분기 다이어그램
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1. 개요
분기 다이어그램은 동역학계에서 시스템의 고정점, 주기 궤도 또는 카오스적 끌개가 분기 매개변수의 함수로 어떻게 변화하는지를 보여주는 시각화 도구이다. 분기 다이어그램은 미분 방정식 시스템의 장기적인 거동 변화를 정량화하며, 로지스틱 맵과 같은 예시를 통해 주기 배가 분기, 카오스, 대칭성 깨짐 등을 보여준다.
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| 분기 다이어그램 | |
|---|---|
| 분기 다이어그램 | |
| 개요 | |
| 유형 | 다이어그램 |
| 분야 | 동역학계 |
| 모수 | 분기 모수 |
| 관련 항목 | 분기 이론 텐트 사상 로지스틱 사상 페이겐바움 상수 |
| 설명 | |
| 목적 | 동역학계의 분기를 시각적으로 표현 |
| 축 | 가로축: 분기 모수 값 세로축: 안정된 고정점 또는 주기 궤도의 값 |
| 특징 | 분기점: 모수 값의 변화에 따라 계의 질적 거동이 바뀌는 지점 안정된 상태: 실선으로 표현 불안정한 상태: 점선으로 표현 |
| 예시 | |
| 로지스틱 사상 | 분기 모수 값에 따라 고정점, 주기 궤도, 혼돈 상태 등이 나타남 페이겐바움 상수와 관련됨 |
| 호프 분기 | 고정점에서 주기 궤도로의 분기 분기 다이어그램에서 원으로 표현됨 |
| 전역 분기 | 계의 전체적인 구조가 바뀌는 분기 예: 푸른 하늘 분기 |
2. 로지스틱 맵
예시는 로지스틱 맵의 분기 다이어그램이다.
분기 파라미터 ''r''은 플롯의 수평축에 표시되고, 수직축은 거의 모든 초기 조건에서 점근적으로 방문한 로지스틱 함수의 값 집합을 보여준다.
분기 다이어그램은 안정 궤도의 주기가 1에서 2, 4, 8 등으로 분기되는 것을 보여준다. 이러한 각 분기점은 주기 배가 분기이다. 분기가 발생하는 ''r'' 값 사이의 연속적인 간격 길이의 비율은 수렴 급수를 첫 번째 페이겐바움 상수로 수렴한다. 다이어그램은 또한 3에서 6, 12 등으로, 5에서 10, 20 등으로 주기가 배가되는 것을 보여준다.
2. 1. 주기 배가 분기
예시는 로지스틱 맵의 분기 다이어그램이다.
분기 파라미터 ''r''은 플롯의 수평축에 표시되고, 수직축은 거의 모든 초기 조건에서 점근적으로 방문한 로지스틱 함수의 값 집합을 보여준다.
분기 다이어그램은 안정 궤도의 주기가 1에서 2, 4, 8 등으로 분기되는 것을 보여준다. 이러한 각 분기점은 주기 배가 분기이다. 분기가 발생하는 ''r'' 값 사이의 연속적인 간격 길이의 비율은 수렴 급수를 첫 번째 페이겐바움 상수로 수렴한다.
다이어그램은 또한 3에서 6, 12 등으로, 5에서 10, 20 등으로 주기가 배가되는 것을 보여준다.
2. 2. 카오스
예시는 로지스틱 맵의 분기 다이어그램이다.
분기 파라미터 ''r''은 플롯의 수평축에 표시되고, 수직축은 거의 모든 초기 조건에서 점근적으로 방문한 로지스틱 함수의 값 집합을 보여준다.
분기 다이어그램은 안정 궤도의 주기가 1에서 2, 4, 8 등으로 분기되는 것을 보여준다. 이러한 각 분기점은 주기 배가 분기이다. 분기가 발생하는 ''r'' 값 사이의 연속적인 간격 길이의 비율은 수렴 급수를 첫 번째 페이겐바움 상수로 수렴한다.
다이어그램은 또한 3에서 6, 12 등으로, 5에서 10, 20 등으로 주기가 배가되는 것을 보여준다.
3. 분기 집합에서의 대칭성 깨짐
다음과 같은 동적 시스템에서
일 때 구조적 안정성을 가지며, 분기 다이어그램을 플롯할 때 를 분기 매개변수로 취급하지만, 의 다른 값에 대해 인 경우는 대칭 포크 분기이다. 일 때, ''대칭성이 깨진'' 포크라고 말한다.
4. 응용
미분 방정식 시스템은 물리량을 설명하는 데 사용된다. 예를 들어 감쇠와 마찰이 없는 진자의 위치와 속도, 뉴런의 막 전위 변화, 환자 혈류 내 바이러스 농도 등을 나타낼 수 있다. 이러한 미분 방정식에는 매개변수가 포함되어 출력에 영향을 줄 수 있다.
연구자들은 일반적으로 매개변수 변화에 따른 미분 방정식 시스템의 장기적 거동 변화를 정량화하려 한다. 동역학계 수학 분야에서 '''분기 다이어그램'''은 시스템의 고정점, 주기 궤도, 또는 카오스적 끌개가 분기 매개변수의 함수로 어떻게 변화하는지를 보여주어 이러한 변화를 정량화하고 시각화한다.
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