사교수

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1. 개요
2. 사교수의 예
3. 알려진 사교수 목록
- 3.1. 주기별 사교수 목록
4. 사교수 연구
- 4.1. 미해결 문제
- 4.2. 사교수 주기의 합에 대한 추측
5. 친화적 삼대
참조

1. 개요

사교수는 각 수의 진약수의 합이 다음 수로 이어지는 순환 관계를 갖는 자연수들의 집합을 의미한다. 현재까지 5410개의 사교수가 발견되었으며, 이 중 5394개는 4개의 자연수로 이루어져 있다. 3개의 자연수로 이루어진 사교수는 아직 발견되지 않았으며, 사교수의 존재 여부와 관련된 문제들은 미해결 상태로 남아있다.

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사교수
기본 정보
유형	수학
속성	수열
정의	자신의 약수의 합이 자기 자신이 아닌 다른 수로 되돌아오는 수열
종류
사교수 차수	주기
차수 5	최소 사교수
예시
수열 시작	12496, 14288, 15472, 14536, 14264

2. 사교수의 예

사교수의 예로는 (12496, 14288, 15472, 14536, 14264)가 있다. 이 수들은 5개의 수가 서로 연결된 사교수이다.^[2] 각 수의 자신을 제외한 약수의 합은 다음과 같이 다른 수가 된다.

12496의 자신을 제외한 약수의 합은 14288이다.
14288의 자신을 제외한 약수의 합은 15472이다.
15472의 자신을 제외한 약수의 합은 14536이다.
14536의 자신을 제외한 약수의 합은 14264이다.
14264의 자신을 제외한 약수의 합은 12496이다.

현재까지 발견된 사교수는 5410개이며, 그중 대부분(5394개)은 4개의 수로 이루어져 있다. 이 외에도 6개로 이루어진 것이 7개, 8개로 이루어진 것이 6개 있으며, 5개, 9개, 28개로 이루어진 것이 각각 한 개씩 있다. 28개의 수로 이루어진 사교수도 존재한다.^[1]

3개의 자연수로 이루어진 사교수는 발견되지 않았다. 3개의 수로 이루어진 사교수가 존재하는지, 몇 개까지의 수로 이루어진 사교수가 존재할 수 있는지, 사교수는 무한히 존재하는지와 같은 문제는 홀수 완전수 문제와 마찬가지로 아직 미해결 문제이다.^[3]

(103340640, 123228768, 124015008)는 3개의 수로 이루어진 사교수로 오해될 수 있으나, 이는 우애 삼중수라는 별개의 개념이다.^[3]

2. 1. 4개의 수로 이루어진 사교수

4개의 자연수로 이루어진 사교수는 현재까지 발견된 사교수 중 가장 큰 비중을 차지한다. 2008년 11월 기준으로 발견된 171개의 사교수 중 161개가 4개의 수로 이루어져 있다.

4개의 수로 이루어진 사교수의 예시는 다음과 같다.

(1264460, 1547860, 1727636, 1305184)^[2]
1264460의 진약수의 합은 1547860이다.
1547860의 진약수의 합은 1727636이다.
1727636의 진약수의 합은 1305184이다.
1305184의 진약수의 합은 1264460이다.

4개의 자연수로 이루어진 사교수는 이 외에도 (2115324, 3317740, 3649556, 2797612), (4938136, 8026456, 8635768, 6453224), (7169104, 14941876, 17679944, 13467016), (9983312, 20841304, 21844136, 15343672) 등이 있다.

현재까지 발견된 사교수 중에는 4개의 자연수로 이루어진 것 외에도 5개, 6개, 8개, 9개, 28개로 이루어진 사교수도 존재한다. 그러나 3개, 7개, 10개로 이루어진 사교수는 아직 발견되지 않았으며, 이러한 수들이 존재하는지, 사교수가 무한히 존재하는지 등의 문제는 아직 미해결 문제로 남아있다.^[3]

2. 2. 5개의 수로 이루어진 사교수

(12496, 14288, 15472, 14536, 14264)는 5개의 수로 이루어진 사교수이다.

12496의 자신을 제외한 약수의 합은 14288이다.
14288의 자신을 제외한 약수의 합은 15472이다.
15472의 자신을 제외한 약수의 합은 14536이다.
14536의 자신을 제외한 약수의 합은 14264이다.
14264의 자신을 제외한 약수의 합은 12496이다.

2. 3. 28개의 수로 이루어진 사교수

28개의 수로 이루어진 사교수는 다음과 같다.^[1]

: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716

이 수들은 각자 자신을 제외한 약수의 합이 다른 수로 이어지는 고리를 형성한다.

3. 알려진 사교수 목록

사교수는 자신을 제외한 약수의 합이 다른 수가 되고, 그 다른 수들의 약수의 합을 구하는 과정을 반복했을 때 다시 원래의 수로 돌아오는 수들의 집합을 말한다. 현재까지 알려진 사교수와 관련된 정보는 다음과 같다.

100만 미만의 유일한 사교수(완전수와 친화수 제외)는 5-주기 수열과 28-주기 수열이며, 값은 하위 섹션 "주기별 사교수 목록"에서 확인할 수 있다.
(103340640, 123228768, 124015008)는 사교수가 아니라 우애 삼중수이다.
우애수와 5개 그룹의 사교수를 사용하여 7개 그룹의 사교수를 만들 수 없다.
''n''이 4를 법으로 하는 합동에서 3과 합동이면 길이 ''n''인 사교수 수열은 없다는 추측이 있다.

3. 1. 주기별 사교수 목록

(12496, 14288, 15472, 14536, 14264)는 5개의 수로 이루어진 사교수이다. 각 수의 약수(자기 자신을 제외한)의 합은 다음과 같이 다음 수가 된다.

12496의 약수의 합: 14288
14288의 약수의 합: 15472
15472의 약수의 합: 14536
14536의 약수의 합: 14264
14264의 약수의 합: 12496

현재까지 발견된 사교수는 총 5410개이며, 그중 대부분은 4개의 자연수로 이루어져 있다. 28개의 자연수로 이루어진 사교수도 존재한다.

28개의 자연수로 이루어진 사교수: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716

3개의 자연수로 이루어진 사교수는 아직 발견되지 않았으며, 이와 관련된 여러 문제들은 미해결 상태이다.

2024년 10월 기준으로 알려진 모든 사교수는 다음과 같이 분류할 수 있다.

수열 길이	알려진 수열의 개수	수열의 가장 낮은 수
1 (완전수)	52	6
2 (친화수)	10억 이상^[4]	220
4	5398	1,264,460
5	1	12,496
6	5	21,548,919,483
8	4	1,095,447,416
9	1	805,984,760
28	1	14,316

5-주기 수열은 12496, 14288, 15472, 14536, 14264 이다.

유일하게 알려진 28-주기 수열은 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716 이다.

4. 사교수 연구

(12496, 14288, 15472, 14536, 14264)는 5개의 수로 이루어진 사교수이다. 각 수의 약수(자기 자신을 제외한)의 합은 다음 수와 같다.

12496의 약수의 합은 14288이다.
14288의 약수의 합은 15472이다.
15472의 약수의 합은 14536이다.
14536의 약수의 합은 14264이다.
14264의 약수의 합은 12496이다.

현재까지 발견된 사교수는 총 5410개이다. 그중 대부분(5394개)은 4개의 자연수로 이루어져 있다. 6개로 이루어진 사교수는 7개, 8개로 이루어진 사교수는 6개, 5개, 9개, 28개로 이루어진 사교수는 각각 한 개씩 발견되었다. 이 외에 다른 주기를 가진 사교수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았다.

28개의 자연수로 이루어진 사교수의 예는 다음과 같다: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716

약수 수열은 주어진 정수

n

에 대해 유향 그래프

G_{n,s}

로 표현될 수 있다. 여기서

s(k)

는

k

의 진약수의 합을 나타낸다.^[5]

G_{n,s}

내의 사이클은 구간

[1,n]

내의 사교수를 나타낸다. 완전수는 루프, 우애수 쌍은 길이 2의 사이클로 표현되는 특별한 경우이다.

4. 1. 미해결 문제

3개의 자연수로 이루어진 사교수는 발견되지 않았다. 3개의 자연수로 사교수가 이루어질 수 있는지, 몇 개까지의 사교수가 존재할 수 있는지, 사교수는 무한히 존재하는가와 같은 문제들은 홀수 완전수 문제와 마찬가지로 아직 미해결 상태이다.^[5]

(103340640, 123228768, 124015008)는 3개의 자연수로 이루어진 사교수로 오해될 수 있으나, 이는 친화적 삼대라고 불리는 다른 종류의 정수군이다.

4. 2. 사교수 주기의 합에 대한 추측

(12496, 14288, 15472, 14536, 14264)의 5개의 수는 사교수이다.

12496의 약수의 합은 14288이다.
14288의 약수의 합은 15472이다.
15472의 약수의 합은 14536이다.
14536의 약수의 합은 14264이다.
14264의 약수의 합은 12496이다.

현재까지 발견된 사교수의 개수는 총 5410개이며, 그중 5394개가 4개의 자연수로 이루어졌고, 6개로 이루어진 것이 7개, 8개로 이루어진 것이 6개 있으며 5개, 9개, 28개로 이루어진 것이 각각 한 개씩 있다. 그 이외의 다른 주기를 가진 사교수가 존재하는지는 알려지지 않았다.

28개의 자연수로 이루어진 사교수: 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716

3개의 자연수로 이루어진 사교수는 발견되지 않았다. 3개의 자연수로 사교수가 이루어질 수 있는가, 몇 개까지의 사교수가 존재할 수 있는가, 사교수는 무한히 존재하는가와 같은 문제들은 홀수 완전수 문제와 마찬가지로 아직 미해결 상태이다.

(103340640, 123228768, 124015008)는 3개의 자연수로 이루어진 사교수로 오해될 수 있으나, 이는 친화적 삼대라고 불리는 것으로, 사교수와는 별개의 정수군이다. 이 세 수는 다음과 같은 관계를 갖는다.

103340640의 약수의 합 = 247243776 = 123228768 + 124015008
123228768의 약수의 합 = 227355648 = 124015008 + 103340640
124015008의 약수의 합 = 226569408 = 103340640 + 123228768

친화수 주기의 길이가 2보다 큰 주기의 수가 무한대에 가까워질 때, 10으로 나누어떨어지는 친화수 주기 합의 비율은 1에 접근한다는 추측이 있다.

5. 친화적 삼대

(103340640, 123228768, 124015008)는 우애 삼중수라고 불리는 것으로, 사교수와는 다른 정수군이다. 이들은 다음과 같은 관계를 갖는다.

103340640의 자신을 제외한 약수의 합 247243776 = 123228768 + 124015008
123228768의 자신을 제외한 약수의 합 227355648 = 124015008 + 103340640
124015008의 자신을 제외한 약수의 합 226569408 = 103340640 + 123228768

참조

_[1] 간행물 Catalan-Dickson Conjecture https://proofwiki.or[...] 1918
_[2] 논문 Amicable numbers and their distribution https://www.ams.org/[...] 1970
_[3] 웹사이트 OEIS A003416 cross referenced with OEIS A052470 https://oeis.org/A00[...]
_[4] 웹사이트 Amicable pairs list http://sech.me/ap/
_[5] 간행물 Distributed cycle detection in large-scale sparse graphs Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO)

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