 때 $\sigma_1(n)=0$ 로 하고, $\sigma_1(0) = n$ 으로 한다.

약수 함수는 삼각 함수를 이용한 식으로도 나타낼 수 있다.

9. 관련 미해결 문제

* 홀수 완전수의 존재 여부
* 준완전수, 유사완전수의 존재 여부
* 2의 거듭제곱 외의 홀수 초완전수의 존재 여부
* 우애수의 무한성
* 약혼수의 무한성