버거스 벡터

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1. 개요
2. 개념
3. 버거스 벡터의 중요성
참조

1. 개요

버거스 벡터는 전위 주변의 결정 격자를 시각화하여 크기와 방향을 이해하는 데 사용되는 개념이다. 전위가 없는 완벽한 결정 구조를 상상하고, 전위의 시작점을 포함하는 직사각형을 그린다. 전위가 도입되면 직사각형은 열린 도형으로 변형되며, 이 열린 부분이 버거스 벡터를 정의한다. 버거스 벡터는 재료의 고용액 강화, 석출 경화, 가공 경화 등에 영향을 미치며, 전위선의 방향을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.

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버거스 벡터

2. 개념

가장자리 전위(왼쪽) 및 나사 전위(오른쪽)에서 버거스 벡터. 가장자리 전위는 결정 대칭에 맞지 않는 반 평면(회색 상자)의 도입으로 상상할 수 있다. 나사 전위는 반 평면을 따라 절단 및 전단 연산으로 상상할 수 있다.

결정 결함의 일종인 전위(dislocation) 주변의 결정 격자를 시각화하여 버거스 벡터(Burgers vector)의 크기와 방향을 이해할 수 있다. 우선 전위가 없는 '완벽한' 결정을 상상하고, 전위가 발생할 위치를 중심으로 길이와 너비가 단위 세포 길이의 정수 배인 직사각형을 그린다. 이 직사각형에 전위가 발생하면, 직사각형의 한쪽 변이 끊어지면서 열린 도형이 된다. 이때, 끊어진 부분의 간격과 방향을 나타내는 벡터가 바로 버거스 벡터이다.

버거스 벡터를 구체적으로 계산하는 방법은 다음과 같다. 전위 주변에 시계 방향으로 한 바퀴 도는 경로(버거스 회로)를 그린다. 이 경로는 전위가 없는 완벽한 결정에서는 시작점과 끝점이 만나 닫힌 도형을 이루지만, 전위가 있는 경우에는 시작점과 끝점이 어긋나게 된다. 이때 시작점에서 끝점으로 향하는 벡터가 버거스 벡터가 된다.^[2]

버거스 벡터의 방향은 전위의 종류에 따라 달라진다. 가장자리 전위의 경우 버거스 벡터는 전위선과 수직을 이루지만, 나사 전위의 경우에는 전위선과 평행하다.^[4]

버거스 벡터의 크기는 보통 다음과 같은 공식으로 표현된다. (\[\[체심 입방 격자|BCC]] 및 \[\[면심 입방 격자|FCC]] 격자에만 해당):

::

\|\mathbf{b}\|\ = (a/2)\sqrt{h^2+k^2+l^2}

여기서 a는 결정의 단위 세포 가장자리 길이,

\|\mathbf{b}\|

는 버거스 벡터의 크기, h, k, l은 버거스 벡터의 구성 요소이다.

대부분의 금속 재료에서 버거스 벡터의 크기는 원자 간 간격과 거의 같다.

2. 1. 완벽한 결정 구조

전위가 없는 완벽한 결정 구조를 가정하고, 전위의 시작점을 포함하는 직사각형을 그린다. 이 직사각형의 변은 단위 세포 변 길이의 정수배이다. 이 직사각형이 그려진 후, 전위가 도입되면 직사각형은 한 변이 수직 변에서 분리되어 열린 기하학적 도형으로 변형된다. 이 열린 부분은 버거스 벡터의 방향과 크기를 정의한다. 열린 부분의 너비는 버거스 벡터의 크기를 나타내며, 고정된 좌표 집합을 통해 전위된 직사각형의 길이 및 너비 선분의 종점 사이 각도를 지정할 수 있다.^[2]

2. 2. 전위 도입

전위가 있는 결정 구조를 이해하려면, 먼저 전위가 없는 '완벽한' 완벽한 결정 구조를 상상하는 것이 좋다. 이 완벽한 결정 구조에서는 길이와 너비가 unit cell|단위 세포^영어 가장자리 길이()의 정수 배수인 직사각형을 전위의 시작점을 포함하도록 그린다. 전위가 도입되면 이 직사각형은 변형된다. 직사각형의 한 변이 끊어지고, 끊어진 부분이 서로 어긋나면서 열린 기하학적 도형이 만들어진다. 이 열린 부분이 버거스 벡터의 방향과 크기를 나타낸다. 구체적으로, 열린 부분의 너비는 버거스 벡터의 크기를 정의하며, 좌표계를 도입하면 전위된 직사각형의 길이와 너비 선분의 종점 사이의 각도를 잴 수 있다.^[2]

실제로 버거스 벡터를 계산할 때는, 시작점에서 시계 방향으로 직사각형 회로(버거스 회로)를 그려 전위를 포함시킨다. 그러면 버거스 벡터는 회로를 완성하는 벡터, 즉 회로의 시작점에서 끝점으로 가는 벡터가 된다.^[3]

벡터의 방향은 전위의 평면에 따라 달라지는데, 이는 보통 가장 조밀하게 쌓인 결정 평면 중 하나이다. 크기는 일반적으로 다음 방정식으로 표현된다(BCC 및 FCC 격자에만 해당):

:

\|\mathbf{b}\|\ = (a/2)\sqrt{h^2+k^2+l^2}

여기서 는 결정의 단위 세포 가장자리 길이,

\|\mathbf{b}\|

는 버거스 벡터의 크기, , , 은 버거스 벡터의 구성 요소이다. 계수 는 BCC 및 FCC 격자에서 가장 짧은 격자 벡터가 로 표현될 수 있기 때문이다. 비교적 단순 입방 격자의 경우 이고, 따라서 크기는 다음과 같이 나타낸다.

:

\|\mathbf{b}\|\ = a\sqrt{h^2+k^2+l^2}

2. 3. 버거스 벡터 정의

버거스 벡터의 크기와 방향은 전위가 없는 ''완벽한'' 결정 구조를 통해 이해할 수 있다. 이 완벽한 결정 구조에서, 전위의 시작점을 포함하는, 길이와 너비가 단위 세포 가장자리 길이()의 정수 배수인 직사각형을 그린다. 전위가 도입되면 이 직사각형은 변형된다. 변형으로 인해 직사각형 한 변이 수직 변에서 분리되어, 직사각형의 길이 및 너비 선분의 연결이 끊어지고 각 선분이 서로 이동하게 된다. 전위 도입 전 직사각형이었던 것은 이제 열린 기하학적 도형이 되며, 이 열린 부분이 버거스 벡터의 방향과 크기를 정의한다. 구체적으로, 열린 부분의 너비는 버거스 벡터의 크기를 정의하며, 고정된 좌표 집합을 통해 전위된 직사각형의 길이 선분과 너비 선분의 종점 사이 각도를 지정할 수 있다.

버거스 벡터를 계산할 때, 시작점에서 시계 방향으로 직사각형 회로(버거스 회로)를 그려 전위를 포함시킬 수 있다. 버거스 벡터는 이 회로를 완성하는 벡터, 즉 회로의 시작점에서 끝점으로 가는 벡터가 된다.^[2] 반시계 방향의 버거스 회로를 사용하는 경우, 버거스 벡터는 회로의 끝점에서 시작점으로 가는 벡터가 된다.(위 그림 참조)^[3]

벡터의 방향은 전위의 평면에 따라 다르며, 이는 일반적으로 가장 조밀하게 쌓인 결정 평면 중 하나이다. 크기는 BCC 및 FCC 격자에서 다음과 같이 표시된다.

::

\|\mathbf{b}\|\ = (a/2)\sqrt{h^2+k^2+l^2}

여기서 는 결정의 단위 세포 가장자리 길이,

\|\mathbf{b}\|

는 버거스 벡터의 크기, , , 은 버거스 벡터의 구성 요소이다. BCC 및 FCC 격자에서 가장 짧은 격자 벡터는

\tfrac{a}{2} \langle h k l \rangle

로 표현될 수 있기 때문이다. 비교적 단순 입방 격자의 경우

\mathbf b = a \langle h k l \rangle

이고, 크기는 다음과 같다.

::

\|\mathbf{b}\|\ = a\sqrt{h^2+k^2+l^2}

대부분의 금속 재료에서 전위에 대한 버거스 벡터의 크기는 재료의 원자간 간격과 동일하다. 이는 단일 전위가 결정 격자를 한 개의 가장 조밀하게 쌓인 결정 간격 단위만큼 오프셋하기 때문이다.

가장자리 전위에서 버거스 벡터와 전위선은 서로 수직이다. 나사 전위에서는 평행하다.^[4]

2. 4. 버거스 벡터 계산

실제로 버거스 벡터를 계산할 때는 전위를 포함하는 직사각형 회로(버거스 회로)를 시작점에서 시계 방향으로 그려서 계산할 수 있다. 버거스 벡터는 이 회로를 완성하는 벡터, 즉 회로의 시작점에서 끝점으로 가는 벡터가 된다.^[2] 시작점에서 반시계 방향으로 버거스 회로를 그려 계산할 수도 있는데, 이때 버거스 벡터는 회로의 끝점에서 시작점으로 가는 벡터가 된다.^[3]

벡터의 방향은 전위의 평면에 따라 달라지는데, 이는 보통 가장 조밀하게 쌓인 결정 평면 중 하나이다. 크기는 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다 (\[\[체심 입방 격자|BCC]] 및 \[\[면심 입방 격자|FCC]] 격자의 경우):

::

\|\mathbf{b}\|\ = (a/2)\sqrt{h^2+k^2+l^2}

여기서 a는 결정의 단위 세포 가장자리 길이,

\|\mathbf{b}\|

는 버거스 벡터의 크기, h, k, l은 버거스 벡터의 구성 요소이다.

\mathbf b = \tfrac{a}{2} \langle h k l \rangle

에서 계수 1/2는 BCC 및 FCC 격자에서 가장 짧은 격자 벡터가

\tfrac{a}{2} \langle h k l \rangle

로 표현될 수 있기 때문이다. 비교적 단순 입방 격자의 경우에는

\mathbf b = a \langle h k l \rangle

이므로 크기는 다음과 같이 나타낸다.

::

\|\mathbf{b}\|\ = a\sqrt{h^2+k^2+l^2}

일반적으로 전위의 버거스 벡터는 전위선을 둘러싼 왜곡장에 대해 \[\[선 적분]]을 수행하여 정의할 수 있다.

::

b_i = \oint_{L}w_{ij}d{x_j} = \oint_{L}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}d{x_j}

여기서 적분 경로 L은 전위선을 둘러싼 버거스 회로, u_i는 변위장,

w_{ij}= \tfrac{\partial u_i}{\partial x_j}

는 왜곡장이다.

대부분의 금속 재료에서 전위에 대한 버거스 벡터의 크기는 재료의 원자간 간격과 같은 크기를 가진다. 이는 단일 전위가 결정 격자를 가장 조밀하게 쌓인 결정 간격 단위만큼 오프셋하기 때문이다.

\[\[전위#가장자리 전위|가장자리 전위]]에서 버거스 벡터와 \[\[결정 결함#선 결함|전위선]]은 서로 수직이다. \[\[전위#나사|나사 전위]]에서는 서로 평행하다.^[4]

2. 5. 버거스 벡터의 크기와 방향

버거스 벡터의 크기와 방향은 전위가 없는 '완벽한' 결정 구조를 통해 이해할 수 있다. 완벽한 결정에서 길이와 너비가 단위 세포 길이의 정수 배수인 직사각형을 그려 전위의 시작점을 포함시킨다. 전위가 도입되면 이 직사각형은 변형된다. 직사각형의 한 변이 수직 변에서 분리되어, 모서리 중 하나에서 길이 및 너비 선분의 연결이 끊어지고 각 선분이 서로 이동한다. 이 열린 기하학적 도형의 열린 부분의 너비가 버거스 벡터의 크기를 정의하며, 전위된 직사각형의 길이 선분과 너비 선분의 종점 사이에 각도가 생긴다.

버거스 벡터를 계산할 때는 시작점에서 시계 방향으로 버거스 회로를 그려 전위를 포함시킨다. 버거스 벡터는 회로를 완성하는 벡터, 즉 회로의 시작점에서 끝점으로 가는 벡터가 된다.^[2] 시작점에서 반시계 방향의 버거스 회로를 사용하면, 버거스 벡터는 회로의 끝점에서 시작점으로 간다.^[3]

벡터의 방향은 전위의 평면에 따라 달라지는데, 이는 일반적으로 가장 조밀하게 쌓인 결정 평면에 있다. 크기는 일반적으로 BCC 및 FCC 격자의 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

::

\|\mathbf{b}\|\ = (a/2)\sqrt{h^2+k^2+l^2}

여기서 a는 결정의 단위 세포 길이,

\|\mathbf{b}\|

는 버거스 벡터의 크기, h, k, l은 버거스 벡터

\mathbf b = \tfrac{a}{2} \langle h k l \rangle

의 구성 요소이다. BCC 및 FCC 격자에서 가장 짧은 격자 벡터가

\tfrac{a}{2} \langle h k l \rangle

로 표현될 수 있기 때문에 1/2 계수가 사용된다. 비교적 단순 입방 격자의 경우,

\mathbf b = a \langle h k l \rangle

이고 크기는 다음과 같다.

::

\|\mathbf{b}\|\ = a\sqrt{h^2+k^2+l^2}

대부분의 금속 재료에서 버거스 벡터의 크기는 재료의 원자간 간격과 동일하다. 이는 단일 전위가 결정 격자를 한 개의 가장 조밀하게 쌓인 결정 간격 단위만큼 오프셋하기 때문이다.

가장자리 전위에서 버거스 벡터와 전위선은 서로 수직이다. 반면 나사 전위에서는 서로 평행하다.^[4]

버거스 벡터는 재료의 항복 강도에 영향을 미쳐 고용액 강화, 석출 경화, 가공 경화를 결정하고, 전위선의 방향을 결정하는 데 중요하다.

2. 6. 전위 종류와 버거스 벡터

가장자리 전위에서 버거스 벡터와 전위선은 서로 수직이며, 나사 전위에서는 서로 평행하다.^[4]

일반적으로 전위의 버거스 벡터는 전위선을 둘러싼 왜곡장에 대해 선 적분을 수행하여 정의한다.

::

b_i = \oint_{L}w_{ij}d{x_j} = \oint_{L}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}d{x_j}

여기서 적분 경로 은 전위선을 둘러싼 버거스 회로이고, 는 변위장이며, w는 왜곡장이다.

대부분의 금속 재료에서 전위에 대한 버거스 벡터의 크기는 재료의 원자간 간격과 동일한데, 이는 단일 전위가 결정 격자를 한 개의 가장 조밀하게 쌓인 결정 간격 단위만큼 오프셋하기 때문이다.

3. 버거스 벡터의 중요성

버거스 벡터는 재료의 항복 강도에 영향을 미치며, 고용액 강화, 석출 경화, 가공 경화 등을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.^[4] 또한 전위선의 방향을 결정하는 데도 중요한 역할을 한다.^[4]

대부분의 금속 재료에서 전위에 대한 버거스 벡터의 크기는 재료의 원자간 간격과 동일하다. 이는 단일 전위가 결정 격자를 한 개의 가장 조밀하게 쌓인 결정 간격 단위만큼 오프셋하기 때문이다.

가장자리 전위에서 버거스 벡터와 전위선은 서로 수직이며, 나사 전위에서는 서로 평행하다.^[4]

참조

_[1] 서적 Fundamentals of Materials Science and Engineering John Wiley & Sons, Inc. 2005
_[2] 웹사이트 Burgers Vector, b https://www.princeto[...]
_[3] 웹사이트 Burgers vector, Burgers circuit, and Dislocation Line Direction http://micro.stanfor[...]
_[4] 서적 Introduction to Solid State Physics John Wiley & Sons, Inc 1996
_[5] 서적 Fundamentals of Materials Science and Engineering John Wiley & Sons, Inc. 2005
_[6] 웹 https://www.princeto[...]
_[7] 서적 Introduction to Solid State Physics John Wiley & Sons, Inc 1996

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