선분

2. 정의

''V''를 실수 또는 복소수(R 또는 C) 위의 벡터 공간이라 하고, ''L''을 ''V''의 부분 집합이라 하자. ''L''이 적절한 벡터 '''u''', '''v''' ∈ ''V'' ('''v'''는 0이 아닌 벡터)를 선택하여

:$L\; =\; \backslash \{\; \backslash mathbf\{u\}+t\backslash mathbf\{v\}\; \backslash mid\; t\backslash in[0,1]\backslash \}$

와 같이 매개변수화될 수 있을 때, ''L''은 선분(닫힌 선분)이라고 한다. 이와 동등하게 "선분은 두 점의 볼록 껍질이다"라고 정의할 수도 있다. 즉, 선분은 선분의 두 끝점의 볼록 조합으로 표현될 수 있다.

이때, 벡터 '''u''', '''u''' + '''v'''는 ''L''의 끝점(end point^영어)이라고 불린다.

선분을 "열린 선분" 또는 "닫힌 선분"으로 구별할 필요가 있는 경우도 있다. 이때, '''닫힌 선분'''의 정의는 위에 언급한 것과 같으며, '''열린 선분''' ''L''은 '''u''', '''v''' ∈ ''V''를 선택하여

:$L\; =\; \backslash \{\; \backslash mathbf\{u\}+t\backslash mathbf\{v\}\; \backslash mid\; t\backslash in(0,1)\backslash \}$

와 같이 매개변수화할 수 있다.

기하학에서, 점 는 두 다른 점 와 사이에 있다고 정의할 수 있는데, 이때 거리 와 거리 를 더한 값이 거리 와 같을 경우이다. 따라서 에서, 끝점이 $A=(a\_x,a\_y)$와 $C=(c\_x,c\_y)$인 선분은 다음과 같은 점들의 집합이다.

:$\backslash Biggl\backslash \{\; (x,y)\; \backslash mid\; \backslash sqrt\{(x-c\_x)^2\; +\; (y-c\_y)^2\}\; +\; \backslash sqrt\{(x-a\_x)^2\; +\; (y-a\_y)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{(c\_x-a\_x)^2\; +\; (c\_y-a\_y)^2\}\; \backslash Biggr\backslash \}\; .$

일반적으로 양 끝점을 포함하는 것으로 선분을 정의하지만, 양 끝점을 포함하지 않는 것도 선분으로 인정한다. 양 끝점을 포함하는 선분은 닫힌 선분, 포함하지 않는 선분은 열린 선분이라고도 한다.

2. 1. 반개 선분

2. 2. 유향 선분