부트스트랩 (금융)

2. 방법론

부트스트래핑 방법론은 시장에서 관찰되는 금융 상품(주로 채권)의 가격과 수익률 정보를 이용하여 이론적인 무이표채 수익률 곡선을 추정하는 일련의 과정을 의미한다. 시장에는 거래되는 상품의 종류나 만기가 제한적이고 각 상품의 특성(예: 쿠폰 지급 방식)이 다양하여 모든 만기에 대한 금리 정보를 직접 얻기 어렵기 때문에^[2], 부트스트래핑 기법이 사용된다.

이 방법론은 일반적으로 관찰된 시장 데이터와 일치하면서도 이론적으로 차익 거래가 불가능한 수익률 곡선을 구축하는 것을 목표로 한다. 이를 위해 특정 가정(예: 보간법)을 사용하거나, 전진 대입법과 같은 수학적 기법을 적용하여 단계적으로 금리를 계산해 나간다. 구체적인 계산 절차와 알고리즘, 그리고 보간법의 선택 등 세부적인 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 일반적인 방법론

2. 1. 1. 부트스트래핑 (Bootstrapping)

부트스트래핑은 일반적으로 수익률 곡선을 구축하는 데 사용되는 방법이다. 수익률 곡선을 그리는 데 필요한 데이터 포인트는 시장에 존재하는 금융 상품의 수가 제한적이기 때문에 부족한 경우가 많다.^[2] 특히, 투입되는 증권들이 다양한 쿠폰 지급 빈도를 가지고 있기 때문에 어떤 증권을 선택하는지가 중요하다. 따라서 추가적인 외부 정보 없이도 모든 만기의 현물 금리나 선도 금리를 평가할 수 있도록, 쿠폰이 없는 가상의 무이표채(zero-coupon bond) 수익률 곡선을 구성하는 것이 합리적이다. 이 과정에서는 특정 가정, 예를 들어 보간법 사용이 항상 필요하다는 점에 유의해야 한다.

일반적인 부트스트래핑 방법론은 다음과 같다.

# 수익률을 계산할 대상이 되는 금융 상품 집합(주로 쿠폰이 있는 채권)을 정의한다.

# 각 상품의 만기 시점까지의 할인 계수를 도출한다. 이는 해당 채권의 만기수익률과 관련된다.

# 이 할인 계수들을 이용하여, 입력된 채권들의 시장 가격과 일치하는 무이표채 수익률 곡선을 '부트스트랩' 방식으로 구축한다. 즉, 곡선을 보정하여 입력 가격을 정확히 반환하도록 만든다.

세 번째 단계에서 사용되는 일반적인 알고리즘은 다음과 같다. 자세한 내용은 수익률 곡선 구성 방법에서 확인할 수 있다.

각 입력 상품에 대해 만기가 짧은 순서부터 긴 순서로 진행한다.

• 가능하다면, 제로 금리(무이표채 금리)를 분석적 방법으로 직접 계산한다(오른쪽 예시 참조).
• 분석적 계산이 어렵다면, 해당 상품의 시장 가격이 곡선을 통해 정확하게 계산되도록 반복적인 방법으로 금리를 찾는다(초기 추정치를 사용). 이때 해당 상품의 만기에 해당하는 금리를 계산하며, 이전에 계산된 금리와 현재 계산된 금리 사이의 값들은 보간법을 사용하여 추정한다.
• 금리 계산이 완료되면 해당 금리를 저장하고 다음 만기가 긴 상품으로 넘어간다.

2. 1. 2. 보간법 (Interpolation)

• 가능하면 제로 금리에 대해 분석적으로 풀이한다.
• 그렇지 않은 경우, 곡선을 사용하여 계산할 때 해당 상품의 가격이 정확하게 출력되도록 반복적으로 풀이한다(초기 근사치 사용). 이 상품의 만기에 해당하는 금리가 풀이되며, 이 날짜와 이전에 풀이된 상품의 만기 사이의 금리는 보간된다.
• 풀이가 완료되면 이러한 금리를 저장하고 다음 상품으로 진행한다.

2. 2. 전진 대입법 (Forward substitution)

• $C\_\{n\}$: n년 만기 채권의 쿠폰 금리
• $\backslash Delta\_i$: 기간 $[i\; -\; 1;\; i]$의 길이, 즉 일수 계산 관행에 따른 연 단위 기간(year fraction)
• $df\_\{i\}$: i번째 기간의 할인 계수
• $df\_\{n\}$: 전체 기간(n년)의 할인 계수. 이 값을 이용하여 n년 만기 제로 쿠폰 수익률을 계산할 수 있다.