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원 안에 원 채우기

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목차

1. 개요

원 안에 원 채우기는 주어진 원 안에 가능한 많은 원을 배치하는 문제이다. 이 문서에서는 덮는 원의 반지름, 밀도, 최적성, 그리고 각 경우에 대한 원의 배치 그림을 표로 정리하여 1개에서 20개까지의 원을 채우는 경우를 보여준다. 최적 해가 여러 개인 경우 모두 표시하며, 특수한 경우와 강성 최적 포장, 밀도와 관련된 특이 사항에 대해서도 설명한다.

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원 안에 원 채우기

2. 해의 목록 (1 ≤ n ≤ 20)

n덮는 원의 반지름
r		밀도
n\!/r^2		최적성n개의 원의 배치
111.000...자명하게 최적임.
220.500...자명하게 최적임.
31+\frac{2}{\sqrt{3}}
2.155...		0.6466...자명하게 최적임.
41+\sqrt{2}
2.414...		0.6864...자명하게 최적임.
51+\sqrt{2\left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}
2.701...		0.6854...Graham(1968)에 의해 최적임이 증명됨[7]
630.6666...Graham(1968)에 의해 최적임이 증명됨[7]
730.7777...자명하게 최적임.
81+\frac{1}{\sin\frac{\pi}{7}}
3.304...		0.7328...Pirl(1969)에 의해 최적임이 증명됨[9]
91+\sqrt{2\left(2+\sqrt{2}\right)}
3.613...		0.6895...Pirl(1969)에 의해 최적임이 증명됨[9]
103.813...0.6878...Pirl(1969)에 의해 최적임이 증명됨[9]
111+\frac{1}{\sin\frac{\pi}{9}}
3.923...		0.7148...Melissen(1994)에 의해 최적임이 증명됨[10]
124.029...0.7392...Fodor(2000)에 의해 최적임이 증명됨
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132 + \sqrt{5}
4.236...		0.7245...Fodor(2003)에 의해 최적임이 증명됨[5]
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144.328...0.7474...Ekanayake 및 LaFountain(2024)에 의해 최적임이 증명됨.[2]
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151\!+\!\sqrt{6\!+\!\frac{2}{\sqrt{5}}\!+\!4 \sqrt{1\!+\!\frac{2}{\sqrt{5}}}}
4.521...		0.7339...Pirl(1969)에 의해 최적임이 추측됨.[8]
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164.615...0.7512...Goldberg(1971)에 의해 최적임이 추측됨.[8]
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174.792...0.7403...Reis(1975)에 의해 최적임이 추측됨.[8]
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181+\sqrt{2}+\sqrt{6}
4.863...		0.7609...Pirl(1969)에 의해 최적임이 추측됨, Graham, Lubachevsky, Nurmela, 및 Östergård (1998)에 의해 추가적인 배치가 이루어짐.[8]
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191+\sqrt{2}+\sqrt{6}
4.863...		0.8032...Fodor(1999)에 의해 최적임이 증명됨[6]
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205.122...0.7623...Goldberg (1971)에 의해 최적임이 추측됨.[8]
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최적의 해가 여러 개 존재하는 경우, 모두 표시됩니다.[1]

3. 특수한 경우

강성을 갖는 최적 포장은 26개만 있는 것으로 생각된다.[3]


  • ''n'' = 1, '''2''', '''3''', 4, '''5''', 6, '''7''', 10, '''11''', 12, '''13''', 14, '''19'''에 대해 증명되었다.[3]
  • ''n'' = 15, 16, '''17''', 18, 22, '''23''', 27, 30, '''31''', 33, '''37''', '''61''', 91에 대해 추측된다.[3]


이 중, ''n'' = '''2''', '''3''', 4, '''7''', '''19''', '''37'''에 대한 해는 1보다 큰 임의의 작은 숫자보다 더 큰 포장 밀도를 달성한다. (더 높은 밀도 기록은 모두 흔들림을 가지고 있다.)[3] 여기서 '''굵은''' 숫자는 소수이다.

3. 1. 강성 최적 포장

강성을 갖는 최적 포장은 26개만 있는 것으로 생각된다.[3]

  • ''n'' = 1, '''2''', '''3''', 4, '''5''', 6, '''7''', 10, '''11''', 12, '''13''', 14, '''19'''에 대해 증명되었다.[3]
  • ''n'' = 15, 16, '''17''', 18, 22, '''23''', 27, 30, '''31''', 33, '''37''', '''61''', 91에 대해 추측된다.[3]


이 중, ''n'' = '''2''', '''3''', 4, '''7''', '''19''', '''37'''에 대한 해는 1보다 큰 임의의 작은 숫자보다 더 큰 포장 밀도를 달성한다. (더 높은 밀도 기록은 모두 흔들림을 가지고 있다.)[3] 여기서 '''굵은''' 숫자는 소수이다.[3]

3. 2. 밀도와 관련된 특이 사항

''n'' = 2, 3, 4, 7, 19, 37인 경우, 1보다 큰 임의의 작은 숫자보다 더 큰 포장 밀도를 달성하는 해가 존재한다.[3] 더 높은 밀도 기록은 모두 흔들림을 가지고 있다.[3]

참조

[1] 간행물 Circles in Circles http://www2.stetson.[...]
[2] 논문 Tight partitions for packing circles in a circle https://ijpam.uniud.[...]
[3] OEIS A084644
[4] 서적 The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle 2000
[5] 서적 The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle 2003
[6] 서적 The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle 1999
[7] 서적 Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921) 1968
[8] 간행물 Dense packings of congruent circles in a circle 1998
[9] 간행물 Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten 1969
[10] 간행물 Densest packing of eleven congruent circles in a circle 1994
[11] 웹인용 Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center http://www2.stetson.[...] 2017-09-12
[12] 서적 The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle 2000
[13] 서적 The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle 2003
[14] 서적 The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle
[15] 서적 Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921)
[16] 문서
[17] 간행물 Densest packing of eleven congruent circles in a circle 1994
[18] 간행물 Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten 1969


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