친화수
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1. 개요
친화수는 두 개의 서로 다른 정수 쌍으로, 각 숫자는 다른 숫자의 진약수(자신을 제외한 약수)의 합과 같으며, 수학적 연구의 대상이 되어 왔다. 피타고라스 학파 시대부터 연구가 시작되었으며, 타비트 이븐 쿠라, 오일러 등의 수학자들이 친화수를 구하는 공식을 제시했다. 현재까지 수많은 친화수 쌍이 발견되었지만, 친화수 쌍이 유한한지 무한한지, 홀수와 짝수로 이루어진 친화수가 존재하는지 등 미해결 문제들이 남아 있다. 친화수는 사교수, 다중 친화수(우애 튜플)로 확장되어 연구되기도 하며, 소설, 영화 등 대중문화에서도 소재로 활용된다.
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| 친화수 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 종류 | 수론 |
| 정의 | 두 개의 자연수 쌍으로, 각 수의 약수 (자기 자신을 제외)의 합이 다른 수가 되는 관계 |
| 예시 | (220, 284)와 (1184, 1210) 등 |
| 역사 | |
| 기원 | 고대부터 알려짐 |
| 발견 | 피타고라스 학파에 의해 처음 발견됨 |
| 추가 발견 | 9쌍은 1636년 페르마에 의해 발견 3쌍은 데카르트에 의해 발견 4쌍은 1750년 오일러에 의해 발견 1867년 16세의 B. 니콜로 파가니니에 의해 발견된 284와 220을 제외한 두 번째로 작은 친화쌍 (1184, 1210) |
| 특징 | |
| 조건 | 두 수 p와 q에 대해, p의 진약수 합이 q이고, q의 진약수 합이 p일 때, p와 q는 친화수 |
| 성질 | 친화수 쌍은 무한히 많이 존재할 것으로 추정되지만 아직 증명되지 않았음 모든 친화수 쌍은 짝수-짝수 또는 홀수-짝수 조합을 가짐 홀수-홀수 친화수 쌍은 아직 발견되지 않음 |
| 관련 개념 | |
| 약수 | 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수 |
| 완전수 | 자기 자신을 제외한 약수의 합이 자기 자신이 되는 수 (예: 6, 28) |
| 사교수 | 자신을 제외한 약수들의 합이 원래의 수가 되는 수열 |
| 쌍둥이 소수 | 2만큼 차이나는 두 개의 소수 |
| 메르센 소수 | $2^p - 1$ 형태의 소수 (p는 소수) |
| 페르마 소수 | $2^{2^n} + 1$ 형태의 소수 (n은 음이 아닌 정수) |
2. 역사
친화수에 대한 연구는 고대 피타고라스 학파 시대부터 알려져 있었으며, 여러 문화권에서 연구가 이어져 왔다.
9세기 사빗 이븐 쿠라가 친화수를 구하는 공식을 발견한 이후, 피에르 드 페르마, 르네 데카르트, 레온하르트 오일러 등이 친화수 연구에 기여했다. 특히, 페르마와 데카르트는 아랍 수학자들에게 알려진 친화수 쌍을 재발견하기도 했다.
19세기에는 16세의 B. 니콜로 I. 파가니니가 (1184, 1210) 쌍을 발견하여 학계에 기여했다.
20세기에는 컴퓨터의 발달로 친화수 발견이 가속화되었다. 1946년에는 390쌍이 알려졌지만, 2017년 4월에는 12억 개 이상의 친화수가 알려졌다. 주어진 범위 내의 모든 친화수 쌍을 찾는 연구도 진행되어, 탐색 범위가 1970년 108에서 2016년 1018까지 확장되었다.
| # | m | n |
|---|---|---|
| 1 | 220 | 284 |
| 2 | 1,184 | 1,210 |
| 3 | 2,620 | 2,924 |
| 4 | 5,020 | 5,564 |
| 5 | 6,232 | 6,368 |
| 6 | 10,744 | 10,856 |
| 7 | 12,285 | 14,595 |
| 8 | 17,296 | 18,416 |
| 9 | 63,020 | 76,084 |
| 10 | 66,928 | 66,992 |
2. 1. 고대 그리스
피타고라스 학파는 친화수를 알고 있었으며, 이들은 친화수에 신비로운 속성을 부여했다.[23]2. 2. 중세 이슬람
9세기 이탈리아의 수학자 사빗 이븐 쿠라(826년 ~ 901년)는 친화수를 구할 수 있는 공식을 발견했다.[23] 이 공식은 다음과 같다.:''p'' = 3 × 2''n''-1 - 1,
:''q'' = 3 × 2''n'' - 1,
:''r'' = 9 × 22''n''-1 - 1,
여기서 ''n''은 2 이상의 정수이며, ''p'', ''q'', ''r''이 모두 소수일 때, 2''n''''pq''와 2''n''''r''은 친화수 쌍이 된다.
타비트 이븐 쿠라 외에도 마슬라마 이븐 아흐마드 알마지리티(1007년 사망), 이븐 타히르 알바그다디(980–1037), 카말 알딘 알파리시(1260–1320) 등 여러 아랍 수학자들이 친화수를 연구했다. 이란 수학자 무하마드 바키르 야즈디(16세기)는 (9363584, 9437056) 쌍을 발견했지만, 이는 종종 르네 데카르트에게 귀속된다.[1]
2. 3. 중세 유럽
9세기 이탈리아의 수학자 사빗 이븐 쿠라(826년~901년)가 친화수를 구할 수 있는 관계식을 도출했다.[23] 중세 이슬람 수학의 연구는 대부분 잊혀졌다. 이란 수학자 무하마드 바키르 야즈디 (16세기)가 (9363584, 9437056) 쌍을 발견했지만, 이는 종종 르네 데카르트에게 귀속된다.[1]사빗 이븐 쿠라의 공식은 피에르 드 페르마(1601–1665)와 르네 데카르트(1596–1650)에 의해 재발견되었으며, 때때로 이들에게 귀속되기도 한다.[5]
2. 4. 근대
레온하르트 오일러(1707–1783)는 타비트 이븐 쿠라의 공식을 확장하여 수십 쌍의 새로운 친화수를 발견했다.[5] 1972년 발터 보르호는 타비트 이븐 쿠라의 공식을 더욱 확장했다. 1867년 16세의 B. 니콜로 I. 파가니니(작곡가이자 바이올리니스트와는 다른 인물)는 (1184, 1210) 쌍을 발견했는데, 이는 이전 수학자들이 간과했던 것이다.[2]2. 5. 현대
1946년에는 390쌍의 친화수가 알려져 있었으나, 컴퓨터의 발달로 그 이후 수천 쌍이 발견되었다.[26] 주어진 범위보다 작은 모든 친화수 쌍을 찾는 작업이 수행되었으며, 이 범위는 1970년 108에서 1986년 1010, 1993년 1011, 2015년 1017, 2016년 1018로 확장되었다. 2017년 4월 기준으로 12억 개 이상의 친화수가 알려져 있다.[26]3. 친화수 생성 공식
일부 친화수를 생성하는 공식들이 알려져 있지만, 모든 친화수가 이 공식들로 생성되는 것은 아니다.[4]
특히, 아래에서 소개할 공식들은 짝수 친화수 쌍만 생성하므로, 210 (2·3·5·7)과 서로소인 친화수 쌍을 찾는 미해결 문제와는 관련이 없다. 참고로, 30 (2·3·5)과 서로소인 친화수 쌍은 1000쌍 이상 알려져 있다.[4]
두 자연수 ''n'', ''m'' 쌍이 친화수라는 것은 약수 함수 σ1에 대해 σ1(''n'') = σ1(''m'') = ''n'' + ''m'' 이 성립하는 것을 의미한다.
하지만, (6232, 6368)처럼 아래의 공식으로 생성되지 않는 친화수도 존재한다.[23]
3. 1. [[사빗 이븐 쿠라]]의 공식
9세기 아랍의 수학자 사빗 이븐 쿠라가 발견한 공식은 다음과 같다.[23][4]:''p'' = 3 × 2''n'' − 1 − 1
:''q'' = 3 × 2''n'' − 1
:''r'' = 9 × 22''n'' − 1 − 1
여기서 ''n''은 2 이상의 정수이고, ''p'', ''q'', ''r''이 소수이면, 2''n''''pq''와 2''n''''r''은 친화수 쌍이다.
이 공식은 ''n'' = 2일 때 (220, 284), ''n'' = 4일 때 (17296, 18416), ''n'' = 7일 때 (9363584, 9437056)의 쌍을 생성한다. 하지만 (6232, 6368)과 같이 이 공식으로 생성되지 않는 친화수도 존재한다.[23] 3 × 2''n'' − 1 형태의 숫자는 사빗 수로 알려져 있으며, 이븐 쿠라의 공식이 친화수 쌍을 생성하려면 두 개의 연속적인 사빗 수가 소수여야 하므로, ''n''의 가능한 값은 매우 제한적이다.
사빗 이븐 쿠라는 이 정리를 증명하기 위해 두 그룹으로 나뉜 9개의 보조정리를 증명했다. 첫 번째 세 개의 보조정리는 자연수의 진약수를 결정하는 데 관한 것이고, 두 번째 그룹의 보조정리는 완전수, 과잉수 및 부족수의 형성에 더 구체적으로 관여한다.[4]
3. 2. [[오일러]]의 공식
레온하르트 오일러는 사빗 이븐 쿠라의 공식을 일반화하여 다음과 같은 공식을 만들었다.[5][6]:''p'' = (2''n'' − ''m'' + 1) × 2''m'' − 1
:''q'' = (2''n'' − ''m'' + 1) × 2''n'' − 1
:''r'' = (2''n'' − ''m'' + 1)2 × 2''m'' + ''n'' − 1
여기서 ''m''과 ''n''은 ''m'' < ''n''을 만족하는 양의 정수이고, ''p'', ''q'', ''r''은 소수이다. 이때 2''n''''pq''와 2''n''''r''은 친화수 쌍이 된다. 사빗 이븐 쿠라의 공식은 오일러 공식에서 ''m'' = ''n'' - 1인 경우이다.
오일러의 공식은 (''m'', ''n'') = (1, 8), (29, 40) 등의 경우에 추가적인 친화수 쌍을 생성한다. 오일러는 이 공식을 통해 당시 알려진 친화수 쌍의 수를 61개로 늘렸다.[5][6]
4. 친화수의 성질 및 유형
친화수의 쌍이 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 현재까지 알려진 친화수는 모두 짝수이거나 모두 홀수인데, 홀수와 짝수로 이루어진 친화수가 존재하는지는 알려져 있지 않다. 또한 알려진 친화수는 서로 공통의 약수를 가지는데, 서로소인 친화수가 존재하는지는 알려져 있지 않으나, 만약 존재한다면 최소한 그 두 수의 곱은 1067보다는 커야 한다.
(''m'', ''n'')이 ''m'' < ''n''인 친화수 쌍이고, ''m'' = ''gM'', ''n'' = ''gN''으로 표기하며(여기서 ''g''는 ''m''과 ''n''의 최대공약수) M과 N이 모두 ''g''와 서로소이며 무제곱수이면, 쌍 (''m'', ''n'')을 정규 쌍이라고 하고, 그렇지 않으면 비정규 또는 특이 쌍이라고 한다. (''m'', ''n'')이 정규 쌍이고 M과 N이 각각 ''i''와 ''j''개의 소인수를 가지면, (''m'', ''n'')은 유형 (''i'', ''j'')이라고 한다.
예를 들어, (''m'', ''n'') = (220, 284)의 경우 최대공약수는 4이고, ''M'' = 55, ''N'' = 71이므로 (220, 284)는 유형 (2, 1)의 정규 쌍이다.
친화수 쌍 (''m'', ''n'') 사이에 다른 친화수 쌍에 속하는 정수가 없으면, 이 쌍을 쌍둥이 친화수 쌍이라고 한다.
4. 1. 짝-홀 문제
현재까지 알려진 친화수는 모두 짝수이거나 모두 홀수이다. 짝수-홀수 친화수가 존재하는지는 알려져 있지 않다. 만약 짝수-홀수 친화수가 존재한다면, 짝수는 제곱수이거나 제곱수의 두 배여야 하고, 홀수는 제곱수여야 한다.[7]4. 2. 서로소 문제
알려진 모든 친화수 쌍은 적어도 하나의 공통 소인수를 갖는다. 서로소인 친화수 쌍이 존재하는지는 알려져 있지 않다. 만약 서로소인 친화수 쌍이 존재한다면, 두 수의 곱은 1067보다 커야 한다.[8][9]4. 3. 정규/비정규 쌍
(''m'', ''n'')이 ''m'' < ''n''인 친화수 쌍일 때, ''m'' = ''gM'', ''n'' = ''gN''으로 표현하고, 여기서 ''g''는 ''m''과 ''n''의 최대공약수이다. ''M''과 ''N''이 모두 ''g''와 서로소이며 무제곱수이면, 쌍 (''m'', ''n'')을 정규 쌍이라고 한다. 그렇지 않으면 비정규 또는 특이 쌍이라고 한다.예를 들어, (''m'', ''n'') = (220, 284)의 경우 최대공약수는 4이고, 따라서 ''M'' = 55 및 ''N'' = 71이다. 따라서 (220, 284)는 정규 쌍이다.
4. 4. 유형
(''m'', ''n'')이 m < n인 친화수 쌍이고, m = gM 및 n = gN으로 표기하며, 여기서 g는 m과 n의 최대공약수이다. M과 N이 모두 g와 서로소이며 무제곱수이면, 쌍 (''m'', ''n'')을 정규라고 부르고, 그렇지 않으면 비정규 또는 특이라고 부른다. (''m'', ''n'')이 정규이고 M과 N이 각각 i와 j개의 소인수를 가지면, (''m'', ''n'')은 유형 (''i'', ''j'')라고 한다.예를 들어, (''m'', ''n'') = (220, 284)의 경우 최대공약수는 4이고, M = 55 및 N = 71이다. 따라서 (220, 284)는 유형 (2, 1)의 정규 쌍이다.
4. 5. 쌍둥이 친화수 쌍
친화수 쌍 (''m'', ''n'') 사이에 다른 친화수 쌍에 속하는 정수가 없으면, 이 쌍을 쌍둥이 친화수 쌍이라고 한다.작은 순서대로 나열한 우애수의 쌍은 다음과 같다.
- (220, 284)
- (1184, 1210)
- (2620, 2924)
- (5020, 5564)
- (6232, 6368)
- (10744, 10856)
- (12285, 14595)
- (17296, 18416)
- (63020, 76084)
- (66928, 66992)
- ...
작은 쪽 수는 A002025, 큰 쪽 수는 A002046을 참조하라.
5. 미해결 문제
친화수의 쌍이 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 현재까지 알려진 친화수는 모두 짝수이거나 모두 홀수인 경우뿐이다. 홀수와 짝수로 이뤄진 친화수가 존재하는지 여부는 알려져 있지 않다. 또한 알려진 친화수는 서로 공통의 약수를 가진다. 서로소인 친화수가 존재하는지는 알려져 있지 않으나, 만약 존재한다면 최소한 그 두 수의 곱이 1067보다는 커야 한다.[1]
6. 친화수의 확장
우애수는 두 수의 관계이지만, 이를 확장하여 3개 이상의 수의 관계로 만들 수 있다. 친화수의 확장은 σ(n)은 "n의 약수의 합", s(n)은 "n의 n을 제외한 약수의 합"으로 정의한다. 여기서 σ1(''n''), σ1(''m'')은 약수 함수이며, 두 개의 서로 다른 자연수 ''n'', ''m''의 쌍이 친화수라는 것은 σ1(''n'') = σ1(''m'') = ''n'' + ''m'' 이 되는 것을 의미한다.
6. 1. 사교수
사교수는 각 숫자가 이전 숫자의 진약수의 합이 되는 순환 목록에 있는 숫자들이다. (길이가 2보다 큼) 예를 들어, 1264460 → 1547860 → 1727636 → 1305184 → 1264460 → ...는 차수 4의 사교수이다.[16] 우애수는 차수 2의 사교수라고 할 수 있다.[18]2021년 9월 현재 알려진 사교수 묶음의 차수는 4, 5, 6, 8, 9, 28이다.[18] 3개 묶음의 사교수 묶음 등은 발견되지 않았으며, 존재하는지 여부도 미해결 문제이다.
6. 2. 다중 친화수 (우애 튜플)
'''다중 친화수'''(우애 튜플)는 σ(N₁)=σ(N₂)=…=σ(Nₘ)=N₁+N₂+…+Nₘ을 만족하는 m개의 정수 묶음이다.- '''우애 삼중수''': (1980, 2016, 2556) 등이 있다. 3중 우애수는 1913년 레너드 딕슨이 (123228768, 103340640, 124015008) 및 (1945330728960, 2324196638720, 2615631953920) 묶음을 발견하면서 시작되었고, 이후 다수가 발견되었다.[19][20]
- '''우애 사중수''': 1994년 Yasutoshi Kohmoto에 의해 존재가 해결되었다. Kohmoto는 다음과 같은 일반식을 제시했다.[21]
| Cₙ・173・1933058921・149・103540742849 |
| Cₙ・173・1933058921・15531111427499 |
| Cₙ・336352252427・149・103540742849 |
| Cₙ・336352252427・15531111427499 |
: 여기서 Cₙ=2^(n-1)・Mₙ・5⁹・7²・11⁴・17²・19・29²・67・71²・109・131・139・179・307・431・521・653・1019・1279・2557・3221・5113・5171・6949 이며, n은 3보다 크고 메르센 소수 Mₙ이 소수인 수로 한다.
- '''우애 오중수''': Kohmoto가 2008년 (227491164588441600, 228507506351308800, 229862628701798400, 230878970464665600, 243752632794316800) 묶음을 발견했다.[22]
7. 대중문화 속 친화수
- 요코 오가와의 소설 ''박사가 사랑한 수식''과 이를 바탕으로 한 일본 영화 박사가 사랑한 수식(영화)에 등장한다.
- 폴 오스터의 단편집 ''미국 삶의 진실한 이야기''에는 친화수가 중요한 역할을 하는 이야기('수학적 최음제' by 알렉스 갈트)가 수록되어 있다.
- 레지널드 힐의 소설 ''낯선 집''에 잠시 언급된다.
- 데니스 게지의 프랑스 소설 ''앵무새의 정리''에서 언급된다.
- JRPG ''페르소나 4 골든''에서 언급된다.
- 비주얼 노벨 ''Rewrite''에 등장한다.
- 친화수(220, 284)는 2017년 한국 드라마 안단테 13화에서 언급된다.
- 그리스 영화 ''The Other Me''에 등장한다.
- 브라이언 클레그의 책 ''Are Numbers Real?''에서 논의된다.
- 콜럼 맥캔의 2020년 소설 ''Apeirogon''에서 언급된다.
참조
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2005-09-27
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A LIST OF CURRENTLY KNOWN ALIQUOT CYCLES OF LENGTH GREATER THAN 2
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Amicable Triple
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A125490 - OEIS
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MathWorld
Amicable Quadruple
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웹사이트
"{{\Bracket|seqfan}} Sigma(x)=Sigma(y)=Sigma(z)=Sigma(u)=Sigma(v)=x+y+z+u+v"
http://list.seqfan.e[...]
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