파국 이론

3. 기본 개념

파국 이론은 다음 식과 같이 시간 $t$에 따라 상태 변수 $x$의 진화를 설명하는 동적 시스템을 연구한다.^[5]

:$\backslash dot\{x\}\; =\; \backslash dfrac\{dx\}\{dt\}\; =\; -\backslash dfrac\{dV(u,x)\}\{dx\}$

위 식에서 $V$는 포텐셜 함수이며, $u$는 포텐셜 함수를 매개변수화하는 벡터 또는 스칼라이다. $u$의 값은 시간에 따라 변할 수 있으며, 제어 변수라고도 한다.

3. 1. 특이점

3. 2. 구조적 안정성

4. 7가지 기본 파국

파국 이론에서는 2개 이하의 활성 변수와 4개 이하의 활성 매개변수에 의존하는 잠재적 함수에 대해 7가지 기본 파국 유형을 제시한다. 이 유형들은 미분동형사상에 의해 변환될 수 있는 표준 형태로 표현될 수 있으며, 다음과 같다.

4. 1. 접힘 파국 (Fold catastrophe)

4. 2. 첨점 파국 (Cusp catastrophe)

4. 3. 제비꼬리 파국 (Swallowtail catastrophe)

4. 4. 나비 파국 (Butterfly catastrophe)

:$V\; =\; x^6\; +\; ax^4\; +\; bx^3\; +\; cx^2\; +\; dx\; \backslash ,$

매개변수 값에 따라 포텐셜 함수는 폴드 분기 궤적에 의해 구분되는 3개, 2개, 또는 1개의 서로 다른 극솟값을 가질 수 있다. 나비 점에서는 폴드 분기의 3-표면, 첨점 분기의 2-표면, 제비꼬리 분기의 선이 모두 만나 사라지고, a|에이^영어 > 0 일 때 단일 첨점 구조만 남는다.

4. 5. 배꼽점 파국 (Umbilic catastrophe)

배꼽점 파국은 2개의 활성 변수를 가지는 경우로, 쌍곡형, 타원형, 포물선형의 세 가지 유형이 있다.^[1] 이는 3차원 공간에서 표면에 반사된 빛에 의해 생성되는 초점면을 광학적으로 관찰할 때 나타나며, 거의 구형 표면의 기하학, 즉 배꼽점과 밀접하게 관련되어 있다.^[1] 르네 톰은 쌍곡형 배꼽점 파국이 파동의 붕괴를, 타원형 배꼽점 파국이 털과 같은 구조의 생성을 모델링한다고 제안했다.

블라디미르 아르놀트는 특이점을 ADE 분류로 명명했는데, 이는 단순 리 군과의 깊은 연관성 때문이다. 배꼽점 파국은 D_k 형태로 분류된다.

• D₄^-: 타원형 배꼽점
• D₄⁺: 쌍곡선형 배꼽점
• D₅: 포물선형 배꼽점
• D_k: 더 많은 배꼽점 형식의 무한 수열
• E₆: 상징적 배꼽점 (V = x³+y⁴+a x y² +bxy+cx+dy+ey²)
• E₇, E₈

특이점 이론에는 이 외에도 다른 대부분의 단순 리 군에 해당하는 대상이 있다. 포물선형 배꼽점 파국의 수식은 다음과 같다.

:$V\; =\; x^2y\; +\; y^4\; +\; ax^2\; +\; by^2\; +\; cx\; +\; dy\; \backslash ,$

4. 5. 1. 쌍곡형 배꼽점 파국 (Hyperbolic umbilic catastrophe)

쌍곡형 배꼽점 파국은 랭크 2 재앙의 한 예시로, 3개의 매개변수로 조절되며 파동의 붕괴를 모델링하는 데 사용될 수 있다.^[1] 이는 3차원 공간에서 표면에 반사된 빛에 의해 생성된 초점면에서 광학적으로 관찰될 수 있으며, 거의 구형 표면의 기하학, 즉 배꼽점과 밀접하게 관련되어 있다.^[1]

:$V\; =\; x^3\; +\; y^3\; +\; axy\; +\; bx\; +cy\; \backslash ,$

4. 5. 2. 타원형 배꼽점 파국 (Elliptic umbilic catastrophe)

르네 톰은 쌍곡형 배꼽점 재앙이 파동의 붕괴를, 타원형 배꼽점 재앙이 털과 같은 구조의 생성을 모델링한다고 제안했다.

:$V\; =\; \backslash frac\{x^3\}\{3\}\; -\; xy^2\; +\; a(x^2+y^2)\; +\; bx\; +\; cy\; \backslash ,$

4. 5. 3. 포물선형 배꼽점 파국 (Parabolic umbilic catastrophe)

배꼽점 재앙은 랭크 2 재앙의 한 예시이다. 이는 3차원 공간에서 표면에 반사된 빛에 의해 생성된 초점면에서 광학적으로 관찰될 수 있으며, 거의 구형 표면의 기하학, 즉 배꼽점과 밀접하게 관련되어 있다.

톰은 쌍곡형 배꼽점 재앙이 파동의 붕괴를, 타원형 배꼽점 재앙이 털과 같은 구조의 생성을 모델링한다고 제안했다.

5. 응용 분야

파국 이론은 다양한 분야에서 응용될 수 있다.

5. 1. 광학

참조

_[1] 백과사전 The Rise and Fall of Catastrophe Theory https://www.encyclop[...] 2021-11-02
_[2] 서적 The End of Science: Facing the Limits of Knowledge in the Twilight of the Scientific Age Basic Books 2015
_[3] 학술지 Claims and accomplishments of applied catastrophe theory https://www.nature.c[...] 2021-11-02
_[4] 학술지 The rise and fall of catastrophe theory applications in economics: Was the baby thrown out with the bathwater? 2007-10
_[5] 백과사전 Fitting the cusp catastrophe model https://dare.uva.nl/[...] 2005
_[6] 문서 Catastrophe Theory http://www.gaianxaos[...] 1976-04
_[7] 웹사이트 Interactive rendering of Zeeman's Catastrophe Machine https://www.geneva.e[...]
_[8] 학술지 Application of catastrophe theory to the ∆G^≠ to -∆G relationship in electron transfer reactions 1990
_[9] 학술지 On the CCN (de)activation nonlinearities 2017
_[10] 학술지 Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions
_[11] 서적 Singularity Theory and Gravitational Lensing Birkhäuser Boston 2001
_[12] 학술지 IV Catastrophe Optics: Morphologies of Caustics and Their Diffraction Patterns https://www.scienced[...] Elsevier 2024-04-25
_[13] 학술지 The mathematical physics of rainbows and glories https://www.scienced[...] 2002-01-01
_[14] 웹사이트 AMS :: Feature Column :: The Mathematics of the Rainbow, Part II https://www.ams.org/[...] 2024-04-25
_[15] 학술지 Nuclear rainbow scattering and nucleus–nucleus potential https://iopscience.i[...] 2007-03-01
_[16] 논문 The Pearcey function and the cusp catastrophe https://macsphere.mc[...] 2016-11
_[17] 학술지 Optical catastrophes of the swallowtail and butterfly beams https://dx.doi.org/1[...] 2017-05
_[18] 서적 Stabilité Structurelle et Morphogénése: Essai d'une théorie générale des modéles
_[19] 문서 形態と構造 はしがき
_[20] 학술지 On Singularities of Mappings of Euclidean Spaces. I. Mappings of the plane into the plane
_[21] 문서 Arnol'd(1981) pp.2-7
_[22] 문서 Catastrophe Theory http://www.gaianxaos[...] 1976-04
_[23] 웹사이트 Zeeman's Catastrophe Machine in Flash http://lagrange.phys[...] 2012-12-11
_[24] 학술지 Application of catastrophe theory to the ∆G^≠ to -∆G relationship in electron transfer reactions. 1990
_[25] 학술지 Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions 2012-01-01
_[26] 서적 Singularity Theory and Gravitational Lensing Birkhäuser Boston 2001