약수 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 관련 함수 및 개념
5. 계산 예시
6. 급수 표현
7. 증가율
8. 기타 공식
9. 관련 미해결 문제
참조

1. 개요

약수 함수는 자연수 n과 복소수 a에 대해 n의 양의 약수들의 a제곱의 합으로 정의되는 함수이다. a=0일 때는 약수의 개수를, a=1일 때는 모든 약수의 합을 나타낸다. 약수 함수는 곱셈적 함수이지만 완전 곱셈적 함수는 아니며, 소수 p에 대해 σ(p) = p+1이다. 약수 함수는 소인수 분해를 통해 계산할 수 있으며, 오일러는 약수 함수에 대한 재귀적 표현을 발견했다. 약수 함수는 진약수의 합, 완전수, 과잉수, 부족수 등과 관련이 있으며, 디리클레 급수, 람베르트 급수, 라마누잔 등식 등으로 표현될 수 있다. 약수 함수의 증가율과 관련된 여러 공식과 정리들이 있으며, 홀수 완전수, 준완전수, 유사완전수, 초완전수, 우애수, 약혼수 등과 관련된 미해결 문제들이 존재한다.

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약수 함수
개요
유형	산술 함수
연구 분야	정수론
정의
기호	σk(n)
정의	n의 양의 약수의 k 거듭제곱의 합
공식	σk(n) = ∑d\|n dk
예시
σ0(n)	d(n) (n의 약수의 수)
σ1(n)	σ(n) (n의 약수의 합)
성질
승법적 성질	m과 n이 서로소이면 σk(mn) = σk(m)σk(n)이다.
소수의 거듭제곱	σk(pe) = 1 + pk + p2k + ... + pek
디리클레 생성 함수	ζ(s)ζ(s − k)

2. 정의

자연수 $n$ 과 복소수 $a$ 에 대하여, '''약수 함수''' $\sigma_a(n)$ 는 $n$ 의 모든 양의 약수들의 $a$ 제곱의 합으로 정의된다.

: $\sigma_a(n)=\sum_{d\mid n}d^a$

여기서 $\textstyle \displaystyle \sum_{d\mid n}$ 은 $n$ 의 양의 약수들에 대한 합이며, 1과 $n$ 자신을 포함한다.

$a=0$ 일 때, $\sigma_0(n)$ 은 $d(n)$ 또는 $\tau(n)$ 으로도 표기하며, $n$ 의 약수의 개수를 나타낸다.^[1]^[2]

: $\sigma_0(n)=\#\{d\in\mathbb Z^+\colon d\mid m\}$

$a=1$ 일 때, $\sigma_1(n)$ 은 '''시그마 함수''' $\sigma(n)$ 라고도 하며, $n$ 의 모든 양의 약수의 합을 나타낸다.^[1]^[3]

: $\sigma(n)=\sigma_{1}(n)=\sum_{d\mid n}d$

$s(n) = \sigma(n) - n$ 은 $n$ 자신을 제외한 양의 약수의 합을 나타내며, 진약수의 합이라고도 한다.

3. 성질

소수 ''p''에 대해,

: $\sigma_1(p) = p+1$

이 성립한다. 소수의 양의 약수는 1과 자기 자신 뿐이기 때문이다.^[1]

약수 함수는 곱셈적이지만, 완전 곱셈적은 아니다. 즉, 서로소인 두 자연수 $m,n$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\gcd(a, b)=1 \Longrightarrow \sigma_x(ab)=\sigma_x(a)\sigma_x(b).$

만약 $n$ 이 다음과 같이 소인수 분해된다면,

: $n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i}$

다음이 성립한다.

: $\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}.$

''x'' = 0일 때, $\sigma_0(n)$ 은 다음과 같다.

: $\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r (a_i+1).$

오일러는 다음과 같은 재귀식을 증명했다.^[5]^[6]^[7]

: $\begin{align}\sigma_1(n) &= \sigma_1(n-1)+\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+\sigma_1(n-12)+\sigma_1(n-15)+ \cdots \\[12mu]&= \sum_{i\in\N} (-1)^{i+1}\left( \sigma_1 \left( n-\frac{1}{2} \left( 3i^2-i \right) \right) + \sigma_1 \left( n-\frac{1}{2} \left( 3i^2+i \right) \right) \right),\end{align}$

여기서 $\sigma_1(0)=n$ 이며, $x < 0$ 에 대해 $\sigma_1(x)=0$ 이고, $\tfrac{1}{2} \left( 3i^2 \mp i \right)$ 는 일반화된 오각수의 연속된 쌍이다.

제곱수가 아닌 정수 ''n''에 대해, ''n''의 모든 약수 ''d''는 ''n''/''d''와 짝을 이루며, $\sigma_{0}(n)$ 은 짝수이다. 제곱수인 경우, 하나의 약수(즉, $\sqrt n$ )는 다른 약수와 짝을 이루지 않으므로 $\sigma_{0}(n)$ 은 홀수이다. 이와 유사하게, $\sigma_{1}(n)$ 은 ''n''이 제곱수이거나 제곱수의 두 배일 경우에만 홀수이다.

4. 관련 함수 및 개념

자연수 n의 '''진약수의 합''' s(n)은 σ(n) - n으로 표현되며, n에서 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합이다. 이와 관련하여 다음과 같은 수와 개념들이 있다.

'''완전수''': s(n) = n인 수이다. 예를 들어 6, 28, 496 등이 있다.
'''과잉수''': s(n) > n인 수이다.
'''부족수''': s(n) < n인 수이다.
'''준완전수''': σ(n) = 2n - 1인 수이다. 예를 들어 2의 거듭제곱이 이에 해당한다.
'''유사완전수''': σ(n) = 2n + 1인 수이다. 이 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았다.
'''k-과잉 완전수''': σ(n) = kn인 수이다.
'''초완전수''': σ(σ(n)) = 2n인 수이다.
'''우애수''': σ(n) = σ(m) = n + m을 만족하는 서로 다른 두 수 n, m이다.
'''약혼수''': σ(n) = σ(m) = n + m + 1을 만족하는 서로 다른 두 수 n, m이다.
'''풍요 지수''': σ_-1(n)이다.

5. 계산 예시

σ₀^영어(12)는 12의 약수의 개수이다.

: $\begin{align}\sigma_0(12) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 4^0 + 6^0 + 12^0 \\& = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6,\end{align}$

반면에 σ₁^영어(12)는 모든 약수의 합이다.

: $\begin{align}\sigma_1(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 + 12^1 \\& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28,\end{align}$

그리고 진약수의 합 s(12)는 다음과 같다.

: $\begin{align}s(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 \\& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.\end{align}$

σ_-1^영어(n)는 때때로 n의 풍요 지수라고 불리며, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\sigma_{-1}(12) & = 1^{-1} + 2^{-1} + 3^{-1} + 4^{-1} + 6^{-1} + 12^{-1} \\[6pt]& = \tfrac11 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac16 + \tfrac1{12} \\[6pt]& = \tfrac{12}{12} + \tfrac6{12} + \tfrac4{12} + \tfrac3{12} + \tfrac2{12} + \tfrac1{12} \\[6pt]& = \tfrac{12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1}{12} = \tfrac{28}{12} = \tfrac73 = \tfrac{\sigma_1(12)}{12}\end{align}$

예를 들어, ''n'' = 15인 경우,

:d(15) = σ₀^영어(15) = 1⁰ + 3⁰ + 5⁰ + 15⁰ = 4,

:σ^영어(15) = σ₁^영어(15) = 1¹ + 3¹ + 5¹ + 15¹ = 24,

:σ₂^영어(15) = 1² + 3² + 5² + 15² = 260

6. 급수 표현

디리클레 급수:^[4]

: $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)\quad\text{for}\quad s>1,s>a+1,$

여기서 $\zeta$ 는 리만 제타 함수이다. ''d''(''n'') = ''σ;''₀(''n'')에 대한 급수는 다음과 같다.

: $\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s)\quad\text{for}\quad s>1,$

라마누잔 등식

: $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)},$

이는 랭킨-셀버그 컨볼루션의 특수한 경우이다.

람베르트 급수:^[4]

: $\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty n^a q^{j\,n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}$

임의의 복소수 |''q''| ≤ 1 및 ''a''에 대해. 이 합산은 아이젠슈타인 급수의 푸리에 급수와 바이어슈트라스 타원 함수의 불변량으로도 나타난다.

라마누잔 합을 이용한 표현:^[8]

$k>0$ 에 대해, 라마누잔 합 $c_m(n)$ 을 사용하여 명시적인 급수 표현이 있다.

: $\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k\sum_{m=1}^\infty \frac {c_m(n)}{m^{k+1}}.$

$c_m(n)$ 의 첫 번째 항을 계산하면 "평균 값" $\zeta(k+1)n^k$ 주변의 진동이 나타난다.

: $\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k \left[ 1 + \frac{(-1)^n}{2^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {2\pi n}{3}}{3^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {\pi n}{2}}{4^{k+1}} + \cdots\right]$

7. 증가율

약수 함수의 증가율에 대한 여러 가지 결과가 있다.

작은 o 표기법으로 나타낸 약수 함수는 다음 부등식을 만족한다.

: $d(n) = o(n^\varepsilon)$ (모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해)

세베린 비게르트는 다음을 보였다.

: $\limsup_{n\to\infty}\frac{\log d(n)}{\log n/\log\log n}=\log2.$

반면, 소수는 무한히 많으므로 다음이 성립한다.

: $\liminf_{n\to\infty} d(n)=2.$

페터 구스타프 르줴네 디리클레는 빅 오 표기법에서 약수 함수의 평균적 차수가 다음 부등식을 만족한다는 것을 보였다.^[1]

: $\mbox{모든 } x\geq1에 대해, \sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}),$

여기서 $\gamma$ 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 공식에서 경계 $O(\sqrt{x})$ 를 개선하는 문제는 디리클레의 약수 문제로 알려져 있다.

시그마 함수의 점근적 성장률은 다음과 같이 표현될 수 있다.^[2]

: $\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\,\log \log n}=e^\gamma,$

여기서 상한은 상극한이다. 이 결과는 1913년에 발표된 그뢴월의 정리이다.

1984년, 가이 로빈은 리만 가설이 참일 필요충분조건으로 다음 부등식

: $\ \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n$ (여기서 γ는 오일러-마스케로니 상수이다)

이 모든 ''n'' > 5040에 대해 참임을 증명했다. 이것이 '''로빈의 정리'''이다.

제프리 라가리아스는 2002년에 리만 가설이 다음 명제와 동치임을 증명했다.

: $\sigma(n) < H_n + e^{H_n}\log(H_n)$

모든 자연수 ''n'' > 1에 대해, 여기서 $H_n$ 는 ''n''번째 조화수이다.

8. 기타 공식

오일러는 약수 함수를 다음과 같이 표현했다.^[9]

: $\begin{align}\sigma_1(n) &=\sigma_1(n-1) +\sigma_1(n-2)$

\sigma_1(n-5)
\sigma_1(n-7)

+\sigma_1(n-12)+\sigma_1(n-15) - ... \\&=\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^{i+1}}\left(\sigma_1\left(n-\frac{1}{2}(3i^2-i)\right)+\sigma_1\left(n-\frac{1}{2}(3i^2+i)\right)\right)\end{align}

이 수식에서

n<0

일 때

\sigma_1(n)=0

로 하고,

\sigma_1(0) = n

으로 한다.

약수 함수는 삼각 함수를 이용한 식으로도 나타낼 수 있다.

9. 관련 미해결 문제

홀수 완전수의 존재 여부
준완전수, 유사완전수의 존재 여부
2의 거듭제곱 외의 홀수 초완전수의 존재 여부
우애수의 무한성
약혼수의 무한성

참조

_[1] harvtxt
_[2] harvtxt
_[3] harvtxt
_[4] 간행물 Highly Composite Numbers https://zenodo.org/r[...]
_[5] arXiv An observation on the sums of divisors
_[6] 웹사이트 Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs https://scholarlycom[...]
_[7] 웹사이트 De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium https://scholarlycom[...]
_[8] 서적 Zahlentheorie VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
_[9] arXiv An observation on the sums of divisors
_[10] 간행물 Majorations explicites pour le nombre de diviseurs de $N$
_[11] 문서

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