상자 수염 그림

3. 용어

• '''백분위수''': 데이터를 백등분 한 것이다.
• '''사분위수''': 데이터를 4등분 한 것이다.
• '''중앙값''' (''Q''₂ 또는 50번째 백분위수): 데이터의 정 가운데 순위에 해당하는 값이다. 관측치의 절반은 크거나 같고 나머지 절반은 작거나 같다.
• '''제1사분위수''' (''Q''₁ 또는 25번째 백분위수): ''하위 사분위수''라고도 하며, 중앙값 기준으로 하위 50% 중의 중앙값, 전체 데이터 중 하위 25%에 해당하는 값이다.
• '''제3사분위수''' (''Q''₃ 또는 75번째 백분위수): ''상위 사분위수''라고도 하며, 중앙값 기준으로 상위 50% 중의 중앙값, 전체 데이터 중 상위 25%에 해당하는 값이다.^[7]
• '''사분위 범위 (IQR)''': 상위 및 하위 사분위수 간의 거리로, 데이터의 중간 50%를 나타낸다.

• '''최소값''' (''Q''₀ 또는 0번째 백분위수): 이상치를 제외한 데이터 세트의 가장 낮은 데이터 포인트이다.
• '''최대값''' (''Q''₄ 또는 100번째 백분위수): 이상치를 제외한 데이터 세트의 가장 높은 데이터 포인트이다.

4. 구성 요소

상자 수염 그림은 데이터 세트를 다섯 숫자 요약(최소값, 최대값, 표본 중앙값, 제1사분위수, 제3사분위수)을 기반으로 표시하는 표준화된 방법이다.

• '''최소값 (''Q''₀ 또는 0번째 백분위수)''': 이상치를 제외한 데이터 세트의 가장 낮은 데이터 포인트
• '''최대값 (''Q''₄ 또는 100번째 백분위수)''': 이상치를 제외한 데이터 세트의 가장 높은 데이터 포인트
• '''중앙값 (''Q''₂ 또는 50번째 백분위수)''': 데이터 세트의 중간 값
• '''제1사분위수 (''Q''₁ 또는 25번째 백분위수)''': ''하위 사분위수'' ''q''_''n''(0.25)라고도 하며, 데이터 세트의 하위 절반의 중앙값이다.
• '''제3사분위수 (''Q''₃ 또는 75번째 백분위수)''': ''상위 사분위수'' ''q''_''n''(0.75)라고도 하며, 데이터 세트의 상위 절반의 중앙값이다.^[7]

• '''사분위 범위 (IQR)''' : 상위 및 하위 사분위수 간의 거리

• 모든 데이터의 최소값과 최대값
• 1.5 IQR 내의 최저 데이터와 최고 데이터 (1.5 IQR 규칙)
• 데이터 평균 이상 표준편차 1개
• 9번째 백분위수 및 91번째 백분위수
• 2번째 백분위수 및 98번째 백분위수

5. 변형

수학자 존 튜키가 1969년에 이러한 유형의 시각적 데이터 디스플레이를 도입한 이래로 전통적인 상자 그림의 여러 변형이 설명되었다. 가장 일반적인 두 가지는 가변 폭 상자 그림과 노치 상자 그림이다.

'''가변 너비 상자 그림'''은 상자의 너비를 그룹의 크기에 비례하게 하여 데이터가 그려지는 각 그룹의 크기를 보여준다. 상자 너비를 그룹 크기의 제곱근에 비례하게 만드는 것이 일반적이다.^[12]

'''노치 상자 그림'''은 중앙값 주변에 "노치" 또는 상자의 좁아짐을 적용한다. 노치는 중앙값의 차이에 대한 대략적인 지침을 제공하는 데 유용하다. 두 상자의 노치가 겹치지 않으면 중앙값 간에 통계적으로 유의미한 차이가 있다는 증거가 된다.^[12] 노치의 높이는 표본의 사분위 범위(IQR)에 비례하고 표본 크기의 제곱근에 반비례한다. 그러나 가장 적절한 승수에 대한 불확실성이 있다(이는 표본의 분산 유사성에 따라 달라질 수 있음).^[12]

6. 시각화

상자 수염 그림은 히스토그램이나 커널 밀도 추정보다 더 간결하게 데이터의 분포를 나타낼 수 있다. 상자 수염 그림은 적은 공간을 차지하므로 여러 그룹 또는 데이터 세트 간의 분포를 비교하는 데 특히 유용하다.^[1] 저장소의 수와 폭을 선택하면 히스토그램의 모양에 크게 영향을 줄 수 있으며, 대역폭을 선택하면 커널 밀도 추정의 모양에 크게 영향을 미칠 수 있다.^[1]

상자 수염 그림을 보는 것보다 통계 분포를 보는 것이 더 평범하기 때문에, 상자 수염 그림을 일반 분포에 대한 확률 밀도 함수(PDF)와 비교하면 데이터 분포의 특징을 더 잘 이해할 수 있다.^[1]

7. 그리는 방법

wikitext

# 주어진 데이터에서 각 사분위수를 계산한다.

# 그래프에서 제1 사분위와 제3 사분위를 밑변으로 하는 직사각형을 그리고, 제2 사분위에 해당하는 위치에 선분을 긋는다.

# 사분위수 범위(IQR, Interquartile range, $Q\_3-Q\_1$)를 계산한다.

# $Q\_3$과 차이가 1.5IQR 이내인 값 중에서 최댓값을 $Q\_3$과 직선으로 연결하고, 마찬가지로 $Q\_1$과 차이가 1.5IQR 이내인 값 중에서 최솟값을 $Q\_1$과 연결한다.

# $Q\_3$보다 1.5IQR 이상 초과하는 값과 $Q\_1$보다 1.5IQR 이상 미달하는 값은 점이나, 원, 별표 등으로 따로 표시한다(이상점).

8. 예시

• 최소값: 57°F
• 최대값: 81°F
• 중앙값(''Q''₂): 70°F
• 제1사분위수(''Q''₁): 66°F
• 제3사분위수(''Q''₃): 75°F

• 상위 수염 경계: 81°F (최대값이 ''Q''₃ + 1.5 IQR = 88.5°F 보다 작으므로)
• 하위 수염 경계: 57°F (최소값이 ''Q''₁ - 1.5 IQR = 52.5°F 보다 크므로)

• 최소값: 52°F
• 최대값: 89°F
• 중앙값(''Q''₂): 70°F (이전 예시와 동일)
• 제1사분위수(''Q''₁): 66°F (이전 예시와 동일)
• 제3사분위수(''Q''₃): 75°F (이전 예시와 동일)

• 상위 수염 경계: 79°F (이상치를 제외한 최대값)
• 하위 수염 경계: 57°F (이상치를 제외한 최소값)

• '''중앙값''' (p=0.5):

• '''제1사분위수''' (p=0.25):

• '''제3사분위수''' (p=0.75):

참조

_[1] 서적 Graphical exploratory data analysis. http://worldcat.org/[...] Springer 2012
_[2] 논문 Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples http://dx.doi.org/10[...] 1969-02
_[3] 서적 Statistical Methods in Practice : for Scientists and Technologists. http://worldcat.org/[...] John Wiley & Sons 2009
_[4] 서적 Charting Statistics McGraw Hill
_[5] 서적 Practical charting techniques McGraw-Hill 1969
_[6] 웹사이트 40 years of boxplots https://vita.had.co.[...] 2020-12-24
_[7] 논문 Introductory Business Statistics https://opentextbc.c[...] 2015-03-31
_[8] 논문 Some Implementations of the Boxplot 1989-02
_[9] 논문 The shifting boxplot. A boxplot based on essential summary statistics around the mean 2010
_[10] 서적 A Modern Introduction to Probability and Statistics https://archive.org/[...] Springer
_[11] 서적 Privacy in Statistical Databases 2022-09
_[12] 논문 Variations of Box Plots 1978-02
_[13] 웹사이트 R: Box Plot Statistics http://stat.ethz.ch/[...] 2011-06-26
_[14] 논문 An adjusted boxplot for skewed distribution 2008
_[15] 서적 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計 オーム社 2013
_[16] 문서 R言語のboxplotもデフォルトではこのようにプロットする。