사상 (수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 사상 모임 (Hom-class)
3. 사상의 종류
4. 예시
참조

1. 개요

사상은 범주를 구성하는 요소 중 하나로, 대상 간의 관계를 나타내는 화살표로 표현된다. 사상은 정의역과 공역을 가지며, 사상 간의 합성은 결합 법칙과 항등 사상 공리를 만족해야 한다. 사상에는 단사, 전사, 동형 사상 등 다양한 종류가 있으며, 자기 사상과 자기 동형 사상도 존재한다. 대수 구조, 위상 공간, 미분 가능 다양체 등 다양한 수학적 구조에서 사상의 개념이 활용된다.

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사상 (수학)
기본 정보
정의	수학적 대상을 연결하는 함수 또는 변환
분야	범주론
관련 개념	범주론 대상 함수 hom 집합
범주론적 정의
구성 요소	대상: 연결되는 수학적 대상 사상: 대상을 연결하는 화살표
성질	합성 가능성: 사상들을 연결하여 새로운 사상을 만들 수 있음 항등 사상: 각 대상에서 자기 자신으로 가는 특별한 사상
예시	집합과 함수 군과 군 준동형 사상 위상 공간과 연속 함수
유형
단사 사상	injective morphism (one-to-one)
전사 사상	surjective morphism (onto)
전단사 사상	bijective morphism (one-to-one and onto)
동형 사상	isomorphism (역사상이 존재하는 사상)
자기 사상	endomorphism (출발 대상과 도착 대상이 같은 사상)
자기 동형 사상	automorphism (자기 사상이면서 동형 사상인 경우)
중요성
역할	수학적 구조와 대상 간의 관계를 추상적으로 표현하고 연구하는 데 사용
응용 분야	대수적 위상수학, 호모토피 이론, 이론 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용

2. 정의

범주는 '대상'의 모임과 '사상'의 모임으로 이루어져 있다. 각 사상은 '정의역'과 '공역'을 가지는데, 이들은 둘 다 범주의 대상이다. 사상 $f$ 의 정의역이 $X$ 이고 공역이 $Y$ 일 때, 이를 $f :\, X \to Y$ 로 나타낸다. 즉, 사상은 정의역에서 공역으로 가는 "화살표"로 표시된다.

임의의 세 대상 $X,Y,Z$ 에 대해, 사상 사이에는 '사상의 합성'이라는 이항연산이 존재한다. 사상 $f :\, X \to Y$ 와 $g :\, Y \to Z$ 의 합성은 $g\circ f$ 혹은 $gf$ 로 쓴다. 사상의 합성은 종종 가환 그림으로 나타낸다.

사상은 다음 두 공리를 만족해야 한다.

항등사상: 임의의 대상 $X$ 에 대해, ' $X$ 의 항등사상'이라고 불리는 유일한 사상 $1_X:\, X \to X$ 이 존재하여, 임의의 사상 $f:\, A \to B$ 에 대해 $1_B \circ f = f = f \circ 1_A$ 이다.
결합법칙: $f : X \to Y,\, g : Y \to Z,\, h : Z \to U$ 이면 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ 이다.

구체적 범주에서, 합성은 보통의 함수의 합성과 일치하며, 항등사상은 항등함수이다. 함수의 합성은 결합법칙을 만족하므로 위의 결합법칙 조건도 자연스럽게 성립한다.

2. 1. 사상 모임 (Hom-class)

X

에서

Y

로의 모든 사상의 모임을

\operatorname{Hom}_C(X,Y)

혹은 간단히

\operatorname{Hom}(X,Y)

로 나타내고, 이를

X

와

Y

사이의 '''사상 모임'''(hom-class^영어)이라 하며, 이것이 집합인 경우에는 '''사상 집합'''(hom-set^영어)이라 한다. (이를

\mathrm{Mor}_C(X,Y)

혹은

\mathrm{Mor}(X,Y)

등으로 나타내는 저자도 있다.) 모든 대상

X

와

Y

에 대해

\operatorname{Hom}(X, Y)

가 집합인 범주는 국소적으로 작은 범주라고 한다.^[1]

3. 사상의 종류

사상은 그 성질에 따라 여러 종류로 분류할 수 있으며, 이들은 범주론에서 중요한 역할을 한다.

'''단사'''(Monomorphism): 어떤 사상 ''f''가 단사라는 것은, 다른 임의의 사상 ''g''₁, ''g''₂에 대해, ''f'' ∘ ''g''₁ = ''f'' ∘ ''g''₂ 이면 ''g''₁ = ''g''₂ 가 성립함을 의미한다. 모노 사상(mono) 또는 단형 사상(monic)이라고도 불린다^[2]。
'''왼쪽 역사상'''(Left inverse): 사상 ''f''가 왼쪽 역사상을 가진다는 것은, 사상 ''g''가 존재하여 ''g'' ∘ ''f'' = id_''X'' 를 만족하는 것을 말한다. ''g''는 ''f''의 retraction이라고도 한다^[2]。
'''분할 단사'''(Split monomorphism): 왼쪽 역사상을 갖는 단사를 말한다.
'''전사'''(Epimorphism): 어떤 사상 ''f''가 전사라는 것은, 다른 임의의 사상 ''g''₁, ''g''₂에 대해, ''g''₁ ∘ ''f'' = ''g''₂ ∘ ''f'' 이면 ''g''₁ = ''g''₂ 가 성립함을 의미한다. 에피 사상(epi) 또는 전형 사상(epic)이라고도 한다^[2]。
'''오른쪽 역사상'''(Right inverse): 사상 ''f''가 오른쪽 역사상을 가진다는 것은, 사상 ''g''가 존재하여 ''f'' ∘ ''g'' = id_''Y'' 를 만족하는 것을 말한다. ''g''는 ''f''의 절단 또는 단면(section)이라고도 한다^[2]。
'''분할 전사'''(Split epimorphism): 오른쪽 역사상을 갖는 전사를 말한다.
'''전단사/쌍사'''(Bimorphism): 단사이면서 전사인 사상을 말한다.
'''동형 사상'''(Isomorphism): 사상 ''f''가 동형 사상이라는 것은, 사상 ''g''가 존재하여 ''f'' ∘ ''g'' = id_''Y'' 이고 ''g'' ∘ ''f'' = id_''X'' 가 성립하는 것을 의미한다. 이때 ''g''는 ''f''의 역사상(inverse)이라고 불린다.
'''자기 사상'''(Endomorphism): 정의역과 공역이 같은 사상을 말한다.
'''자기 동형 사상'''(Automorphism): 동형 사상인 자기 사상을 말한다.

3. 1. 단사 사상 (Monomorphism)

f : X \to Y

가 단사 사상이라는 것은, 임의의 사상

g_1, g_2 : Z \to X

에 대해

f \circ g_1 = f \circ g_2

이면

g_1 = g_2

임을 함의하는 것이다.^[1]^[2] 단사 사상은 줄여서 'mono'라고 부르며, 형용사로 'monic'이라고 한다.^[1]

g \circ f = \text{id}_X

를 만족하는 사상

g : Y \to X

가 존재하면

f

는 좌 역사상(left-inverse)을 갖는다고 하며, 이 경우

f

는 분해 단사 사상(split monomorphism)이다.^[1]^[2] 왼쪽 역원

g

는

f

의 retraction이라고도 부른다.^[1]

구체적 범주에서 좌 역함수를 갖는 함수는 단사 함수와 일치한다.^[1]^[2] 따라서 구체적 범주에서 단사 사상은 종종 단사 함수이다. 단사 함수 조건은 단사 사상 조건보다 강하지만, 분할 단사 사상 조건보다는 약하다.

3. 2. 전사 사상 (Epimorphism)

임의의 사상

g_1, g_2 :\, Y \to Z

에 대해

g_1\circ f=g_2\circ f

이면

g_1 = g_2

를 만족할 때

f

를 '''전사 사상'''이라고 한다.^[1]

f\circ g={\rm id}_Y

를 만족하는 사상

g :\, Y \to Z

가 존재하면

g

를

f

의 '''우 역사상'''(right-inverse)이라 한다. 우 역사상을 갖는 사상은 전부 전사이나, 그 역은 성립하지 않는다. 전사 사상이 우 역사상을 가지면 이를 '''분해 전사 사상'''(split epimorphism)이라 한다.^[1] 구체적 범주에서 우 역함수를 갖는 함수는 전사 함수와 일치하며, 이 조건은 전사 사상 조건보다는 강하지만 분해 전사 사상 조건보다는 약하다. 집합의 범주에서 모든 전사 함수가 우 역함수를 가진다는 것은 선택 공리와 동치이다.

단사 사상

f

가 왼쪽 역사상

g

를 가지면,

g

는

f

를 우 역사상으로 갖는 분해 전사 사상이다.

3. 3. 양사상 (Bimorphism)

전사 사상이면서 단사 사상인 모피즘을 '''양사상'''이라고 한다.^[1] 단사이면서 전사인 사상은 '''쌍사'''(bimorphism) 또는 '''전단사'''라고 불린다.^[2]

3. 4. 동형 사상 (Isomorphism)

사상

f : X \to Y

가 동형 사상이라는 것은,

f \circ g = \text{id}_Y

와

g \circ f = \text{id}_X

를 모두 만족하는 사상

g : Y \to X

가 존재하는 것을 의미한다. 이때

g

를

f

의 역사상(inverse)이라고 한다.^[2] 역사상은 존재한다면 유일하다. 역사상

g

또한 동형 사상이며, 역사상은

f

이다. 동형 사상이 존재하는 두 객체는 동형 또는 동치라고 한다.

모든 동형 사상은 쌍사(전단사)이지만, 쌍사라고 해서 반드시 동형 사상인 것은 아니다. 예를 들어, 가환환 범주에서 포함 사상

\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}

는 쌍사이지만 동형 사상은 아니다. 그러나 전사이자 분할 단사인 사상, 또는 단사이자 분할 전사인 사상은 항상 동형 사상이어야 한다. 모든 쌍사가 동형 사상인 범주를 균형 범주라고 하며, 집합의 범주 '''Set'''가 그 예시이다.

3. 5. 자기 사상 (Endomorphism)

정의역과 공역이 같은 사상을 '''자기 사상'''이라고 한다.^[2] 출발점과 도착점이 동일한 형상 사상 f : X → X^영어은 ''X''의 자기 사상이다. '''분리 자기 사상'''은 ''f''가 f = h ∘ g^영어와 g ∘ h = id^영어를 만족하는 분해를 허용하는 멱등 자기 사상 ''f''이다.^[2] 특히, 범주의 카루비 포락선은 모든 멱등 형상 사상을 분리한다.^[2]

3. 6. 자기 동형 사상 (Automorphism)

자기 사상이면서 동형 사상인 사상을 자기 동형 사상이라고 한다. 모든 범주에서, 객체의 자기 동형 사상은 항상 군을 형성하며, 이를 객체의 자기 동형군이라고 부른다.^[2]

4. 예시

대수 구조에서 흔히 보는 대수학의 예시로는 군, 환, 가군 등이 있는데, 이때 사상은 보통 준동형 사상이며, 위에서 정의된 것과 같이 동형 사상, 자기 동형 사상, 자기 사상, 전사 사상, 단사 사상의 개념이 적용된다. 하지만 환의 경우, "전사 사상"은 "전사 함수"와 같은 뜻으로 쓰이기도 하지만, 전사적이지 않은 환 전사 사상도 있다(예: 정수를 유리수에 포함시키는 경우).^[1]
위상 공간의 범주에서 사상은 연속 함수이며, 동형 사상은 위상 동형 사상이라고 한다. 전단사 함수 (즉, 집합의 동형 사상)이지만 위상 동형 사상이 아닌 경우도 있다.^[1]
미분 가능 다양체의 범주에서 사상은 매끄러운 함수이며, 동형 사상은 미분 동형 사상이라고 한다.^[1]
작은 범주의 범주에서 사상은 함자이다.^[1]
함자 범주에서 사상은 자연 변환이다.^[1]

더 많은 예시는 범주론을 참고하라.^[1]

참조

_[1] 서적 Jacobson (2009), p. 15
_[2] 서적 Jacobson (2009), p. 15

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