알고리즘

3. 정의

알고리즘은 유한한 계산을 통해 정의된다. 알고리즘은 유한한 수의 규칙에 따라, 기호들을 조작하여 입력 정수에서 출력 정수를 생성하기 위한 일반화된 작업으로 정의된다.

좋은 알고리즘은 다음과 같은 특징을 갖는다.

• 정밀성: 변하지 않는 명확한 작업 단계를 가져야 한다.
• 유일성: 각 단계마다 명확한 다음 단계를 가져야 한다.
• 타당성: 구현할 수 있고 실용적이어야 한다.
• 입력: 정의된 입력을 받아들일 수 있어야 한다.
• 출력: 답으로 출력을 내보낼 수 있어야 한다.
• 유한성: 특정 수의 작업 이후에 정지해야 한다.
• 일반성: 정의된 입력들에 일반적으로 적용할 수 있어야 한다.

4. 역사

수학 문제 풀이 절차는 고대부터 기록되어 왔다. 여기에는 기원전 2500년경의 바빌로니아 수학, 기원전 1550년경의 이집트 수학, 기원전 800년경 이후의 인도 수학, 기원전 240년경의 그리스 수학, 기원전 200년경 이후의 중국 수학, 서기 800년경의 아랍 수학 등이 포함된다.^{[16][17][18][20][21][22]}

알고리즘의 초기 증거는 고대 메소포타미아 수학에서 발견된다. 바그다드 근처 슈루팍에서 발견된 기원전 2500년경의 수메르 점토판은 초기 나눗셈 알고리즘을 설명한다.^[16] 기원전 1800년에서 1600년경의 함무라비 왕조 시대 바빌로니아 점토판에는 공식을 계산하는 알고리즘이 있었다.^[23] 바빌로니아 천문학에서도 알고리즘이 사용되었는데, 중요한 천문 현상의 시간과 장소를 계산하는 절차를 설명한다.^[24]

기원전 1550년경 고대 이집트 수학의 린드 수학 파피루스에도 산술 알고리즘이 기록되어 있다.^[16] 이후 고대 헬레니즘 수학에서는 에라토스테네스의 체(산술입문에 설명^[25][20])와 유클리드 알고리즘(유클리드 원론에 처음 설명^[20]) 등이 사용되었다. 고대 인도 수학의 예로는 술바 수트라, 케랄라 학파, 브라마스푸타시다탄타가 있다.^[17]

9세기 아랍 수학자 알킨디는 '암호 메시지 해독에 관한 원고'에서 암호 해독 알고리즘인 빈도 분석을 최초로 설명했다.^[22]

기록에 남아있는 가장 오래된 알고리즘은 유클리드의 원론에 있는 최대공약수를 구하는 유클리드 호제법이다.^[55]

"알고리즘"이라는 명칭은 9세기 바그다드에서 활동한 수학자 알콰리즈미(الخوارزمي|al-Khwarizmi^ar)의 이름에서 유래했다. 그가 인도 수학을 소개한 『인도의 수의 계산법』(825년)은 체스터의 로버트(혹은 바스의 아델라드)에 의해 라틴어로 번역되어 『algoritmi de numero Indorum^la』^[56] (직역하면 "인도의 수에 대한 알고리트미")이라는 제목으로 500년 동안 유럽 대학에서 수학 교재로 사용되었다. 이 책은 "algoritmi dicti^la (알-콰리즈미에 의하면)"이라는 구절로 시작한다.

1920~30년대, 튜링 기계, 귀납적 함수, 람다 대수 등 계산 가능성을 위한 수학적 모델(계산 모델)이 제안되었다. 이 정의들은 모두 동등하며, 이를 통해 "계산 가능하다"는 개념이 제안되었다(처치-튜링 명제).^[58][59] 현재는 이들에 의해 '계산 가능한 것'을 계산하는 절차를 알고리즘이라고 부른다.

5. 형식화

알고리즘은 자연어, 의사코드, 순서도, 프로그래밍 언어 등 다양한 방식으로 표현될 수 있다.^[34] 튜링 기계와 같은 계산 모델은 알고리즘의 형식적 논의에 사용된다.^[58][59]

자연어로 표현된 알고리즘은 내용이 길고 모호해지는 경향이 있어, 복잡하거나 전문적인 알고리즘에는 거의 사용되지 않는다. 의사 코드, 순서도 등은 자연어의 모호성을 피하는 구조화된 알고리즘 표현 방식이다. 프로그래밍 언어는 주로 컴퓨터에서 실행 가능한 형태로 알고리즘을 표현하지만, 알고리즘을 정의하거나 문서화하는 데에도 사용된다.^[34]

튜링 기계 프로그램은 기계 테이블, 플로차트(흐름도), 원시적인 기계어 또는 어셈블리어 형태 등으로 표현될 수 있다. 알고리즘 표현은 튜링 기계 설명의 세 가지 수준으로 분류할 수도 있다. 고수준 설명은 튜링 기계에서 어떻게 구현되는지 무시하고 알고리즘 자체를 설명한다. 구현 설명은 기계가 헤드를 움직이고 데이터를 저장하는 일반적인 방식을 설명하지만, 정확한 상태는 제공하지 않는다. 가장 상세한 형식적 설명은 튜링 기계의 정확한 상태표와 전이 목록을 제공한다.^[34]

6. 구현

알고리즘은 컴퓨터 프로그램으로 구현되는 경우가 많지만, 전기 회로나 생물학적 신경회로를 통해 구현되기도 한다. 알고리즘 설계에는 운용과학의 방법이나 설계짜임새를 활용하는 방법 등이 있다. 알고리즘 설계 및 구현 기법은 알고리즘 설계 패턴^[38]이라고도 하며, 템플릿 메서드 패턴과 데코레이터 패턴 등이 여기에 해당한다. 알고리즘 설계에서 가장 중요한 측면 중 하나는 자원(실행 시간, 메모리 사용량) 효율성이다.^[39]

7. 분석

알고리즘의 효율성을 파악하기 위해 시간 복잡도, 공간 복잡도 등을 분석한다. 빅 O 표기법은 알고리즘의 성능을 나타내는 데 사용된다. 알고리즘 분석에는 공식적인 방법과 경험적인 방법이 모두 사용된다.^[35]

알고리즘이 얼마나 많은 시간, 저장 공간, 또는 다른 비용을 필요로 하는지 파악하는 것은 중요하다. 이러한 정량적인 답(추정치)을 얻기 위해 알고리즘 분석 방법이 개발되었다. 예를 들어, 크기가 ''n''인 숫자 목록의 요소를 더하는 알고리즘은 빅 O 표기법을 사용하여 $O(n)$의 시간이 필요하다. 이 알고리즘은 지금까지의 모든 요소의 합과 입력 목록에서 현재 위치의 두 값만 기억하면 된다. 입력 숫자를 저장하는 데 필요한 공간을 고려하지 않으면 $O(1)$의 공간이 필요하지만, 그렇지 않으면 $O(n)$이 필요하다.

서로 다른 알고리즘은 다른 알고리즘보다 적거나 많은 시간, 공간 또는 '노력'으로 동일한 작업을 완료할 수 있다. 예를 들어, 이진 탐색 알고리즘($O(\backslash log\; n)$의 비용)은 정렬된 목록이나 배열에 대한 표 검색에 사용될 때 순차 검색($O(n)$의 비용)보다 성능이 우수하다.

알고리즘의 분석 및 연구는 컴퓨터 과학의 한 분야이다. 알고리즘은 특정 프로그래밍 언어나 구현을 참조하지 않고 추상적으로 연구되는 경우가 많다. 알고리즘 분석은 구현이 아닌 알고리즘의 속성에 초점을 맞춘다는 점에서 다른 수학 분야와 유사하다. 간단하고 일반적인 표현이기 때문에 의사 코드가 분석에 일반적으로 사용된다. 대부분의 알고리즘은 특정 하드웨어/소프트웨어 플랫폼에 구현되며 실제 코드를 사용하여 알고리즘 효율을 테스트한다. 특정 알고리즘의 효율성은 많은 "일회성" 문제에는 중요하지 않을 수 있지만, 빠른 대화형, 상업용 또는 장기간의 과학적 사용을 위해 설계된 알고리즘에는 중요할 수 있다. 작은 n에서 큰 n으로 확장하면 그렇지 않으면 무해한 비효율적인 알고리즘이 자주 드러난다.

실험적 테스트는 성능에 영향을 미치는 예상치 못한 상호 작용을 발견하는 데 유용하다. 벤치마크는 프로그램 최적화 후 알고리즘에 대한 잠재적 개선 사항을 비교하기 위해 사용될 수 있다.

잘 확립된 알고리즘에서도 가능한 개선의 잠재력을 보여주는 예로, 최근 FFT 알고리즘(영상 처리 분야에서 많이 사용됨)과 관련된 중요한 혁신은 의료 영상과 같은 응용 프로그램의 처리 시간을 최대 1,000배까지 단축할 수 있다.^[36] 일반적으로 속도 향상은 문제의 특수한 속성에 따라 달라지는데, 이러한 속성은 실제 응용 프로그램에서 매우 일반적이다.^[37] 이러한 규모의 속도 향상을 통해 영상 처리를 광범위하게 사용하는 컴퓨팅 장치(디지털 카메라 및 의료 장비 등)의 전력 소비량을 줄일 수 있다.

어떤 알고리즘의 실행에 필요한 계산 자원(시간이나 기억 공간)의 양을 추정하는 것은 중요하다. 그러한 양을 정량적으로 구하는 분석 방법은 알고리즘 분석이라고 불리며, 연구되어 왔다.

입력값의 크기가 $n$일 경우, 점근 표기법 $O$를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

대문자 O 표기법의 정의상 아래의 복잡도는 그 위의 복잡도를 포함하므로, 대부분의 알고리즘은 $O(n!)$의 수행 시간을 가진다.

8. 분류

알고리즘은 다양한 기준에 따라 분류할 수 있으며, 각 분류는 알고리즘의 특징과 장단점을 이해하는 데 도움을 준다.

• 구현 방식:
• 재귀 알고리즘: 자신을 다시 호출하는 방식 (예: 하노이의 탑)
• 반복 알고리즘: 루프나 스택 사용
• 직렬 알고리즘: 한 번에 하나의 명령어만 실행
• 병렬 알고리즘: 여러 프로세서가 동시에 문제 처리
• 분산 알고리즘: 네트워크로 연결된 여러 컴퓨터 사용
• 결정론적 알고리즘: 모든 단계에서 정확한 결정
• 비결정론적 알고리즘: 추측을 통해 문제 해결, 휴리스틱으로 정확도 향상
• 근사 알고리즘: 근사치 탐색 (예: 배낭 문제)
• 양자 알고리즘: 양자 컴퓨팅 모델에서 실행
• 설계 패러다임:
• 무작위 탐색: 모든 해 시도
• 분할 정복 알고리즘: 문제 분할 및 해결, 결과 결합 (예: 합병 정렬)
• 탐색 및 열거: 그래프 문제에 사용 (탐색 알고리즘, 분기 한정법, 백트래킹 등)
• 확률적 알고리즘: 무작위성 이용 (몬테카를로 알고리즘, 라스베이거스 알고리즘 등)
• 복잡도 감소: 어려운 문제를 쉬운 문제로 변환
• 백트래킹: 유효하지 않으면 이전 단계로 복귀
• 최적화 문제:
• 선형 계획법: 선형 함수 최적화 (단체법(심플렉스 알고리즘) 사용)
• 동적 계획법: 최적 부분 구조, 겹치는 부분 문제 (예: 플로이드-워셜 알고리즘)
• 탐욕 알고리즘: 각 단계에서 최선 선택 (크루스칼 알고리즘, 프림 알고리즘 등)
• 휴리스틱 방법: 근사해 탐색 (국소 탐색, 타부 탐색, 시뮬레이티드 어닐링, 유전 알고리즘 등)
• 연구 분야:
• 검색 알고리즘, 정렬 알고리즘, 병합 알고리즘, 수치 알고리즘, 그래프 알고리즘, 문자열 알고리즘, 계산 기하 알고리즘, 조합 알고리즘, 기계 학습, 암호학적 알고리즘, 데이터 압축 알고리즘, 구문 분석 등
• 계산량:
• 입력 크기($n$)에 따른 계산 시간: 점근 표기법 $O$로 표현 (예: $O(1)$, $O(\backslash log\; n)$, $O(n)$, $O(n\; \backslash log\; n)$, $O(n^2)$, $O(n^3)$, $O(a^n)$, $O(n!)$ 등)
• 최선의 알고리즘 계산량 기반 문제 분류
• 계산 능력:
• 튜링 계산 가능 함수, 계산 자원등을 이용하여 계층적으로 분류

8. 1. 구현 방식에 따른 분류

8. 2. 설계 패러다임에 따른 분류

• '''분할 정복''': 문제를 더 작은 부분 문제로 나누고, 각 부분 문제를 해결한 다음, 그 해를 결합하여 원래 문제를 해결한다. 합병 정렬이 대표적인 예시이다.
• '''탐색 및 열거''': 그래프 문제로 모델링될 수 있는 문제에 사용되는 방법이다. 탐색 알고리즘, 분기 한정, 백트래킹 등이 여기에 속한다.
• '''확률적 알고리즘''': 무작위성을 이용하여 문제를 해결하는 알고리즘이다. 몬테카를로 알고리즘과 라스베이거스 알고리즘이 있다.
• '''복잡도 감소''': 어려운 문제를 이미 잘 알려진 알고리즘으로 해결할 수 있는 문제로 변환하는 방법이다.
• '''백트래킹''': 가능한 해를 점진적으로 구축하다가, 더 이상 유효한 해가 없을 경우 이전 단계로 돌아가 다른 해를 시도하는 방법이다.

• '''선형 계획법''': 선형 함수를 최적화하는 문제에 사용되며, 단체법(심플렉스 알고리즘)과 같은 알고리즘으로 해결할 수 있다.
• '''동적 계획법''': 최적 부분 구조와 겹치는 부분 문제를 가지는 문제에 사용되며, 플로이드-워셜 알고리즘이 그 예시이다. 메모이제이션을 사용하여 중복 계산을 피한다.
• '''탐욕 알고리즘''': 각 단계에서 가장 좋아 보이는 선택을 하는 알고리즘이다. 크루스칼 알고리즘, 프림 알고리즘 등이 여기에 속한다.
• '''휴리스틱 방법''': 최적 해를 찾는 것이 비실용적인 경우, 근사해를 찾는 데 사용된다. 국소 탐색, 타부 탐색, 시뮬레이티드 어닐링, 유전 알고리즘 등이 있다.

8. 3. 연구 분야에 따른 분류

• 검색 알고리즘
• 정렬 알고리즘
• 병합 알고리즘
• 수치 알고리즘
• 그래프 알고리즘
• 문자열 알고리즘
• 계산 기하 알고리즘
• 조합 알고리즘
• 기계 학습
• 암호학적 알고리즘
• 데이터 압축 알고리즘
• 구문 분석

8. 4. 계산량에 따른 분류

• $O(1)$: $n$에 관계없이 일정 시간 이하에 수행되는 알고리즘이다. (예: 파일의 첫 번째 바이트가 널(null)인지 검사)

• $O(\backslash log\; n)$: $\backslash log\_2\; n$에 비례하는 시간 이하에 수행되는 알고리즘이다. (예: 이진 탐색)

• $O(n)$: $n$에 비례하는 시간 이하에 수행되는 알고리즘이다. (예: 기수 정렬)

• $O(n\; \backslash log\; n)$: $n$에 대략 비례할 수 있는 시간 이하에 수행되는 알고리즘이다. (예: 정렬 알고리즘)

• $O(n^2)$: $n^2$에 비례하는 시간 이하에 수행되는 알고리즘이다. (예: 최장 공통 부분 수열 문제)

• $O(n^3)$: $n^3$에 비례하는 시간 이하에 수행되는 알고리즘이다. (예: 행렬 곱셈)

• $O(a^n)$: $2^n$과 같은 꼴의 수행 시간 이하에 수행되는 알고리즘이다. (예: 충족 가능성 문제)

• $O(n!)$: $n!$ 즉 $n\; \backslash times\; (n-1)\; \backslash times\; (n-2)\; \backslash times\; ...\; \backslash times\; 1$과 같은 꼴의 수행 시간 이하에 수행되는 알고리즘이다. (예: 배열의 모든 순열을 검사)

8. 5. 계산 능력에 따른 분류

9. 법적 문제

알고리즘 자체는 일반적으로 특허 대상이 아니다. 미국에서는 추상적인 개념, 숫자 또는 신호의 단순한 조작으로만 구성된 청구항은 "공정"을 구성하지 않으므로 알고리즘은 특허 대상이 아니다(''갓츠샬크 대 벤슨'' 사건 참조). 그러나 알고리즘의 실용적인 응용은 특허 대상이 될 수 있다. 예를 들어, ''다이아몬드 대 다이어'' 사건에서 합성고무 경화를 돕기 위한 단순한 피드백 알고리즘의 응용은 특허 대상으로 간주되었다.^[44] 소프트웨어 특허는 논란의 여지가 있으며,^[67] 특히 데이터 압축 알고리즘과 같은 알고리즘을 포함하는 특허, 예를 들어 유니시스의 LZW 특허가 비판을 받고 있다.

데이터 압축 알고리즘 분야에서는 유니시스의 LZW 알고리즘의 특허 문제가 유명하다. 산술 부호화에서 취득된 특허의 범위는 3가지로 여겨진다. 산술 부호화로 인해 포기된 소프트웨어와 파일 형식은 많으며, 대체품이 잇따라 개발되었다.

선형 계획 문제의 해법인 카마카의 알고리즘은 일본에서 특허 무효 심판이 이루어졌지만, 2000년 12월 11일자로 특허청에 해당 특허의 포기로 인한 특허권 소멸이 등록되었기 때문에, 최종적으로 심판이 기각되었다.

일본 저작권법 제10조 3항은 알고리즘이 명시적으로 저작권법의 보호 대상이 아님을 규정하고 있다.^[68] 다만, 알고리즘을 기록한 문서나 알고리즘을 구현한 프로그램은 저작물로서 보호 대상이 된다.^[69]

암호 알고리즘 중에는 수출이 규제되는 것도 있다(미국 사례).

10. 예시

정렬되지 않은 숫자 목록에서 최댓값을 찾는 알고리즘은 다음과 같이 간단하게 설명할 수 있다. 목록 안에 있는 모든 수를 차례대로 살펴보면서, 현재까지 찾은 최댓값보다 큰 수가 나타나면 그 수를 새로운 최댓값으로 기억하는 방식이다.

'''상위 수준 설명:'''

# 숫자 목록이 비어 있으면 최댓값은 없다.

# 목록의 첫 번째 숫자를 최댓값이라고 가정한다.

# 목록의 나머지 각 숫자에 대해: 현재 최댓값보다 큰 숫자가 나타나면, 그 숫자를 새로운 최댓값으로 설정한다.

# 더 이상 확인할 숫자가 없으면, 현재 최댓값이 목록 전체의 최댓값이다.

이를 좀 더 형식적으로 표현하면 다음과 같은 의사 코드로 나타낼 수 있다.

'''입력:''' 숫자 목록 ''L''.

'''출력:''' 목록 ''L''의 가장 큰 숫자.

'''만약''' ''L.크기'' = 0 '''이면''' null을 '''반환'''

''최대값'' ← ''L''[0]

'''각''' ''항목'' '''에 대해''' ''L'' '''에서''', '''다음을 수행'''

'''만약''' ''항목'' > ''최대값'' '''이면''', '''다음을 수행'''

''최대값'' ← ''항목''

'''반환''' ''최대값''

위 의사 코드에서 "←" 기호는 값을 할당하는 것을 의미하며, '''return'''은 값을 반환하고 알고리즘을 종료한다는 의미이다.

참조

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