예측자-수정자 방법

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1. 개요
2. 아담스-배시포스-몰턴 방법 (Adams-Bashforth-Moulton Method)
3. 호인의 방법 (Heun's Method)
4. 다양한 예측자-수정자 모드
- 4.1. PEC 모드와 PECE 모드
- 4.2. PECECE 모드 및 일반화
참조

1. 개요

예측자-수정자 방법은 상미분방정식의 수치적 해법으로, 양해법을 예측자로, 음해법을 수정자로 사용하여 해를 구하는 방법이다. 이 방법은 아담스-배시포스-몰턴 방법과 호인의 방법 등 다양한 형태로 존재하며, 예측 단계에서 오일러 방법과 같은 명시적 방법을, 수정 단계에서 사다리꼴 공식과 같은 암시적 방법을 사용하는 것이 일반적이다. 예측자-수정자 방법은 수정 단계를 반복 적용하는 횟수에 따라 다양한 모드로 변형될 수 있으며, PEC, PECE, PECECE 등과 같은 모드가 존재한다.

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예측자-수정자 방법
개요
유형	수치해석 알고리즘
분야	상미분 방정식
하위 유형	1단계 방법, 다단계 방법
상세 정보
설명	예측 단계를 사용하여 해의 근사값을 찾고, 수정 단계를 사용하여 정확도를 향상시키는 상미분 방정식을 풀기 위한 반복적인 수치적 방법의 한 종류이다.
사용되는 방정식	'dy/dt = f(t, y)'
범주	수학 과학 컴퓨터 과학
관련 항목	오일러 방법 중점 방법 호인 방법 밀른 방법 해밍 방법

2. 아담스-배시포스-몰턴 방법 (Adams-Bashforth-Moulton Method)

아담스-배시포스-몰턴 방법은 상미분 방정식의 수치적 해법에서 사용되는 예측자-수정자 방법의 일종이다. 이 방법은 예측 단계에서 아담스-배시포스 방법(양해법)을 사용하고, 수정 단계에서 아담스-몰턴 방법(음해법)을 사용한다.

표본점으로 $t_{n-p+1}, t_{n-p+2}, \cdots, t_{n}$ 을 취하면 $p$ 차 아담스-배시포스 공식이 되고,^[2] $t_{n-p+2}, t_{n-p+3}, \cdots, t_{n}, t_{n+1}$ 을 취하면 $p$ 차 아담스-몰턴 공식이 된다. 전자는 양 공식, 후자는 음 공식으로, 음 공식은 미지수를 반복법으로 구하는 경우가 있다. 아담스-배시포스 공식으로 $v_{n+1}$ 의 근삿값을 구하고, 아담스-몰턴 공식으로 그 값을 수정하는 방식이다.

2. 1. 아담스-배시포스 방법 (Adams-Bashforth Method)

상미분 방정식의 초깃값 문제는 다음과 같다.

:

\dfrac{d u}{d t}=f(t,u)

:

u(t_0) = u_0

이 엄밀해는 다음의 적분 방정식을 만족한다.

u(t_{N})-u(t_{M})=\int_{t_{M}}^{t_{N}}f(t,u(t))dt

여기서 우변의 적분 구간을 단순히 간격의 한 단위

h

로 취한 공식을 일반적으로 '''아담스형 공식'''이라고 한다.

v_{n+1}-v_{n}=\int_{t_n}^{t_{n+1}}g_p(t)dt

피적분 함수

g_{p}(t)

는

p

개의 표본점에서 값

f_{i}=f(t_{j},v_{j})

를 취하는 라그랑주 보간 공식이며, 기껏해야

p-1

차의 다항식이다.

표본점으로

t_{n-p+1}, t_{n-p+2}, \cdots, t_{n}

을 취했을 때 이를

p

차 '''아담스-배시포스(Adams-Bashforth) 공식'''이라 하며, 룽게-쿠타 방법과 마찬가지로 강한 안정성을 가지는 공식이며, 1차인 경우는 오일러 방법과 동일하다.^[2]

2. 2. 아담스-몰턴 방법 (Adams-Moulton Method)

상미분 방정식의 초깃값 문제에서, 엄밀해는 다음의 적분 방정식을 만족한다.

:

u(t_{N})-u(t_{M})=\int_{t_{M}}^{t_{N}}f(t,u(t))dt

여기서 우변의 적분 구간을 단순히 간격의 한 단위

h

로 취한 공식을 일반적으로 '''아담스형 공식'''이라고 한다.

:

v_{n+1}-v_{n}=\int_{t_n}^{t_{n+1}}g_p(t)dt

피적분 함수

g_{p}(t)

는

p

개의 표본점에서 값

f_{i}=f(t_{j},v_{j})

를 취하는 라그랑주 보간 공식이며, 기껏해야

p-1

차의 다항식이다.

t_{n-p+2}, t_{n-p+3}, \cdots, t_{n}, t_{n+1}

을 표본점으로 취했을 때, 이 공식을

p

차 '''아담스-몰턴(Adams-Moulton) 공식'''이라고 한다.

아담스-몰턴 공식은

v_{n+1}

의 값을 계산할 때

v_{n+1}

자신을 필요로 하는 '''음 공식'''이다. 음 공식에서는 미지수

v_{n+1}

을 반복법으로 구하는 경우가 있다.

음 공식은 대응하는 양 공식(예: 아담스-배시포스 공식)으로

v_{n+1}

의 근삿값을 구하고, 그 값을 수정하는 방식으로 활용할 수 있다.

2. 3. 예측자-수정자 방법의 적용

상미분방정식의 수치적 계산에서 예측자-수정자 방법은 양해법을 예측자로, 음해법을 수정자로 사용한다.

오일러 방법(양해법)을 예측자로, 사다리꼴 공식(음해법)을 수정자로 이용한 간단한 예측자-수정자 방법을 호인의 방법이라고 하며, 그 내용은 다음과 같다.

미분방정식

:

y' = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0,

가 있고 스텝 사이즈를

h

로 설정한다.

예측자 단계: 현재 값 $y_i$ 에서 시작해 초기값 $\tilde{y}_{i+1}$ 를 오일러 방법으로 구한다.

:

\tilde{y}_{i+1} = y_i + h f(t_i,y_i).

수정자 단계: 초기 예측값을 사다리꼴 공식으로 개선한다.

:

y_{i+1} = y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr).

이렇게 구한

y_{i+1}

값을 다시 이용해

y_{i+2}

값을 구한다.

상미분 방정식의 수치적 해법에서, 예측자-수정자 방법은 일반적으로 예측 단계에 명시적 방법을 사용하고 수정 단계에 암시적 방법을 사용한다.

상미분 방정식의 초깃값 문제는 다음과 같다.

:

\dfrac{d u}{d t}=f(t,u)

:

u(t_0) = u_0

이 엄밀해는 다음의 적분 방정식을 만족한다.

u(t_{N})-u(t_{M})=\int_{t_{M}}^{t_{N}}f(t,u(t))dt

여기서 우변의 적분 구간을 단순히 간격의 한 단위

h

로 취한 공식을 일반적으로 '''아담스형 공식'''이라고 한다.

v_{n+1}-v_{n}=\int_{t_n}^{t_{n+1}}g_p(t)dt

피적분 함수

g_{p}(t)

는

p

개의 표본점에서 값

f_{i}=f(t_{j},v_{j})

를 취하는 라그랑주 보간 공식이며, 기껏해야

p-1

차의 다항식이다.

표본점으로

t_{n-p+1}, t_{n-p+2}, \cdots, t_{n}

을 취했을 때 이를

p

차 '''아담스-배시포스(Adams-Bashforth) 공식'''(룽게-쿠타 방법과 마찬가지로 강한 안정성을 가지는 공식이며, 1차인 경우는 오일러 방법과 동일)^[2]라고 하며, 표본점으로

t_{n-p+2}, t_{n-p+3}, \cdots, t_{n}, t_{n+1}

을 취했을 때

p

차 '''아담스-몰턴(Adams-Moulton) 공식'''이라고 한다.

전자는

v_{n-p+1},  \cdots, v_{n}

으로부터 직접

v_{n+1}

의 값을 계산할 수 있으므로 이를 '''양 공식'''이라고 한다.

이에 반해, 후자는

v_{n+1}

의 값을 계산하는 데

v_{n+1}

자신의 값을 필요로 하는 형식을 취하고 있으며, 이러한 공식을 '''음 공식'''이라고 한다.

음 공식에서는 그 형태에서 알 수 있듯이, 미지수

v_{n+1}

은 반복법에 의해 구할 수 있는 경우가 있다.

양 공식에 의해

v_{n+1}

의 값을 근사적으로 계산하고, 음 공식으로 그 근사값을 수정하는 알고리즘이 종종 채택된다.

이때, 양 공식을 '''예측자'''(predictor), 대응하는 음 공식을 '''수정자'''(correcter)라고 부르며, 그 해법을 '''예측자-수정자 방법'''이라고 한다.

3. 호인의 방법 (Heun's Method)

상미분방정식의 수치적 계산에서 예측자-수정자 방법은 양해법을 예측자로, 음해법을 수정자로 이용한다. 오일러 방법(양해법)을 예측자로, 사다리꼴 공식(음해법)을 수정자로 이용하는 간단한 예측자-수정자 방법을 호인의 방법이라 한다.

3. 1. 미분방정식 설정

오일러 방법(양해법)과 사다리꼴 공식(음해법)을 사용하여 예측자-수정자 방법을 구성할 수 있으며, 이를 호인의 방법이라 한다.

미분방정식은 다음과 같이 주어진다.

:

y' = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0,

단계 크기(스텝 사이즈)는

h

로 나타낸다.

예측자 단계: 현재 값

y_i

에서 시작하여 오일러 방법을 통해 초기 추측 값

\tilde{y}_{i+1}

을 계산한다.

:

\tilde{y}_{i+1} = y_i + h f(t_i,y_i).

수정자 단계: 사다리꼴 공식을 사용하여 초기 추측을 개선한다.

:

y_{i+1} = y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr).

이렇게 구한

y_{i+1}

값은 다음 단계 계산에 사용된다.

3. 2. 예측자 단계 (Predictor Step)

현재 값

y_i

에서 시작해 오일러 방법으로 초기값

\tilde{y}_{i+1}

를 구한다.

:

\tilde{y}_{i+1} = y_i + h f(t_i,y_i).

3. 3. 수정자 단계 (Corrector Step)

초기 예측값을 사다리꼴 공식으로 개선한다.

:

y_{i+1} = y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr).

이렇게 구한

y_{i+1}

값을 다시 이용해

y_{i+2}

값을 구한다.

4. 다양한 예측자-수정자 모드

예측자-수정자 방법은 수정자(corrector)를 얼마나 자주 적용하는지에 따라 다양한 방식이 있다. 구체적인 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. PEC 모드와 PECE 모드

예측자-수정자 방법은 수정자 방법을 얼마나 자주 적용하느냐에 따라 다양한 변형이 있다. 예측-평가-수정-평가(PECE) 모드는 다음과 같다.

:

\begin{align}\tilde{y}_{i+1} &= y_i + h f(t_i,y_i), \\y_{i+1} &= y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr).\end{align}

예측-평가-수정(PEC) 모드에서는 함수 ''f''를 단계별로 한 번만 평가한다.

:

\begin{align}\tilde{y}_{i+1} &= y_i + h f(t_i,\tilde{y}_i), \\y_{i+1} &= y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, \tilde{y}_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr).\end{align}

수정 단계를 반복하여 실제 해에 더 가까운 근삿값을 얻을 수도 있다. 수정자 방법을 두 번 실행하면 PECECE 모드가 된다.

:

\begin{align}\tilde{y}_{i+1} &= y_i + h f(t_i,y_i), \\\hat{y}_{i+1} &= y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr), \\y_{i+1} &= y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\hat{y}_{i+1}) \bigr).\end{align}

PECEC 모드는 PECECE 모드보다 함수 평가 횟수가 한 번 적다.

일반적으로 수정자를 ''k''번 실행하면 해당 방법은 P(EC)^''k'' 또는 P(EC)^''k''E 모드가 된다. 수정자 방법이 수렴될 때까지 반복되면 PE(CE)^∞라고 부른다.^[1]

4. 2. PECECE 모드 및 일반화

오일러 방법(양해법)을 예측자로, 사다리꼴 공식(음해법)을 수정자로 이용한 간단한 예측자-수정자 방법을 호인의 방법이라 한다. 예측자-수정자 방법에는 수정자 방법을 얼마나 자주 적용하느냐에 따라 다양한 변형이 존재한다.

예측-평가-수정-평가(PECE) 모드:

:

\begin{align}\tilde{y}_{i+1} &= y_i + h f(t_i,y_i), \\y_{i+1} &= y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr).\end{align}

예측-평가-수정(PEC) 모드:

:

\begin{align}\tilde{y}_{i+1} &= y_i + h f(t_i,\tilde{y}_i), \\y_{i+1} &= y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, \tilde{y}_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr).\end{align}

PECECE 모드:

:

\begin{align}\tilde{y}_{i+1} &= y_i + h f(t_i,y_i), \\\hat{y}_{i+1} &= y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\tilde{y}_{i+1}) \bigr), \\y_{i+1} &= y_i + \tfrac12 h \bigl( f(t_i, y_i) + f(t_{i+1},\hat{y}_{i+1}) \bigr).\end{align}

PECEC 모드는 PECECE 모드보다 함수 평가가 한 번 적다.

더 일반적으로, 수정자가 ''k''번 실행되면, 해당 방법은 P(EC)^''k'' 또는 P(EC)^''k''E 모드에 있다. 수정자 방법이 수렴될 때까지 반복되면, 이를 PE(CE)^∞라고 부를 수 있다.^[1]

참조

_[1] 서적 2003
_[2] 서적 数値解析入門サイエンス社 2003-06

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