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오일러의 오각수 정리

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목차

1. 개요

오일러의 오각수 정리는 수학, 특히 정수론 분야의 중요한 정리이다. 이 정리는 분할 함수와 관련된 점화식을 제공하며, 정수 분할 개수를 계산하는 데 사용된다. 오일러의 오각수 정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 조합론적 증명, 분할 함수를 이용한 증명, 야코비 삼중곱을 이용한 증명 등이 있다. 이 정리는 수학적 항등식 및 생성 함수와의 관계를 통해 분할 함수를 계산하는 데 활용되며, 관련 정리 및 확장 연구의 기반이 된다.

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오일러의 오각수 정리
오일러의 오각수 정리
공식gₖ = k(3k − 1)/2
OEISA001318

2. 오각수 정리

오일러의 오각수 정리는 다음과 같은 항등식으로 표현된다.[1]

:\prod_{m=1}^{\infty} (1 - x^m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n x^{n(3n-1)/2}

이 항등식은 ''n''의 분할 개수인 p(n)을 계산하기 위한 점화식을 의미한다. 여기서 g_k는 ''k''번째 일반화된 오각수를 나타낸다.

야코비 삼중곱 공식은 다음과 같다.

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}{q^{n^2}z^{n}}=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}

위 공식에 q = x^{3/2}, z = -x^{-1/2}를 대입하면 오일러의 오각수 정리가 유도된다.

2. 1. 일반화된 오각수

일반화된 오각수는 g_k = \frac{k(3k-1)}{2} 형태로 나타나는 수를 말하며, 여기서 ''k''는 0이 아닌 모든 정수(양수 및 음수)이다. ''k''번째 일반화된 오각수를 g_k라고 한다. 이 항등식은 ''n''의 분할 개수인 p(n)을 계산하기 위한 점화식을 의미한다.

:p(n)=\sum_{k\neq 0} (-1)^{k-1}p(n-g_k)

n<0인 모든 경우에 p(n)=0이므로, 위 식은 유한 개의 항만으로 ''p''(''n'')을 효율적으로 계산할 수 있게 해준다.

3. 분할 함수와의 관계

오일러의 오각수 정리는 분할 함수 ''p''(''n'')과 밀접하게 관련되어 있다. 분할 함수는 주어진 자연수를 자연수들의 합으로 나타내는 방법의 수를 의미한다. 예를 들어 ''p''(4) = 5인데, 이는 4를 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 2+2, 4와 같이 5가지 방법으로 분할할 수 있기 때문이다.

오각수 정리는 분할 함수 ''p''(''n'')의 값을 계산하는 데 사용되는 점화식을 유도할 수 있게 해준다. 이 점화식은 ''p''(''n'')을 더 작은 값들의 분할 함수를 이용하여 표현하는 방식이다.

3. 1. 점화식

이 항등식은 ''n''의 분할 개수인 p(n)을 계산하기 위한 점화식을 의미한다.

:p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots

좀 더 공식적으로는 다음과 같다.

:p(n)=\sum_{k\neq 0} (-1)^{k-1}p(n-g_k)

여기서 합은 0이 아닌 모든 정수 ''k''(양수 및 음수)에 대한 것이며, g_k 는 ''k''번째 일반화된 오각수이다. n<0인 모든 경우에 p(n)=0이므로, 오른쪽의 무한히 보이는 급수는 유한 개의 0이 아닌 항만 가지며, 이를 통해 ''p''(''n'')을 효율적으로 계산할 수 있다.

''n''의 분할 수는 생성 함수를 갖는 분할 함수 ''p''(''n'')이며 다음과 같이 표현된다.

:\sum_{n=0}^\infty p(n) x^n = \prod_{k=1}^\infty (1 - x^k)^{-1}

이는 주어진 항등식 우변 곱의 역수이다.

: \left( \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n \right) \cdot \left(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)\right)

= 1

곱의 전개를 다음과 같이 표기한다.

: \prod_{n=1}^\infty (1-x^n) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n,

따라서,

: \left( \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right) = 1.

좌변을 곱하고 양변의 계수를 동일하게 하면, ''a''0 ''p''(0) = 1 및 \sum_{i=0}^n p(n-i) a_i = 0 (n\geq 1인 모든 경우)을 얻는다. 이는 ''an''의 관점에서 ''p''(''n'')을 정의하는 재귀 관계를 제공하고, 그 반대로 ''p''(''n'')의 관점에서 ''an''에 대한 재귀 관계를 제공한다. 따라서 원하는 결과는 다음과 같다.

:a_i := \begin{cases}1 & \text{ if } i = \frac{1}{2}(3k^2 \pm k) \text{ and } k \text{ is even}\\

  • 1 & \text{ if } i = \frac{1}{2}(3k^2 \pm k) \text{ and } k \text{ is odd }\\

0 & \text{ otherwise }\end{cases}

i\geq 1에 대해, 이것은 항등식 \sum_i (-1)^i p(n-g_i) = 0,과 같다. 여기서 g_i := \textstyle\frac{1}{2}(3i^2-i)이고 ''i''는 g_i \leq n인 모든 정수를 포함한다(이 범위는 양수와 음수 i를 모두 포함하여 일반화된 오각수 두 종류를 모두 사용한다).

4. 증명

오일러의 오각수 정리는 조합론적 증명, 분할 함수를 이용한 증명, 야코비 삼중곱을 이용한 증명 등 다양한 방법으로 증명할 수 있다.[1] 각 증명 방법은 서로 다른 관점에서 오각수 정리의 본질을 드러낸다.

하위 섹션에서 조합론적 증명을 상세히 다루고 있으므로, 여기서는 조합론적 증명의 핵심 아이디어만 간략히 언급한다. 조합론적 증명은 짝수 개의 서로 다른 부분으로 분할하는 경우와 홀수 개의 서로 다른 부분으로 분할하는 경우를 페레 다이어그램을 이용하여 시각적으로 표현하고, 대응시켜 상쇄시키는 방식으로 이루어진다. 대부분의 경우 서로 상쇄되지만 일반화된 오각수의 경우에는 상쇄되지 않고 남아 오각수 정리의 결과를 도출한다.

야코비 삼중곱 공식을 이용하면 오일러의 오각수 정리를 유도할 수 있다.[1] 야코비 삼중곱 공식은 다음과 같다.

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}{q^{n^2}z^{n}}=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}

위 식에 q=x^{3/2}, z=-x^{-1/2} 를 대입하면 오일러의 오각수 정리가 유도된다.[1]

4. 1. 조합론적 증명

이 정리는 조합론적으로 분할의 관점에서 해석될 수 있다. 좌변은 짝수 개의 서로 다른 부분으로 분할된 ''n''의 분할 수에서 홀수 개의 서로 다른 부분으로 분할된 ''n''의 분할 수를 뺀 값에 대한 생성 함수이다. 짝수 개의 서로 다른 부분으로 분할된 ''n''의 각 분할은 ''x''''n''의 계수에 +1을 기여하고, 홀수 개의 서로 다른 부분으로 분할된 각 분할은 −1을 기여한다.[1]

예를 들어, ''x''5의 계수는 +1인데, 5를 짝수 개의 서로 다른 부분으로 나누는 방법이 두 가지(4 + 1과 3 + 2)뿐이지만, 홀수 개의 서로 다른 부분으로 나누는 방법은 한 가지(부분 5)뿐이기 때문이다. 그러나 ''x''12의 계수는 −1인데, 12를 짝수 개의 서로 다른 부분으로 분할하는 방법이 7가지가 있지만, 홀수 개의 서로 다른 부분으로 분할하는 방법이 8가지이고, 7 − 8 = −1이기 때문이다.

이러한 해석은 쌍을 이루는 일치하는 항을 취소하여 항등식을 증명할 수 있게 한다(사상). 서로 다른 부분으로 분할된 ''n''의 모든 분할의 페레 다이어그램을 고려한다. 예를 들어, 20 = 7 + 6 + 4 + 3을 나타내는 페레 다이어그램은 다음과 같다.

*
o





여기서 ''m''을 가장 작은 행에 있는 요소의 수(''m'' = 3), ''s''를 다이어그램의 가장 오른쪽 45도 선에 있는 요소의 수(''s'' = 2, 빨간색 점)라고 한다. ''m'' > ''s''인 경우, 가장 오른쪽 45도 선을 가져와서 새 행을 형성한다.







''m'' ≤ ''s''인 경우(새로 형성된 다이어그램에서 ''m'' = 2, ''s'' = 5) 아래 행을 이동하여 새 45도 선을 형성하여 첫 번째 다이어그램으로 되돌릴 수 있다.

이 과정은 항상 행의 수의 짝수성(패리티)을 변경하고, 이 과정을 두 번 적용하면 원래 다이어그램으로 되돌아간다. 이를 통해 ''x''''n''항에 1과 −1을 기여하는 페레 다이어그램을 쌍으로 묶어 ''x''''n''에 대한 순 계수가 0이 되도록 한다. 이 작업은 ''n''개의 점이 있는 모든 페레 다이어그램에 대해 수행 가능하지만, 예외는 두 가지 경우가 있다.

1) ''m'' = ''s''이고 가장 오른쪽 대각선과 맨 아래 행이 만나는 경우:





이 경우, 연산을 수행하면 행의 수의 짝수성이 바뀌지 않고, 원래 다이어그램으로 되돌아가지 않는다. 이 때, n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots+(2m-1)=\frac {m(3m-1)}{2}=\frac {k(3k-1)}{2} 이고, ''k''는 ''m''과 같다. 이 분할과 관련된 부호는 (−1)''s'' = (−1)''k''이다.

2) ''m'' = ''s'' + 1이고 가장 오른쪽 대각선과 맨 아래 행이 만나는 경우:





이 경우, 연산을 수행하면 같은 요소 수의 행이 2개 생겨 서로 다른 부분으로 분할한다는 조건에 맞지 않는다. 이 때, n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots+(2m-2)=\frac{(m-1)(3m-2)}{2}=\frac{k(3k-1)}{2} 이고, ''k'' = 1−''m''(음의 정수)이다. 부호는 (−1)''s'' = (−1)''-k'' = (−1)''k''이다.

결론적으로, 짝수/홀수 분할은 서로 상쇄되어 n = k(3k-1)/2 (일반화된 오각수)가 아닌 경우 0''x''''n''을 생성하고, 이 경우 하나의 페레 다이어그램이 남아 (−1)''k''''x''''n''을 생성한다.

4. 2. 분할 함수를 이용한 증명

정수 분할을 사용하여 위의 증명을 다시 표현할 수 있다. ''n''을 다음과 같이 분할한다고 하자.

:n = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_\ell

여기서 \lambda_1\geq \lambda_2\geq\ldots\geq\lambda_\ell > 0이다.

''n''의 분할 수는 생성 함수를 갖는 분할 함수 ''p''(''n'')이며 다음과 같다.

:\sum_{n=0}^\infty p(n) x^n = \prod_{k=1}^\infty (1 - x^k)^{-1}

이는 주어진 항등식의 우변의 곱의 역수이다.

: \left( \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n \right) \cdot \left(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)\right)

= 1

곱의 전개를 다음과 같이 표기한다.

: \prod_{n=1}^\infty (1-x^n) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n,

따라서,

: \left( \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right) = 1.

좌변을 곱하고 양변의 계수를 동일하게 하면, ''a''0 ''p''(0) = 1 및 \sum_{i=0}^n p(n-i) a_i = 0 (n\geq 1인 모든 ''n''에 대해)을 얻는다. 이것은 ''an''의 관점에서 ''p''(''n'')을 정의하는 재귀 관계를 제공하고, 그 반대로 ''p''(''n'')의 관점에서 ''an''에 대한 재귀 관계를 제공한다. 우리가 원하는 결과는 다음과 같다.

:a_i := \begin{cases}1 & \text{ if } i = \frac{1}{2}(3k^2 \pm k) \text{ and } k \text{ is even}\\

  • 1 & \text{ if } i = \frac{1}{2}(3k^2 \pm k) \text{ and } k \text{ is odd }\\

0 & \text{ otherwise }\end{cases}

i\geq 1에 대해, 이것은 항등식 \sum_i (-1)^i p(n-g_i) = 0,와 같다. 여기서 g_i := \textstyle\frac{1}{2}(3i^2-i)이고 ''i''는 g_i \leq n인 모든 정수를 포함한다(이 범위는 양수와 음수 i를 모두 포함하여 일반화된 오각수 두 종류를 모두 사용한다). 이것은 다시 다음을 의미한다.

:\sum_{i \mathrm{\ even}} p(n-g_i) = \sum_{i \mathrm{\ odd}} p(n-g_i).

분할 집합의 관점에서, 이것은 다음 집합의 기수가 같다는 것을 의미한다.

:\mathcal{X} := \bigcup_{i \mathrm{\ even}} \mathcal{P}(n-g_i)         and         \mathcal{Y} := \bigcup_{i \text{ odd}} \mathcal{P}(n-g_i),

여기서 \mathcal{P}(n)은 n의 모든 분할의 집합을 나타낸다.

이제 한 집합에서 다른 집합으로의 일대일 대응을 제공하면 된다. 이는 분할 \mathcal{P}(n-g_i) \ni \lambda : n-g_i = \lambda_1 + \lambda_2 + \dotsb + \lambda_\ell을 다음 분할 \lambda' = \varphi(\lambda)으로 매핑하는 함수 ''φ''에 의해 수행된다.

: \varphi(\lambda) :=

\begin{cases}

\lambda' : n - g_{i-1} = (\ell + 3i -2) + (\lambda_1 - 1) + \dotsb + (\lambda_\ell - 1) &\text{ if } \ell+3i > \lambda_1\\

\\

\lambda' : n - g_{i+1} = (\lambda_2 + 1) + \dotsb + (\lambda_\ell + 1) + \underbrace{1+\dotsb+1}_{\lambda_1 - \ell - 3i} &\text{ if } \ell+3i \leq \lambda_1.

\end{cases}



이것은 자기 자신의 역함수(involution)이며, 특히 일대일 대응이므로, 이 함수는 우리가 주장하는 항등식을 증명한다.

4. 3. 야코비 삼중곱을 이용한 증명

야코비 삼중곱 공식은 다음과 같다.[1]

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}{q^{n^2}z^{n}}=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}

위 식에 q=x^{3/2}, z=-x^{-1/2} 를 대입하면 다음을 얻는다.[1]

:\begin{align}

\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left(x^{3/2}\right)^{n^2}\left(-x^{-1/2}\right)^n

&=\prod_{m=1}^{\infty} (1 - x^{3m})(1 - x^{(6m-3)/2}x^{-1/2})(1 - x^{(6m-3)/2}x^{1/2})\\

&=\prod_{m=1}^{\infty} (1 - x^{3m})(1 - x^{3m-2})(1-x^{3m-1})\\

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n x^{n(3n-1)/2}

&= \prod_{m=1}^{\infty} (1 - x^m)

\end{align}

이는 오일러의 오각수 정리와 같다.[1]

참조

[1] 논문 Sur le developpement du produit (1 – ''x'')(1 – ''x''2)(1 − ''x''3) ... 1881
[2] 서적 複素関数入門 岩波書店 2003


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