열기 (형태학)

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1. 개요
2. 특성
3. 예시
- 3.1. 침식
- 3.2. 팽창
4. 열기를 통한 재생성
5. 서지학
참조

1. 개요

열기(Opening)는 형태학적 이미지 처리에서 사용되는 연산으로, 멱등성, 단조 증가, 반확장성, 병진 불변성을 가지며 닫기와 쌍대성을 이룬다. 열기는 침식 연산 후 팽창 연산을 수행하는 방식으로 이루어지며, 이미지에서 구조 요소보다 작은 객체를 제거하고 큰 객체의 형태를 유지하는 효과를 낸다. 열기를 통한 재생성은 침식으로 제거된 객체를 보다 완전하게 복원하는 방법으로, 지오데식 팽창을 통해 마커 이미지와 마스크 이미지를 사용하여 정의된다.

2. 특성

열기는 멱등성을 가진다. 즉, $(A\circ B)\circ B = A\circ B$ 이다.
열기는 단조증가한다. 즉, $A\subseteq C$ 이면, $A\circ B \subseteq C\circ B$ 이다.
열기는 반-확장적이다. 즉, $A\circ B\subseteq A$ 이다.
열기는 병진 불변이다.
열기와 닫기는 쌍대성 $A \bullet B = (A^{c} \circ B^{c})^{c}$ 을 만족하고, 이 때, $\bullet$ 은 닫기를 의미한다.

2. 1. 멱등성

열기는 멱등성을 가진다. 즉, 한 번 열기 연산을 수행한 결과에 다시 같은 열기 연산을 수행해도 결과는 변하지 않는다. 수식으로는

(A\circ B)\circ B = A\circ B

와 같이 표현된다.

2. 2. 단조 증가

열기는 단조 증가한다. 즉, 입력 이미지 A가 다른 이미지 C의 부분 집합일 때, A에 대한 열기 결과는 C에 대한 열기 결과의 부분 집합이 된다. 즉,

A\subseteq C

이면,

A\circ B \subseteq C\circ B

이다.

2. 3. 반확장성

열기는 반확장적이다. 즉, 열기 연산의 결과는 항상 원래 이미지의 부분 집합이다. 수식으로는

A\circ B\subseteq A

와 같이 표현된다.

2. 4. 병진 불변성

열기는 병진 불변이다. 즉, 이미지를 평행 이동시킨 후 열기 연산을 수행한 결과는 원래 이미지에 열기 연산을 수행한 후 평행 이동시킨 결과와 같다.

2. 5. 쌍대성

열기와 닫기는 서로 쌍대 관계를 가진다. 즉, 이미지 A의 여집합에 대한 열기 연산의 결과는 A에 대한 닫기 연산의 여집합과 같다. 수식으로는

A \bullet B = (A^{c} \circ B^{c})^{c}

와 같이 표현되며, 여기서

\bullet

은 닫기를 의미한다.

3. 예시

침식 연산 $(A\ominus B)$ 는 주어진 이미지 A에 대해 구조 요소 B를 사용하여 수행된다. 이 과정에서 구조 요소 B가 이미지 A에 완전히 포함되는 경우에만 해당 픽셀이 유지되고, 그렇지 않으면 제거된다.

예를 들어, A가 16 x 15 행렬이고 B가 3 x 3 행렬일 때, B의 원점을 A의 각 픽셀에 겹쳐 놓는다. B가 A에 완전히 포함되면 픽셀을 유지하고, 그렇지 않으면 삭제한다.

A를 B로 침식한 결과 $(A\ominus B)$ 는 다음과 같다:

```text

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

```

침식 연산의 결과에 대해 동일한 구조 요소 B를 사용하여 팽창 연산 $(A\ominus B)\oplus B$ 를 수행한다. 이 과정에서 침식으로 제거되었던 픽셀 중 구조 요소와 겹치는 부분이 복원된다.

A가 16 x 15 행렬이고 B가 3 x 3 행렬이라고 가정할 때, 먼저 A를 B로 침식 연산을 수행하면, B의 원점이 A의 각 픽셀에 겹쳐지고, B가 A에 완전히 포함될 때 픽셀이 유지되고 그렇지 않으면 삭제된다.

침식 결과에 B로 팽창 연산을 수행하면, 값이 1인 $(A\ominus B)$ 의 각 픽셀에 대해 B의 중심을 $(A\ominus B)$ 의 해당 픽셀과 정렬하여 B를 겹쳐 놓는다. 겹쳐진 모든 B의 각 픽셀은 B에 의한 A의 팽창에 포함된다.

이와 같은 침식과 팽창의 연속 적용을 통해, 열기 연산은 이미지에서 구조 요소보다 작은 객체를 제거하고, 큰 객체의 형태는 유지하는 효과를 낸다.

3. 1. 침식

침식 연산

(A\ominus B)

는 주어진 이미지 A에 대해 구조 요소 B를 사용하여 수행된다. 이 과정에서 구조 요소 B가 이미지 A에 완전히 포함되는 경우에만 해당 픽셀이 유지되고, 그렇지 않으면 제거된다.

예를 들어, A가 16 x 15 행렬이고 B가 3 x 3 행렬일 때, B의 원점을 A의 각 픽셀에 겹쳐 놓는다. B가 A에 완전히 포함되면 픽셀을 유지하고, 그렇지 않으면 삭제한다.

A를 B로 침식한 결과

(A\ominus B)

는 다음과 같다:

```text

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3. 2. 팽창

침식 연산의 결과에 대해 동일한 구조 요소 B를 사용하여 팽창 연산

(A\ominus B)\oplus B

를 수행한다. 이 과정에서 침식으로 제거되었던 픽셀 중 구조 요소와 겹치는 부분이 복원된다.

A가 16 x 15 행렬이고 B가 3 x 3 행렬이라고 가정할 때, 먼저 A를 B로 침식 연산을 수행하면, B의 원점이 A의 각 픽셀에 겹쳐지고, B가 A에 완전히 포함될 때 픽셀이 유지되고 그렇지 않으면 삭제된다.

침식 결과에 B로 팽창 연산을 수행하면, 값이 1인

(A\ominus B)

의 각 픽셀에 대해 B의 중심을

(A\ominus B)

의 해당 픽셀과 정렬하여 B를 겹쳐 놓는다. 겹쳐진 모든 B의 각 픽셀은 B에 의한 A의 팽창에 포함된다.

이와 같은 침식과 팽창의 연속 적용을 통해, 열기 연산은 이미지에서 구조 요소보다 작은 객체를 제거하고, 큰 객체의 형태는 유지하는 효과를 낸다.

4. 열기를 통한 재생성

형태학적 열기 $(A\ominus B)\oplus B$ 에서 침식 연산은 구조 요소 B보다 작은 객체를 제거하고 팽창 연산은 나머지 객체의 크기와 모양을 (대략적으로) 복원한다. 그러나 팽창 연산의 복원 정확도는 구조 요소의 유형과 복원 객체의 모양에 크게 의존한다. 열기를 통한 재생성 방법은 침식이 적용된 후 객체를 보다 완전하게 복원할 수 있다.

이는

F

에 대한

B

에 의한

n

번의 침식의 측지 팽창에 의한 재구성으로 정의된다.

:

O_R^{(n)}(F) = R_F^{D}[ (F\ominus nB)],

^[1]^[2]

여기서

(F\ominus nB)

는 마커 이미지이고

F

는 팽창에 의한 형태학적 재구성에서 마스크 이미지이다.

R_F^{D}[ (F\ominus nB)] = D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)],

^[1]^[2]

D

는 안정 상태가 될 때까지

k

번의 반복을 통한 측지 팽창을 나타낸다. 즉,

D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)] =  D_F^{(k-1)}[ (F\ominus nB)].

^[1]^[2]

D_F^{(1)}[ (F\ominus nB)] =  ([ (F\ominus nB)]\oplus B)\cap F

이므로^[1]^[2] 마커 이미지는 마스크 이미지에 의해 성장 영역이 제한되어 마커 이미지에 대한 팽창 연산은 마스크 이미지를 벗어나 확장되지 않는다. 결과적으로 마커 이미지는 마스크 이미지의 부분 집합

(F\ominus nB)\subseteq F.

^[1]^[2]이다.

위의 이미지는 입력 텍스트 이미지에서 수직 스트로크를 추출하는 간단한 재구성 열기 예제를 보여준다. 원본 이미지가 회색조에서 이진 이미지로 변환되었으므로 일부 문자에 약간의 왜곡이 있어 동일한 문자가 다른 수직 길이를 가질 수 있다. 이 경우 구조 요소는 관심 객체를 찾기 위해 침식 연산에 적용되는 8픽셀 수직선이다. 또한 팽창에 의한 형태학적 재구성

R_F^{D}[ (F\ominus nB)] = D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)]

^[1]^[2]는 결과 이미지가 수렴될 때까지

k = 9

번 반복한다.

4. 1. 정의

열기를 통한 재생성은

O_R^{(n)}(F) = R_F^{D}[ (F\ominus nB)]

로 정의된다.^[2]^[1] 여기서

(F\ominus nB)

는 마커 이미지를,

F

는 마스크 이미지를 의미하며,

R_F^{D}

는 지오데식 팽창을 통한 형태학적 재생성을,

n

은 침식 연산의 반복 횟수를,

B

는 구조적 요소를 나타낸다.^[2]

형태학적 열기

(A\ominus B)\oplus B

에서 침식 연산은 구조적 요소 B보다 작은 물체를 제거하고 팽창은 나머지 물체의 형태를 복원한다.^[2]^[1] 하지만, 팽창연산에서 복구 정확도는 구조적 요소의 종류와 복구하는 물체의 모양에 강하게 의존한다.^[2] 열기를 통한 재생성 방법은 침식이 적용된 후 물체를 완전히 복원할 수 있다.^[2]^[1]

R_F^{D}[ (F\ominus nB)] = D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)]

이며,^[2]^[1]

D

는

D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)] =  D_F^{(k-1)}[ (F\ominus nB)]

일 때까지의 반복자

k

에 대한 지오데식 팽창이다.^[2]

D_F^{(1)}[ (F\ominus nB)] =  ([ (F\ominus nB)]\oplus B)\cap F

이기 때문에,^[2]^[1] 마커 이미지는 팽창 영역이 마스크 이미지로 제한된다. 마커 이미지의 팽창 연산은 마커 이미지가 마스크 이미지의 부분집합이 되도록(

(F\ominus nB)\subseteq F

) 마스크 이미지 이상으로 확장하지 않는다.^[2]

아래의 이미지는 입력 텍스트 이미지에서 수직 스트로크를 추출하는 단순한 열기를 통한 재생성의 예시를 나타낸다. 원래 이미지는 회색조에서 이진 이미지로 변환되었기 때문에, 일부 글자에서 같은 글자가 다른 수직 길이를 가지는 약간의 왜곡이 있다. 이 경우에, 관심이 있는 물체를 찾기 위해 침식 연산에 적용된 구조적 요소는 8-픽셀의 수직선이다. 게다가, 팽창을 통한 형태학적 재생성

R_F^{D}[ (F\ominus nB)] = D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)]

는 이미지가 수렴할 때까지

k = 9

번 반복한다.^[2]

4. 2. 지오데식 팽창

지오데식 팽창은 마커 이미지에서 시작하여 마스크 이미지의 경계 내에서 팽창을 반복하는 연산이다.

R_F^{D}[ (F\ominus nB)] = D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)]

이며,^[2]^[1] 여기서

D

는 안정 상태에 도달할 때까지 (

D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)] =  D_F^{(k-1)}[ (F\ominus nB)]

) 반복되는 지오데식 팽창을 나타낸다.^[2]^[1] 초기 지오데식 팽창은

D_F^{(1)}[ (F\ominus nB)] =  ([ (F\ominus nB)]\oplus B)\cap F

로 정의되며,^[2]^[1] 마커 이미지의 팽창 영역이 마스크 이미지에 의해 제한된다. 즉, 마커 이미지의 팽창 연산은 마스크 이미지를 벗어나 확장되지 않아, 결과적으로 마커 이미지는 마스크 이미지의 부분 집합(

(F\ominus nB)\subseteq F

)이 된다.^[2]^[1]

형태학적 열기

(A\ominus B)\oplus B

에서, 침식 연산은 구조적 요소 B보다 작은 물체를 제거하고 팽창은 나머지 물체의 형태를 복원한다. 하지만, 팽창연산에서 복구 정확도는 구조적 요소의 종류와 복구하는 물체의 모양에 강하게 의존한다. 열기를 통한 재생성 방법은 침식이 적용된 후 물체를 완전히 복원할 수 있으며,

F

의

B

에 대한

F

의

n

침식의 지오데식 팽창의 재생성으로 정의될 수 있다:

O_R^{(n)}(F) = R_F^{D}[ (F\ominus nB)],

^[2]

여기서

(F\ominus nB)

은 마커 이미지를 의미하고

F

는 팽창을 통한 형태학적 재생성의 마스크 이미지를 의미한다.

입력 텍스트 이미지에서 수직 스트로크를 추출하는 예시를 보면, 원본 이미지는 회색조에서 이진 이미지로 변환되었기 때문에, 일부 글자에서 같은 글자가 다른 수직 길이를 가지는 약간의 왜곡이 있다. 이 경우에, 관심이 있는 물체를 찾기 위해 침식 연산에 적용된 구조적 요소는 8-픽셀의 수직선이다. 게다가, 팽창을 통한 형태학적 재생성

R_F^{D}[ (F\ominus nB)] = D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)]

는 이미지가 수렴할 때까지

k = 9

번 반복한다.

4. 3. 효과

형태학적 열기^[2]^[1]에서 침식 연산은 구조 요소보다 작은 물체를 제거하고, 팽창 연산은 나머지 물체의 형태를 복원한다. 그러나 팽창 연산의 복원 정확도는 구조 요소의 유형과 복원하는 물체의 모양에 크게 의존한다.^[2]^[1] 열기를 통한 재생성은 침식이 적용된 후 물체를 완전히 복원할 수 있는 방법이다.^[2]^[1]

열기를 통한 재생성은 F에 대한 B에 의한 n번 침식의 지오데식 팽창의 재생성으로 정의될 수 있다.^[2]^[1]

:

O_R^{(n)}(F) = R_F^{D}[ (F\ominus nB)],

^[2]^[1]

여기서

(F\ominus nB)

은 마커 이미지,

F

는 팽창을 통한 형태학적 재생성의 마스크 이미지를 의미한다.^[2]^[1]

R_F^{D}[ (F\ominus nB)] = D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)],

^[2]^[1] D는

D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)] =  D_F^{(k-1)}[ (F\ominus nB)]

일 때까지의 반복자

k

에 대한 지오데식 팽창이다.^[2]^[1]

D_F^{(1)}[ (F\ominus nB)] =  ([ (F\ominus nB)]\oplus B)\cap F

^[2]^[1]이기 때문에, 마커 이미지의 팽창 연산은 마커 이미지가 마스크 이미지의 부분집합이 되도록(

(F\ominus nB)\subseteq F

) 마스크 이미지 이상으로 확장하지 않는다.^[2]^[1]

재구성에 의한 열기는 입력 텍스트 이미지에서 수직 스트로크를 추출하는데 사용될수 있다.^[2]^[1] 원본 이미지는 회색조에서 이진 이미지로 변환되었기 때문에, 일부 글자에서 같은 글자가 다른 수직 길이를 가지는 약간의 왜곡이 있다.^[2]^[1] 이 경우에, 관심이 있는 물체를 찾기 위해 침식 연산에 적용된 구조적 요소는 8-픽셀의 수직선이다. 게다가, 팽창을 통한 형태학적 재생성

R_F^{D}[ (F\ominus nB)] = D_F^{(k)}[ (F\ominus nB)]

^[2]^[1]는 이미지가 수렴할 때까지

k = 9

번 반복한다.^[2]^[1]

5. 서지학

형태학적 열기 및 관련 개념에 대한 더 자세한 내용은 다음 자료들을 참고할 수 있다.

장 세라의 ''이미지 분석과 수학적 형태학'' (1982)
장 세라의 ''이미지 분석과 수학적 형태학, 제2권: 이론적 발전'' (1988)
에드워드 R. 도허티의 ''형태학적 이미지 처리에 대한 소개'' (1992)

참조

_[1] 서적 Digital image processing Pearson India Education Services 2016
_[2] 서적 Digital image processing https://www.worldcat[...]

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